文档内容
专题 12 一元一次方程的概念
考点一 判断各式是否是方程 考点二 列方程
考点三 方程的解 考点四 等式的性质
考点五 一元一次方程的概念 考点六 利用一元一次方程的概念求字母的值
考点一 判断各式是否是方程
例题：（2022·四川资阳·七年级期末）下列各式中：① ；② ；③ ；④ ；
⑤ ；⑥ ，是方程的是（ ）
A．①④ B．①②⑤ C．①④⑤ D．①②④⑤
【答案】C
【分析】根据方程的定义即可一一判定．
【详解】解：含有未知数的等式叫做方程，
① 是方程；
② ，不含有未知数，故不是方程；
③ 不是等式，故不是方程；
④ 是方程；
⑤ 是方程；
⑥ 不是等式，故不是方程；
故方程有：①④⑤，
故选：C．
【点睛】本题考查了方程的定义，熟练掌握和运用方程的定义是解决本题的关键．
【变式训练】
1．（2022·吉林·长春外国语学校七年级阶段练习）下列四个式子中，是方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】根据方程的定义即可求出答案．
【详解】解：∵方程是指含有未知数的等式，
∴只有B选项是方程，
故选B．
【点睛】本题考查方程的定义，解题的关键是熟练运用方程的定义．
2．（2022·河南三门峡·七年级期末）在① ；② ；③ ；④ 中，方
程共有（ ）
A．1个 B．3个 C．2个 D．4个
【答案】C
【分析】含有未知数的等式叫方程，根据方程的定义解答．
【详解】解：方程有③ ；④ ，
故选：C．
【点睛】此题考查了方程的定义，正确理解定义是解题的关键．
考点二 列方程
例题：（2022·河北·邢台市开元中学七年级阶段练习）根据“x的3倍与5的和比x的 少2”列出方程是
（ ）
A．3x+5= +2 B．3x+5= -2
C．3（x+5）= -2 D．3（x+5）= +2
【答案】B
【分析】仔细审题，x的3倍即是3x，x的 即是 ，由此根据可列出方程．
【详解】解：x的3倍与5的和是3x+5，比x的 少2是 ，
所以由题意可列方程为： ，
故选：B．
【点睛】本题考查列一元一次方程，列方程解应用题的关键是找出题目中的相等关系．【变式训练】
1．（2022·浙江杭州·一模）在地球表面以下，每下降1km温度就上升约10℃．某日地表温度是18℃，地
下某处A的温度是25℃．设A处在地表以下x千米，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题意列出方程即可．
【详解】解：∵A处在地表以下x千米，每下降1km温度就上升约10℃
∴从地表到地下x千米要增加10x℃．
∵地表温度是18℃，地下某处A的温度是25℃，
∴ ．
故选：A．
【点睛】本题考查列方程，正确理解题意是解题关键．
2．（2022·湖南株洲·七年级期末）“ 的3倍与7的差等于12”可列方程为____________________．
【答案】
【分析】根据该数的3倍与7的差等于12，即可得出关于x的一元一次方程，此问得解
【详解】解：根据题意得，3x﹣7＝12
故答案为：3x﹣7＝12．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关
键．
考点三 方程的解
例题：（2022·福建泉州·七年级期末）下列方程中，解是 的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】将 分别代入选项，能使等式依然成立的即为正确答案．
【详解】A、 ，故A选项错误，不符合题意；
B、 ，故B选项错误，不符合题意；
C、 ，故C选项正确，符合题意；D、 ，故D选项错误，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，将解代入方程验证是解题关键．
【变式训练】
1．（2022·安徽·肥西县严店初级中学七年级阶段练习）已知 是关于x的方程 的解，则a的值
是（ ）
A． B．0 C．2 D．3
【答案】C
【分析】直接利用方程的解的定义代入求解即可．
【详解】解：∵ 是关于x的方程 的解，
∴ ，
解得 ，
故选：C
【点睛】本题考查了方程的解的定义，能使方程的左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解，理解方程
解的定义是关键．
2．（2022·福建省尤溪第一中学文公分校七年级期末）已知 是方程 的解，则 ______．
【答案】5
【分析】将 代入方程，求出a即可．
【详解】解：把 代入方程得： ，
解得： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查方程的解的定义．掌握方程的解就是使等式成立的未知数的值是解题关键．
考点四 等式的性质
例题：（2022·河北·安新县第二中学七年级阶段练习）下列等式的变形不正确的是（ ）
A．若2a﹣3＝b﹣3，则2a＝b B．若x＝y，则
C．若（m2+1）a＝﹣（m2+1），则a＝1 D．若mx＝my，则1﹣mx＝1﹣my
【答案】C
【分析】根据等式的基本性质，等式两边同时加上或者减去同一个整式，或者等式两边同时乘或除以同一
个不为0的整式，等式仍然成立，以此判断即可得出正确选项．【详解】A、若2a﹣3＝b﹣3，等式两边同时＋3，则2a＝b，选项正确，不符合题意；
B、若x＝y，因为 ，等式两边同时除以 ，则 ，选项正确，不符合题意；
C、若（m2+1）a＝﹣（m2+1），因为 ，等式两边同时除以 ，则a＝-1，选项错误，符合题意；
D、若mx＝my，则等式两边×（-1），得﹣mx＝﹣my，两边同时+1，则1﹣mx＝1﹣my，选项正确，不符合
题意；
故选C．
【点睛】本题考查了等式基本性质的理解，熟练掌握等式的基本性质是本题的关键．
【变式训练】
1．（2022·河南·南阳市第九中学校七年级阶段练习）下列方程变形正确的是（ ）
A．由4＋x＝7得x＝7＋4 B．由3x﹣2（x﹣1）＝8得3x﹣2x﹣2＝8
C．由5x＝﹣6得x＝﹣ D．由 ＝2得8x﹣7（x﹣1）＝112
【答案】D
【分析】根据等式基本性质和去括号法则逐项进行判断即可．
【详解】解：A、左边减4，右边加4，故A不符合题意；
B、括号前是负数去括号都变号，故B不符合题意；
C、两边除以不同的数，故C不符合题意；
D、方程 ＝2两边都乘以56，可得8x﹣7（x﹣1）＝112，故D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了等式的基本性质和去括号法则，熟练掌握等式基本性质，是解题的关键．
2．（2021·重庆·垫江第八中学校七年级阶段练习）以下等式变形不正确的是（ ）
A．由 ，得到 B．由 ，得到
C．由 ，得到 D．由 ，得到
【答案】D
【分析】根据等式的性质等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；等式的两边同时乘以
或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立．
【详解】解：A、两边都加2，等式仍成立，故A正确，不符合题意；
B、两边都加3，等式仍成立，故B正确，不符合题意；
C、两边都乘以a，等式仍成立，故C正确，不符合题意；D、当a≠0时，等式才成立，故D错误，符合题意 .
故选：D．
【点睛】本题主要考查了等式的基本性质．等式性质：1、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，
等式仍成立；2、等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立．
考点五 一元一次方程的概念
例题：（2021·山东·单县湖西学校七年级阶段练习）下列是一元一次方程的是（ ）
A．2＝3－1 B． C．x＋1＝5 D．－2
【答案】C
【分析】根据一元一次方程的通常形式是ax+b=0（a，b为常数，且a≠0），进行判断即可．
【详解】解：A．2=3-1，没有未知数，不是方程，故本选项不合题意；
B． ，不是方程，故本选项不合题意；
C．x+1=5是一元一次方程，故本选项符合题意；
D．-2不是方程，故本选项不合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义和一般形式是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校七年级阶段练习）下列各式中：①x2－4x=3；②3x－1=
；③x+2y=1；④xy－3=5；⑤5x－x=3，是一元一次方程的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【分析】根据一元一次方程的定义进行判断即可．
【详解】解：①x2－4x=3中未知数的最高次数是2，不是一元一次方程；
②3x－1= 符合一元一次方程的概念，是一元一次方程；
③x+2y=1中含有两个未知数，不是一元一次方程；
④xy－3=5中含有两个未知数，不是一元一次方程；
⑤5x－x=3符合一元一次方程的概念，是一元一次方程；
综上分析可知，是一元一次方程的有2个，故A正确．故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的定义，解题的关键是熟练掌握一元一次方程的定义，含有一个未
知数，且未知数的最高次数是一次的整式方程，是一元一次方程．
2．（2022·仁寿县长平初级中学校（四川省仁寿第一中学校南校区初中部）七年级期中）下列方程中，一
元一次方程共有( )个
①4x-3=5x-2；②3x-4y=5；③3x+1= ； ④ + =0；⑤ ；⑥x-1=12
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据一元一次方程的定义得出即可．
【详解】解：①4x−3＝5x−2，是一元一次方程，符合题意；
②3x-4y=5，含有2个未知数，不是一元一次方程，不合题意；
③3x＋1＝ ，分母含有字母，不是一元一次方程，不合题意；
④ + =0，是一元一次方程，符合题意；
⑤ ，未知数的最高次数是2，不是一元一次方程，不合题意；
⑥x−1＝12，是一元一次方程，符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都
是整式，这样的方程叫做一元一次方程，能熟记一元一次方程的定义是解此题的关键．
考点六 利用一元一次方程的概念求字母的值
例题：（2022·重庆·黔江区育才初级中学校七年级期中）若关于x的方程kx|k﹣1|﹣1＝0是一元一次方程，
则k的值为（ ）
A．2 B．1 C．0 D．0或2
【答案】A
【分析】根据一元一次方程的概念列出方程及不等式求解．
【详解】∵关于x的方程 是一元一次方程，
∴ ，且 ，解得： ，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元一次方程的概念，正确理解概念是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·四川·安岳县兴隆初级中学七年级期中）已知方程 是关于x的一元一次方程，则
m的值是______．
【答案】1
【分析】只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1的方程叫做一元一次方程，根据定义求解即可．
【详解】解：根据题意得： 且m＋1≠0，
解得：m＝1．
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不
是0，这是这类题目考查的重点．
2．（2021·江苏·盐城市大丰区实验初级中学七年级阶段练习）若关于x的方程 是一元一次
方程，则m的值是__．
【答案】
【分析】根据一元一次方程的定义（只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的整式方程叫
一元一次方程）即可求出答案．
【详解】解：根据题意可得： ，
解得：m=-1．
故答案为：-1．
【点睛】本题考查一元一次方程的定义，解题的关键是熟练运用一元一次方程的定义，本题属于基础题型．
一、选择题
1．（2021·河南·辉县市第一初级中学七年级期中）下列各选项中为一元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【分析】根据一元一次方程的定义逐项判断即可．
【详解】解：A. 含有2个未知数，不是一元一次方程；
B. 不含未知数，不是方程；
C.整理得 ，符合一元一次方程的定义，是一元一次方程；
D. 不是方程；
故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的
等式叫做一元一次方程．
2．（2020·江苏省新海高级中学七年级期末）下列等式变形正确的是（ ）
A．如果 ，那么 B．如果 ，那么
C．如果 ，那么 D．如果 ，那么
【答案】D
【分析】根据等式的性质求解即可．
【详解】解：A、如果 ，当 时， 不一定成立，变形错误，不符合题意；
B、如果 ，那么 ，变形错误，不符合题意；
C、如果 ，那么 ，变形错误，不符合题意；
D、如果 ，那么 ，变形正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了等式的性质，熟知等式的性质是解题的关键：等式两边同时加上或减去同一个数
或整式，等式仍然成立；等式两边同时乘以一个数或式子等式仍然成立；等式两边同时除以一个不为零的
数字或式子等式仍然成立．
3．（2022·江苏·常州外国语学校七年级期中）已知 是关于x的方程 的解，则a的值为
（ ）
A． B．1 C． D．3
【答案】B
【分析】直接将 代入 中即可得出 的值．【详解】解：∵ 是关于x的方程 的解，
∴ ，
解得： ，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解的定义，熟知一元一次方程的解即为能使方程成立的未知数的值是
解本题的关键．
4．（2021·河南·辉县市第一初级中学七年级期中）如果方程 是一个关于x的一元一次方
程，那么m的值是（ ）
A． B．2 C． D．1
【答案】C
【分析】根据一元一次方程的定义：含有一个未知数，未知数的次数为1，左右两边都是整式的等式，进
行计算即可．
【详解】解：由题意得： ，解得： ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ；
故选C．
【点睛】本题考查一元一次方程的定义．熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键．
5．（2022·福建·上杭县教师进修学校七年级期中）已知代数式 的值为7，则 的值为
（ ）
A． B． C．8 D．10
【答案】C
【分析】根据等式的性质得到 ，，然后整体代入法求解即可．
【详解】解：∵代数式 的值为7，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ．
故选C．
【点睛】本题考查了等式的性质，整体代入法求代数式的值，得到 是解答本题的关键．
6．（2022·湖北省水果湖第一中学七年级阶段练习）下列说法正确的个数是（ ）
①若 ， ，则 ；②近似数 精确到了百分位；
③若方程 是关于x的一元一次方程，则 ；
④使得 成立的x的值有无数个．
A．0个 B．1 个 C．2 个 D．3 个
【答案】B
【分析】利用反例对①进行判断；根据科学记数法对②进行判断；根据一元一次方程的定义对③进行判断；
解绝对值方程对④进行判断．
【详解】解：①若 ， ，则 ，故该说法错误；
②近似数 精确到了千位，故该说法错误；
③若方程 是关于x的一元一次方程，则有 ，所以 ，故该说法错误；
④对于 ，当 时，原方程可化为 ，解得 ；当 时，原方程可
化为 ，x为何值均成立；当 时，原方程可化为 ，解得 ．所以使得
成立的x的值有无数个，该说法正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了含绝对值的一次方程、科学记数法和近似数、一元一次方程的定义等知识，灵活
运用所学知识是解题关键．
二、填空题
7．（2022·陕西·西安市第二十六中学九年级期中）若 ，则 _________．
【答案】
【分析】等式两边同时除以 即可得解．【详解】解：将 两边同时除以 得
化简整理得
故答案为：
【点睛】本题考查了等式基本性质，等式两边同时除以一个不为零的数，等式仍然成立，熟练运用等式基
本性质是解题关键．
8．（2022·广西·梧州市黄埔双语实验学校七年级阶段练习）已知 是方程 的解，则m的值是
______．
【答案】2
【分析】把 代入已知方程列出关于 的新方程，通过解新方程即可求得 的值．
【详解】解：依题意，把 代入，得 ，
解得 ．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解的定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次
方程的解．
9．（2022·黑龙江·大庆市庆新中学期末）若方程 是一元一次方程，那么 ____．
【答案】
【分析】根据一元一次方程的定义求解即可．
【详解】解：∵方程 是一元一次方程，
∴ ，
解得 ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一元一次方程的定义和已知字母的值求代数式的值，利用一元一次方程的定义求解是
解题关键．
10．（2022·湖南·长沙市长郡双语实验中学七年级期中）已知 是关于x的一元一次
方程，则 ___________．
【答案】【分析】根据一元一次方程的概念可得x的指数 ，x的系数 ，由此可解．
【详解】解：∵ 是关于x的一元一次方程，
∴ ，且 ，
∴ ，且 ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查一元一次方程的概念：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是
整式，这样的方程叫做一元一次方程；解题的关键是能够根据一元一次方程的概念确定m应满足的条件．
11．（2022·福建·泉州科技中学七年级期末）已知 ，则代数式 的值为_________．
【答案】4
【分析】等式两边都除以2，得到 ，从而得到原式 ．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴原式 ．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了等式的性质，代数式求值，掌握等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；等式
两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式是解题的关键．
12．（2022·全国·七年级专题练习）如图所示，数轴上A、B、C三点所表示的数分别是a，6，c，已知
， ，且c是关于x的方程 的一个解，则m的值为_________．
【答案】-4
【分析】点B表示的数是6，则0B=6，即可求出OA的长度；由于a+c=0，则a、c互为相反数，OA=OC，
即可求出点C表示的数，将x=c代入方程即可求出m．
【详解】∵点B表示的数为6，∴OB=6，
∵AB=8，
∴OA=8-6=2，
由图可知，点A在负半轴，故a=-2，
∵a+c=0，
∴c=2，
∵c是关于x的方程 的一个解，
将x=2代入原方程得：（m-4）×2+16=0，
解得：m=-4，
故答案为：-4
【点睛】本题主要考查了数轴上的点，相反数的意义以及已知一元一次方程的解求参数，熟练地掌握数轴
上点的含义，相反数的意义以及解一元一次方程的方法是解题的关键．
三、解答题
13．（2020·甘肃兰州·七年级期末）已知（m＋1）x|m|＋2＝0是关于x的一元一次方程，求m的值；
【答案】m=1
【分析】只含一个未知数，并且未知数的次数是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程，
根据一元一次方程的定义列式计算.
【详解】解：由题意知：m+1≠0, |m|=1 ，
则m≠-1, m=1或m=-1，
则m=1
【点睛】本题考查一元一次方程的定义，根据满足定义的条件列式计算是解答此题的重要途径.
14．（2022·广东·广州市第二中学七年级期中）用等式的性质解下列方程：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用等式的性质，方程两边同时减4，即可解得方程 ；
（2）利用等式的性质，方程两边同时加2，再同时除以4，即可解得方程 ．
【详解】（1）解：方程两边同时减4，可得， ，
即 ；（2）解：方程两边同时加2，可得， ，
∴ ，
方程两边同时除以4，可得， ．
【点睛】本题考查了等式的性质，正确运用等式的性质是解题的关键．
15．（2022·全国·七年级单元测试）已知 是关于 的方程 的解，求 的值．
【答案】1
【分析】先将x=2代入方程求出m，再将m的值代入即可求解．
【详解】解：∵ 是关于x的方程 的解，
∴ ，
解得 ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了方程的解的含义的知识，掌握方程解的含义是解答本题的关键．
16．（2019·江西·鄱阳县第二中学七年级阶段练习）已知 是关于 的一元一次方程.
(1) 求 的值；
(2)若 是方程 的解，求 的值
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）根据一元一次方程的性质，即可得出 的值；
（2）首先将方程的解代入方程即可得出 ，然后代入所求式根据绝对值的性质即可得解.
【详解】（1）由已知，得
∴ ；
（2）由（1）知， 是方程的解，代入，得解得
∴
【点睛】此题主要考查一元一次方程的性质以及绝对值的性质，熟练掌握，即可解题.
17．（2022·黑龙江·哈尔滨市第四十七中学七年级阶段练习）方程的解的定义：使方程两边相等的未知数
的值．如果一个方程的解都是整数，那么这个方程叫做“立信方程”
(1)若“立信方程” 的解也是关于x的方程 的解，则 ____________；
(2)若关于x的方程 的解也是“立信方程” 的解，求n的值．
(3)关于x的方程 是“立信方程”，直接写出符合要求的正整数k的值．
【答案】(1)1
(2)
(3)8，10，26
【分析】（1）求出 的解，将之代入 求出m值即可．
（2）将 转化为 代入 即可求处n的值．
（3）先求 解的表达式，然后利用“立信方程”的解都是整数的定义找出正整数解即可．
（1）
解：∵
∴x = 0
把x = 0代入 得
，即
解得：m = 1
（2）
解：∵
∴
∵
由题意可知，关于x的方程 的解也是“立信方程” 的解．将 代入 得
，解得n = 5
（3）
解：解关于x的方程 得，
当 取1， ，17， 时，即k取8，10，－8，26时，x的值为整数．
∴符合要求的正整数k的值为8，10，26．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的解的应用，能根据立信方程的定义是解本题的关键．
18．（2021·四川省德阳中学校七年级阶段练习）我们规定，若关于x的一元一次方程 的解为
，则称该方程为“奇异方程”．例如： 的解为 ，则该方程 是“奇异方
程”．请根据上述规定解答下列问题：
(1)判断方程 ______（回答“是”或“不是”）“奇异方程”；
(2)若 ，有符合要求的“奇异方程”吗？若有，求b的值；若没有，请说明理由．
(3)若关于x的一元一次方程 和 都是“奇异方程”，求代数式 的值．
【答案】(1)不是
(2)有，b=
(3)
【分析】（1）解方程，并计算对应b-a的值与方程的解不相等，所以不是奇异方程；
（2）根据奇异方程的定义即可得出关于b的方程，解方程即可；
（3）根据奇异方程的概念列式得到关于m、n的两个方程，联立求解得到m、n的关系，然后代入化简后
的代数式进行计算即可求解．
(1)
∵5x=-8，
∴x=- ，
∵-8-5=-13，
- ≠−13，
∴5x=-8不是奇异方程；故答案为：不是；
(2)
∵a=3，
∴x=b-3，
∴b−3＝ ，
∴b＝ ，
即b= 时有符合要求的“奇异方程”；
(3)
∵关于x的一元一次方程 和 都是“奇异方程”，
∴mn+m=4，mn+n=- ，
两式相减得，m-n= ，
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，读懂题意，理解奇异方程的概念并根据概念列出方程是解题的关
键．
