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专题21 分式化简求值与分式方程增根无解问题（8大题型）
【题型目录】
题型一 简单的分式化简求值问题
题型二 复杂的分式化简求值问题
题型三 分式化简求值的新定义问题
题型四 分式化简求值的最值问题
题型五 分式化简求值的整数解问题
题型六 分式方程的增根问题
题型七 分式方程的无解问题
题型八 根据分式方程解的情况求值
【经典例题一 简单的分式化简求值问题】
1．（2023上·山东威海·八年级统考期中）先化简： ，再从 中任选一个数，
求式子的值．
【答案】 ， （或 ）
【分析】本题考查了分式的化简求值，先把括号内通分，再把除法运算化为乘法运算，约分得到原式
，然后把 或4代入计算即可．
【详解】解：
；
∵ ，
∴取 时，原式= （或取 ，原式= ）
2．（2023上·福建泉州·九年级校联考期中）先化简，再求值： 其中【答案】
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，原式先因式分解，括号中两项通分并利用同分母分式的减法法
则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把值代入计算即可求出值．
【详解】解：原式
，
当 时，原式 ．
3．（2023上·山东泰安·八年级统考期中）先化简，再求值： ，其中 ， ．
【答案】 ，
【分析】本题考查了分式的化简求值，先算括号里，再算括号外，然后把 ， 代入化简后的式子
进行计算即可解答．
【详解】原式
，
当 ， 时，原式 ．4．（2023上·重庆沙坪坝·九年级统考期中）先化简，再求值 ，其中m满足方程
．
【答案】 ；求值得：
【分析】本题考查的是分式的化简求值，先利用分式的加减乘除法则化简，再把 变形为
，再整体代入化简后的代数式即可．
【详解】解：原式
又∵
∴
∴原式
5．（2023上·湖南岳阳·八年级岳阳市弘毅新华中学校考期中）先化简，再求值： ，
然后从1，2，3，中选择一个合适的数代入求值．
【答案】 ； 时，原式
【分析】本题考查分式化简求值，涉及因式分解、分式加减乘除混合运算、通分、约分及分式有意义的条
件，根据分式的混合运算化简是解决问题的关键．
【详解】解：
，由分式分母不为0可知 ，则 从1，2，3中只能取 ，
原式 ．
6．（2023上·北京房山·八年级统考期中）先化简，再求值： ，其中a的
值从不等式组 的解集中选取一个合适的整数．
【答案】 ，
【分析】此题主要考查了分式的化简求值．直接将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则化简，
再解不等式组，结合分式有意义的条件分析，代入合适的值求出答案．
【详解】解：
，
，解不等式组得： ，
当 时无意义，
故取 ，
当 时，原式 ．
【经典例题二 复杂的分式化简求值问题】
7．（2023上·山东泰安·八年级统考期中）阅读下面的解题过程：
已知： ，求 的值．
解：由 知 ，所以 ，即 ．
所以 ．
故 的值为 ．
(1)上题得解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的题目： ，求 的
值．
(2)已知 ， ， ，求 的值．
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】本题主要考查运用“倒数法”求分式的值以及分式的混合运算，
（1）根据材料提示的“倒数法”将 变形为 ，由此即可求解；
（2）将 ， ， 利用“倒数法”变形为 ， ， ，将利用“倒数法”变形为 ，由此即可求解．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴
∴ ，即 ，
∵ 的倒数为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ， ， ，
∴ ， ， ，
∴
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
8．（2023上·湖南邵阳·八年级统考期中）诊断与纠错：先化简分式 ，再代入一个合适的数求值．
请观察以下解答过程，指出其中的错误．并写出正确的解答过程．
解：原式 ①
②
③
④
⑤
取 ，原式 ⑥
错误的是 步．请更正：
【答案】②、⑥，见解析
【分析】本题考查分式的化简求值，理解分式的基本性质，掌握去括号法则，以及分式约分和通分的技巧
是解题关键．根据分式化简的步骤进行化简即可．
【详解】错误是第 ②、⑥步．
纠正如下：
原式 ，
，
，
，由于 且 ，
取 ，原式 ．
9．（2022·湖北省直辖县级单位·统考模拟预测）已知 ， ， ，将它们组合成
或 的形式，请你从中任选一种进行计算，先化简，再求值其中 ．
【答案】 选 ： ， ； 选 ： ， ．
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后把 值代入化简后的式子即可求解．
【详解】 选 ：
则 ，
，
，
，
当 时，原式 ；
选 ：
则 ，
，
，
，，
，
当 时，原式 ．
【点睛】此题考查了分式的化简求值，解题的关键是明确分式化简求值的方法．
10．（2023上·河北邢台·八年级统考阶段练习）设
(1)化简A；
(2)如图，若m为正整数．则A对应的点落在数轴上的______段上（填写序号即可）；
(3)若A是整数，求整数m的值．
【答案】(1)
(2)②
(3) ．
【分析】（1）根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式即可得；
（2）根据分式有意义的条件排除不能取到的m的值，再任取一个正整数m，代入计算，从而得出答案；
（3）把分式化为整数与分式的和的形式 ，则 ，据此求解即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：∵ 且 ，
∴取 ，
则原式 ，
∴该分式的值对应的点落在数轴上的第②段上，
故答案为：②；
（3）解：∵ ，且A是整数，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查分式的混合运算，第3问把分式化为整数与分式的和的形式是解题的关键．
11．（2022下·广东珠海·八年级珠海市紫荆中学桃园校区校考期中）已知：
(1)求代数式 的值
(2)求代数式 的值
【答案】(1)28
(2)
【分析】（1）根据二次根式的加法法则求出 ，根据完全平方公式把原式变形，代入计算即可；
（2）根据二次根式的减法法则求出 ，根据二次根式的乘法法则求出 ，根据分式的减法法则把原式
变形，代入计算，得到答案．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ，∴ ， ，
∴ ．
【点睛】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的加减法法则、乘法法则和完全平方公式是解
题的关键．
12．（2022上·全国·八年级专题练习）阅读理解：
例题：已知实数 满足 ，求分式 的值．
解： ．
的倒数
(1)已知实数 满足 ，求分式 的值．
(2)已知实数 满足 ，求分式 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据 ，先求出 的倒数，即可确定分式 的值；
（2）根据 ，可得 ，先求出 的倒数，进一步可得分式 的值．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ 的倒数 ，
∴ ；
（2）解：∵ ，∴ ，
∴ 的倒数
，
∴ ．
【点睛】本题考查了分式的值，理解给定的例题中求分式的值的方法是解题的关键．
【经典例题三 分式化简求值的新定义问题】
13．（2023上·湖南岳阳·八年级校考阶段练习）定义：若一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分
式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．例如： ，则 是
“和谐分式”．
(1)将“和谐分式” 化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式；
(2)应用：化简 ，并求x取什么整数时，该分式的值为整数．
【答案】(1)
(2) ，
【分析】（1）将分子配凑成 常数的常数的形式即可；
（2）利用分式的混合运算法则化简后，再将分式化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，即
可求解．【详解】（1）解：
（2）解：原式
∵
∴当 时，该分式的值为整数
此时， 的值为
∵ ，
∴ 且 且 且 ，
综上所述： 的值为
【点睛】本题是以分式为背景的新定义题型，注意准确把握题意，对分子进行正确的变形．
14．（2023上·山西大同·八年级大同一中校考期末）【阅读材料】
定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．
如： ， ，则 和
都是“和谐分式”．
(1)下列式子中，属于“和谐分式”的是______（填序号）；
① ；② ；③ ；④
(2)将“和谐分式” 化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式．
【答案】(1)①③④
(2)
【分析】（1）根据“和谐分式”的定义对①③④进行变形解答；
（2）由 化简解答即可．【详解】（1）解：① ，是“和谐分式”；② 不是“和谐分式”；③
，是“和谐分式”；④ ，是“和谐分式”
故答案为：①③④；
（2） ．
【点睛】本题考查分式的化简求值及分式的定义，掌握分式的基本性质是解题关键．
15．（2023下·江苏泰州·八年级校考阶段练习）对 ， 定义一种新运算 ，规定： （其
中 、 均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如： ．
(1)已知 ， ．
①求 ， 的值；
②若 ，求 的值；
(2)若 对任意有理数 ， 都成立（这里 和 均有意义），则 ， 应满足
怎样的关系式？
【答案】(1)① 的值为2， 的值为1；② 的值为
(2) ， 应满足的关系式为
【分析】（1）①按照定义代入计算得出方程组，解方程组即可求出 ， 的值；②按照定义将
转化成方程即可求出 的值；
（2）按照定义将 转化成含有 ， 的分式方程，再进行化简分析，即可得到答案．
【详解】（1）解：①根据题意可得：， ，
整理得： ，
解得： ，
的值为2， 的值为1；
② ，
，
解得： ，
的值为 ；
（2）解：由 ，
得： ，
整理得： ，
对任意有理数 ， 都成立，
，
，
， 应满足的关系式为 ．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次方程，解分式方程，以及新定义，弄清题中的新定义
是解本题的关键．
16．（2023上·江苏南通·八年级统考期末）定义：若分式 与分式 的和等于它们的积，即 ，
则称分式 与分式 互为“关联分式”．如 与 ，因为 所以 与 互为“关联分式”，其中一个分式是另外一个分式的“关联分式”．
(1)分式 ___________分式 的“关联分式”（填“是”或“不是”）；
(2)求分式 的“关联分式”；
(3)若分式 是分式 的“关联分式”， ，求分式 的值．
【答案】(1)是
(2)
(3)
【分析】（1）根据关联分式的定义判断；
（2）根据关联分式的定义列出方程并求解；
（3）根据关联分式的定义确定 和 关系，再代入 进行化简即可．
【详解】（1）解：∵ ，
，
∴ ．
∴分式 是分式 的“关联分式”．
故答案为：是．
（2）设分式 的“关联分式”为 ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴分式 的“关联分式”为 ．
（3）∵分式 是分式 的“关联分式”，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
当 时，
∴ ，
当 时，
∴ ，
∴分式 的值为 ．
【点睛】本题考查用新定义解决数学问题，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
17．（2022上·北京·八年级北京四中校考阶段练习）定义：若两个分式的差为2，则称这两个分式属于
“友好分式组”．
(1)下列三组分式：① 与 ；② 与 ；③ 与 ；其中属于“友好分式组”的有___________（只填序号）；
(2)若 均为非零实数，且分式 与 属于“友好分式组”求分式 的值．
【答案】(1)②③
(2) 或
【分析】（1）根据给出的“友好分式组”定义把每一组的分式相减看结果来判断；
（2）根据分式 与 属于“友好分式组”，得 ，求出① ，②
，分别把①②代入分式 求出结果即可．
【详解】（1）解：① ，
② ，
③ ，
∴属于“友好分式组”的有②③，
故答案为：②③；
（2）解：∵
，
∵分式 与 属于“友好分式组”，
∴ ，∴ 或 ，
∴ 或 ，
把 代入得 ；
把 代入得 ，
综上所述： 的值为 或 ．
【点睛】本题考查了分式的加减法，熟练掌握分式加减法的法则，对新定义的理解是解题关键．
18．（2022下·江苏宿迁·八年级统考期末）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分
数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如： ．我们定义：在分式中，对于只
含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小
于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如 ， 这样的分式就是假分式；再如： ， 这
样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．如：
；
解决下列问题：
(1)分式 是________分式（填“真”或“假”）；
(2) 将假分式化为带分式；
(3)如果 为整数，分式 的值为整数，求所有符合条件的 的值．
【答案】(1)真
(2)
(3)0，4，-2，-6
【分析】（1）根据定义即可得出答案；
（2）分子中减1加1即可化为带分式；（3）先将分式化为带分式，根据 为整数，分式 的值为整数即可得到x的值．
【详解】（1）解：分式 是真分式，
故答案为：真；
（2） = = ；
（3） ，
∵ 为整数，分式 的值为整数，
∴x+1=1，5，-1，-5，
∴x=0，4，-2，-6．
【点睛】此题考查了分式的化简运算，正确理解题意中的新定义，掌握分式的化简方法是解题的关键．
【经典例题四 分式化简求值的最值问题】
19．（2022下·江苏泰州·八年级统考期中）【探究思考】
（1）探究一：观察分式 的变形过程和结果， ．
填空：若x为小于10的正整数，则当 _______时，分式 的值最大．
（2）探究二：观察分式 的变形过程和结果，
．
模仿以上分式的变形过程和结果求出分式 的变形结果．
【问题解决】（3）当 时，求分式 的最小值．
【答案】（1）9；（2） ；（3）【分析】（1）先根据x为小于10的正整数可知 ，然后再变形 即可解答；
（2）模仿（2）分式的变形过程即可解答；
（3）先根据题意将将变形成 ，然后分 、 、 三种情况解答即可．
【详解】解：（1）∵x为小于10的正整数，
∴当 时，
∵ ，
∴当 时， 最小，分式 的值最大；
故答案为：9．
（2） ；
（3）当 时， ，
∴当 时，原分式有最小值为 ；
当 时，原式 ，
∴当 时，原分式有最小值为 ；
∴当 时，分式 的最小值为 ．
【点睛】本题主要考查了分式的加减运算、分式的混合运算等知识点，灵活运用的运算法则是解答本题的
关键．
20．（2023上·山东烟台·八年级统考期中）请阅读下面材料，然后解决问题：在分式中，对于只含有一个
字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如： ， ；当分
子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如： ， ．我们知道，假分数可以化为带分数，例如： ．类似的，假分式也可以化为“带分式”（整式与真分式和的形式），
例如： ．
(1)将分式 化为带分式；
(2)在（ ）问中，当 取哪些数值时，分式 的值也是整数；
(3)当 的值变化时，分式 的最大值为 ．
【答案】(1) ；
(2)当 取 ， ， ， ， ， 时，分式 的值也是整数；
(3) ．
【分析】本题考查了新定义的理解，分式的变形及分式的值，掌握求解是分式的值为整数时字母的值是解
本题的关键.
（ ）将分子 变为 ，即可以把分式化为带分式；
（ ）根据（ ）的结果，要使 为整数，则 必为整数，得到 为 的因数，分情况即可得到
的值；
（ ）分式 要取最大值，则 取最小值，据此可求出x的值，从而求出 的最大值；熟
练掌握分式运算法则是解题的关键．
【详解】（1） ；
（2）由（ ）得： ，
要使 为整数，则 必为整数，∴ 为 的因数，
∴ 或 或 ，
解得： ， ， ， ， ， ，
∴当 取 ， ， ， ， ， 时，分式 的值也是整数；
（3） ，
分式 要取最大值，则 取最小值，
故当 时， 取最小值，
∴最大值 ．
21．（2023上·湖南永州·八年级统考阶段练习）阅读下面材料并解答问题
材料：定义：如果将一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式和的形式，则称这个分式为“和谐
分式”．如：将分式 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
解：由分母为 ，可设 ，
则
∵对任意 上述等式均成立， ∴ 且 ，∴ ，
∴
这样，分式 被拆分成了一个整式 与一个分式 的和．
求：
(1)如果分式 的值为整数，求 的整数值．
(2)当 时，求出 的最小值．
【答案】(1) 的值为2，0，6，
(2)当 时， 取得最小值5．【分析】（1）将原分式化为 ，然后根据 即可求出x的值；
（2）设 ，求出a，b的值，然后将原分式变为 ，进而可
求出最小值．
【详解】（1） ；
的值为整数，且x为整数；
为5的约数
的值为1或 或5或
的值为2，0，6，
（2）由分母为 ，
可设 ，
则
对于任意的x，上述等式均成立，
解得
当 时， 取得最小值5，即 的最小值是5．
【点睛】本题考查了新定义，多项式与多项式的乘法，解二元一次方程组，以及分是的化简求值，理解新
定义的变形方式是解答本题的关键．
22．（2023上·福建福州·八年级福建省福州屏东中学校考期中）阅读下面材料一个含有多个字母的式子中，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，这样的式子就叫做对称式，
例如： ；含有两个字母a，b的对称式的基本对称式是 和 ，像
等对称式都可以用 ， 表示，例如 ，请根据以上材料解决
下列问题：
(1)式子① ，② ，③ ，④ 中，属于对称式的是 （填序号）；
(2)已知
①若 ，求对称式 的值；
②若 ，求对称式 的最小值，写出求解过程；
③若 ，直接写出对称式 的最大值 ．
【答案】(1)①②④
(2)① ；② ；③2
【分析】（1）根据对称式的定义逐个判断即可；
（2）①根据已知 ,然后对所求代数式变形并整体代入即可解答；②将对称式化简后整理为非
负数的形式即可解答；③将对称式化简后，再配方即可求得最大值．
【详解】（1）解：① ，② ③ ，④ ．
由定义可知属于对称式的是①②④．
故答案为：①②④．
（2）解：∵ ，
∴ ,
∴ ,
① ，∴ ；
答：对称式 的值为 ；
②若 ，则 ，
∴ ，
∴
，
，
．
答：对称式 的最小值为 ．
③∵ .
∴ ,
而，
∵ ，
∴ 的最大值为2，
∴对称式 的最大值为2．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值、数字的变化类、配方、非负数的性质、新定义等知识点，掌握
分式计算法则及配方法是解答本题的关键．
23．（2022上·湖南株洲·八年级校考阶段练习）阅读下面材料并解答问题
材料：将分式 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
解：由分母为 ，可设 ，
则
∵对任意 上述等式均成立，
∴ 且 ，∴ ，
∴
这样，分式 被拆分成了一个整式 与一个分式 的和
解答：（1）将分式 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式
（2）求出 的最小值．
【答案】（1）3+ ；（2）8
【分析】（1）直接把分子变形为3(x-1)+10解答即可；
（2）由分母为-x2+1，可设-x4-6x2+8=(-x2+1)(x2+a)+b，按照题意，求出a和b的值，即可把分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
【详解】解：（1） =
=
=3+ ；
（2）由分母为 ，
可设 ，
则
．
∵对于任意的x，上述等式均成立，
∴
解得
∴
．
∴当x=0时， 取得最小值8，即 的最小值是8．【点睛】本题主要考查分式的混合运算，解答本题的关键是理解阅读材料中的方法，并能加以正确应用．
24．（2022上·山东烟台·八年级统考期中）（1）先化简，再求值： 的值，其中 ．
（2）先化简，再求值： ，从 中选出合适的最小整数值代入求值．
【答案】（1） ，1；（2） ，0
【分析】（1）先根据同分母分式相加减法则计算，再把 代入，即可求解；
（2）先计算括号内的，再计算除法，然后根据分式有意义的条件可得符合条件的最小整数为 ，再代
入，即可求解．
【详解】解：（1）原式
，
当 时，原式
（2）原式∵ ，
∴当 时，符合条件的最小整数为 ，
∴原式 ．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．
【经典例题五 分式化简求值的整数解问题】
25．（2023上·八年级课时练习）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形
式，则称这个分式为“和谐分式”．如： ，则 是“和谐分式”．
(1)下列式子中，属于“和谐分式”的是__________（填序号）；
① ；② ；③ ；④ ．
(2)将“和谐分式” 化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：
__________（不用写出变形过程）；
(3)应用：先化简 ，并求x取什么整数时，该式的值为整数．
【答案】(1)①③④
(2)
(3) 时，该式的值为整数
【分析】（1）根据“和谐分式”的定义进行判断即可；
（2）根据题干提供的信息进行化简即可；
（3）先将分式 变形为 ，根据x取整数，当 或 时， 的
值为整数，求出 或 或1或 ．根据当 或1或 时原分式无意义，得出 ．
【详解】（1）解：① ，是“和谐分式”；② ，不是“和谐分式”；
③ ，是“和谐分式”；
④ ，是“和谐分式”．
故答案为：①③④．
（2）解： ．
故答案为： ．
（3）解：
，
∵x取整数，
∴当 或 时， 的值为整数，
此时 或 或1或 ．
又∵当 或1或 时原分式无意义，
∴ ．
∴ 时，该式的值为整数．
【点睛】本题主要考查了新定义运算，分式化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质，准确计算．
26．（2023下·江苏徐州·八年级统考期中）【阅读】在处理分式问题时，由于分子的次数不低于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将分式拆分成一个整式与一个分式的和（差）的形式，
通过对简单式子的分析来解决问题，我们称之为分离整式法．
例：将分式 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
解：设 ，则 ．
原式
∴ ．
这样，分式 就拆分成一个整式 与一个分式 的和的形式．
【应用】
(1)使用分离整式法将分式 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式，则结果为______；
(2)将分式 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式，则结果为______；
【拓展】
(3)已知分式 的值为整数，求正整数x的值．
【答案】(1)
(2)
(3)4或2或16
【分析】（1）根据题意将 化简为一个整式与一个分式和的形式即可；
（2）设 ，则 ，根据例题将分式转化为一个整式和一个分式的和的形式；
（3）设 ，则 ，先将分式转化为一个整式和一个分式的和的形式，然后再根据结果是整数
进行分析即可求解．
【详解】（1）解： ，故答案为： ；
（2）设 ，则 ，
∴
∴ ，
故答案为： ；
（3）设 ，则 ，
∴
∵分式 的值为整数，且x是正整数，∴ ， ，
由 ，得 或
由 ，得 或 （舍）
∴正整数x的值为4或2或16．
【点睛】本题考查了分式的化简，解题的关键是正确理解题目给出的方法，熟练掌握运算法则．
27．（2023下·江苏扬州·八年级校联考期中）我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子
的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为
“真分式”．如 这样的分式就是假分式；再如： 这样的分式就是真分式类似的，假
分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．如： ；再如：
．解决下列问题：
(1)下列分式中属于“真分式”的有________；（填序号）
① ；② ；③ ；④
(2)将假分式 化为带分式的形式；
(3)如果 的值为整数，求x的整数值．
【答案】(1)①④
(2)
(3) 的整数值为 、0、2、6
【分析】（1）根据题中所给新定义进行判断即可；
（2）由题中所给方法化为带分式的形式即可；
（3）先把分式化为带分式的形式，然后问题可求解．
【详解】（1）解：由题意可得：①④是“真分式”；②③都是“假分式”；
故答案为：①④．
（2）解： ；
（3）解： ，
∵ 的值为整数，
∴ 的值为整数，
∴5是 的倍数，
∴ 的整数值为 、0、2、6．
【点睛】本题主要考查分式化简，新定义运算，熟练掌握分式的性质是解题的关键．
28．（2022上·湖南长沙·八年级校考期末）定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式 ， 是真分式．如果分子的次数高于
或等于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式 ， 是假分式．一个假分式可以化为一个
整式与一个真分式的和．例如 ．
(1)判断：分式 是________，分式 是________；（填“真分式”或“假分式”）
(2)将假分式 化为一个整式与一个真分式的和；
(3)若x是整数，且分式 的值为整数，求x的值．
【答案】(1)真分式；假分式
(2)
(3)
【分析】（1）分式 的分子的次数低于分母的次数，所以是真分式；分式 的分子的次数高于分母的次
数，所以是假分式．
（2）根据题意，把分式 化为整式与真分式的和的形式即可；
（3）根据题中所给出的例子，把原式化为整式与真分式的和形式，再根据分式的值为整数即可得出x的值．
【详解】（1）分式 的分子的次数为0，低于分母的次数1，所以是真分式；分式 的分子的次数为2，
高于分母的次数1，所以是假分式．
（2）由题可得， ；
（3） ，∵分式的值为整数，且x为整数，
∴ ， ，
∴ ，
故 的值为： ， ， ， ， ， ．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
29．（2022下·四川内江·八年级校考阶段练习）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的
分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如 ，
= ，则 和 都是“和谐分式”．
(1)下列分式中，属于“和谐分式”的是 ___________．（填序号）
① ；② ；③ ；④
(2)将“和谐分式” 化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：
=___________+ ．
(3)应用：先化简 ，并求x取什么整数时，该式的值为整数．
【答案】(1)①③④
(2)
(3) ， ．
【分析】（1）由“和谐分式”的定义对各式变形即可得；
（2）由原式 可得；
（3）将原式变形为 ，据此得出 或 ，再根据分式有意义的条件，据此可得答案．
【详解】（1）解：① 是和谐分式；② 不是分式，不是和谐分式；
③ ，是和谐分式；
④ ，是和谐分式；
故答案为：①③④；
（2）解： ，
故答案为： ；
（3）解：
，
∴当 或 时，分式的值为整数，
此时 或 或1或 ，
又∵分式有意义时 、1、 、 ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值及分式的定义，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质及对和谐分
式的定义的理解．
30．（2022上·贵州铜仁·八年级统考期中）定义：如果一个分式能化成一个非零整式与一个分子为非零常
数的分式的和的形式，那么称这个分式为“和谐分式”．例如： ，，则 和 都是“和谐分式”．
(1)下列分式：① ，② ，③ ，其中属于“和谐分式”的是__________（填序号）；
(2)分式 是否为“和谐分式”，请说明理由；
(3)当整数 取多少时， 的值为整数？
【答案】(1)①③
(2)是，理由见解析
(3)
【分析】（1）根据题干“和谐分式”定义，逐个化简变形即可得到答案；
（2）将式子化简变形即可得到答案；
（3）将式子化简，根据值为整数及分式的分子是分母的整数倍得到相关数值，再根据分式有意义取舍即
可得到答案；
【详解】（1）解：∵① ，是“和谐分式”；
② 不能化成一个非零整式与一个分子为非零常数的分式的和的形式，所以不是“和谐分式”；
③ ，是“和谐分式”，
故答案为①③；
（2）解： 是“和谐分式”，理由如下，
∵ ，
∴ 是和谐分式；
（3）解：当 ， ，0，1时， 的值为整数．
由于当 ，0，1时，原分式没有意义，
所以当 时，该分式的值为整数．
【点睛】本题考查分式化简，新定义的理解及分式有意义条件，解题的关键是读懂题干新定义．
【经典例题六 分式方程的增根问题】
31．（2023下·河南驻马店·八年级校考阶段练习）若关于x的分式方程 有增根，求m
的值．
【答案】 或
【分析】先将方程转化为整式方程，求出使最简公分母的值为0的未知数的值，代入整式方程进行求解即
可．
【详解】解：分式方程去分母，得： ，
整理，得： ，
∵分式方程有增根，
∴ ，
∴ 或 ，
当 时， ；
当 时， ；
∴ 或 ．【点睛】本题考查分式方程有增根的问题．熟练掌握增根是使整式方程成立，使分式方程无意义的未知数
的值，是解题的关键．
32．（2023上·陕西西安·九年级西安市曲江第一中学校考开学考试）关于 的分式方程 ．
(1)若此方程有增根，求 的值
(2)若此方程解为正数，求 的取值范围．
【答案】(1) ；
(2) 且 ．
【分析】（1）方程两边都乘以最简公分母 ，把分式方程化为整式方程，再根据分式方程的增根就是
使最简公分母等于0的未知数的值求出的x的值，然后代入进行计算即可求出 的值；
（2）解分式方程得 ，根据方程的解为正数得出 ，且 ，解不等式即可得出答案．
【详解】（1）解：方程两边都乘以 得，
，
分式方程有增根，
，
解得 ，
，
解得 ；
（2）解：方程两边都乘以 得，
，
解得 ，
方程的根为正数，
，且
∴ 且 ．
【点睛】本题考查了分式方程解的情况，将分式方程化为整式方程是解题的关键．33．（2023下·江西吉安·八年级统考期末）关于x的方程 有增根，则增根是多少？并
求方程产生增根时m的值．
【答案】原方程的增根是 或 .当 时， ；当 时， .
【分析】令最简公分母为0，即可求得增根，把分式方程化为整式方程，将增根分别代入求解即可.
【详解】解：∵原方程有增根，
∴增根必定使最简公分母 ，
∴ 或 是原方程的增根．
给原方程两边同乘 ，可得： .
当 时， ，解得 ；
当 时， ，解得 .
综上所述，原方程的增根是 或 .当 时， ；当 时， .
【点睛】本题主要考查了解分式方程、增根等知识点，理解增根的意义和解分式方程的基本步骤是解答本
题的关键．
34．（2022上·八年级单元测试）若关于x的方程 有增根，求k的值．
【答案】5
【分析】找出各个分母得最简公分母，即可得到增根，把增根代入去分母后的方程，即可求出k的值．
【详解】解：原方程化为 ．
方程两边都乘
得
由分式方程有增根
得
解得 或
把 代入整式方程，得 ，矛盾，舍去；
把 代入整式方程，得 ．
∴k的值是5．【点睛】本题主要考查分式方程的增根以及分式方程去分母，掌握分式方程增根的概念是是解题的关键．
35．（2022上·山东聊城·八年级校考期末）关于x的分式方程 ．
(1)若方程的增根为 ，求m的值；
(2)若方程有增根，求m的值．
【答案】(1)
(2) 或 ．
【分析】（1）根据分式方程的性质先去分母，再移项并合并同类项，结合题意，通过求解一元一次方程，
即可得到答案；
（2）根据分式方程增根的性质，首先得方程的增根为 或 ，再通过计算即可得到答案．
【详解】（1）∵ ，
去分母得： ，
移项并合并同类项，得： ，
当方程的增根为 时， ，
∴ ；
（2）当方程有增根时，方程的增根为 或 ，
当 时， ，
当 时， ，
解得： ，
∴ 或 ．
【点睛】本题考查了分式方程的知识；解题的关键是熟练掌握分式方程的性质，从而完成求解．
36．（2022上·山东菏泽·八年级统考期中）若关于 的方程 有增根，求增根和 的值．
【答案】 是增根，
【分析】找出各个分母得最简公分母，即可得到增根，把增根代入去分母后的方程，即可求出k的值．
【详解】解：∵关于 的方程 有增根，最简公分母为：∴ ，即： 或 是增根，
去分母得： ，
把 或 代入上式得： （等式不成立，舍去）或 ，
解得： ．
综上，方程的增根为 ，
【点睛】本题主要考查分式方程的增根以及分式方程去分母，掌握分式方程增根的概念是是解题的关键．
【经典例题七 分式方程的无解问题】
37．（2023上·湖南永州·八年级统考阶段练习）已知关于x的方程 ，若该方程无
解，试求m的值．
【答案】 的值可能为1或 或6．
【分析】化原方程为整式方程，然后根据原方程无解，列出关于m的方程求解即可．
【详解】解：
方程两边同时乘以 ，去分母并整理得： ，
原分式方程有无解，
或 ，
当 时，解得 ；
当 时，解得： 或 ，
当 时，得 ；
当 时，得 ，
的值可能为1或 或6．
【点睛】本题考查分式方程无解问题，解题的关键是掌握解分式方程的方法．
38．（2023下·江苏连云港·八年级统考期末）已知关于x的分式方程 ．
(1)若分式方程有增根，求a的值；(2)若分式方程无解，求a的值．
【答案】(1) ；
(2)a的值为 或2．
【分析】（1）先将分式方程化为整式方程，根据方程有增根，可得到 ，然后代入整式方
程，即可求解；
（2）根据方程无解，可分两种情况：原分式方程有增根和整式方程无解，即可求解．
【详解】（1）解：
方程两边同乘 得
整理可得：
∵原方程有增根
∴ ，即 或 ，
当 时， ，故 应舍去，
当 时， ，解得 ，
∴ 时，方程有增根；
（2）解：由（1）知： 时，原方程无解
当 ，方程 无解
∴ 时，原方程无解
综上所述，a的值为 或2．
【点睛】此题考查了分式方程的增根，理解增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②
把增根代入整式方程即可求得相关字母的值是解题的关键．
39．（2023上·山东泰安·八年级校考阶段练习）解方程：
(1)解方程： ；
(2)解方程： ；
(3)关于x的分式方程 ．
①若方程的增根为 ，求m的值；②若方程有增根，求m的值；
③若方程无解，求m的值．
【答案】(1)
(2)无解
(3)① ；② 或 ；③ 或 或
【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 的值，经检验即可得到分式方程
的解；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 的值，经检验即可得到分式方程的解．
（3）①将原方程去分母并整理，然后将增根代入，解得 值即可；②若原分式方程有增根，则
，解得 的值，再分别代入（1）中的 ，即可解得 值；③分原分式方程有增根时
和 无解两种情况求得 值即可．
【详解】（1）解：去分母得： ，
解得： ，
检验：把 代入得： ，
分式方程的解为 ；
（2）去分母得： ，
解得： ，
检验：把 代入得： ，
是增根，分式方程无解．
（3）①去分母，得： ，
∴ ，
当方程的增根为 时， ，所以 ；
②若原分式方程有增根，则 ，
或 ，
当 时， ，所以 ；
当 时， ，所以 ，
所以 的值为 或9时，方程有增根；③当方程无解时，即当 时， 无解，所以 ；
当方程有增根时，原方程也无解，即 或 时，方程无解，
所以，当 或 或 时方程无解．
【点睛】本题考查了解分式方程，分式方程的解和增根，明确分式方程何时有增根及方程有解与无解的条
件是解题的关键．
40．（2023下·安徽滁州·七年级校考期中）已知，关于 的分式方程 ．
(1)当 ， 时，求分式方程的解；
(2)当 时，求 为何值时，分式方程 无解；
(3)若 ， 为正整数，分式方程 的解为整数时，求 的值．
【答案】(1)
(2) 或
(3)3，55
【分析】（1）将 的值代入分式方程，解分式方程即可得到答案；
（2）把 的值代入分式方程，将分式方程去分母后化为整式方程，分类讨论 的值使分式方程无解即可；
（3）把 代入分式方程，将分式方程化为整式方程，表示出整式方程的解，由解为整数和 为正整数
即可确定 的值．
【详解】（1）解：把 ， 代入分式方程 中，
得： ，
方程两边同时乘以 ，
得： ，
去括号得： ，
移项合并同类项得： ，
系数化为1得： ，检验：把 代入 ，
所以原分式方程的解是 ；
（2）解：把 代入分式方程 ，
得： ，
方程两边同时乘以 ，
得： ，
去括号得： ，
移项合并同类项得： ，
①当 时，即 ，方程无解，
②当 时， ，
时，分式方程无解，即 ， 不存在；
时，分式方程无解，即 ， ，
综上所述， 或 时，分式方程 无解；
（3）解：把 代入分式方程 中，
得： ，
方程两边同时乘以 ，
得： ，
整理得： ，∵ ，且 为正整数， 为整数，
∴ 必为65的因数， ，
∵ ，
∴65的因数有1，5，13，65，
1，5小于11，
可以取13，65这两个数，对应地，方程的解 为0，4，对应地， 的值为3，55，
满足条件的 可取3，55这两个数．
【点睛】本题考查分式方程的计算，熟练掌握解分式方程的步骤是解决问题的前提条件，分式方程无解的
两种情况要熟知：一是分式方程去分母后的整式方程无解，二是分式方程去分母后的整式方程的解是原分
式方程的增根．
41．（2021上·江苏南通·八年级南通市新桥中学校考阶段练习）对于平面直角坐标系 中的点 ，
若点P′的坐标为(a+ ，ka+b)(其中 为常数，且 )，则称点P′为点 的“ 之雅礼点”．例如：
的“ 之雅礼点”为P′（ ， ），即P′（3，6）．
(1)①点 的“ 之雅礼点”P′的坐标为_______．
②若点 的“ 之雅礼点”P′的坐标为 ，请写出一个符合条件的点 的坐标______．
(2)若点 在 轴的正半轴上，点 的“ 之雅礼点”为P′点，且△OPP′为等腰直角三角形，则 的值为
_______；
(3)在（2）的条件下，若关于 的分式方程 无解，求 的值．
【答案】(1)① ；②
(2)
(3) 或 或
【分析】（1）①根据点 为点 的“ 之雅礼点”的定义计算；
②根据点 为点 的“ 之雅礼点”的定义列出算式，求出 、 的值，计算即可；（2）根据 轴的正半轴上点的特征、点 为点 的“ 之雅礼点”的定义计算；
（3）根据分式方程的解法、分式方程无解的概念，分情况计算．
【详解】（1）解：解：①当 ， ， 时， ， ，
点 的“3之雅礼点” 的坐标为 ，
故答案为： ；
② 点 的“ 之雅礼点” 的坐标为 ，
， ，
解得， ， ，
当 时， ，
符合条件的点 的坐标可以是 ，
故答案为： ；
（2）解： 点 在 轴的正半轴上，
， ．
点 的坐标为 ，
点 的“ 之雅礼点”为 点，
点 的坐标为 ，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
．
故答案为： ；
（3）解：当 时，去分母整理得： ，
原方程无解，
① ，即 ，
② ，即 ，则 ；
当 时，去分母整理得： ，
原方程无解，① ，
② ，则 ；
综上所述， 或 或 ．
【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的概念、分式方程的解法以及分式方程无解的判断，解题的关键是
掌握点 为点 的“ 之雅礼点”的定义、分式方程的解法．
42．（2022上·北京·八年级北师大实验中学校考期中）阅读下列材料：
在学习“分式方程及其解法”的过程中，老师提出一个问题：若关于 的分式方程 的解为正数，
求 的取值范围．经过独立思考与分析后，小明和小聪开始交流解题思路，小明说：解这个关于 的方程，
得到方程的解为 ，由题目可得 ，所以 ，问题解决．小聪说：你考虑的不全面，还
必须保证 才行．
(1)请回答： 的说法是正确的，正确的理由是 ．
完成下列问题：
(2)已知关于 的方程 的解为非负数，求 的取值范围；
(3)若关于 的方程 无解，求 的值．
【答案】(1)小聪，分式的分母不能为0；
(2) 且 ；
(3) 或 ．
【分析】（1）根据分式有意义的条件：分母不能为0，即可知道小聪说得对；
（2）首先按照解分式方程的步骤得到方程的解，再利用解是非负数即可求出 的取值范围；
（3）按照解分式方程的步骤去分母得到整式方程，若分式方程无解，则得到增根或者整式方程无解，即
可求出 的范围．
【详解】（1）解：∵分式方程的解不能是增根，即不能使分式的分母为0
∴小聪说得对，分式的分母不能为0．
（2）解：原方程可化为
去分母得：解得：
∵解为非负数
∴ ，即
又∵
∴ ，即
∴ 且
（3）解：去分母得：
解得：
∵原方程无解
∴ 或者
①当 时，得：
②当 时， ，得：
综上：当 或 时原方程无解．
【点睛】本题考查了解分式方程以及根据分式方程的解确定参数范围，重点要掌握解分式方程的步骤：去
分母化成整式方程；再解整式方程；验根．理解当分式方程无解时包含整式方程无解和有曾根两种情况．
【经典例题八 根据分式方程解的情况求值】
43．（2023上·北京延庆·八年级统考期中）给出如下的定义：如果两个实数a，b使得关于 的分式方程
的解是 成立，那么我们就把实数a，b称为关于 的分式方程 的一个“方程数对”，
记为[a，b]．例如： ， 就是关于x的分式方程 的一个“方程数对”，记为[2， ]．
(1)判断数对①[3， ]，②[ ，4]中是关于 的分式方程 的“方程数对”的是 ；（只填序号）
(2)若数对[ ， ]是关于 的分式方程 的“方程数对”，求 的值；
(3)若数对[ ]（ 且 ， ）是关于 的分式方程 的“方程数对”，用含m的代数
式表示k．【答案】(1)①
(2)
(3)
【分析】（1）根据题中运算方法计算判断即可；
（2）根据题意， 是关于 的分式方程 的解，将 代入方程中求解即可；
（3）根据题意， 是关于 的分式方程 的解，将 代入分式方程 中求解即
可．
【详解】（1）解：①当 ， 时，解方程 得 ，
经检验， 是该分式方程的解，又 ，
∴ 是关于 的分式方程 的“方程数对”；
②当 ， 时，解方程 得 ，
经检验， 是该分式方程的解，又 ，
故 不是关于 的分式方程 的“方程数对”，
故答案为：①；
（2）解：∵数对 是关于 的分式方程 的“方程数对”，
∴ 是关于 的分式方程 的解，
将 代入分式方程 中，得 ，
解得 ；（3）解：∵数对 （ 且 ， ）是关于 的分式方程 的“方程数对”，
∴ 是关于 的分式方程 的解，
将 代入分式方程 中，得 ，
则 ，
∵ ，
∴ ．
【点睛】本题考查解分式方程、分式方程的解，理解题中定义，掌握分式方程的解满足分式方程是解答的
关键．
44．（2022下·福建泉州·八年级校考阶段练习）阅读：对于两个不等的非零实数a、b，若分式
的值为零，则 或 ．又因为 ，所以
关于x的方程 有两个解分别为 ， ．
应用上面的结论解答下列问题：
(1)方程 的两个解中较小的一个为______；
(2)解关于x的方程 首先我们两边同加1成 ，设 两个解分别为 ，
（ ），则 ______， ______；
(3)关于x的方程 的两个解分别为 ， （ ），求 的值．
【答案】(1)2
(2) 或
(3)
【分析】（1）根据x的方程 有两个解分别为 ， ，故在方程 中，可得到， ，即可得到 ， 的值，比较大小即可得到答案，
（2）根据题意可得到在 中， ， ，即 或 ，即可得到 的值，
（3）将 变形成为已知条件中的形式 ，可得到
， ，进而得到 ， ，由 ，可得到 ， 的值，从
而可得到答案．
【详解】（1）解：由题意可得， ， ，
∴ ， ，
∴较小的解是2；
（2）解：∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ 或 ，
∴ 或 ；
（3）解：由 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ．
【点睛】本题考查了分式方程，熟练掌握分式方程的解法并理解题中给定的运算方法是解题的关键．
45．（2023上·浙江宁波·八年级统考期末）先阅读下面的材料，然后回答问题：方程 的解为 ， ；
方程 的解为 ， ；
方程 的解为 ， ；
…
(1)根据上面的规律，猜想关于x的方程 的解是 ；
(2)利用（1）的结论解关于x的方程： ；
(3)利用（1）的结论解关于x的方程： ．
【答案】(1)
(2)
(3) 或
【分析】（1）仿照方程解方程，归纳总结得到结果；
（2）方程变形后，利用得出的规律得到结果即可．
（3）根据等式的性质，变形为 ，即可求解．
【详解】（1）猜想关于x的方程 的解是
故答案为： ．
（2）解：
变形得，
∴ 或
解得：（3）解：
∴
∴
∴ 或
解得： 或
【点睛】此题考查了分式方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．弄清题中的规律
是解本题的关键．
46．（2023下·江苏常州·八年级校考期中）阅读：
对于两个不等的非零实数a、b，若分式 的值为零，则 或 ．又因为
，所以关于x的方程 有两个解．分别为
， ．
应用上面的结论解答下列问题：
(1)方程 的两个解分别为 、 ，则 ______， ______；
(2)方程 的两个解中较大的一个为______；
(3)关于x的方程 的两个解分别为 （ ），求 的值．
【答案】(1) ，2
(2)3
(3)2【分析】（1）根据材料可得： ， ，计算出结果；
（2）设方程 的两个解为a，b，同理得 ， ，解出可得结论；
（3）将原方程变形后变为： ，未知数变为整体 ，根据材料中的结论可得：
， ，代入所求式子可得结论．
【详解】（1）解：∵方程 的两个解分别为 、 ，
∴ ， ，
故答案为： ，2；
（2）解：设方程 的两个解为a，b，
则 ， ，
∴ 或 ，
∴两个解中较大的一个为3；
故答案为：3；
（3）解：∵ ，
∴ ，
即 ，
∴ 或 ，
或 ，
∵ ，
∴ ， ，∴ ．
【点睛】此题考查了分式方程的解，弄清题中的规律是解本题的关键．
47．（2023下·福建泉州·八年级福建省泉州第一中学校考期中）阅读理解：如果a，b是两个不等的非零实
数，则有以下两个正确结论：①若 ，则 或 ．
② ．应用上面的结论解答下列问题：
(1)方程 的两个解中较大的一个为 ；
(2)解关于x的方程 ．首先两边同时加上3，将原方程化为 ．设 的
两个解分别为 ，则 ， ；
(3)若关于x的方程 的两个解为 ，求 的值．
【答案】(1)4
(2)2，0
(3)﹣32
【分析】（1）根据材料所给方法解答即可；
（2）将所求的方程变形为 ，再由阅读材料可得 或 ，求出方程的解即可；
（3）将所求的方程变形为 ，再由阅读材料可得 ，整理得
，求出 ，再代入代数式求值即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴ 或 ，∴较大的解为4．
故答案为4．
（2）解：∵ ，
∴ 或 ，
∴ ．
故答案为：2，0．
（3）解：∵ ，
∴ ，
由题意可知： ，整理得： ，
∴ ，
∴
．
【点睛】本题考查分式方程的解，根据所给的阅读材料、将所求的分式方程进行转化是解题的关键．
48．（2023上·重庆忠县·八年级统考期末）对于形如 的分式方程，若 ， ，容易检
验 ， 是分式方程 的解，所以称该分式方程为“易解方程”．例如： 可化为 ，容易检验 ， 是方程的解，∴ 是“易解方程”：又如 可化
为 ，容易检验 ， 是方程的解，∴ 也是“易解方程”．根据上面
的学习解答下列问题：
(1)判断 是不是“易解方程”，若是“易解方程”，求该方程的解 ， ；若不是，说
明理由．
(2)若 ， 是“易解方程” 的两个解，求 的值；
(3)设n为自然数，若关于x的“易解方程” 的两个解分别为 ， ，求
的值．
【答案】(1)是“易解方程”， ，
(2)
(3)
【分析】（1） 可化为 ，根据“易解方程”的定义即可判断；
（2）根据“易解方程”的定义可知 ， ，代入 即可求解；
（3）设 ，方程可化为 ，根据“易解方程”的定义求出方程的解，代入
即可求解．
【详解】（1）解： 是“易解方程”，
理由： 可化为 ， ，∴ 是“易解方程”．
该方程的解为 ， ；
（2）解：由题意可得 ， ，
故 ；
（3）解：由题意得 是“易解方程”，
设 ，方程可化为 ，
易知n和 是这个方程的解，
∵n为自然数，
∴ ，
∴必有 ， ，
∴ ， ，
∴ ．
【点睛】本题属于材料分析题，考查分式方程的解、代数式求值等，理解题中“易解方程”的定义是解题
的关键．
