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专题21 必要性探路(端点效应)
含有参数的不等式恒成立求参数的取值范围问题，是热点和重点题型，方法灵活多样，常见的方法有:①
分离参数＋函数最值;②直接化为最值＋分类讨论.
但当问题具有区间端点（定义域内一点）的函数值恰好是不等式恒成立时的临界值是这一显著特征时，
应运用“零点、端点效应”.
其具体方法是：先在定义域内取这个特殊值，然后由不等式成立求出参数的取值范围，显然这个取值范
围是不等式恒成立的一个必要条件，这样相当于对参数增加了一个条件，对问题解决有很好的导向性. 接
下来在这个条件下继续求解，然而有趣的是在后面的解答中我们发现求出的这个范围恰好是不等式恒成立
的充分条件，也就是说赋值法求出的参数取值范围有时恰好是题目所求的取值范围.
必要探路法，就是利用端点效应的原理；其基本步骤如下：
1.探究必要条件，缩小参数范围：首先利用端点效应初步获得参数的取值范围，这个范围是必要的；常见
的几种缩小参数范围的思路：
(1)若 在[a,b](a,b为常数) 上恒成立，则f (x) 在区间端点处也成立，即
此法应用于区间端点值包含参数的情况.
f(x,a)≥0(a为参数) [a,b](a,b为常数) f(a)=0（或f(b)=0）,
(2)若 在 上恒成立，且
则 此法应用于区间端点的函数值为零的情况.
(3)若 在 上恒成立，且 ，
f(x)≥0(a为参数) [a,b](a,b为常数)
则 此法应用于区间端点的函数值为零且导数值也为零的情况.
(4)若 在 上恒成立，则 ，此法应用于区间端点值包含参数的情况.
(5)若 在 上恒成立，则 ，此法应用于区间端点值包含参数的情况.
2.证明充分性，求结果：利用第一步中的参数的范围去判定函数是否单调；
（1）如果函数单调，则由端点得到的范围就是最终答案；（2）如果函数不单调，则利用端点确定的范围进一步确定函数的最值.
若使用必要探路法，则尤其要注意第一步，即寻找必要条件，因为其具有较强的技巧性.常见的选取技巧包
括选择端点值、极值点、不等式公共取等条件、常见特殊数（如 等）.
1．是否存在正整数 ，使得 对一切 恒成立?试求出 的最大值.
【解析】易知 对一切 恒成立，当 可得 ，则 仅可取1、2
下证 时不等式恒成立，设
在 单调递减， 单调递增，
当 时，不等式恒成立，所以 最大为2.
2． 求k的最大整数值.
【解析】令 ，显然
因此 的最大整数值可能是4，下证 时恒成立
由 即
所以
3．已知函数 ．
（1）当 时，求曲线 在点 ， （1） 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若 ，求 的取值范围．【解析】（1）当 时， ， ， （1） ， （1） ，
曲线 在点 ， （1） 处的切线方程为 ，
当 时， ，当 时， ，
曲线 在点 ， （1） 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积 ．
（2）方法五： 等价于 ，该不等式恒成立．
当 时，有 ，其中 ．
设 （a） ，则 （a） ，
则 （a）单调递增，且 （1） ．
所以若 成立，则必有 ．
下面证明当 时， 成立．
设 ， ，
在 单调递减，在 单调递增， ， ，即 ，
把 换成 得到 ， ， ．
，当 时等号成立．
综上， ．
4．已知函数 ．
（1）当 时，讨论函数 的单调性；
（2）当 时，若 ，且 在 时恒成立，求实数 的取值范围．
【解析】（1） ，①当 时， 恒成立，即函数 在 递减；
②当 时，令 ，解得 ，令 ，解得 ，
即函数 在 上单调递增，在 上单调递减．
综上，当 时，函数 在 递减；
当 时，函数 在 上单调递增，在 上单调递减；
（2）由题意，即当 时 在 时恒成立，
即 在 时恒成立．
记 ，则 （1） ，
记 （a） ， 在 递增，又 （1） ，
所以 （1） 时， ．
下面证明：当 时， 在 时恒成立．
因为 ．
所以只需证 在 时恒成立．
记 ，所以 ，
又 ，所以 在 单调递增，又 （1）
所以 ， ， 单调递减； ， ， 单调递增，
所以 （1） ， 在 恒成立．
综上可知， 时， 在 时恒成立．5．已知函数
（1）若函数 与 有公共点，求 的取值范围；
（2）若不等式 恒成立，求整数 的最小值.
【解析】（1）令 ，即 ，则 ，
函数 与 有公共点，即 有解.
令 ，则 .令 ，
当 时， ，所以 ，当 时， ，所以
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 且当 时， ，所以 .
（2）不等式 恒成立，即 恒成立.
则 时， 成立，解得 ，
由题意求满足条件的整数 最小值，下面验证 是否满足题意.
当 时，令 ，且 在 上单调递增.
又 ，可知存在唯一的正数 ，使得 ，即 ，
则 在 上单调递减，在 上单调递增.所以 ，
即当 时，不等式 成立.故整数 的最小值为
6．已知 ， ， ．
（1）若 ，证明： ；（2）对任意 都有 ，求整数 的最大值．
【解析】（1）设 ， ，则 ．
因为 ，且
则 在 ，单调递减， ，
所以存在唯一零点 ，使得
则 在 时单调递增，在 上单调递减
又 ，
所以 在 上恒成立上，所以 在 单调递增
则 ，即 ，所以 ．
（2）因为对任意的 ，
即 恒成立，令 ，则 ，
由（1）知 ，所以
由于 为 整数，则
因此
下面证明 ，在区间 上恒成立即可.
由（1）知 ，则
故
设 ， ，则 ，所以 在 上单调递减，所以 ，所以 在 上恒成立.
综上所述， 的最大值为2．
7．设函数 ．
（1）当 时，判断函数 的零点的个数，并且说明理由；
（2）若对所有 ，都有 ，求正数 的取值范围．
【解析】（1）当 时， 的定义域是 求导，
得
所以， 在 上为减函数，在 上为增函数， （e） ．
又 （1） ，根据 在 上为减函数，则 在 上恰有一个零点；
又 ，则 （e） ，所以 在 上恰有一个零点，
再根据 在 上为增函数， 在 上恰有一个零点．
综上所述，函数 的零点的个数为2．
（2）令 ，
求导，再令 ，则
（ⅰ）若 ，当 时， ，故 在 ， 上为减函数，
所以当 时， （1） ，即 ，则 在 ， 上为减函数，所以当 时， （1） ，即 成立；
（ⅱ）若 ，方程 的解为 ，
则当 时， ，故 在 上为增函数，
所以当 时， （1） ，即 ，则 在 上为增函数，
所以当 时， （1） ，即 成立，此时不合题意．
综上，满足条件的正数 的取值范围是 ， ．
8．已知函数f(x)=aex-1-x,对于 ，证明：当 时，不等式 恒成立．
【解析】当 时， 有最小值，且最小值为 ，
构造函数 ，其中 ，则 .
当 时， ，此时函数 单调递减，
当 时， ，此时函数 单调递增，故 ，
即 ，当且仅当 时等号成立，
易知不等式 等价于 ，
当 时，须有 成立，
令 ，则 ，所以， 在 上单调递增，
又 ，所以， 等价于 ，
下证当 时， ，有不等式 恒成立.
一方面， ， ，所以， ， ，即 ，
所以， ， ，所以， ， ，所以，只需证当 时， ，有不等式 恒成立即可，
另一方面，由 ， ，可得 ，所以， ，
又当 时， ，显然有 ，
所以，当 时， ，显然有不等式 恒成立，
所以，当 时， ，显然不等式 恒成立，
9．已知函数 ， ．
（Ⅰ）当 时，讨论函数 的单调性；
（Ⅱ）若 在区间 ， 上恒成立，求实数 的取值范围．
【解析】（Ⅰ） ，
①当 ，即 时， 时， ， 时， ，
所以 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增；
②当 ，即 时， 和 时， ， 时， ，
所以 在区间 上单调递减，在区间 和 上单调递增；
③当 ，即 时， 和 时， ， 时， ，
所以 在区间 上单调递减，在区间 和 上单调递增；
④当 ，即 时， ，所以 在定义域 上单调递增；
综上：①当 时， 在区间 上单调递减，在区间 和 上单调递增；
②当 时， 在定义域 上单调递增；③当 时， 在区间 上单调递减，在区间 和 上单调递增；
④当 时， 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增．
（Ⅱ）令 ，
原问题等价于 在区间 ， 上恒成立，可见 ，
要想 在区间 ， 上恒成立，首先必须要 （1） ，
而 ，
另一方面当 时， ，由于 ， ，可见 ，
所以 在区间 ， 上单调递增，故 （1） ，所以 在区间 ， 上单调递减，
（1） 成立，故原不等式成立．
综上，若 在区间 ， 上恒成立，则实数 的取值范围为
10．已知函数 ，其中 是自然对数的底数．
（1）求函数 在 处的切线方程；
（2）当 时， 恒成立，求 的最大值．
【解析】（1） ， （1） ， （1） ，
所求切线方程为 ，即 ．
（2）由 （1） （1）得 ，现证明不等式： ，
即证 ，令 ， ，时， ， 递减， 时， ， 递增，
， ，
时， ， 递增， 时， ， 递减，
， 且等号不同时取得，
，即 成立，综上， ．
11．已知函数 ，其中 ．
（Ⅰ）函数 的图象能否与 轴相切？若能，求出实数 ，若不能，请说明理由；
（Ⅱ）求最大的整数 ，使得对任意 ， ，不等式 恒成立．
【解析】（Ⅰ） ．
假设函数 的图象与 轴相切于点 ，
则有 ，即 ．
显然 ， ，代入方程 中得， ．
△ ， 方程 无解．
故无论 取何值，函数 的图象都不能与 轴相切；
（Ⅱ）依题意，
恒成立．设 ，则上式等价于 ，
要使 对任意 ， 恒成立，即使 在 上单调递
增，
在 上恒成立．
（1） ，则 ，
在 上成立的必要条件是： ．
下面证明：当 时， 恒成立．
设 ，则 ，当 时， ，当 时， ，
，即 ， ．
那么，当 时， ， ；
当 时， ， ， 恒成立．
因此， 的最大整数值为3．
12．已知函数 ．
（1）证明： 存在唯一零点；
（2）若 时， ，求 的取值范围．
【解析】（1）因为 ，由 ，得 ，
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增
故 时，函数取得最小值 ，取 且 ，则 （b） ，
故 存在唯一零点
（2）设 ，
设 ， ，则 ，
易得 ，由题知， ，可得 ，
当 时， ，
设 ， ，则 ，（仅当 取等号），
则 在 ， 递增，所以 ，可得 ，
因此 的范围是 ， ．
13．设函数 ，其中 ．
（Ⅰ）当 时，求函数 的零点；
（Ⅱ）若对任意 ， ，恒有 ，求实数 的取值范围．
【解析】（Ⅰ）当 时， ，
当 时，令 ，即 ，解得 ；
（ⅱ）当 时，令 ，即 ，此方程△ ，无实数解．
由 （ⅱ），得 的零点为 ， ，
（Ⅱ）方法1． 当 时，对于 ， ，得 ，
显然函数 在 ， 上递减，
要使 恒成立，只需 ，即 ，
得 ，又 ，所以 符合题意．
（ⅱ）当 时， ，
由 ，知函数 在 上递增，在 上递减．
以下对 再进行分类 当 ，即 时，
函数 在 上递增，在 上递减．
此时 （a）， ，只需 ，
即 解得 ，即 ，
又 ，所以 符合题意．（11分） 当 ，即 时，
函数 在 ， 上递增．
要使 恒成立，只需 （a） ，
即 ，得 ，
又 ，所以 符合题意．
由 （ⅱ），得实数 的取值范围是 ．方法2．因为对任意 ， ，恒有 ，所以 ，
即 ，解得 ．
下面证明，当 时，对任意 ， ，恒有 ，
当 时， 递增，
故 （a） 成立；
（ⅱ）当 时， ，
， ，
故 ， 成立．
由此，对任意 ， ，恒有 ，
14.已知函数 ， 为 的导函数．
（1）讨论 在区间 内极值点的个数；
（2）若 ， 时， 恒成立，求整数 的最小值．
【解析】（1）由 ，得 ，
令 ，则 ， ， ， ，
当 时， ， 单调递增，即 在区间 内无极值点，
当 时， ， ，故 ，
故 在 单调递增，又 ， ，故存在 ，使得 ，且 时， ， 递减，
， 时， ， 单调递增，故 为 的极小值点，
此时 在区间 内存在1个极小值点，无极大值点；
综上：当 时， 在区间 内无极值点，
当 时， 在区间 内存在1个极小值点，无极大值点．
（2）若 ， 时， 恒成立，则 ，故 ，
下面证明 时， 在 ， 恒成立，
， 时， ，故 时， ，
令 ， ， ，故 ，
令 ，则 ， 在区间 ， 单调递增，
又 ，故 在 ， 上单调递减，
又 ， ，
故存在 ， ，使得 ，且 ， 时， ， 递增，
， 时， ， 单调递减，故 时， 取得最大值，且 ，
， ， ，
故 单调递减，故 ， 时， 即 成立，
综上，若 ， 时， 恒成立，则整数 的最小值1．
15．（Ⅰ）证明： ， ， ；（Ⅱ）若 在 ， 上恒成立，求 的取值范围；
（Ⅲ）已知函数 ，若正实数 ， 满足 ，证明：当 时，恒有
．
【解析】（1）令 ，当 ， 时， ，
故 在区间 ， 上单调递增，从而 ，
由于 为偶函数，所以当 ， 时， ，
故 ， ， ．
（2）结合（1）可知 ，
所以 ，易证 ，故 为原不等式成立的必要条件，
下面证明充分性，当 时， ，
令 ，易知 为偶函数．设 ， ，则 ，
令 ，则 ，
故 在 ， 上单调递减，即 ，
故 在 ， 上单调递减， ，
故当 时，原不等式在 ， 上恒成立，
综上， 的取值范围为 ， ．
（3）当 时， ，在（2）中令 ， ，则有 ，下面证明 即可，即证 ，
解法一： ，即 ，
， ，
易知 在 处取得最小值1，则 ，
又 ，所以 ．
综上，当 时，恒有 ．
解法二：不妨令 ，
在 上， ，则 在 上单调递增，
又 （1） ，所以要使 ，则需 ，要证 ，即证 ，
即证 ，又 ，所以即证 ，
设 ， ， ，则 ，
故 在 ， 上单调递增， （1） （1） ，
令 ，可得 ，所以 ，即 ，所以 ．
综上，当 时，恒有 ．
16．已知 ， ， ．
（1）若 ， ，证明： ；
（2）对任意 ， 都有 ，求整数 的最大值．
【解析】（1）设 ，则 ．
注意到 ，因为 ， ，
因为 ，
则 在 ， 单调递减，所以 （1） ， ， ，
所以存在唯一零点 ，使得
则 在 时单调递增，在 ， 上单调递减，
又 （1） ， ，
所以 在 上恒成立，所以 在 ， 上单调递增，
则 ，即 ，
所以 ．
（2）因为对任意的 ， ，不等式 ，
即 恒成立，
令 ，则 ，
由（1）知 ，所以 ，
由于 为 整数，则 ，
因此 ，
下面证明 ，在区间 ， 恒成立，
由（1）知 ，则 ，故 ，
设 ， ， ，
则 ，
所以 在 ， 上单调递减，
所以 （1） ，所以 ，在 上恒成立，
综上所述，整数 的最大值为2．
17．已知函数 ， ．
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若 在区间 ， 上恒成立，求实数 的取值范围．
【解析】（1）函数 ，
则 ；
① 时， ，
所以 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减；
又 时， ， ；
②当 时， ， 时， ， 时， ，
所以 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减；
③当 时， ， 时， ， 时， ，
所以 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增；④当 时， ，
和 时， ，
时， ，
所以 在区间 ， 上单调递减，在区间 和 上单调递增；
⑤当 时， ， 和 时， ，
时， ，
所以 在区间 上单调递减，在区间 和 ， 上单调递增；
⑥当 ，即 时， ，所以 在定义域 上单调递增；
综上：①当 时， 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减；
②当 时， 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减；
③当 时， 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增；
④当 时， 在区间 ， 上单调递减，
在区间 和 上单调递增；
⑤当 时， 在区间 上单调递减，
在区间 和 ， 上单调递增；
⑥当 时， 在定义域 上单调递增；
（2）令 ，
原问题等价于 在区间 ， 上恒成立，可见 （1） ，
要想 在区间 ， 上恒成立，首先必须要 （1） ，
而 ，
（1） ，解得 ；
另一方面当 时， ，由于 ， ，可见 ，
所以 在区间 ， 上单调递增，故 （1） ，
所以 在区间 ， 上单调递减， （1） 成立，故原不等式成立．
综上，若 在区间 ， 上恒成立，则实数 的取值范围为 ．
