文档内容
专题16 分式重难点题型专训（9大题型）
【题型目录】
题型一 分式的判断
题型二 分式的规律性问题
题型三 按要求构造分式
题型四 分式有意义的条件
题型五 分式无意义的条件
题型六 分式值为零的条件
题型七 分式的求值
题型八 求分式值为正（负）数时未知数的取值范围
题型九 求使分式值为整数时未知数的整数值
【知识梳理】
【知识点1 分式的定义】
一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子 叫做分式。
注：A、B都是整式，B中含有字母，且B≠0。
【经典例题一 分式的判断】
1．（2023下·四川乐山·八年级统考期末）下列各式： ， ， ， ，其中分式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2022上·湖南怀化·八年级校联考阶段练习）在 ， ， ， ， 中分式的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．（2022下·江苏泰州·八年级泰州市第二中学附属初中校考期中）式子 ， ， ， ，
中，分式有 个
4．（2021下·重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考阶段练习）下列各式： （1﹣x）， ， ，+x， ，其中是分式的有 个．
5．（2022上·八年级课时练习）下列各式中，哪些是整式，哪些是分式，哪些是有理式？
（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7）
（8） （9） （10） （11） （12）
【经典例题二 分式的规律性问题】
1．（2023下·七年级单元测试）对于正数x，规定 ，例如： ，则
的值为（ ）
A．2021 B．2020 C．2022.5 D．2020.5
2．（2022上·湖北武汉·八年级校考期末）有一个计算程序，每次运算都是把一个数除以它与1的和，即
， ， ……多次重复进行这种运算，若输入的值是2，则 为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023下·贵州铜仁·八年级统考期末）小苗探究了一道有关分式的规律题， ， ， ，
， ， ， ，…请按照此规律在横线上补写出第6个分式．
4．（2022下·安徽安庆·七年级安庆市第四中学校考期末）已知y＝ ，y＝ ，y＝ ，y＝
1 2 3 4
，…，yn＝ ，请计算y ＝ （请用含x的代数式表示）．
2020
5．（2023下·安徽亳州·七年级统考期末）观察下列等式：第1个等式： ；
第2个等式： ；
第3个等式： ；
第4个等式： ；
……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第6个等式：________________；
(2)写出你猜想的第 个等式（用含 的式子表示， 为正整数），并说明等式成立的理由．
【经典例题三 按要求构造分式】
1．（2022上·八年级单元测试）把a千克盐溶于b千克水中，得到一种盐水，若有这种盐水x千克，则其
中含盐（ ）
A． 千克 B． 千克 C． 千克 D． 千克
2．（2022上·上海虹口·七年级校考阶段练习）一件工作，甲、乙两人合作需 小时完成，甲单独做需 小
时完成，则乙单独做完工作需要的小时是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022上·山东泰安·八年级校考阶段练习）有两块棉田，第一块x亩，亩产量m千克，第二块y亩，亩
产量n千克，这两块棉田平均亩产量是 ．
4．（2021·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）为了满足不同群体的口味偏好，某坚果公司推出原味和奶
香味两种口味的袋装坚果，原味每袋有8克核桃仁，8克巴旦木，8克黑加仑；奶香味每袋有16克核桃仁，
6克巴旦木，6克黑加仑．每袋坚果的成本为三种坚果成本之和．已知核桃仁每克成本价0.25元，原味坚
果每袋的售价为9.45元，利润率为12.5%，奶香味坚果每袋利润率为25%．若这两种袋装的销售利润率达
到20%，则该公司销售原味、奶香味两种坚果的数量之比为 ．
5．（2023下·江苏扬州·八年级校联考期中）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可以化为带分数，如： ．我们定义：在分式中，对于
只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数
小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． ，这样的分式就是假分式；再如： 这
样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如：
；
解决下列问题：
(1)分式 是________________（填“真分式”或“假分式”）；
(2)将假分式 化为整式与真分式的和的形式： =____________；
(3)若假分式 的值为正整数，则整数 的值为________________；
(4)将假分式 化为带分式（写出完整过程）．
【经典例题四 分式有意义的条件】
1．（2023下·江西吉安·八年级统考期末）若要使分式 有意义，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022上·广东河源·八年级校考期中）要使分式 有意义，那么 的取值范围是（ ）
A． B．
C． 且 D． 且
3．（2023下·辽宁阜新·八年级校考阶段练习）若代数式 有意义，则实数x的取值范围为
．
4．（2023下·四川成都·八年级校考阶段练习）分式 无论x取何值总有意义，则m的取值为
．5．（2023下·全国·七年级专题练习）已知无论x取何实数，分式 总有意义，求m的取值范围．
小明对此题刚写了如下的部分过程，便有事离开．
解：
(1)请将小明对此题 的解题过程补充完整；
(2)利用小明的思路，解决下列问题：无论x取何实数，分式 都有意义，求m的取值范围．
【经典例题五 分式无意义的条件】
1．（2023下·辽宁沈阳·八年级沈阳市南昌初级中学（沈阳市第二十三中学）校联考期中）若分式 无
意义，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022下·安徽合肥·七年级统考期末）已知分式 （ ， 为常数）满足表格中的信息，则下列结
论中错误的是（ ）
的取值 －2 2
分式的
无意义 0 1 2
值
A． B． C． D． 的值不存在3．（2023·河南南阳·校联考三模）若代数式 无意义，则实数 的值是 ．
4（2020·湖南郴州·统考中考真题）若分式 的值不存在，则 ．
5．（2022上·八年级单元测试）已知：代数式 ．
(1)当 为何值时，该式无意义？
(2)当 为何整数时，该式的值为正整数？
【经典例题六 分式值为零的条件】
1．（2023上·河南周口·八年级校联考期末）若分式 的值为0，则x的取值是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022上·四川绵阳·八年级校考阶段练习）若分式 的值为0，则x的值是( )．
A．1或 B．1 C． D．
3．（2023下·陕西汉中·八年级校考阶段练习）若分式 的值为0，则实数x的值为 ．
4．（2022上·湖南永州·八年级统考期中）当 时，分式 的值等于0．
5．（2023上·八年级课时练习）当 为何值时，分式 的值为0？
【经典例题七 分式的求值】
1．（2023下·贵州毕节·八年级期末）已知 ，则 值为（ ）A．10 B．11 C．15 D．16
2．（2023下·河北保定·八年级统考期末）下面是佳佳将分式A做出的正确的变形运算过程：
，则下列说法正确的是（ ）
A．当 时， B．当 时，
C．当 时， D．A为整数值时，
3．（2023上·山东威海·九年级校考阶段练习）若分式 ，则分式 的值等于 ．
4．（2023上·湖南岳阳·九年级校考阶段练习）若 ，则 ＝ ．若 ，则 ＝
．
5．（2023上·四川宜宾·八年级校考阶段练习）若x，y均为实数， ， ，求 的值．
【经典例题八 求分式值为正（负）数时未知数的取值范围】
1．（2022上·北京海淀·七年级清华附中校考期末）已知关于 的不等式 的解集是 ，则关于
的不等式 的解集是（ ）
A． B． 或 C． 或 D．
2．（2020上·山东日照·八年级统考期末）已知分式 的值是正数，那么x的取值范围是（ ）
A．x＞0 B．x＞-4
C．x≠0 D．x＞-4且x≠0
3．（2022·福建泉州·统考模拟预测）若分式 的值为负数，则x的取值范围是 ．
4．（2021下·江苏常州·八年级常州市清潭中学校考期中）如果分式 的值为正数，则 的取值范围是
．5．（2022上·全国·八年级专题练习）已知 ， 取哪些值时：
(1) 的值是正数；
(2) 的值是负数；
(3) 的值是零；
(4)分式无意义．
【经典例题九 求使分式值为整数时未知数的整数值】
1．（2020上·山东济南·八年级统考期中）已知a为整数，且 ÷ 为正整数，求所有
符合条件的a的值的和（ ）
A．8 B．12 C．16 D．10
2．（2022下·浙江温州·八年级校联考阶段练习）若 取整数，使分式 的值为整数的 值有（ ）
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
3．（2023下·江苏泰州·八年级统考期末）已知n为整数，当 时，分式 的值是整数．
4．（2023下·江苏南京·八年级校联考期中）若分式 的值为整数， 的值也为整数，则 的最小值为
．
5．（2021下·四川乐山·八年级统考期中）我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如：
．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分
式”，如： ， ，这样的分式就是真分式；当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为
“假分式”，如： ， ，这样的分式就是假分式．类似地，假分式也可以化为整式与真分式的和
的形式，如： ；．
(1)分式 是 分式（填“真”或“假”）；
(2)将假分式 、 分别化为整式与真分式的和的形式；
(3)如果分式 的值为整数，求出所有符合条件的整数x的值．
【重难点训练】
1．（2023下·吉林长春·八年级统考期中）代数式 ， ， ， 中，属于分式的有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
2．（2023上·山东淄博·八年级周村二中校考阶段练习）若分式 有意义，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D． 且
3．（2021下·安徽六安·七年级校考阶段练习）分式 有意义，则 的取值范围是（ ）
A． ≠ B． ≠ 且 ≠ C． ≠ 或 ≠ D． ≠ 且 ≠
4．（2021上·陕西渭南·八年级校考阶段练习）若分式 的值为正数，则 的取值范围是（ ）
A． B． 且 C． D．
5．（2022下·安徽安庆·七年级统考期末）观察下列等式： ， ， ， ，…
根据其蕴含的规律得（ ）
A． B． C． D．6．（2023上·湖南永州·八年级统考期中）已知： ，则 ．
7．（2023上·浙江·七年级周测）已知三个互不相等有理数 ，既可以表示为 的形式，又可以
表示为0， 的形式，则 值是 ．
8．（2023上·山东淄博·八年级校考阶段练习）已知分式 的值为正数，则 的取值范围是 ．
9．（2023上·山东东营·八年级校考阶段练习）给定下面一列分式： ， ， ， ，…（其中
），根据你发现的规律，试写出给定的那列分式中的第n个分式 ．
10．（2023下·江苏扬州·八年级高邮市南海中学校考阶段练习）若 ，则 的值是
．
11．（2023上·湖南永州·八年级统考期中）已知 ，求 的值．
12．（2023上·广西来宾·八年级校考阶段练习）已知实数x，y满足： ，求 的值．
13．（2023上·湖南怀化·八年级统考期中）已知非零实数 满足 ．
(1)求 的值；
(2)求 的值．14．（2023上·江苏无锡·九年级江苏省天一中学校考阶段练习）已知： ，求下列各式的值
(1) ；
(2) ．
15．（2023上·八年级课时练习）【阅读理解】仔细阅读下面的材料并解答问题：例题：当 取何值时，分
式 的值为正？
解：依题意得 ，则有① 或② ，
解不等式组①得 ，解不等式组②得不等式组无解，故 ．
所以当 时，分式 的值为正．
依照上面方法解答问题：
(1)当 取何值时，分式 的值为负？
(2)当 取何值时，分式 的值为负？
