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热点 6-1 线线、线面、面面的平行与垂直
在高考数学中，本部分内容主要分两方面进行考查，一是以几何体为载体考查空间点、线、面位置关系的
判断，主要以小题的形式出现，题目难度较小；二是空间线线、线面、面面平行和垂直关系交汇综合命题，
一般以选择题、填空题或解答题的第（1）问的形式考查，属于中档题。
【题型1 空间点线面位置关系判断】
满分技巧
1、判断与空间位置关系有关的命题的方法：
（1）借助空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理进行判断；
（2）借助空间几何模型，如从长方体模型、四面体模型等模型中观察线面位置关系，结合有关定理，进
行肯定或否定。
2、两点注意：
（1）平面几何的结论不能完全引用到立体几何中；
（2）当从正面入手较难时，可利用反证法，推出与提升或公认结论相矛盾的命题，进而作出判断。
【例1】（2024·湖南·长沙一中校联考模拟预测）设 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，则下
面说法正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【变式1-1】（2024·江苏徐州·高三校考开学考试）已知两条不重合的直线 和 ，两个不重合的平面 和
，下列四个说法：
①若 ， ， ，则 ②若 ， ， ，则
③若 ， ， ，则 ④若 ， ， ，则
其中所有正确的序号为（ ）
A．②④ B．③④ C．④ D．①③【变式1-2】（2024·江西·高三校联考开学考试）设m，n是不同的直线， 是不同的平面，则下列命题
正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【变式1-3】（2024·山东济南·高三济南一中校联考开学考试）已知 是三条不重合的直线， 是
三个不重合的平面，则下列结论正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则 且
C．若 ，则 D．若 ，则
【变式1-4】（2024·云南昆明·统考模拟预测）（多选）已知直线a，b，c与平面 ， ， ，下列说法正
确的是（ ）
A．若 ， ， ，则a，b异面 B．若 ， ， ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ，则
【题型2 共面、共线、共点证明】
满分技巧
1、证明点线共面问题的两种方法
（1）纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内；
（2）辅助平面法：先证有关点、线共平面 ，再证其他点、线共平面 ,最后证平面 , 重合.
2、证明点共线问题的两种方法
（1）先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；
（2）直接证明这些点都在一条特定直线上.
3、证明三线共点问题的步骤
第一步：先证其中两条直线交于一点；
第二步：再证交点在第三条直线上.
证交点在第三条直线上时，第三条直线应为前两条直线所在平面的交线。
【例2】（2023·全国·高三专题练习）如图，在正方体 中， 为棱 的靠近 上的三等
分点.设 与平面 的交点为 ，则（ ）A．三点 共线，且 B．三点 共线，且
C．三点 不共线，且 D．三点 不共线，且
【变式2-1】（2023·全国·高三专题练习）如图，在长方体 中， ， ，
， 分别是 ， 的中点，证明： 四点共面．
【变式2-2】（2023·全国·高三专题练习）如图，在长方体 中， 、 分别是 和
的中点．
（1）证明： 、 、 、 四点共面；
（2）对角线 与平面 交于点 ， 交于点 ，求证：点 共线；
（3）证明： 、 、 三线共点．
【变式2-3】（2023·河南·高三校联考阶段练习）如图，在长方体 中，点 分别在棱
上，且 ， .（1）求证： 四点共面；
（2）若 ，求平面 与平面 夹角的正弦值.
【变式2-4】（2024·河北衡水·河北冀州中学校考一模）如图所示的几何体是由一个直三棱柱和半个圆柱拼
接而成.其中， ，点 为弧 的中点，且 四点共面.
（1）证明： 四点共面；
（2）若平面 与平面 夹角的余弦值为 ，求 长.
【题型3 线线、线面、面面平行证明】
满分技巧
1、线线平行的证明方法
（1）定义法：即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点；
（2）利用平面图形的有关平行的性质，如三角形中位线，梯形，平行四边形等关于平行的性质；
（3）利用基本事实4：找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行．
2、线面平行的判定方法
（1）利用线面平行的定义：直线与平面没有公共点；
（2）利用线面平行的判定定理：如果平面外有一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平
面平行（简记为“线线平行 线面平行”）
（3）利用面面平行的性质定理：如果两个平面平行，那么在一个平面内所有直线都平行于另一个平面。
（简记为“面面平行 线面平行”）
3、面面平行的判定方法
（1）面面平行的定义：两个平面没有公共点，常与反证法结合（不常用）；
（2）面面平行的判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行
（主要方法）；
（3）垂直于通一条直线的两个平面平行（客观题可用）；
（4）平行于同一个平面的两个平面平行（客观题可用）.
【例3】（2024·全国·高三专题练习）如图1所示，在四边形 中， ， 为 上一点，
， ，将四边形 沿 折起，使得 ，得到如图2所示的四棱锥．若平面 平面 ，证明： .
【变式3-1】（2024·青海西宁·高三统考期末）如图，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中
点，则（ ）
A． B． C． D． 平面
【变式3-2】（2024·陕西西安·统考一模）如图，在四棱锥 中， 平面
，且 是 的中点，点 分别在 上，且
．
（1）证明： 平面 ；
（2）求三棱锥 的体积．
【变式3-3】（2024·内蒙古包头·高三统考期末）如图，在四棱锥 中， 平面 ，
， ， ， 为棱 上的一点，且 ．（1）证明： 平面 ；
（2）求四棱锥 的体积．
【变式3-4】（2024·河南·方城第一高级中学校联考模拟预测）如图，梯形 是圆台 的轴截面，
， 分别在底面圆 ， 的圆周上， 为圆台的母线， ，若 ， ， ，
分别为 ， 的中点，且异面直线 与 所成角的余弦值为 .
（1）证明：平面 平面 ；
（2）求圆台 的高.
【题型4 线线、线面、面面垂直证明】
满分技巧
直线与平面垂直的判定方法
1、利用定义：若一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于这个平面；
2、利用线面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线就和这个
平面垂直；
3、可作定理用的正确命题：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个
平面；
4、面面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一平
面；
5、面面平行的性质：如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，则这条直线也垂直于另一个平
面；
6、面面垂直的性质：若两相交平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面的交线垂直于第三个平面.【例4】（2024·北京西城·高三北师大实验中学校考开学考试）在某次数学探究活动中，小明先将一副三角
板按照图1的方式进行拼接，然后他又将三角板 折起，使得二面角 为直二面角，得图2所
示四面体 .小明对四面体 中的直线、平面的位置关系作出了如下的判断，其中不正确的是（
）
A． 平面 B． 平面
C．平面 平面 D．平面 平面
【变式4-1】（2022·福建厦门·高三厦门双十中学校考阶段练习）已知三棱锥 （如图一）的平面展
开图（如图二）中，四边形 为边长等于 的正方形， 和 均为正三角形，在三棱锥
中：
（1）证明：平面 平面 ；
（2）若点M在棱 上运动，当直线 与平面 所成的角最大时，求平面 与平面 所成锐二
面角的余弦值．
【变式4-2】（2024·四川雅安·高三雅安中学校联考开学考试）如图，在四棱柱 中，底面
和侧面 均是边长为2的正方形．
（1）证明： ．
（2）若 ，求点 到平面 的距离．【变式4-3】（2023·全国·高三校联考阶段练习）如图，在五面体 中，四边形 的对角线
交于点 ， 为等边三角形， ， ， .
（1）证明： 平面 ；
（2）若 ，求五面体的体积.
【变式4-4】（2023·陕西榆林·高三榆林市第一中学校联考阶段练习）如图，在四棱锥 中，底面
是等腰梯形， ， 是正三角形，已知 ， ， .
（1）证明：平面 平面 ；
（2）求点 到平面 的距离.
【题型5 平行关系中的动点探究问题】
满分技巧
1、探索性问题的一般解题思路：先假设其存在，然后把这个假设作为已知条件，和题目的其他已知条件
一起进行推理论证和计算．在推理论证和计算无误的前提下，如果得到了一个合理的结论，则说明存
在；如果得到了一个不合理的结论，则说明不存在．
2、探索性问题的答题步骤：第一步对“是否存在”给出作答，写出探求的最后结论；第二步探求结论的
正确性。
【例5】（2024·山东济宁·高三校考开学考试）如图，四棱锥 中， 是 的中点，四边形
为平行四边形，且 平面 ．（1）试探究在线段 上是否存在点 ，使得 平面 ？若存在，请确定 点的位置，并给予证
明；若不存在，请说明理由；
（2）若 ，且 ，求平面 与平面 所成夹角的余弦值．
【变式5-1】（2024·陕西·校联考一模）如图，在等腰梯形ABCD中，
面ABCD， 面ABCD， ，点P在线段EF上运动．
（1）求证： ；
（2）是否存在点P，使得 平面ACE?若存在，试求点P的位置，若不存在，请说明理由．
【变式5-2】（2023·北京·高二期中）如图所示，在四棱锥 中， 平面 ， ，E
是PD的中点.
（1）求证： ；
（2）求证： 平面 ；
（3）若M是线段 上一动点，则线段 上是否存在点N，使 平面 ？说明理由.【变式5-3】（2023·河北承德·高三校联考期中）如图，在四棱锥 中，平面 平面 ，
底面 是正方形，且 、 分别是 、 上靠近 的三等分点．
（1）求证： ；
（2）在 上是否存在一点 ，使平面 平面 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理
由．
【变式5-4】（2023·重庆·高三重庆市第七中学校校考阶段练习）在如图所示的五面体 中，
共面， 是正三角形，四边形 为菱形， ， 平面 ， ，点
为 中点.
（1）在直线 上是否存在一点 ，使得平面 平面 ，请说明理由；
（2）当 ，求平面 与平面 所成二面角的正弦值.
【题型6 垂直关系中的动点探究问题】
【例6】（2022·全国·模拟预测）如图1，在等边 中， 是 边上的高， 、 分别是 和
边的中点，现将 沿 翻折成使得平面 平面 ，如图2.
（1）求证： 平面 ；（2）在线段 上是否存在一点 ，使 ？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由.
【变式6-1】（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）如图，在棱长为2的正方体 中，
点M是正方体的中心，将四棱锥 绕直线 逆时针旋转 后，得到四棱锥
．
（1）若 ，求证：平面 平面 ；
（2）是否存在 ，使得直线 平面 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．
【变式6-2】（2023·重庆·高三重庆八中校考开学考试）如图，在四棱锥 中，底面 是菱形，
，三角形 为正三角形，且侧面 底面 . 分别为线段 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）在棱 上是否存在点 ，使得平面 平面 ？若存在，请求出 的值；若不存在，请
说明理由.
【变式6-3】（2023·全国·高三专题练习）如图，正方形 与梯形 所在平面互相垂直，已知
， ， ．（1）求证： 平面 ．
（2）线段 上是否存在点M，使平面 平面 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理
由．
【变式6-4】（2023·江西赣州·统考模拟预测）如图，在三棱柱 中，侧面 是矩形，侧面
是菱形， ， 、 分别为棱 、 的中点， 为线段 的中点.
（1）证明： 平面 ；
（2）在棱 上是否存在一点 ，使平面 平面 ？若存在，请指出点 的位置，并证明你的
结论；若不存在，请说明理由.
（建议用时：60分钟）
1．（2024·重庆·高三西南大学附中校联考开学考试）已知 是空间中三条互不重合的直线， 是两
个不重合的平面，则下列说法正确的是（ ）
A． ，则 B． 且 ，则
C． ，则 D． ，则
2．（2024·湖南长沙·雅礼中学校考一模）已知 表示两条不同直线， 表示平面，则（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
3．（2023·陕西西安·高三校联考阶段练习）如图，在正方体 中， 均为棱的中点，
现有下列4个结论：①平面 平面 ；
②梯形 内存在一点 ，使得 平面 ；
③过 可作一个平面，使得 到这个平面的距离相等；
④梯形 的面积是 面积的3倍.
其中正确的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
4．（2023·上海金山·统考一模）如图，在正方体 中，E、F为正方体内（含边界）不重合
的两个动点，下列结论错误的是（ ）．
A．若 ， ，则
B．若 ， ，则平面 平面
C．若 ， ，则 面
D．若 ， ，则
5．（2024·云南大理·统考模拟预测）（多选）如图所示，在平行六面体 中， 为正方形
的中心， 分别为线段 的中点，下列结论正确的是（ ）
A． 平面 B．平面 平面
C．直线 与平面 所成的角为 D．
6．（2024·湖南长沙·统考一模）（多选）在正方体 中，点 为线段 上的动点，直线为平面 与平面 的交线，则（ ）
A．存在点 ，使得 面
B．存在点 ，使得 面
C．当点 不是 的中点时，都有 面
D．当点 不是 的中点时，都有 面
7．（2023·广东广州·高三广州市天河中学校考阶段练习）如图所示，在四棱锥 中， 是正
方形， 平面 ， 分别是 的中点．
（1）求证：平面 平面 ；
（2）证明：平面 平面 ．
8．（2023·辽宁朝阳·高三建平县实验中学校联考阶段练习）如图，已知四边形 为菱形， 平面
， 平面 ， .
（1）证明：平面 平面 ；
（2）若平面 平面 ，求 的长.9．（2023·江西·高三鹰潭一中校联考期中）如图1，山形图是两个全等的直角梯形 和 的组合
图，将直角梯形 沿底边 翻折，得到图2所示的几何体.已知 ，
,点 在线段 上，且 在几何体 中，解决下面问题.
（1）证明： 平面 ；
（2）若平面 平面 ，证明： .
10．（2023·广东中山·高三统考阶段练习）如图，在四棱锥 中，底面 是正方形，平面
平面 ， ， 为 中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）求证： ；
11．（2024·河南安阳·高三安阳一中校考期末）如图,在四棱锥 中,底面 是菱形, ,
三角形 为正三角形,且侧面 底面 . 分别为线段 , 的中点.（1）求证: 平面 ;
（2）在棱 上是否存在点 ,使平面 平面 ,请说明理由.
12．（2023·山东滨州·高三统考期中）如图，在四棱锥 中，底面 为矩形，平面 平
面 ， ， ， 为 的中点．
（1）求证： ；
（2）求证：平面 平面 ；
（3）在线段 上是否存在点 ，使得 平面 ?请说明理由．
