文档内容
专题 21 排列组合与概率必刷小题 100 题
任务一:善良模式(基础)1-30题
一、单选题
1．要安排 名学生到 个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不
同的安排方法共有（ ）
A． 种 B． 种 C． 种 D． 种
2．在边长为2的正六边形内任取一点，则这个点到该正六边形中心的距离不超过1的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．若某群体中的成员不用现金支付的概率为0.4，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则只用现
金支付的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．现某校数学兴趣小组给一个底面边长互不相等的直四棱柱容器的侧面和下底面染色，提出如下的“四色
问题”：要求相邻两个面不得使用同一种颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的染色方案有（ ）
A．18种 B．36种 C．48种 D．72种
5．奥林匹克标志由五个互扣的环圈组成，五环象征五大洲的团结.五个奥林匹克环总共有8个交点，从中
任取3个点，则这3个点恰好位于同一个奥林匹克环上的概率为（ ）
A． B． C． D．6． 年 月 日，极端强降雨席卷河南，部分地区发生严重洪涝灾害，河北在第一时间调集 支抗洪
抢险专业队､ 辆执勤车､ 艘舟艇及 余件救灾器材，于 月 日 时 分出发支援河南抗洪抢险.若
这 支抗洪抢险专业队分别记为 ， ， ， ，从这 支专业队中随机选取 支专业队分别到离出发地
比较近的甲､乙 个发生洪涝的灾区，则 去甲灾区 不去乙灾区的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．甲、乙两名运动员各自等可能地从编号为 、 、 的 张卡片中选择 张，则他们选择的卡片上的数字
之和能被 整除的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．某团支部随机抽取甲乙两位同学连续 期“青年大学习”的成绩（单位：分），得到如图所示的成绩茎
叶图，关于这 期的成绩，则下列说法正确的是（ ）
A．甲成绩的中位数为
B．乙成绩的极差为
C．甲乙两人成绩的众数相等
D．甲成绩的平均数高于乙成绩的平均数
9．要将甲、乙、丙、丁4名同学分到A、B、C三个班级中，要求每个班级至少分到一人，则甲被分到A
班级的概率为（ ）
A． B． C． D．10．奥运会跳水比赛中共有 名评委给出某选手原始评分，在评定该选手的成绩时，去掉其中一个最高分
和一个最低分，得到 个有效评分，则与 个原始评分（不全相同）相比，一定会变小的数字特征是（
）
A．众数 B．方差 C．中位数 D．平均数
11．有五名学生站成一排照毕业纪念照，其中甲不排在乙的左边，则不同的站法共有( )
A．66种 B．60种 C．36种 D．24种
12．随机变量 满足分布列如下：
0 1 2
P
则随着 的增大（ ）
A． 增大， 越来越大
B． 增大， 先增大后减小
C． 减小， 先减小后增大
13．永州是一座有着两千多年悠久历史的湘南古邑，民俗文化资源丰富.在一次民俗文化表演中，某部门安
排了《东安武术》、《零陵渔鼓》、《瑶族伞舞》、《祁阳小调》、《道州调子戏》、《女书表演》六个
节目，其中《祁阳小调》与《道州调子戏》不相邻，则不同的安排种数为（ ）
A．480 B．240 C．384 D．1440
14．五行学说是中华民族创造的哲学思想.古代先民认为，天下万物皆由五种元素组成，分别是金､木､水､
火､土，彼此之间存在如图所示的相生相克关系.若从金､木､水､火､土五种元素中任取两种，则这两种元素
恰是相生关系的概率是（ ）A． B． C． D．
15．山竹，原产地在印度尼西亚东北部岛屿的一组群岛马鲁古，具有清热泻火､生津止渴的功效，被誉为
夏季的“水果之王”，受到广大市民的喜爱.现统计出某水果经销商近 年的山竹销售情况，如下表所示.
年份
年份代码
年销量 /万斤
根据表中的数据用最小二乘法求得 关于 的线性回归方程为 ，若 年的年份代码为 ，则
可以预测 年该经销商的山竹销量大约为（ ）
A． 万斤 B． 万斤 C． 万斤 D． 万斤
16．《医院分级管理办法》将医院按其功能､任务不同划分为三个等级：一级医院､二级医院､三级医院.某
地有9个医院，其中3个一级医院，4个二级医院，2个三级医院，现在要从中抽出4个医院进行药品抽检，
则抽出的医院中至少有2个一级医院的抽法有（ ）
A．81种 B．80种 C．51种 D．41种
17．为了支援山区教育，现在安排 名大学生到 个学校进行支教活动，每个学校至少安排 人，其中甲校
至少要安排 名大学生，则不同的安排方法共有（ ）种
A． B． C． D．
18．接种疫苗是预防控制新冠疫情最有效的方法.我国自 年 月 日起实施全民免费接种新冠疫苗工作，
截止到 年 月底，国家已推出了三种新冠疫苗（腺病毒载体疫苗､新冠病毒灭活疫苗､重组新型冠病毒
疫苗）供接种者选择，每位接种者仼选其中一种.若甲､乙､丙､丁 人去接种新冠疫苗，则恰有两人接种同
一种疫苗的概率为（ ）A． B． C． D．
19．袋内有3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，用A表示“第一次摸到白球”，如果“第二次摸到白
球”记为B，否则记为C，那么事件A与B，A与C间的关系是（ ）
A．A与B，A与C均相互独立
B．A与B相互独立，A与C互斥
C．A与B，A与C均互斥
D．A与B互斥，A与C相互独立
20．从三个小区中选取6人做志愿者，每个小区至少选取1人，则不同的选取方案数为（ ）
A．10 B．20 C．540 D．1080
第II卷（非选择题）
二、填空题
21．袋中有4只红球3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为
随机变量ξ，则P(ξ≤6)＝________.
22．一个袋子中装有六个大小形状完全相同的小球，其中一个编号为1，两个编号为2，三个编号为3．现
从中任取一球，记下编号后放回，再任取一球，则两次取出的球的编号之和等于4的概率是________．
23．某医疗队有6名医生，其中只会外科的医生1名，只会内科的医生3名，既会外科又会内科的医生2
名.现在要从医疗队中抽取3名医生支援3个不同的村庄，每个村庄1人，要求3名医生中至少有一名会内
科，至少有一名会外科，则共有___________种派遣方法.
24．某工厂生产了一批节能灯泡，这批产品中按质量分为一等品，二等品，三等品.从这些产品中随机抽取
一件产品测试，已知抽到一等品或二等品的概率为0.86，抽到二等品或三等品的概率为0.35，则抽到二等
品的概率为___________.25．两名学生一起去一家单位应聘，面试前单位负责人对他们说：“我们要从面试的人中招聘3人，你们俩
同时被招聘进来的概率是 ．”若每个参加面试的人被招聘的可能性相同，则根据这位负责人的话，可以
推断出参加面试的人数为______．
26．一个盒子中装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为 的函数： ， ，
， ， ， ．现从盒子中逐一抽取卡片，且每次抽出后均不放回，
若取到一张写有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，设抽取次数为 ，则 的概率为______．
27．为了强化劳动观念，弘扬劳动精神，某班级决定利用班会课时间进行劳动教育．现要购买铁锹、锄头、
镰刀三种劳动工具共9把，每种工具至少购买1把，则不同的选购方法共有______种．（用数字作答）．
28．中国体育彩票坚持“公益体彩乐善人生”公益理念，为支持中国体育事业发展做出了贡献，其中“大乐
透”是群众特别喜欢购买的一种体育彩票，其规则是从前区1到35的号码中选5个，后区1到12的号码中
选2个组成一注彩票.其中复式玩法允许从前区选5个以上，后区选2个以上号码，那么从前区1到35的号
码中选7个号码，从后区1到12的号码中选3个，组成的彩票注数为___________.
29．如图，用五种不同的颜色涂在图中不同的区域内，要求每个区域只能涂一种颜色，且相邻(有公共边)
区域涂的颜色不同，则不同的涂色方案一共有___________种.用数字作答
30．某科研项目包括 四个课题，需要分配给甲、乙、丙三个科研小组进行研究，每个课题分配给
一个小组，每个小组至少分配一个课题，且甲、乙小组能研究全部四个课题，丙小组只能研究 两个课题，则不同的分配方法的种数为___________．
任务二:中立模式(中档)1-40题
一、单选题
1．某学校对音乐、体育、美术、书法特长生进行专项测试.现安排 名学生志愿者到现场协助，若每名志
愿者参与一个组的管理工作，每组至少有 人协助工作，则不同的安排方式共有（ ）
A． 种 B． 种 C． 种 D． 种
2． 年国庆节期间，小李报名参加市电视台举办的“爱我祖国”有奖竞答活动，活动分两轮回答问题，
第一轮从 个题目中随机选取 个题目，这 个题目都回答正确，本轮得奖金 元，仅有 个回答正确，
本轮得奖金 元，两个回答都不正确，没有奖金且被淘汰，有资格进入第 轮回答问题者，最多回答两
个问题，先从 个题目中随机选取 个题目回答，若回答错误本轮奖金为零且被淘汰，若回答正确，本题回
答得奖金 元，然后再从剩余 个题目中随机选 个，回答正确，本题得奖金 元，回答错误，本题
回答没有奖金.已知小李第一轮 个题目其中 个能回答正确，第二轮每个题目回答正确的概率均为 （每
轮选题相互独立），则小李获得 元的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．已知随机变量 的分布列如下：
X 1 2 3
P a b 2b—a
则 的最大值为（ ）
A． B．3C．6 D．5
4．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，如图，将一个四棱锥的每
一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法总
数为（ ）
A． B． C． D．
5．7个人站成一排准备照一张合影，其中甲、乙要求相邻，丙、丁要求分开，则不同的排法有（ ）
A．400种 B．720种 C．960种 D．1200种
6．现有16张不同的卡片，其中红色，黄色，蓝色，绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不
能是同一颜色，且绿色卡片至多1张，则不同的取法种数为（ ）
A．484 B．472
C．252 D．232
7．现将 张连号的门票按需求分配给 个家庭，甲家庭需要 张连号的门票，乙家庭需要 张连号的门票，
剩余的 张随机分给剩余的 个家庭，则这 张门票不同的分配方法的种数为（ ）
A． B． C． D．
8．甲、乙两人对同一目标各射击一次，甲命中目标的概率为 ，乙命中目标的概率为 ，设命中目标的
人数为 ，则 等于（ ）A． B． C． D．
9．一个盒中装有大小相同的1个黑球与2个白球，从中任取一球，若是白球则取出来，若是黑球则放回盒
中，直到把白球全部取出，则在此过程中恰有1次取到黑球的概率为（ ）
A． B． C． D．
10．某学校社会实践小组共有 名成员，该小组计划前往该地区三个红色教育基地进行“学党史，颂党恩，
跟党走”的主题宣讲志愿服务.若每名成员只去一个基地，每个基地至少有一名成员前往，且甲，乙两名成
员前往同一基地，则不同的分配方案共（ ）有
A． 种 B． 种
C． 种 D． 种
11．《数术记遗》是东汉时期徐岳编撰的一本数学专著，该书介绍了我国古代14种算法，其中积算（即筹
算）､太乙算､两仪算､三才算､五行算､八卦算､九宫算､运筹算､了知算､成数算､把头算､龟算､珠算13种均需
要计算器械.某研究性学习小组3人分工搜集整理这13种计算器械的相关资料，其中一人搜集5种，另两
人每人搜集4种，则不同的分配方法种数为（ ）
A． B． C． D．
12．在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率，不大于其恰好发生2次的概率，则随机事
件A在1次试验中发生的概率p的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
13．甲、乙两人进行投壶比赛，比赛规则：比赛中投中情况分“有初”“贯耳”“散射”“双耳”“依竿”五种，其中
“有初”算“两筹”，“贯耳”算“四筹”，“散射”算“五筹”，“双耳”算“六筹”，“依竿”算“十筹”，投不中算“零筹”，进行三场比赛后得筹数最多者获胜．假设每场比赛中甲投中“有初”的概率为 ，投中“贯耳”的概率为 ，
投中“散射”的概率为 ，投中“双耳”的概率为 ，投中“依竿”的概率为 ，乙的投掷水平与甲相同，且
甲，乙两人投掷相互独立．比赛第一场，两人平局，第二场，甲投中“贯耳”，乙投中“双耳”，则三场比赛
结束时，甲获胜的概率为（ ）
A． B． C． D．
14．通常，我国民用汽车号牌的编号由两部分组成：第一部分为汉字表示的省、自治区、直辖市简称和用
英文字母表示的发牌机关代号，笫二部分为由阿拉伯数字与英文字母组成的序号．其中序号的编码规则为：
①由0，1，2，…，9这10个阿拉伯数字与除 ， 之外的24个英文字母组成；②最多只能有2个位置是
英文字母，如：粤 ，则采用5位序号编码的粤 牌照最多能发放的汽车号牌数为（ ）
A．586万张 B．682万张 C．696万张 D．706万张
15．现有4份不同的礼物，若将其全部分给甲､乙两人，要求每人至少分得 份，则不同的分法共有（
）
A．10种 B．14种 C．20种 D．28种
16．四名同学各掷骰子五次，分别记录每次骰子出现的点数．根据四名同学的统计结果，可以判断出一定
没有出现点数6的是（ ）．
A．平均数为3，中位数为2 B．中位数为3，众数为2
C．平均数为2，方差为2.4 D．中位数为3，方差为2.8
17．2021年1月初，河北某区域的“新冠疫情”出现明显反弹，相关部门紧急从 省抽调包括甲、乙在内的
七名医疗专家进驻该区域的三个疫情“高风险”地区进行协助防控，要求每个地区至少安排两名专家，则甲、
乙两名专家安排在不同地区的概率为（ ）
A． B． C． D．18．已知甲、乙两人进行五局球赛，甲每局获胜的概率是 ，且各局的胜负相互独立，已知 甲胜一局的奖
金为10元，设甲所获得的资金总额为X元，则甲所获得奖金总额的方差 （ ）
A．120 B．240 C．360 D．480
19．某工厂产品合格的概率均为 ，各产品合格与否相互独立．设 为该工厂生产的 件商品中合格的数
量，其中 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
20．如图，节日花坛中有5个区域，现有四种不同颜色的花卉可供选择，要求相同颜色的花不能相邻栽种，
则符合条件的种植方案有（ ）种．
A．36 B．48 C．54 D．72
21．一个正方体有一个面为红色，两个面为绿色，三个面为黄色，另一个正方体有两个面为红色，两个面
为绿色，两个面为黄色，同时掷这两个正方体，两个正方体朝上的面颜色不同的概率为（ ）
A． B． C． D．
22．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺” 某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安
排一节，连排六节，课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在前三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课 则
“六艺”课程讲座的不同排课顺序共有（ ）
A．120种 B．156种 C．188种 D．240种
23．某研发机构依次研发六项不同的产品，其中产品 必须排在后三位，产品 ， 必须排在一起，则这
六项产品的不同安排方案共有（ ）
A．120种 B．156种 C．210种 D．226种24．某单位在春节七天的假期间要安排值班表，该单位有值班领导3人，值班员工4人，要求每位值班领
导至少值两天班，每位值班员工至少值一天班，每天要安排一位值班领导和一位值班员工一起值班，且一
人值多天班时要相邻的安排方案有（ ）
A．249种 B．498种 C．1052种 D．8640种
25．在一次“概率”相关的研究性活动中，老师在每个箱子中装了4个小球，其中3个是白球，1个是黑球，
用两种方法让同学们来摸球.方法一：在20箱中各任意摸出一个小球；方法二：在10箱中各任意摸出两个
小球.将方法一、二至少能摸出一个黑球的概率分别记为 和 ，则（ ）
A． B． C． D．以上三种情况都有可能
第II卷（非选择题）
二、填空题
26．某学校安排甲，乙等 位中层干部深入 个班级进行班级课堂教学调研，每班至少安排一位中层干部，
若甲、乙不能安排到同一个班级，则不同的安排方法共有______________________种(用数字作答)．
27．一个布袋中装有 个大小质地相同的小球，颜色 白 黑 红，从中任意取出 球，记取到白球每个得
分，取到黑球每个得 分，取到红球每个得 分，设取出的 球得分总和为 ．则 ______．
28．一个袋子中有 个大小相同的球，其中 个黄球， 个红球．规定：取出一个黄球得 分，取出一个红
球得 分．现随机从袋中有放回地取 次球（每次一个），记 次取球得分之和为随机变量 ，则
________．
29．有编号分别为 、 、 、 、 的 个红球和 个黑球，从中取出 个，设其中编号相同的球的对数为
，则 ____________.30．从4名男同学和5名女同学中随机选取3人参加某社团活动，选出的3人中不都是男同学的概率为
______（结果用数值表示）
31．设随机变量 ，函数 没有零点的概率是 ，则
_____________附：若 ，则 ， ．
32．记 ， ， ， ， ， 为1，2，3，4，5，6的任意一个排列，则使得 为奇数的排
列共有___________个.
33．从数字1，2，3，4中任取一个数，记为 ，再从1至 中任取一个整数，记为 ，则
______．
34．如图，在平面直角坐标系 中，O为正八边形 的中心， .任取不同的两点
，点P满足 ，则点P落在第一象限的概率是_____________.
35．2020年，新型冠状病毒引发的疫情牵动着亿万人的心.八方驰援战疫情，众志成城克时难，社会各界
支援湖北，共抗新型冠状病毒肺炎.山东某医院的甲、乙、丙、丁、戊5名医生到湖北的 ， ， 三个城
市支援，若要求每个城市至少安排1名医生，则A城市恰好只有医生甲去支援的概率为______.36．立德中学对2022届高三学生的某项指标进行抽样调查，按性别进行分层抽样，抽查男生24人，其平
均数和方差分别为12、4，抽查女生16人，其平均数和方差分别为10、6，则本次调查的总样本的方差是
__________.
37．用红、黄、蓝、绿4种颜色给如图所示的五连圆涂色，要求相邻两个圆所涂颜色不能相同，且红色至
少要涂两个圆，则不同的涂色方案种数为______．
38．随着经济发展，江门市居住环境进一步改善，市民休闲活动的公园越来越多，其中，最新打造的网红
公园有儿童公园、湖连潮头中央公园、下沙公园.某个节假日，甲、乙、丙、丁四组家庭到这个网红公园打
卡，通过访问和意向筛查，最后将这四组家庭的意向汇总如下：
公园 儿童公园 湖连潮头中央公园 下沙公园
有意向的家族组 甲、乙、丙 甲、乙、丁 乙、丙、丁
若每组家庭只能从已登记的选择意向中随机选取一项，且每个公园至多有两组家庭选择，则甲、乙两组家
庭选择同一个公园打卡的概率为 ________.
39．某公司在元宵节组织了一次猜灯谜活动，主持人事先将10条不同灯谜分别装在了如图所示的10个灯
笼中，猜灯谜的职员每次只能任选每列最下面的一个灯笼中的谜语来猜（无论猜中与否，选中的灯笼就拿
掉），则这10条灯谜依次被选中的所有不同顺序方法数为____________.（用数字作答）
40．一猎人带着一把猎枪到山里去打猎，猎枪每次可以装3发子弹，当他遇见一只野兔时，开第一枪命中
野免的概率为0.8，若第一枪没有命中，猎人开第二枪，命中野免的概率为0.4，若第二枪也没有命中，猎
人开第三枪，命中野兔的概率为0.2，若3发子弹都没打中，野兔就逃跑了，则已知野兔被击中的条件下，
是猎人开第二枪命中的概率为__________.任务三:邪恶模式(困难)1-30题
一、单选题
1．已知数列{a}满足a＝0，且对任意n∈N*，a 等概率地取a+1或a﹣1，设a 的值为随机变量ξ，则
n 1 n+1 n n n n
（ ）
A．P（ξ＝2）＝ B．E（ξ）＝1
3 3
C．P（ξ＝0）＜P（ξ＝2） D．P（ξ＝0）＜P（ξ＝0）
5 5 5 3
2．如图，在某城市中， ､ 两地之间有整齐的方格形道路网，其中 ､ ､ ､ 是道路网中位于一条
对角线上的 个交汇处.今在道路网 ､ 处的甲､乙两人分别要到 ､ 处，他们分别随机地选择一条沿
街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达 ､ 处为止.则下列说法正确的是（ ）A．甲从 到达 处的方法有 种
B．甲从 必须经过 到达 处的方法有 种
C．甲､乙两人在 处相遇的概率为
D．甲､乙两人相遇的概率为
3．2019年末，武汉出现新型冠状病毒肺炎（COVID-19）疫情，并快速席卷我国其他地区，传播速度很快.
因这种病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株，所以目前没有特异治疗方法，防控难度很大，武
汉市出现疫情最早，感染人员最多，防控压力最大，武汉市从2月7日起举全市之力入户上门排查确诊的
新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、无法明确排除新冠肺炎的发热患者和与确诊患者的密切接触者等
“四类”人员，强化网格化管理，不落一户、不漏一人.在排查期间，一户6口之家被确认为“与确诊患者
的密切接触者”，这种情况下医护人员要对其家庭成员随机地逐一进行“核糖核酸”检测，若出现阳性，
则该家庭为“感染高危户”.设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为 且相互独立，该家庭至少
检测了5个人才能确定为“感染高危户”的概率为 ，当 时， 最大，则 （）
A． B． C． D．
4．如图，在某海岸P的附近有三个岛屿Q，R，S，计划建立三座独立大桥，将这四个地方连起来，每座桥
只连接两个地方，且不出现立体交叉形式，则不同的连接方式有（ ）.
A．24种 B．20种 C．16种 D．12种
5．随机变量 的分布列是（ ）2 4 6
A． B．
C． D．
故选：A
6．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、
司机四项工作可以安排，以下说法正确的是（ ）
A．每人都安排一项工作的不同方法数为54
B．每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为
C．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为
D．每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、
戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是
7．高尔顿（钉）板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行、水平间隔相等的铁钉（如图所示），并
且每一排钉子数目都比上一排多一个，一排中各个钉子正好对准上面一排两个相邻铁钉的正中央从入口处
放入一个直径路小于两颗钉子间隔的小球，当小球从两钉之间的间隙下落时，由于碰到下一排铁钉，它将
以相等的可能性向左或向右落下，接若小球再通过两钉的间隙，又碰到下一排铁钉.如此继续下去，小球最
后落入下方条状的格子内求小球落到第7个格子（从左开始）的概率是（ ）A． B． C． D．
8．有甲、乙两个盒子，甲盒子里有 个红球，乙盒子里有 个红球和 个黑球，现从乙盒子里随机取出
个球放入甲盒子后，再从甲盒子里随机取一球，记取到的红球个数为 个，则随着
的增加，下列说法正确的是（ ）
A． 增加， 增加 B． 增加， 减小
C． 减小， 增加 D． 减小， 减小
9．已知随机变量ξ的分布列，则下列说法正确的是
A．存在x，y∈(0，1)，E(ξ)> B．对任意x，y∈(0，1)，E(ξ)≤
C．对任意x，y∈(0，1)，D(ξ)≤E(ξ) D．存在x，y∈(0，1)，D(ξ)>
10．在体育选修课排球模块基本功 发球 测试中，计分规则如下 满分为 分 ：①每人可发球 次，每
10 7成功一次记 分；②若连续两次发球成功加 分，连续三次发球成功加 分，连续四次发球成功加 分，
1 1
以此类推， ，连续七次发球成功加 分 假设某同学每次发球成功的概率为 ，且各次发球之间相互独
3
立，则该同学在测试中恰好得 分的概率是
5 ( )
A． B． C． D．
11．中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同样长短的小木
棍.如图，是利用算筹表示数1～9的一种方法.例如：137可表示为“ ”，26可表示为“ ”.现有6
根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用1～9这9个数字表示三位数的个数为
A．10 B．20 C．36 D．38
12．某密码锁共设四个数位，每个数位的数字都可以是1，2，3，4中的任一个.现密码破译者得知：甲所
设的四个数字有且仅有三个相同；乙所设的四个数字有两个相同，另两个也相同；丙所设的四个数字有且
仅有两个相同；丁所设的四个数字互不相同．则上述四人所设密码最安全的是（ ）.
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
13． 支篮球队进行单循环比赛（任两支球队恰进行一场比赛）,任两支球队之间胜率都是 .单循环比赛
结束,以获胜的场次数作为该队的成绩,成绩按从大到小排名次顺序,成绩相同则名次相同.有下列四个命题：
：恰有四支球队并列第一名为不可能事件； ：有可能出现恰有两支球队并列第一名；
：每支球队都既有胜又有败的概率为 ； ：五支球队成绩并列第一名的概率为 .
其中真命题是
A． , , B． , , C． . . D． . .14．甲盒子装有3个红球，1个黄球，乙盒中装有1个红球，3个黄球，同时从甲乙两盒中取出
个球交换，分别记甲乙两个盒子中红球个数的数学期望为 ，则以下结论错误的是
A． B． C． D．
15．如图，给7条线段的5个端点涂色，要求同一条线段的两个端点不能同色，现有4种不同的颜色可供
选择，则不同的涂色方法种数有（ ）
A．24 B．48 C．96 D．120
16．如果 不是等差数列，但若 ，使得 ，那么称 为“局部等差”数列.已知
数列 的项数为4，记事件 ：集合 ，事件 ： 为“局部等差”数列，则
条件概率
A． B． C． D．
17．已知 ， ， 为 中不同数字的种类，如
，求所有的 个 的排列所得的 的平均值为A． B． C． D．
18．空间中不共面的4点A，B，C，D，若其中3点到平面 的距离相等且为第四个点到平面 的 倍，
这样的平面 的个数为（ ）
A．8 B．16 C．32 D．48
19．（1）将 个小球随机地投入编号为1，2…， 的 个盒子中（每个盒子容纳的小球个数没有限
制），记1号盒子中小球的个数为 ；（2）将 个小球随机地投入编号为1，2…， 的 个盒子
中（每个盒子容纳的小球个数没有限制），记 号盒子中小球的个数为 ，则（ ）
A． B．
C． D．
20．我们知道，在 次独立重复试验（即伯努利试验）中，每次试验中事件 发生的概率为 ，则事件
发生的次数 服从二项分布 ，事实上，在无限次伯努利试验中，另一个随机变量的实际应用也很
广泛，即事件 首次发生时试验进行的次数 ，显然 ，我们称 服从
“几何分布”，经计算得 ．由此推广，在无限次伯努利试验中，试验进行到事件 和 都发生后
停止，此时所进行的试验次数记为 ，则 ，那么 （
）
A． B．
C． D．第II卷（非选择题）
二、填空题
21．我们想把9张写着1~9的卡片放入三个不同盒子中，满足每个盒子中都有3张卡片，且存在两个盒子
中卡片的数字之和相等，则不同的放法有___________种.
22．在生物学研究过程中，常用高倍显微镜观察生物体细胞．已知某研究小组利用高倍显微镜观察某叶片
的组织细胞，获得显微镜下局部的叶片细胞图片，如图所示，为了方便研究，现在利用甲、乙等四种不同
的试剂对 、 、 、 、 、 这六个细胞进行染色，其中相邻的细胞不能用同种试剂染色，且甲试剂
不能对 细胞染色，则共有______种不同的染色方法（用数字作答）．
23．验证码就是将一串随机产生的数字或符号，生成一幅图片，图片里加上一些干扰象素（防止 ），
由用户肉眼识别其中的验证码信息，输入表单提交网站验证，验证成功后才能使用某项功能.很多网站利用
验证码技术来防止恶意登录，以提升网络安全.在抗疫期间，某居民小区电子出入证的登录验证码由0，
1，2，…，9中的五个数字随机组成.将中间数字最大，然后向两边对称递减的验证码称为“钟型验证码”
（例如：如14532，12543），已知某人收到了一个“钟型验证码”，则该验证码的中间数字是7的概率为
__________.
24．设 为互不相等的正实数，随机变量 和 的分布列如下表，若记 ， 分别为
的方差，则 _____ ．（填>，<，=）
25．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以 和 表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机
取出一球，以 表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是________（写出所有正确结论
的编号）．
① ；
② ；
③事件 与事件 相互独立；
④ 是两两互斥的事件；
⑤ 的值不能确定，因为它与 中哪一个发生有关
26．某翻译处有8名翻译，其中有小张等3名英语翻译，小李等3名日语翻译，另外2名既能翻译英语又
能翻译日语，现需选取5名翻译参加翻译工作，3名翻译英语，2名翻译日语，且小张与小李恰有1人选中，
则有____种不同选取方法.
27．乒乓球比赛,三局二胜制.任一局甲胜的概率是 ,甲赢得比赛的概率是 ,则 的最大值为
_____.
28．用五种不同颜色给三棱台 的六个顶点染色，要求每个点染一种颜色，且每条棱的两个端点
染不同颜色.则不同的染色方法有___________种.
29．四根绳子上共挂有10只气球,绳子上的球数依次为1,2,3,4，每枪只能打破一只球,而且规定只有打破
下面的球才能打上面的球,则将这些气球都打破的不同打法数是________.
30．关于任意平面向量可实施以下6种变换，包括2种 变换和4种 变换模变为原来的 倍，同时逆时针旋转 ；
模变为原来的 倍，同时顺时针旋转 ；
模变为原来的 倍，同时逆时针旋转 ；
：模变为原来的 倍，同时顺时针旋转 ；
模变为原来的 倍，同时逆时针旋转 ；
模变为原来的 倍，同时顺时针旋转
记集合 ，若每次从集合 中随机抽取一种变换，每次抽取彼此相互独立，经过 次
抽取，依次将第 次抽取的变换记为 ，即可得到一个 维有序变换序列，记为
，则以下判断中正确的序号是__________.
①单位向量 经过奇数次 变换后所得向量与向量 同向的概率为 ；
②单位向量 经过偶数次 变换后所得向量与向量 同向的概率为 ；
③若单位向量 经过 变换后得到向量 ，则 中有且只有2个 变换；
④单位向量 经过 变换后得到向量 的概率为 .
