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专题 12 一次函数实际应用
题型一 计费问题
1．某羽毛球馆有两种消费方式：一种是交100元办一张会员卡，以后每次打球费用为25元 小时；另一
种是不办会员卡，每次打球费用为40元 小时．
（1）直接写出办会员卡打球的费用 （元 与打球时间 （小时）之间的关系式 ；
（2）直接写出不办会员卡打球的费用 （元 与打球时间 （小时）之间的关系式 ；
（3）小王每月打球时间为10小时，他选用哪种方式更合算？
【解答】解：（1）由题意可得，
办会员卡打球的费用 （元 与打球时间 （小时）之间的关系式： ，
故答案为： ；
（2）由题意可得，
不办会员卡打球的费用 （元 与打球时间 （小时）之间的关系式为： ，
故答案为： ；
（3）当 时
办会员卡： （元 ，
不办会员卡： （元 ，
，
办会员卡更合算．
2．某市为了节约用水，采用分段收费标准．设居民每月应交水费为 （元 ，用水量为 （立方米）．
用水量（立方米）
收费（元
不超过10立方米 每立方米2.5元
超过10立方米 超过的部分每立方米3.5元
（1）写出每月用水量不超过10立方米和超过10立方米时，水费与用水量之间的关系式；（2）若某户居民某月用水量为7立方米，则应交水费多少元？
（3）若某户居民某月交水费27元，则该户居民用水多少立方米？
【解答】解：（1）当 时， ，
当 时， ；
（2）当 时， （元 ，
答：应交水费17.5元；
（3）当 时， ，
，
答：该户居民用水 立方米．
3．某航空公司规定，旅客乘机所携带行李的质量 与其运费 （元 由如图所示的一次函数图象确定，
问：
（1）求一次函数解析式；
（2）旅客可携带的免费行李的最大质量是多少 ？
【解答】解：（1）设 ，代入 ， ，
得： ，解得： ，
；
（2）取 ，则 ，
解得 ，
免费行李的最大质量为 ．
4．某城市为了节约用水，采用分段收费标准，若某户居民每月应交水费 （元 与用水量 （吨 之间关
系的图象如图所示，根据图形回答：
（1）该市自来水收费时，每户使用不足5吨时，每吨收费多少元？超过5吨时，每吨收费多少元？
（2）若某户居民每月用水3.5吨，应交水费多少元？若某月交水费17元，该户居民用水多少吨？
【解答】解：（1）不足5吨时： （元 ，
超过5吨时： （元 ；
（2） （元
则每月用水3.5吨，应交水费7元．
，
用水量超过了5吨，
（吨 ，（吨 ，
则该户居民用水7吨．
5．某商场现只有 ， 两种大米可以进行零售，如下图，点线与实线分别表示了在该商场购买 ， 种
大米所需的费用 （元 与购买数量 （斤 之间的函数关系．
（1）设购买 ， 种大米所需的费用分别为 ， 元，请分别写出 ， 与 之间的关系式，并写出自
变量的取值范围；
（2）小明的妈妈在该商场以零售方式购买了大米 100斤，所花费用恰好为273元，求 ， 种大米各购
买了多少斤？
【解答】解：（1）由函数图象中的数据得，
当 时， 是 的正比例函数，设 ，
，解得： ，
，
当 时， 是 的一次函数，设 ，
，解得： ，
；
设 ，，解得： ，
；
， ；
（2）设 种大米购买了 斤，则 种大米购买了 斤，共需费用为 元，则
①当 时， ，
令 ，得， ，解得， ．
因为， 的值在 的范围内，所以符合题意，此时， ．
②当 时， ，
令 ，得， ，解得， ．
因为， 的值在 的范围内，所以，符合题意，此时， ．
答： 、 种大米分别购买了10斤、90斤或25斤、75斤．
6． 、 两家物流公司为了吸引顾客，推出不同的优惠方案，其中 公司原运费是5元 千克，现按8折
计费． 公司原运费是6元 千克，优惠方案为：10千克以内不优惠，超过10千克部分按5折计费．
（1）以 （单位：千克）表示商品重量， （单位：元）表示运费，分别就两家公司的优惠方案写出 关
于 的函数解析式；
（2）在同一直角坐标系中画出（1）中两个函数的大致图象．
【解答】解：（1） 公司： ，
公司： ；
（2）如图所示：7．某城市居民用水实行阶梯收费，每户每月用水量如果未超过15吨，按每吨2元收费．如果超过15吨，
未超过的部分仍按每吨2元收费，超过部分按每吨2.8元收费．设某户每月用水量为 吨，应收水费为 元．
（1）分别写出当每月用水量未超过15吨和超过15吨时， 与 之间的函数表达式；
（2）当某月用水量为20吨，求该月应交的水费；
（3）若该城市某用户5月份和6月份共用水50吨，且5月份的用水量不足15吨，两个月一共交水费120
元，求该用户5月份和6月份分别用水多少吨？
【解答】解：（1）由题意可得，
当 时， ，
当 时， ，
即当 时， ，当 时， ；
（2）当 时，
，
即当某月用水量为20吨，该月应交的水费为44元；
（3）设5月份用水 吨，
由题意可得， ，
解得 ，
，
答：该用户5月份和6月份分别用水10吨、40吨．
8．为鼓励居民节约用电，某市电力公司采用分段计费方式计算电费；每月用电不超过 180度时，按每度
0.5元计费；每月用电超过180度但不超过280度时，其中的180度仍按原标准收费，超过部分按每度0.6元计费．收费标准如下表：
用电量 不超过180度 超过180度不超过 超过280度的部分
280度的部分
收费标准（元 0.5 0.6 0.8
度）
（1）若小陈家每月交电费 元，每月用电量为 度，用含 的代数式表示电费 为：
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ．
（2）小陈家第三季度交电费132元，求小陈家第三季度用电多少度？
【解答】解：（1）根据题意得：
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
故答案为： ； ； ；
（2）由 代入 ，可得 ．
小陈家第三季度用电250度．
题型二 行程问题
9．如图1， ， 两地之间有一条笔直的道路， 地位于 ， 两地之间．甲从 地出发驾车驶往 地
乙从 地出发驾车驶向 地．在行驶过程中，乙由于汽车故障，换乘客车（换乘时间忽略不计）继续前行
并与甲同时到达 地．图2中线段 和折线段 分别表示甲、乙两人与 地的距离 与甲行驶时
间 的变化关系，其中 与 交于点 ．
（1） ， 两地相距 6 0 ，乙比甲晚出发 ；
（2）求甲，乙两人的驾车速度；（3）求当 为何值时，甲，乙相距 ．
【解答】解：（1）由图象得：
， 两地相距 ，乙比甲晚出发 ，
故答案为：60，1；
（2）甲的驾车速度为： ，
乙的驾车速度为： ，
答：甲的驾车速度为 ，乙的驾车速度为 ；
（3）分两种情况，① 时，
，
解得： ， ，
② 时，
乙的速度为 ，
，
，
综上，当 或3.5或6时，甲，乙相距 ．
10．在抗击新冠肺炎疫情期间，司机小张开车免费将志愿者从 市送到 市，到达 市放下志愿者后立即
按原路原速返回 市（志愿者下车时间忽略不计），而快递员小李则骑摩托车从 市向 市运送快递，他们出发时间相同，均沿两市间同一条公路匀速行驶，设两人行驶的时间为 ，两人相距 ，如图表
示 随 变化而变化的情况，根据图象解决以下问题：
（1） 、 两市之间的路程为 24 0 ；点 表示的实际意义是 ；
（2）小张开车的速度是 ；小李骑摩托车的速度是 ．
（3）试求出发多长时间后，两人相距 ．
【解答】解：（1）根据函数图象中的数据可得 、 两市之间的路程为 ， 表示的实际意义是出
发2小时小张与小李相遇；
故答案为：240；出发2小时小张与小李相遇；
（2）小张开车的速度为： ，小李骑摩托车的速度为： ．
故答案为：80；40；
（3）设出发 小时两人相距 ．有三种情况：
相遇前： ，解得 ；
相遇后小张未到达 市前： ，解得 ；
小张返回途中： ，解得 ；
答：出发1.5，2.5，4.5小时，两人相距 ．
11．我市一水果批发市场某商家批发苹果采取分段计价的方式，其价格如下表：
购买苹果数 （千克） 不超过50千克的部分 超过50千克的部分
10 8
每千克价格（元
（1）小刚购买苹果40千克，应付多少元？
（2）若小刚购买苹果 千克，用去了 元．分别写出当 和 时， 与 的关系式；
（3）计算出小刚若一次性购买80千克所付的费用比分两次共购买80千克（每次都购买40千克）所付的费用少多少元？
【解答】解：（1）由表格可得，
（元 ，
答：小刚购买苹果40千克，应付400元；
（2）由题意可得，
当 时， 与 的关系式是 ，
当 时， 与 的关系式是 ，
即当 时， 与 的关系式是 ；
（3）小刚若一次性购买80千克所付的费用为： （元 ，
分两次共购买80千克（每次都购买40千克）所付的费用为： （元 ，
（元 ，
答：小刚若一次性购买80千克所付的费用比分两次共购买80千克（每次都购买40千克）所付的费用少60
元．
12．笑笑和爸爸同时从自家出发沿相同的路线去外婆家，途中要经过集市．笑笑骑自行车直接去外婆家，
爸爸骑摩托车先把自家种的蔬菜拿到集市上卖完再去外婆家．图中的线段 和折线 分别表示笑笑
和爸爸从自家到外婆家过程中离自家的路程 （千米）与离自家时间 （分钟）的关系，请你根据图中给
出的信息，解决下列问题．
（1）笑笑家距离集市 4 千米，笑笑家距离外婆家 千米；爸爸骑摩托车从自家到集市的速度是
千米 时，笑笑骑自行车的速度是 千米 时．
（2）笑笑从自家出发到集市用了多少时间？
（3）爸爸卖完菜后，以60千米 时的速度赶到外婆家，结果比笑笑晚到了2分钟，请你计算爸爸卖菜用
了多少时间？【解答】（1）由题意可知，笑笑家距离集市4千米，笑笑家距离外婆家10千米；
爸爸骑摩托车从自家到集市的速度是： （千米 时），笑笑骑自行车的速度是：
（千米 时）．
故答案为：4；10；40；15；
（2）笑笑从自家出发到集市用的时间为： （分钟）；
（3） 爸爸比笑笑晚到了2分钟，
爸爸到达的时间为42分钟，
爸爸从集市到外婆家的路程为： （千米），速度时60千米 时，
爸爸从集市到外婆家所用的时间为： （小时） （分钟），
爸爸卖菜用的时间为： （分钟）．
13．已知 、 两地相距600米，甲、乙两人同时从 地出发前往 地，出发2分钟后，乙减慢了速度，
最终比甲晚到，两人所走路程 （米 与行驶时间 （分 之间的关系如图所示，请回答下列问题：
（1）求甲的速度为多少米 分？
（2）求乙减慢速度后，路程 与行驶时间 之间的关系式？
（3）在甲到达 地前，求乙行驶多长时间时，甲、乙两人相距50米？
【解答】解：（1）由图象可得，甲的速度为： （米 分）；
（2）设乙减慢速度后函数关系式为 ，
把 和 代入 得，
，
解得： ，
乙减慢速度后函数关系式为 ；
（3）①乙改变速度之前速度为： （米 分），
，
解得： ；
乙改变速度之后， ， ，
当甲、乙两人相距50米时， ，
②若 ，即 ，
解得： ．
③若 ，即 ，
解得： ，
综上所述，乙行驶1分钟3分钟或5分钟时，甲、乙两人相距50米．
14．甲，乙两地相距480千米，货车和轿车先后从甲地出发驶向乙地，其中货车先出发0.5小时，如图，
线段 表示货车离甲地的距离 （千米）与货车行驶时间 （小时）之间的图象关系，折线 表示轿
车离甲地的距离 （千米）与货车行驶时间 （小时）之间的图象关系，根据图象解答下列问题：
（1）货车的速度 8 0 千米 小时， （用含 的代数式表示）；（2）①当 时，求 （千米）与货车行驶时间 （小时）的关系式；
②当轿车追上货车时，求 的值．
（3）轿车追上货车后，两车继续行驶至乙地，当两辆车相距20千米时，求 的值．
【解答】解：（1）货车的速度为： （千米 小时），
；
故答案为：80； ；
（1）①当 时，设 （千米）与货车行驶时间 （小时）的关系式为设 ，
根据题意，得 ，
解得 ，
所以 ；
当 时，设 ，
根据题意，得 ，
解得 ，所以 ，
综上所述， ；
②由图得，在 中相遇，令 ，
得 ，
解得 ，
即 时轿车追上货车；
（3）当轿车在货车前20千米时， ，解得 ；
当轿车到达终点，货车离终点20千米时， ，解得 ．
答：车追上货车后，两车继续行驶至乙地，当两辆车相距20千米时， 或 ．
15．甲、乙两车从 城出发沿一条笔直公路匀速行驶至 城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开 城的
距离 （千米）与甲车行驶的时间 （小时）之间的函数关系如图所示．
（1） ， 两城相距 30 0 千米，乙车比甲车早到 小时；
（2）甲车出发多长时间与乙车相遇？
（3）若两车相距不超过30千米时可以通过无线电相互通话，则两车都在行驶过程中可以通过无线电通话
的时间有多长？
【解答】解：（1）由图象可得，
， 两城相距300千米，乙车比甲车早到 （小时），
故答案为：300，1；
（2）由图象可得，
甲车的速度为 （千米 时），乙车的速度为 （千米 时），设甲车出发 小时与乙车相遇，
，
解得 ，
即甲车出发2.5小时与乙车相遇；
（3）设甲车出发 小时时，两车相距30千米，
由题意可得， ，
解得 或 ，
（小时），
即两车都在行驶过程中可以通过无线电通话的时间有 小时．
16．如图， ， 两地相距50千米，甲于某日下午1时骑自行车从 地出发骑往 地，乙也于同日下午
骑摩托车按相同路线从 地出发开往 地，图中的折线 和线段 分别表示甲与乙所行驶的路程 和
时间 的关系．根据图象回答下列问题：
（1）甲出发 1 小时，乙才开始出发；
（2）乙比甲早到 小时；
（3）甲从下午2时到5时的平均速度是 千米 小时；乙的平均速度是 千米 小时；
（4）请你根据图象上的数据，求乙出发后用多长时间就追上甲？
【解答】解：（1）由图象知：甲下午1时出发，乙下午2时出发，
所以甲出发1小时，乙才出发，故答案为：1；
（2）甲5时到达，乙3时到达，
所以乙更早，早到2小时，
故答案为：2；
（3）乙的速度 （千米 小时），
甲的平均速度 （千米 小时），
故答案为：10，50；
（4）设乙出发 小时就追上甲，
根据题意得： ，
，
答：乙出发0.5小时就追上甲．
题型三 方案比较问题
17．暑期将至，某游泳馆面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下．
方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次游泳费用按六折优惠；
方案二：不购买学生暑期专享卡，每次游泳费用按八折优惠．
设某学生暑期游泳 （次 ，按照方案一所需费用为 （元 ，且 ；按照方案二所需费用为
（元 ，且 ．其函数图象如图所示．
（1）求 和 的值；
（2）八年级学生小华计划暑期前往该游泳馆游泳8次，应选择哪种方案所需费用更少？请说明理由．【解答】解：（1）根据题意，得：
，解得 ，
方案一所需费用 与 之间的函数关系式为 ，
， ；
（2） 打折前的每次游泳费用为 （元 ，
；
，
当游泳8次时，
选择方案一所需费用： （元 ，
选择方案二所需费用： （元 ，
，
选择方案一所需费用更少．
18．黄埔区某游泳馆推出以下两种收费方式．
方式一：顾客不购买会员卡，每次游泳付费40元．
方式二：顾客先购买会员卡，每张会员卡800元，仅限本人一年内使用，凭卡游泳，每次游泳再付费20元．
设你在一年内来此游泳馆游泳的次数为 次，选择方式一的总费用为 （元 ，选择方式二的总费用为（元 ．
（1）请分别写出 ， 与 之间的函数表达式；
（2）如果你在一年内来此游泳馆游泳的次数超过60次，为省钱，你选择哪种方式？
【解答】解：（1）当游泳次数为 时，
方式一费用为： ，
方式二的费用为： ；
（2）若一年内来此游泳馆游泳的次数为60次，
方式一的费用为： （元 ，
方式二的费用为： （元 ，
，
在一年内来此游泳馆游泳的次数超过60次，为省钱，应选择方式二．
19．某电信公司的手机的 类收费标准如下：不管通话时间多长，每部手机每月必须缴月租费 12元，另
外，通信费按0.2元 计． 类收费标准如下：没有月租费，但通话费按0.25元 计．
（1）请分别写出 类收费标准每月应缴费用 （元 与通话时间 之间的关系式和 类收费标准每
月应缴费用 （元 与通话时间 之间的关系式．
（2）每月通话多长时间，按 、 两类收费标准缴费，所缴话费相等？
（3）若每月平均通话时间为 ，你会选择哪类收费方式？
【解答】解：（1）由题意可得，
，
，
即 类收费标准每月应缴费用 （元 与通话时间 之间的关系式是 ， 类收费标准每月应缴费用 （元 与通话时间 之间的关系式是 ；
（2）令 ，
解得 ，
即每月通话240分钟时，按 、 两类收费标准缴费，所缴话费相等；
（3）方法一： ，
每月平均通话时间为 ，选择 类收费方式；
方法二：当 时， ， ，
，
每月平均通话时间为 ，选择 类收费方式．
20．某单位计划“元旦”组织员工到某地旅游， 、 两旅行社的服务质量相同，且组织到该地旅游的价
格都是每人300元．该单位在联系时， 旅行社表示可给予每位旅客七五折优惠， 旅行社表示可免去一
位旅客的费用，其余八折优惠．
（1）当该单位旅游人数多少时，支付给 、 两旅行社的总费用相同．
（2）若该单位共有30人参加此次旅游，应选择哪家旅行社，使总费用更少？
【解答】解：（1）设 旅行社费用为 ， 旅行社费用为 ，该单位旅游人数为 ，
由题意得：
，
，（2分）
令 ，即 ，解得： ，
答：该单位的旅游人数为16人时， 、 两家旅行社所收费用相同；
（2）若选择 旅行社， 元
若选择 旅行社， 元
应选 旅行社．题型四 综合运用2个函数图像解决问题
21．目前全国各地都在积极开展新冠肺炎疫苗接种工作，某市接到批量生产疫苗任务，要求 5天内加工完
成22万支疫苗，某药厂安排甲、乙两车间共同完成加工任务，乙车间加工中途停工一段时间维修设备，然
后改变加工效率继续加工，直到与甲车间同时完成加工任务为止，设甲乙两车间各自生产疫苗 （万支）
与甲车间加工时间 （天 之间的关系如图1所示；未生产疫苗 （万只）与甲加工时间 （天 之间的关
系如图2所示，请结合图象回答下列问题：
（1）甲车间每天生产疫苗 2 万支， ．
（2）求乙车间维修设备后，乙车间生产疫苗数量 （万支）与 （天 之间函数关系式．
（3）若5.5万疫苗恰好装满一辆货车，那么加工多长时间装满第一辆货车？再加工多长时间恰好装满第二
辆货车？
【解答】解：（1）由图象可知，第一天甲乙共加工 （万支），第二天，乙停止工作，甲单
独加工 （万支），
则乙一天加工 （万支）． ，
故答案为：2，1.5；
（2）设乙车间维修设备后，乙车间生产疫苗数量 （万支）与 （天 之间函数关系式为 ，把
， 代入，
得 ，解得 ，
；
（3）由图2可知，
当 时，恰好是第二天加工结束．
当 时，两个车间每天加工速度为 （万支），
加工两天装满第一辆货车，再过1天装满第二辆货车．
22．镇海制米厂接到加工大米的任务，要求5天内加工完220吨大米，制米厂安排甲、乙两车间共同完成
加工任务．乙车间加工中途停工一段时间维修设备，然后改变加工效率继续加工，直到与甲车间同时完成
加工任务为止．设甲、乙两车间各自加工大米数量 （吨 与甲车间加工时间 （天 之间的关系如图1所
示；未加工大米 （吨 与甲加工时间 （天 之间的关系如图2所示，请结合图象回答下列问题：
（1）甲车间每天加工大米 2 0 吨， ；
（2）求乙车间维修设备后，乙车间加工大米数量 （吨 与 （天 之间函数关系式；
（3）若55吨大米恰好装满一节车厢，那么加工多长时间装满第一节车厢？再加工多长时间恰好第二节车
厢和第三节车厢都装满？
【解答】解：（1）由图象可知，第一天甲乙共加工 吨，第二天，乙停止工作，甲单独加工
吨，
则乙一天加工 吨． ，故答案为：20，15；
（2）设 ，
把 ， 代入，
，
解得 ，
；
（3）由图2可知，
当 时，恰好是第二天加工结束．
当 时，两个车间每天加工速度为 （吨 天），
再加工2天装满第二节车厢和第三节车厢．
23．王老师和小颖住同一小区，小区距离学校2400米．王老师步行去学校，出发10分钟后小颖才骑共享
单车出发．小颖途经学校继续骑行若干米到达还车点后，立即跑步返回学校．小颖跑步比王老师步行每分
钟快70米．设王老师步行的时间为 （分钟），图1中线段 和折线 分别表示王老师和小颖离
开小区的路程 （米 与 （分钟）的关系：图2表示王老师和小颖两人之间的距离 （米 与 （分钟）
的关系（不完整）．
（1）求王老师步行的速度和小颍出发时王老师离开小区的路程；
（2）求小颖骑共享单车的速度和小颖到达还车点时王老师、小颖两人之间的距离；
（3）在图2中，画出当 时 关于 的大致图象（要求标注关键数据）．【解答】解：（1）由图可得，
王老师步行的速度为： （米 分），
小颖出发时甲离开小区的路程是 （米 ，
答：王老师步行的速度是80米 分，小颍出发时王老师离开小区的路程是800米；
（2）设直线 的解析式为 ，
，得 ，
直线 的解析式为 ，
当 时， ，
则小颍骑自行车的速度为： （米 分），
小颍骑自行车的时间为： （分钟），
小颍骑自行车的路程为： （米 ，
当 时，王老师走过的路程为： （米 ，
小颍到达还车点时，王老师、小颖两人之间的距离为： （米 ；
答：小颍骑自行车的速度是180米 分，小颍到达还车点时王老师、小颖两人之间的距离是700米；
（3）小颍跑步速度为： （米 分），
小颍到达学校用的时间为： （分 ，
当 时 关于 的函数的大致图象如右图所示．24．甲乙两位老师同住一小区，该小区与学校相距2000米．甲从小区步行去学校，出发10分钟后乙再出
发，乙从小区先骑公共自行车，骑行若干米到达还车点后，立即步行走到学校．已知乙骑车的速度为 170
米 分，甲步行的速度比乙步行的速度每分钟快5米．设甲步行的时间为 （分 ，图1中线段 与折线
分别表示甲、乙离小区的路程 （米 与甲步行时间 （分 的函数关系的图象；图2表示甲、乙
两人之间的距离 （米 与甲步行时间 （分 的函数关系的图象（不完整）．
根据图1和图2中所给的信息，解答下列问题：
（1）求甲步行的速度和乙出发时甲离开小区的路程；
（2）求直线 的解析式；
（3）在图2中，画出当 时， 关于 的函数的大致图象．
【解答】解：（1）由图可知，
甲步行的速度为： （米 分），
乙出发时甲离开小区的路程是 （米 ，
答：甲步行的速度是80米 分，乙出发时甲离开小区的路程是800米；
（2） （米 ，
则点 的坐标为 ，设直线 对应的解析式为 ，
，得 ，
即直线 的解析式为 ；
（3） 甲步行的速度比乙步行的速度每分钟快5米，甲步行的速度是80米 分，
乙步行的速度为 （米 分），
则乙到达学校的时间为： （分钟），
当乙到达学校时，甲离学校的距离是： （米 ，
则当 时， 关于 的函数的大致图象如下图所示：
25．甲骑自行车，乙乘坐汽车从 地出发沿同一路线匀速前往 地，甲先出发设甲行驶的时间为 ，甲、
乙两人距出发点的路程 、 关于 的函数图象如图1所示，甲、乙两人之间的距离 关
于 的函数图象如图2所示，请你解决以下问题：（1）甲的速度是 1 0 ，乙的速度是 ．
（2） ， ；
（3）甲出发多少时间，甲、乙两人第二次相距 ．
【解答】解：（1）由图可得，
甲的速度为： ，
乙的速度为： ．
故答案为：10，25；
（2）由图可得，
， ．
故答案为： ，5；
（3）由题意可得，
前 ，甲行驶的路程为： ，
，
，
，
则甲、乙两人路程差为 是在甲乙相遇之前，
即甲出发 时间，甲、乙两人第二次相距 ．26．小明从家出发沿一条笔直的公路骑自行车前往图书馆看书，他与图书馆之间的距离 与出发时间
之间的函数关系如图1中线段 所示，在小明出发的同时，小明的妈妈从图书馆借书结束，沿同一
条公路骑电动车匀速回家，两人之间的距离 与出发时间 之间的函数关系式如图 2中折线段
所示．
（1）小明骑自行车的速度为 1 6 、妈妈骑电动车的速度为 ；
（2）解释图中点 的实际意义，并求出点 的坐标；
（3）求当 为多少时，两车之间的距离为 ．
【解答】解：（1）由题意可得：小明速度
设妈妈速度为
由题意得： ，
，
答：小明的速度为 ，妈妈的速度为 ，
故答案为：16，20；
（2）由图象可得：点 表示妈妈到了甲地，此时小明没到，
点 的横坐标 ，
点 的纵坐标
点 ， ；
（3）根据题意得， 或 ，解得： 或 ，
答：当 为 或 时，两车之间的距离为 ．
题型五 一次函数最值问题（选做）
27．在抗洪抢险救灾中，某地粮食局为了保证库存粮食的安全，决定将甲、乙两个仓库的粮食，全部转移
到没有受洪水威胁的 ， 两个仓库，已知甲库有粮食100吨，乙库有粮食80吨，而 库的容量为60吨，
库的容量为120吨
（1）填空：
若从甲库运往 库粮食50吨，
①从甲库运往 库粮食 5 0 吨；
②从乙库运往 库粮食 吨；
③从乙库运往 库粮食 吨；
（2）填空：
若从甲库运往 库粮食 吨，
①从甲库运往 库粮食 吨；
②从乙库运往 库粮食 吨；
③从乙库运往 库粮食 吨；
（3）从甲、乙两库到 ， 两库的路程和运费如表：（表中“元 吨 千米”表示每吨粮食运送1千米所
需人民币）．
路程（千米） 运费（元 吨 千米）
甲库 乙库 甲库 乙库
库 20 15 12 12
库 25 20 10 8
写出将甲、乙两库粮食运往 ， 两库的总运费 （元 与 （吨 的函数关系式，并求出当从甲、乙两库
各运往 ， 两库多少吨粮食时，总运费最省，最省的总运费是多少？
【解答】解：（1）①从甲库运往 库粮食： 吨，
②从乙库运往 库粮食 吨，
③从乙库运往 库粮食 吨．
（2）①从甲库运往 库粮食 吨；故答案为： ；
②从乙库运往 库粮食 吨；
故答案为： ；
③从乙库运往 库粮食 吨；
故答案为： ；
（3）依题意有：若甲库运往 库粮食 吨，则甲库运到 库 吨，乙库运往 库 吨，乙库
运到 库 吨，
则 ，
解得： ，
从甲库运往 库粮食 吨时，总运费为：
；
从乙库运往 库粮食 吨，
，
此时 ，
，
，
随 的增大而减小，
当 时， 取最小值， ，最小值是37200，
答：从甲库运往 库60吨粮食，从甲库运往 库40吨粮食，从乙库运往 库80吨粮食时，总运费最省，
最省的总运费是37200元．
28．抗震救灾中，某县粮食局为了保证库存粮食的安全，决定将甲、乙两个仓库的粮食，全部转移到具有较强抗震功能的 、 两仓库．已知甲库有粮食100吨，乙库有粮食80吨，而 库的容量为70吨，
库的容量为110吨．从甲、乙两库到 、 两库的路程和运费如下表：（表中“元 吨 千米”表示每
吨粮食运送1千米所需人民币）
路程（千米） 运费（元 吨 千
米）
甲库 乙库 甲库 乙库
库 20 15 12 12
库 25 20 10 8
（1）若甲库运往 库粮食 吨，请写出将粮食运往 、 两库的总运费 （元 与 （吨 的函数关系式；
（2）当甲、乙两库各运往 、 两库多少吨粮食时，总运费最省，最省的总运费是多少？
【解答】解：（1）依题意有：若甲库运往 库粮食 吨，则甲库运到 库 吨，乙库运往 库
吨，乙库运到 库 吨．
则 ，解得： ．
其中
（2）上述一次函数中
随 的增大而减小
当 吨时，总运费最省
最省的总运费为： （元
答：从甲库运往 库70吨粮食，往 库运送30吨粮食，从乙库运往 库0吨粮食，从乙库运往 库80
吨粮食时，总运费最省为37100元．
29．今年夏天将十分炎热．和盛堂商场为了抓住夏季衬衫热销的契机，决定用30000元购进 、 、 三
种品牌衬衫共200件，并且购进的每一种衬衫的数量都不少于40件．设购进 种型号的衬衣 件，购进种型号的衬衣 件，三种品牌的衬衫的进价和售价如表所示：
型号
进价（元 件） 100 180 140
售价（元 件 170 260 240
（1）直接用含 、 的代数式表示购进 种型号衬衣的件数 ，其结果可表示为 ；
（2）求 与 之间的函数关系式；
（3）根据（1）、（2），写出 种型号衬衣的件数 与 之间的函数关系式；
（4）如果商场能够将购进的这批衬衫全部售出，但在销售这些衬衫的过程中还需要另外支出空调费、管
理费等各种费用共计2000元．
①求利润 （元 与 （件 之间的函数关系式；
②求商场能够获得的最大利润．
【解答】解：（1） 、 、 三种品牌的衬衫共200件，购进 种型号的衬衣 件，购进 种型号的衬
衣 件，
购进 种型号衬衣的件数 件，
故答案为： ；
（2）由题意得： ，
，
与 之间的函数关系式为 ；
（3）根据（1）、（2）， ；
（4）① ，
答：利润 （元 与 （件 之间的函数关系式为 ；②由题意得： ，
解得： ，
又 ，
随 的增大而减小，
当 时， （元 ，
答：市场能获得的最大利润为15000元．
30．“绿水青山就是金山银山”，为了保护环境和提高果树产量，某果农计划从甲、乙两个仓库用汽车向
， 两个果园运送有机化肥，甲、乙两个仓库分别可运出80吨和100吨有机化肥； ， 两个果园
分别需用110吨和70吨有机化肥．两个仓库到 ， 两个果园的路程如表所示：
路程（千米）
甲仓库 乙仓
库
果园 15 25
果园 20 20
设甲仓库运往 果园 吨有机化肥，若汽车每吨每千米的运费为2元，
（1）根据题意，填写下表．
运量（吨 运费（元
甲仓库 乙仓库 甲仓库 乙仓库
果园
果园
（2）设总运费为 元，求 关于 的函数表达式，并求当甲仓库运往 果园多少吨有机化肥时，总运费最
省？最省的总运费是多少元？
【解答】解：（1）填表如下：
运量（吨 运费（元
甲仓库 乙仓库 甲仓库 乙仓库
果园
果园故答案为 ， ， ， ；
（2） ，
即 关于 的函数表达式为 ，
，且 ，
当 时，总运费 最省，此时 ．
故当甲仓库运往 果园80吨有机化肥时，总运费最省，最省的总运费是6700元．
