文档内容
专题 14 分式运算与分式方程的七种考法
目录
解题知识必备.....................................................................................................................................................1
压轴题型讲练.....................................................................................................................................................2
类型一、分式值为0时求值，忽略分母不为0..................................................................................................2
类型二、利用分式的基本性质变形问题............................................................................................................4
类型三、整式与分式混合运算易错问题............................................................................................................5
类型四、自主取值再求值时，忽略分母或除式不能为0...................................................................................8
类型五、含零指数、负指数有关的计算问题...................................................................................................10
类型六、解分式方程不验根问题.....................................................................................................................12
类型七、分式方程的实际应用问题..................................................................................................................16
压轴能力测评（20题）....................................................................................................................................18
解题知识必备
1.分式的值为零的条件
分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．
2.分式的化简求值
先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果
要化成最简分式或整式．
【规律方法】分式化简求值时需注意的问题
1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，
代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”．
2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．
当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为
3.解分式方程
（1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
（2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：
①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解．
②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解．
所以解分式方程时，一定要检验．压轴题型讲练
类型一、分式值为0时求值，忽略分母不为0
例题：（2024七年级上·上海·专题练习）若分式 的值为零，则 的值为 ．
【变式训练1】（22-23八年级下·山东青岛·阶段练习）若分式 的值为零，则 ．
【变式训练2】（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）若分式 的值为 ，则 的值为 ．
【变式训练3】（2023秋·八年级单元测试）已知分式 ．
(1)若分式无意义，求x；
(2)若分式值为0，求x；
(3)若分式的值为整数，求整数x的值．
类型二、利用分式的基本性质变形问题
例题：（24-25八年级上·湖南郴州·期中）若把分式 中 都扩大3倍，则分式的值（ ）
A．扩大到原来的3倍 B．不变
C．扩大到原来的9倍 D．缩小到原来的
【变式训练1】（24-25八年级上·北京房山·期中）下列各式从左到右的变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2】（24-25八年级上·山东泰安·期中）不改变分式 的值，使分子、分母最高次项的
系数为正数，正确的是（ ）
A． B． C． D．
类型三、整式与分式混合运算易错问题
例题：（2024上·陕西延安·八年级统考期末）化简： ．【变式训练1】（2024上·上海松江·七年级统考期末）计算： ．
【变式训练2】（2024·陕西西安·一模）化简： ．
【变式训练3】（2023上·山东东营·八年级校考期中）计算题：
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) ．
类型四、自主取值再求值时，忽略分母或除式不能为0
例题：（23-24八年级上·甘肃庆阳·期末）先化简，再求值： ，再从 ， ，
， 中选择一个合适的数作为 的值代入求值．
【变式训练1】（2024·陕西西安·一模）先化简 ，再从 ，0， 中选取适合的数
字求这个代数式的值．
【变式训练2】（23-24八年级上·湖南益阳·期中）先化简，再求值： ，请从0，
1、2、3中选取一个合适的数作为x的值．
【变式训练3】（23-24八年级上·江西赣州·期末）先化简 ，并从0， ，2中选
一个合适的数，作为a的值代入求值．
类型五、含零指数、负指数有关的计算问题
例题：（23-24七年级下·江苏泰州·期末）（1）计算 ；
（2）计算 ．
【变式训练1】（23-24七年级下·广东深圳·期末）计算： ．
【变式训练2】（22-23八年级上·湖南岳阳·期中）计算：
(1)(2)
【变式训练3】（23-24七年级下·辽宁辽阳·期末）计算：
(1)
(2)
类型六、解分式方程不验根问题
例题：（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）解分式方程：
(1) (2)
【变式训练1】（23-24八年级下·江苏扬州·期末）解方程：
(1) ； (2) ．
【变式训练2】（23-24七年级下·山东滨州·期末）解方程：
(1) ； (2) ．
【变式训练3】（23-24八年级下·江苏无锡·期末）解下列方程：
(1) ； (2) ．
【变式训练4】（23-24八年级下·陕西西安·期末）解方程：
(1) (2)
类型七、分式方程的实际应用问题
例题：（24-25九年级上·陕西·期中）某校因物理实验室需更新升级，现决定购买甲、乙两种型号的滑动变
阻器．若购买甲种滑动变阻器用了1600元，购买乙种用了2700元，购买的乙种滑动变阻器的数量是甲种
的1.5倍，乙种滑动变阻器单价比甲种单价贵6元．
(1)求甲、乙两种滑动变阻器的单价分别为多少元；
(2)该校拟计划再订购这两种滑动变阻器共100个，总费用不超过5000元，那么该校最少购买多少个甲种滑
动变阻器？
【变式训练1】（24-25八年级上·湖南常德·期中）景区有一片蔬果采摘园，小美一家决定采摘一些新鲜蔬
果．已知西红柿和土豆两种蔬菜的价格分别是每千克 元和每千克 元，采摘这两种蔬菜一共支付了 元，
其中西红柿比土豆少 千克．
(1)求西红柿和土豆各采摘了多少千克？(2)为了让小美去体验生活，他们将采摘的蔬菜拿去售卖，已知西红柿和土豆的销售额分别是 元和 元，
土豆的售价是西红柿售价的 ，土豆比西红柿多卖出 千克，求土豆和西红柿的售价．
【变式训练2】（2024八年级上·全国·专题练习）为了响应“足球进校园”的号召，某体育用品商店计划购
进一批足球．第一次用6000元购进 品牌足球 个，第二次又用6000元购进 品牌足球，购进的 品牌
足球的数量比购进的 品牌足球的数量多30个，并且每个 品牌足球的进价是每个 品牌足球进价的 ．
(1)求 的值；
(2)若这两次购进的 两种品牌的足球分别按照 元/个， 元/个的价格销售，全部销售完毕后，可获得
的利润不低于4800元．求出 的最小值．
压轴能力测评（20题）
一、单选题
1．（24-25八年级上·贵州铜仁·期中）若分式 有意义，则x的取值范围为（ ）
A． 且 B． 且 C． D．
2．（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）若把分式 中的 ， 都扩大为原来的 倍，则分式的值
（ ）
A．扩大为原来的 倍 B．扩大为原来的 倍
C．缩小为原来的 D．不变
3．（2024八年级上·全国·专题练习）如果 ，那么 的大小关系为
（ ）
A． B． C． D．
4．（2024八年级上·全国·专题练习）下列计算正确的是（ ）A． B． C． D．
二、填空题
5．（24-25八年级上·山东泰安·阶段练习）若分式 有意义，则x应满足的条件是 ．使分式
的值为零的x的值是 ．
6．（24-25八年级上·北京昌平·期中）不改变分式 的值，把它的分子分母的各项系数都化为整数，
7．（24-25六年级上·上海·期中）已知： ，则满足条件的整数a所有值为 ．
8．（24-25八年级上·山东潍坊·期中）定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，存在 ．
若 ，则 的值为 ．
三、解答题
9．（24-25八年级上·湖南常德·期中）解分式方程：
(1) ；
(2) ．
10．（24-25八年级上·湖南郴州·期中）解方程：
(1)
(2)
11．（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）分式的计算：
(1) ；
(2) ．
12．（24-25八年级上·全国·期中）化简分式：(1)
(2) ．
13．（24-25八年级上·北京延庆·期中）先化简，再求值： ，其中 ．
14．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）先化简，再求值： ，再从 ， ，
0，1，2中取一个数代入求值其中．
15．（24-25八年级上·山东潍坊·期中）下面是小亮同学对分式的化简过程，请认真阅读并完成相应的问题．
……第一步
……第二步
．……第三步
……第四步
……第五步
问题解答：
(1)从第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______；
(2)请写出正确的化简过程，并从0，1，2中选一个合适的数作为m的值代入求值．
16．（24-25八年级上·山东淄博·期中）（1）计算： ；
（2）先化简 ，再从 中选取一个你喜欢的整数代入求值．
17．（24-25八年级上·山东菏泽·期中）（1）先化简，再求值： ，其中
．
（2）先化简 ，再从 中选取合适的整数代入求值．
18．（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）先化简，再求值：(1) ，其中 ；
(2)已知 ，求 ；
(3) ，其中 ；
(4) ，请从不等式组 的整数解中选择一个你喜欢的求值．
19．（24-25八年级上·北京·阶段练习）观察下面的解题过程：
已知 ，求 的值．
解：因为
所以 ，即 ．
因此
请借鉴上述解题方法解答下面的题目：
已知 ，求 的值．
20．（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）（一）操作发现：阅读下列解题过程：已知 ，求
的值．
解：由 ，知 ，所以 ，即 ．
，
的值为7的倒数，即 ．
以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做
“倒数法”，
（二）实践探索：请你利用“倒数法”解决下面问题：
已知 ，求 的值．（三）问题解决：
已知： ．求代数式 的值．
