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专题 21 复数（七大题型+模拟精练）
目录：
01 复数的有关概念
02 复数的几何意义
03 实系数有关的一元二次方程
04 复数的四则运算
05 复数与平面向量
06 复数的最值、取值范围问题
07 复数的三角表示
01 复数的有关概念
1．（2024·新疆·三模）复数 满足 ，则 的虚部为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高三上·云南·阶段练习）已知复数 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D． 的虚部为
3．（2024·山东青岛·三模）已知复数 满足 ，则 的虚部为（ ）
A．i B． C．1 D．
4．（2024·内蒙古呼伦贝尔·二模）若 ，纯虚数z满足 ，则 （ ）
A．2 B． C． D．02 复数的几何意义
5．（23-24高三下·湖北·开学考试）已知复数 满足 ，则复数 在复平面内对应的点位于
（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．（23-24高三上·湖北·期中）已知 为虚数单位， 为实数，复数 在复平面内对应的点为 ，
则“ ”是“点 在第二象限”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
7．（23-24高一下·广东江门·期末）已知复数 ，则复平面内点 满足 的
图形的面积是（ ）
A．2 B．4 C． D．
8．（2024·宁夏·二模）已知复数 满足 ，则 在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
9．（23-24高一下·辽宁·期中）在复平面内，复数 对应的点关于直线 对称，若 ，则
（ ）
A． B．5 C． D．1
03 实系数有关的一元二次方程
10．（2024·湖南岳阳·三模）若虚数单位 是关于 的方程 的一个根，则
（ ）
A． B．2 C． D．5
11．（23-24高三上·湖北武汉·期末）已知 是关于 的方程 （p， ）的一个根，则（ ）
A．0 B． C．2 D．1
12．（2024·全国·模拟预测）已知 ，其中 ，i为虚数单位，则以 为根的一个
一元二次方程是（ ）
A． B． C． D．
04 复数的四则运算
13．（2023·陕西榆林·模拟预测）已知复数 满足 （其中 为虚数单位），且 ，则
（ ）
A．2 B．±2 C． D．
14．（2024·安徽芜湖·模拟预测）已知复数z满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
15．（2024·四川宜宾·模拟预测）已知虚数 满足 ，且 是 的共轭复数，则下列结论错误的是
（ ）
A． B．
C． D．
16（多选）．（24-25高三上·山西大同·期末）已知复数 ，下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 B．
C． D．
17（多选）．（2024·山东·模拟预测）已知 ， 为复数，则（ ）
A． B．若 ，则C．若 ，则 的最小值为2 D．若 ，则 或
18（多选）．（2024·广西贵港·模拟预测）已知复数 ， ， ，则下列说法中正确的有（ ）
A．若 ，则 或 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
05 复数与平面向量
19．（2024·江苏南通·模拟预测）复数 与 分别表示向量 与 ，记表示向量 的复数为 ，
则 ．
20．（2024·全国·模拟预测）如图，复数 对应的向量为 ，且 ，则向量 在向量 上的投影
向量的坐标为（ ）
A． B． C． D．
21．（22-23高三下·重庆·阶段练习）向量 对应的复数为 ，把 绕点 按逆时针方向旋转
，得到 ，则 对应的复数为 （用代数形式表示）．
06 复数的最值、取值范围问题
22．（23-24高三下·全国·强基计划）复数列 ，且 ，则 的最大值是
．23．（23-24高一下·重庆璧山·阶段练习）已知复数 ，且 ，则 的最小值
是 ．
24．（23-24高三下·安徽合肥·阶段练习）已知复数z满足 ，则 的最小值为 ．
25．（2024·湖南永州·三模）已知复数 ， ，若 （ 为 的共
轭复数），则实数 的取值范围为 .
07 复数的三角表示
26．（23-24高三上·江苏·开学考试）已知复数z满足 ，且 ，则 =（ ）
A． B． C． D．
27．（20-21高三上·北京·强基计划）设 ，把复数 在复平面上对应的向量按
照顺时针方向旋转 后得到复数为 ，那么 （ ）
A． B．
C． D．
28．（2021·全国·三模）瑞士数学家欧拉被认为是历史上最伟大的数学家之一，他发现了欧拉公式
，它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系．特别是
当 时，得到一个令人着迷的优美恒等式 ，这个恒等式将数学中五个重要的数（自然对数的
底 ，圆周率 ，虚数单位 ，自然数的单位1和数字0）联系到了一起，若 表示的复数对应的点在第二
象限，则 可以为（ ）
A． B． C． D．一、单选题
1．（2023·陕西榆林·二模） （ ）
A．i B． C．1 D．
2．（2024·广西柳州·模拟预测）设复数 ， 在复平面内的对应点关于虚轴对称， ，则
（ ）．
A． B．5 C． D．8
3．（2024·四川内江·模拟预测）若复数 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．（2024·重庆九龙坡·三模）设 是关于 的方程 的两根其中 ，若 （
为虚数单位）.则 （ ）
A． B． C． D．2
5．（2024·浙江杭州·模拟预测）已知方程 （其中 为虚数单位）的两根分别为 ， ，则有
（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·山东烟台·三模）若复数z满足 ，则 的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
7．（2023·山西·模拟预测）设非零复数 和 在复平面内对应的向量分别为 和 ，其中O为原点，
若 为纯虚数，则（ ）A． B．
C． D．
8．（2024·云南曲靖·模拟预测）若复数 且 ，则满足 的复数
的个数为（ ）
A．0 B．2 C．1 D．4
二、多选题
9．（2024·江苏南通·模拟预测）已知 ， 都是复数，下列正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
10．（2024·河北沧州·模拟预测）复数 ，则下列说法正确的有（ ）
A． 在复平面内对应的点都位于第四象限
B． 在复平面内对应的点在直线 上
C．
D． 的最小值为4
11．（2025·江苏苏州·模拟预测）1843年，Hamilton在爱尔兰发现四元数．当时他正研究扩展复数到更高
的维次（复数可视为平面上的点）．他不能做到三维空间的例子，但四维则造出四元数．根据哈密顿记述，
他于10月16日跟妻子在都柏林的皇家运河上散步时突然想到的方程解．之后哈密顿立刻将此方程刻在
Broughant Bridge．对四元数 ， 的单位 ，其运算满足： ，
， ， ， ， ， ；记 ， ，
，定义 ，记所有四元数构成的集合为 ，则以下说法中正确的有（ ）A．集合 的元素按乘法得到一个八元集合
B．若非零元 ，则有：
C．若 ，则有：
D．若非零元 ，则有：
三、填空题
12．（2024·北京·三模）若 是纯虚数，则实数a的值为 .
13．（2024·广西·模拟预测）已知i为虚数单位，若非零复数z满足 ，则 ．
14．（2024·贵州贵阳·模拟预测）如果复数 ， ， ， 在复平面内
对应的点分别为 ， ， ， ，复数z满足 ，且 ，则
的最大值为 .
四、解答题
15．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）欧拉（1707-1783），他是数学史上最多产的数学家之一，他发现并证
明了欧拉公式 ，从而建立了三角函数和指数函数的关系，若将其中的 取作 就得到了欧
拉恒等式 ，它是令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个量联系起来，两个超越数——自
然对数的底数 ，圆周率 ，两个单位——虚数单位 和自然数单位 ，以及被称为人类伟大发现之一的 ，
数学家评价它是“上帝创造的公式”，请你根据欧拉公式： ，解决以下问题：
(1)将复数 表示成 （ ， 为虚数单位）的形式；(2)求 的最大值；
(3)若 ，则 ，这里 ，称 为 的一个
次单位根，简称单位根．类比立方差公式，我们可以获得 ，复数 ，
，求 的值．
16．（2024·贵州黔南·二模）1799年，哥廷根大学的高斯在其博士论文中证明了如下定理：任何复系数一
元 次多项式方程在复数域上至少有一根（ ）.此定理被称为代数基本定理，在代数乃至整个数学中起
着基础作用.由此定理还可以推出以下重要结论： 次复系数多项式方程在复数域内有且只有 个根（重根
按重数计算）.对于 次复系数多项式 ，其中 ， ， ，若方
程 有 个复根 ，则有如下的高阶韦达定理：
(1)在复数域内解方程 ；
(2)若三次方程 的三个根分别是 ， ， （ 为虚数单位），求 ， ，
的值；
(3)在 的多项式 中，已知 ， ， ， 为非零实数，
且方程 的根恰好全是正实数，求出该方程的所有根（用含 的式子表示）.
