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专题 03 二次根式的加减重难点题型专训（12 大题型+15 道提优训
练）
题型一 同类二次根式
题型二 二次根式的加减运算
题型三 二次根式的混合运算
题型四 分母有理化
题型五 已知字母的值，化简求值
题型六 已知条件式，化简求值
题型七 比较二次根式的大小
题型八 二次根式的实际应用
题型九 二次根式的新定义问题
题型十 二次根式的阅读理解类问题
题型十一 二次根式加减法中的规律计算
题型十二 二次根式计算综合问题
【知识梳理】
知识点1： 同类二次根式
1. 同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。
2. 合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并
m√a+n√a=(m+n)√a(a≥0)
的依据式乘法分配律，如
知识点2： 二次根式的加减
1. 二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进
行合并。
2. 二次根式加减运算的步骤：
①化：将各个二次根式化成最简二次根式；
②找：找出化简后被开方数相同的二次根式；
③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方
数保持不变。知识点3：二次根式的混合运算
二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括
号里面的（或先去掉括号）
【经典例题一 同类二次根式】
【例1】（24-25九年级上·河南洛阳·阶段练习）若 与 可以合并成一项，则m可以是（ ）
A．50 B．15 C．0.5 D．
【答案】D
【分析】此题主要考查了同类二次根式的定义，即：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根
式叫做同类二次根式．根据同类二次根式的定义，把每个选项代入 化简，检验化简后被开方数是否相
同．
【详解】解：A、把50代入 化简得： ，故A选项不符合题意；
B、把15代入 化简得： ，故B选项不符合题意；
C、把0.5代入 化简得： ，故C选项不符合题意；
D、把 代入 化简得： ，故D选项符合题意；
故选：D．
1．（23-24八年级下·全国·单元测试）下列各式中与 是同类二次根式的是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查二次根式的化简和同类二次根式，先将各项进行化简，再根据同类二次根式的定义进行
解题即可．
【详解】A、 ，与 不是同类二次根式，不符合题意；
B、 与 不是同类二次根式，不符合题意；
C、 与 不是同类二次根式，不符合题意；
D、 与 是同类二次根式，符合题意；
故选：D．
2．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）在 ， ， ， ， ， 中不是 的同类
二次根式的有 ．
【答案】 ，
【分析】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式
称为同类二次根式．
将二次根式 ， ， ， ， ， 分别化简后得到与 是同类二次根式的个数．
【详解】解：二次根式 ， ， ， ， ，
，与 不是同类二次根式是： ， ．
故答案为： ， ．
3．（24-25八年级·上海·假期作业）若 与 是同类二次根式，求 的最小正整数？
【答案】
【分析】 不一定是最简二次根式，从而由同类二次根式定义列出方程求解即可得到答案．
【详解】解：由题意得： （ 为正整数），
，则 ，
当 时， ，解得 ，不是正整数，舍去；
当 时， ，解得 ，符合题意，
即 的最小正整数为 ．
【点睛】本题主要考查同类二次根式的概念，此题中要注意前面一个二次根式并不是最简的，根据题意列
出方程求解是解决问题的关键．
【经典例题二 二次根式的加减运算】
【例2】（24-25八年级上·山西运城·期中）下列各式计算结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，
然后合并同类二次根式．根据二次根式的计算法则及二次根式的性质逐一计算即可得答案．
【详解】解：A． 与 不是同类二次根式，不能合并，故该选项计算错误，不符合题意；
B． ，故该选项计算错误，不符合题意；
C． ，故该选项计算正确，符合题意；D． ，故该选项计算错误，不符合题意．
故选：C．
1．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）下列各式计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算、二次根式的性质等知识点，掌握二次根式的性质成为解题
的关键．
根据二次根式的加减运算法则以及二次根式的性质逐项判断即可．
【详解】解：A. ，故该选项错误，不符合题意；
B. ，故该选项正确，符合题意；
C. 与 不是同类二次根式，不能加减，不符合题意；
D. ，故该选项错误，不符合题意．
故选B．
2．（24-25九年级上·四川眉山·阶段练习）计算： － ＋ ＝ ．
【答案】2
【分析】本题考查了二次根式的减法运算，分母有理化及负整数幂，先化简二次根式，计算负整数幂，再
加减即可．
【详解】解：原式
．
故答案为：2．
3．（24-25八年级上·河南开封·期末）计算：(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查实数混合运算，涉及零指数幂、取绝对值、负整数指数幂运算、二次根式性质、二次根
式加减运算等知识，熟练掌握相关运算法则是解决问题的关键；
（1）根据二次根式的加减计算即可；
（2）先由零指数幂、取绝对值、负整数指数幂运算、二次根式性质化简，再有二次根式加减运算法则求
解即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）原式
．
【经典例题三 二次根式的混合运算】
【例3】（23-24八年级上·四川眉山·期末）化简 的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，积的乘方的逆运算，同底数幂乘法的逆运算，先把原式变
形为 ，进一步变形得到 ，据此计算求解即可．【详解】解：
，
故选：A．
1．（24-25九年级上·湖南衡阳·阶段练习）下列二次根式的运算：① ；② ；③
；④ ；⑤ ；⑥ ；其中运算正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【分析】本题主要考查二次根式的性质及运算，分别根据二次根式的性质以及运算法则计算出各小题后再
判断即可．
【详解】解：① ，故①运算正确；
② ，故②运算错误；
③ ，故③运算正确；
④ ，故④运算错误；⑤ ，故⑤运算错误；
⑥ ，故⑥运算错误；
∴运算正确的是①③，共2个，
故选：A．
2．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）化简：
（1） ；
（2） ；
（3）当 时， ；
（4）当 时， ．
【答案】
【分析】本题主要考查二次根式的化简，牢记二次根式有意义的条件（被开方数大于等于0）、二次根式
的乘除的运算法则和最简二次根式的定义是解题的关键．
（1）根据二次根式的性质化简即可；
（2）根据二次根式有意义的条件可得到 ，再根据二次根式的性质化简即可；
（3）根据二次根式有意义的条件可得到 ，再根据二次根式的性质化简即可；
（4）根据二次根式的性质化简和最简二次根式的定义计算即可．
【详解】解：（1） ；
（2）∵ ，
∴ ，
∴ ；
（3）∵ ， ，
∴ ，∴ ；
（4） ，
，
；
故答案为： ， ， ， ．
3．（2025八年级下·全国·专题练习）已知 ，求下列各式的值：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)12
(2)
【分析】本题考查二次根式的加减，乘法运算，分式的求值，完全平方公式等知识，将所求式子进行合理
的变形，再将已知代入求解是解题的关键．
（1）首先分母有理化，再计算出 ，然后将 利用完全平方公式变形代数求解即可；
（2）首先计算出 ， ，然后将 变形为 ，再代入数据求解即可．
【详解】（1）解：∵ ，
，
，．
（2） ， ，
，
，
∴
．
【经典例题四 分母有理化】
【例4】（23-24八年级上·山东枣庄·阶段练习）已知 ，则代数式 的值为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】A
【分析】将 的值代入代数式中，然后再分母有理化即可．
【详解】解：原式 ；
故选： ．
【点睛】此题考查的是二次根式的分母有理化．1．（24-25九年级上·河南驻马店·阶段练习）观察下列等式：第1个等式： ；第2个等
式： ；第3个等式： ；第4个等式： ，……，
按照上述规律，计算： （ ）
A． B． C．9 D．8
【答案】C
【分析】首先根据题意，得出一般规律 ，代入数字相加即可得解．
【详解】解：第 个等式： ，
第 个等式： ，
第 个等式： ，
第 个等式： ，
……
第n个等式： ，
∴
=
，故C正确．
故选：A．【点睛】本题主要考查了数字的变化规律以及分母有理化，首先要理解题意，找到规律，并进行推导得到
答案．
2．（24-25八年级上·陕西宝鸡·阶段练习）观察下列二次根式的化简： ， ，
， 从计算结果中找到规律，再利用这一规律计算下列式子的值．
．
【答案】
【分析】本题考查的是二次根式的分母有理化以及二次根式的加减运算，先将第一个括号内的各项分母有
理化，此时发现，除第二项和倒数第二项外，其他各项的和为0，由此可计算出第一个括号的值，然后再
计算和第二个括号的乘积，能够发现式子的规律是解答此题的关键．
【详解】
解：原式
，
故答案为： ．
3．（24-25八年级上·湖南娄底·期末）阅读下列材料：
【材料一：分母有理化】① ；
② ；
；
【材料二：分子有理化】
．请结合上述材料，解答下列问题：
(1)化简： __________， ____________．
(2)比较 和 的大小，并说明理由；
(3)计算： ．
【答案】(1) ，
(2)
(3)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算、分母有理化．
（1）利用分母有理化计算即可得解；
（2）先求出 ， ，再比较即可得解；
（3）根据分母有理化计算即可得解．
【详解】（1）解：由题意可得： ，
．
（2）解：
同理
因为
所以 ．（3）解：
．
【经典例题五 已知字母的值，化简求值】
【例5】（24-25八年级下·山东淄博·期中）已知 ，则代数式 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】把 代入计算解题即可．
【详解】解：
，
故选D．
【点睛】本题考查已知未知数的值，求代数式的值，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．1．（24-25九年级上·海南海口·阶段练习）已知 时，则代数式 的值（ ）
A．1 B．4 C．7 D．3
【答案】C
【分析】先把 变形得到 ，再两边平方可得到 ，最后整体代入计算即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ..
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值、完全平方公式等知识点，掌握整体代入的思想是解答本题
的关键．
2．（24-25八年级上·上海·阶段练习）若 ，则 的值是
【答案】
【分析】本题考查了代数式求值，配方法的应用，分母有理化，先分母有理数化得出 ，求出
，将原式变形为 再将 代入求值即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴．
故答案为： ．
3．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）先化简，再求值： ，其中 ．
小芳：
小亮：
解：原式
解：原式
(1)____的解答过程是错误的；
(2)先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】(1)小亮
(2) ，
【分析】本题主要考查二次根式化简求值，掌握二次根式化简以及化去绝对值的方法是解题的关键．
（1）先说明 ，再根据二次根式的性质化简原式可得 ，然后根据 的符号去绝对值即可
判断小亮解法错误；
（2）先说明 ，再根据二次根式的性质化简原式可得 ，然后根据 的符号去绝对值，
然后代入计算即可．
【详解】（1）解：小亮的解答过程是错误的，正确解答如下：
，
．．
小亮的解答过程是错误的．
（2）解： ，
，
∴
．
原式 ．
【经典例题六 已知条件式，化简求值】
【例6】（24-25八年级·江苏·假期作业）代数式 的最小值是（ ）
A．0 B．3 C． D．不存在
【答案】B
【分析】先根据二次根式有意义，求出x取值范围，再根据 ， ， 都随x的增大而增大，
则在x取值范围内x取最小值时代入计算，即可求解．
【详解】解：若代数式 + + 有意义，
则 ，
解得：x≥2，
∵由 ， ， 都随x的增大而增大，
∴当x＝2时，代数式的值最小，即 + + ＝1+0+2＝3．
故选：B．
【点睛】此题考查了函数的最值问题，考查了二次根式的意义．此题难度适中，解题的关键是根据题意求
得x的取值范围．
1．（24-25八年级上·广东深圳·阶段练习）已知 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】把原式化简为含ab、a-b的形式，再整体代入计算．
【详解】∵ ，
∴(a+1)(b−1)=ab−a+b−1=ab−(a−b)−1= −(2 −1)−1=− .
故选A.
【点睛】此题考查二次根式的化简求值，解题关键在于掌握运算法则.
2．（24-25八年级上·上海·阶段练习）已知 ，求 的值 ．
【答案】
【分析】本题考查二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的运算是解答的关键．先由已知条件判定出
a、b的符号，再根据二次根式的性质化简原式，然后代值求解即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ， ，且 ，
∴，
故答案为： ．
3．（24-25九年级上·四川眉山·期中）已知， ， ．求：
(1) 和 的值；
(2)求 的值．
【答案】(1) ；
(2)9
【分析】本题考查了二次根式的化简求值，完全平方公式，平方差公式．熟练掌握二次根式的运算法则是
解题的关键．
（1）先将已知 和 的值进行分母有理化，得到 ， ，再分别根据二次根式的加法
法则和乘法法则即可求出答案；
（2）根据完全平方公式将原式变为 ，再代入（1）的值即可求出答案．
【详解】（1）解： ，
，
，
；
（2）解：由（1）可知， ， ，．
【经典例题七 比较二次根式的大小】
【例7】（24-25八年级上·福建泉州·期末）若
，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分别将a、b、c平方，利用完全平方公式和二次根式的性质化简后对平方进行比较得出结论．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
，
∵ ，即 ，
∵a、b、c都是大于0的实数，
∴ ，
故选：A．
【点睛】本题考查了完全平方公式、二次根式大小的比较等知识点，利用完全平方公式计算出值，是解决
本题的关键．1．（24-25七年级下·江西抚州·阶段练习）已知 ， ，
，那么a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先把 化为 再结合
从而可得答案．
【详解】解：∵ ，
，
，
而
∴
故选A．
【点睛】本题考查的是二次根式的大小比较，二次根式的混合运算，掌握“二次根式的大小比较的方法”
是解本题的关键．
2．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）比较大小：
（1） ；
（2） ．
【答案】
【分析】本题考查二次根式比较大小，分母有理化：
（1）分母有理数后比较大小即可；
（2）比较两数的倒数，进而得出两数的大小关系即可．【详解】解：（1）∵ ，
，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ；
（2）∵ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ．
3．（24-25八年级上·辽宁阜新·期中）阅读材料：像 ； ；
…两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式
互为有理化因式．例如 与 ， 与 ， 与 等都是互为有理化因式．
在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．
例如： ．
解答下列问题：
(1)①比较大小： （填 ， 或 ）
②已知 ， ，则 的值为 ；(2)已知正整数a，b满足 ，求a，b的值．
(3)化简： ．
【答案】(1)① ；②62
(2)
(3)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决
问题的关键．也考查了数字规律型问题的解决方法．
（1）①根据题意得出 ，然后比较
与 的大小即可；
②先算出 ， ，再将 变形后代入求解即可．
（2）先分母有理化，再移项变形得到 ，接着根据有理数和无理数的性质得到
，然后解方程组即可．
（3）先分母有理化，然后合并即可．
【详解】（1）解：①∵ ，
，
∵ ，
∴ ，，
故答案为： ．
②∵ ， ，
∴ ，
，
则 ．
（2）解：∵ ，
，
即 ，
，
解得： ．
（3）解：
．【经典例题八 二次根式的实际应用】
【例8】（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，长方形内有两个相邻的正方形：正方形 和正方形
，面积分别为1和2，那么图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查求阴影部分的面积，二次根式的混合运算．正确的识图，确定长方形的长和宽，是解题
的关键．
分别求出两个正方形的边长，进而得到长方形的长和宽，利用长方形的面积减去两个正方形的面积即可得
解．
【详解】解：∵两个正方形的面积分别为1和2，
∴它们的边长分别为： 和 ，
由图可知，长方形的长为两个正方形的边长之和，即为 ，宽为大正方形的边长，即为 ，
∴阴影部分的面积为 ；
故选：B．
1．（2021·陕西西安·模拟预测）秦九韶是我国南宋著名的数学家，他与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学
四大家，在他所著的《数书九章》中记录了三斜求积术，即三角形的面积 ，其中 ， ， 为三角形的三边长．若一个三角形的三边分别为 ，用公式计算出它的面积为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】直接把已知数据代入进而化简二次根式得出答案．
【详解】解：一个三角形的三边分别为 ，
∴它的面积是：
，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了二次根式的应用，正确化简二次根式是解题关键．
2．（24-25八年级上·山东滨州·期末）古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形
的三边求面积的公式，称为海伦－秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记 ，
那么三角形的面积为 ．如图，在 中， 所对的边分别记为
a、b、c，若 ，则 的面积为 ．【答案】
【分析】本题主要考查了二次根式的应用，读懂题意、理解材料中提供的公式是解题的关键．
根据a、b、c的值求得 ，然后将其代入三角形的面积 求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
3．（2025八年级下·全国·专题练习）阅读下面的材料，解决下面的问题．
古希腊的几何学家海伦在他的《度量》一书中给出了利用三角形的三边求三角形面积的“海伦公式”：如
果一个三角形的三边长分别为a，b，c，设 ，则三角形的面积 ．
我国南宋著名的数学家秦九韶提出了利用三角形的三边求面积的“秦九韶公式”（三斜求积术）：如果一
个三角形的三边长分别为a，b，c，则三角形的面积 ．
(1)若一个三角形的三边长分别是5，6，7，则这个三角形的面积等于______；
(2)若一个三角形的三边长分别是 ，求这个三角形的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的应用，难点在于对各项整理利用算术平方根的定义计算．
（1）把 的长代入公式求出 ，即可得解；
（2）把 的长代入公式求出 ，即可得解．
【详解】（1）解： ，．
答：这个三角形的面积等于 ．
故答案为： ．
（2）解：
．
答：这个三角形的面积是 ．
【经典例题九 二次根式的新定义问题】
【例9】（24-25九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）已知实数a、b，定义“△”运算如下：
，计算 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算，解题关键是理解新定义的含义，列出正确的算式．根据已知条件中的新定义，列出算式，进行二次根式的加减法即可；
【详解】解：∵ ，
∴
故选：A
1．（23-24八年级下·广西贺州·期中）对于任意的正数x、y的新定义运算 为： ，
计算 的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查新定义运算，二次根式混合．理解新定义和掌握二次根式加减运算法则是解题的关键．
先根据新定义运算，将原式转化成二次根式加减运算，再根据二次根式加减运算法则计算即可．
【详解】解：
．
故选：D．
2．（24-25八年级下·河南洛阳·期中）对于任意正数 ， ，定义运算“ ”如下： ，计算 结果为 ．
【答案】 /
【分析】根据题目已知的定义结合二次根式的加减法则进行计算即可．
【详解】解：
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，正确理解新定义运算法则是解题的关键．
3．（24-25八年级下·广东江门·期中）在日常生活中，有时并不要求某个量的准确值，而只需求出它的整
数部分．为了解决某些实际问题，我们定义一种运算——取一个实数的整数部分，即取出不超过实数x的
最大整数．在数轴上就是取出实数x对应的点左边最接近的整数点（包括x本身），简称取整，记为 ．
这里 ， ，其中 是一个整数， ，a称为实数x的小数部分，记作 ，所以
有 ．例如， ， ．
关于取整运算有部分性质如下：
①
②若n为整数，则
请根据以上材料，解决问题：
(1) ______；若 ， ，则 ______；
(2)记 ，求 ．
【答案】(1)3，(2)43
【分析】本题考查新定义、二次根式的混合运算、分母有理数，（1）根据定义直接求解即可；
（2）先进行分母有理化，找出无理数的取值范围，再根据定义求解即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为：3， ；
（2）解： ，
，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【经典例题十 二次根式的阅读理解类问题】
【例10】（24-25八年级下·重庆江津·阶段练习）阅读下列材料，然后回答问题．
在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如 一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ，以上这种化简的步骤叫做分母有理化．请根据上述方法分
析下列结论：
① ；
②若 ， ，则 ；
③ ， 且 ，则
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】①根据题干中给出的信息进行分母有理化，即可判断；
②先化简a、b，然后代入求值即可；
③先化简a、b，然后将a、b代入 ，求出 即可．
【详解】解：① ，故①正确；
② ，
，
∴
，故②正确；③
，
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
，
∴ ，
∴ ，故③正确；
综上分析可知，正确的个数是3个，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了分母有理化，二次根式化简求值，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则，准确计算．
1．（24-25八年级下·广西南宁·期末）请阅读材料，并解决实际问题：
海伦—秦九韶公式
海伦（约公元50年），古希腊几何学家，在数学史上以解决几何测量问题闻名，在他的著作《度量》一书
中证明了一个利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式：假设在平面内，有一个三角形的三条
边长分别为a，b，c，记 ，那么这个三角形的面积 ，这个公式称海
伦公式．秦九韶（约1202-1261），我国南宋时期的数学家，曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公
式 ．它填补了中国数学史上的一个空白，从中可以看出中国古代已经具有很
高的数学水平．通过公式变形，可以发现海伦公式和秦九韶公式实质是同一公式，所以海伦公式也称海伦
—秦九韶公式．问题：在 中， ， ， ，用海伦—秦九韶公式求 的面积为
（ ）
A． B．12 C． D．24
【答案】A
【分析】先求出 的值，再将各值代入公式进行计算即可得．
【详解】解： 在 中， ， ， ，
，
的面积为 ，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式的几何应用，正确理解海伦—秦九韶公式是解题关键．
2．（24-25八年级下·湖北孝感·期中）阅读下列材料：我们知道 ，因此将 的分子分母同时乘以“ ”，分母就变成了4，即 ，从而可以达到
对根式化简的目的．根据上述阅读材料解决问题：若 ，则代数式 的
值是 ．
【答案】2022
【分析】首先对m这个式子进行分母有理化，然后观察要求值的代数式进行拆分代入运算即可．
【详解】解：
∴原式
故答案为：2022．
【点睛】本题考查了二次根式的分母有理化，代数式的求值，观察代数式的特点拆分代入是解题的关键．
3．（24-25八年级上·河南焦作·期中）阅读材料：像 ， ……这种两个
含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算
时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．
例如： ； ．
解答下列问题：
(1) 的有理化因式是________； 的有理化因式是________；
(2)观察下面的变形规律，请你猜想： ________．
， ， …
(3)利用上面的方法，请化简：【答案】(1) ； （答案不唯一）
(2)
(3)9
【分析】本题主要考查二次根式的混合运算及二次根式的化简，分母有理化，熟练掌握二次根式的化简是
解题关键．
（1）根据材料中的定义及二次根式的乘法可以得到解答；
（2）根据材料中给出的规律解答；
（3）根据（2）得到的规律将式子化简变形求解即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ 的有理化因式是 ，
∵ ，
∴ 的有理化因式是 ，
故答案为： ， ；
（2）解： ，
，
，
…
通过观察可得：
故答案为： ；（3）解：
．
【经典例题十一 二次根式加减法中的规律计算】
【例11】（24-25九年级上·河南焦作·阶段练习）如图是一个按某种规律排列的数阵．若用有序实数对
表示第 行，从左到右第 个数，如 表示实数 ，则 表示的实数是（ ）
第1行
第2行
第3行
第4行
…… ……
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查数字类的规律探索，用有序数对表示位置，二次根式．理解题意找出规律是解题关键．
根据表格可知规律为每行数的个数与行数相同，被开方数为正整数按顺序排列，由此可求出第八行第1个
数，从而即可求出第八行第5个数．
【详解】解：由表格可知每行数的个数与行数相同，被开方数为正整数按顺序排列，
∴第八行第1个数为 ，
∴第八行第5个数为 ，∴ 表示的实数是 ．
故选B．
1．（24-25八年级下·广西南宁·期末）观察下列各式： ，……， ，……请
你从上述等式中找出规律，并利用这一规律计算： 的值是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先进行分母有理化，然后进行二次根式的加减法得出结果．
【详解】解：∵ ，
，
……
，
∴原式=
= ，
故选择A．
【点睛】本题考查找规律——式子的变换，解决问题的关键是找到原式分母有理化后的变化规律．
2．（23-24八年级下·山东东营·阶段练习）观察下列各式：
，，
，
请利用你发现的规律，计算：
，其结果为 ．
【答案】
【分析】本题考查二次根式的性质与化简及数字变化的规律，能用含n的等式表示出第n个式子是解题的
关键．
观察题中所给式子各部分的变化规律即可解决问题．
【详解】解：
=
=
=
= ．
故答案为： ．
3．（24-25八年级上·全国·期末）在学习二次根式的过程中，小红发现有一些特殊无理数之间具有互为倒
数的关系．例如：由 ，可得 与 互为倒数，即 ，
．类似地， ， ， ， ，根
据小红发现的规律，解决下列问题：(1) ， ；（ 为正整数）
(2)若 ，则 ；
(3)计算： ．
【答案】(1) ，
(2)
(3)
【分析】本题考查了二次根式的化简求值、分母有理化，掌握二次根式的混合运算法则、平方差公式是解
题的关键．
（1）根据上述规律，进行解答，即可；
（2）根据题意，则 ，可得， ，再根据平方差公式，即可求出 ；
（3）根据上述规律，则 ， ， ，……，进行解答，即可．
【详解】（1）解：由题意可得，
∴ ， ，
故答案为： ， ．
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ．
故答案为： ．
（3）解：∵ ， ， ，……，
∴
．
【经典例题十二 二次根式计算综合问题】
【例12】（24-25八年级上·宁夏银川·期中）小明在解决问题：已知 ，求 的值．他是
这样分析与解答的：
，
．
，即 ．
．
．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
(1)计算∶ _____．(2)计算： ；
(3)若 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)9
(3)5
【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的化简求值，二次根式的加减混合，熟练掌握分母有理化是解
题的关键．
（1）利用分母有理化计算；
（2）先分母有理化，然后合并即可；
（3）先化简a，求出 ，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】（1）解： ，
故答案为： ．
（2）解： ，
，
，
，
，
．
（3）解： ，
∴ ，∴ ．
1．（23-24八年级上·江西抚州·阶段练习）化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以
分母的有理化因式的方法就可以了，例如： ，
，
(1)若 ，求 的值；
(2)比较 与 的大小，并说明理由．
(3)利用这一规律计算： ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（ ）先化简 ，再代入代数式计算即可；
（ ）利用倒数的关系，先分别化简 、 ，比较结果的大小，进而可比较
与 的大小；
（ ）由题意可得每项可表示为 ，利用该规律拆项后计算即可求解；
本题考查了二次根式的化简及化简求值，二次根式的混合运算，掌握二次根式的化简是解题的关键．【详解】（1）解：∵ ，
∴原式
，
，
；
（2）解：∵ ，
，
又∵ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：∵ ，
，
，
，
∴原式
，
．
2．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）计算(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ；
(6) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【分析】本题考查二次根式的运算，熟练掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键：
（1）先化简，再合并同类二次根式即可；
（2）先化简，再进行乘法运算，然后合并同类二次根式即可；
（3）先分母有理化，再合并同类二次根式即可；
（4）先计算括号内，再进行除法运算即可；
（5）先计算括号内，再进行除法运算即可；（6）根据乘除运算法则进行计算即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
（3）解：原式
；
（4）解：原式
；（5）解：原式
；
（6）解：原式
．
3．（2024·广东肇庆·一模）【发现问题】
由 得， ；如果两个正数 ， ，即 ， ，则有下面的不等式：
，当且仅当 时取到等号．
【提出问题】若 ， ，利用配方能否求出 的最小值呢？
【分析问题】例如：已知 ，求式子 的最小值．
解：令 ，则由 ，得 ，当且仅当 时，即 时，式子有最小
值，最小值为4．
【解决问题】
请根据上面材料回答下列问题：
（1） __________ （用“ ”“ ”“ ”填空）；当 ，式子 的最小值为__________；
【能力提升】
（2）用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米），问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？
（3）如图，四边形 的对角线 、 相交于点 ， 、 的面积分别是8和14，求四
边形 面积的最小值．
【答案】（1） ，2；（2）当长、宽分别为8米，4米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是 米；（3）
四边形 面积的最小值为
【分析】本题考查了配方法在最值问题中的应用，同时本题还考查了等高三角形的在面积计算中的应用．
（1）当 时，按照公式 （当且仅当 时取等号）来计算即可；当 时， ，
，则也可以按公式 （当且仅当 时取等号）来计算；
（2）设这个长方形花园靠墙的一边的长为 米，另一边为 米，则 ，可得 ，推出篱笆长
，利用题中结论解决问题即可
（3）设 ，已知 ， ，则由等高三角形可知： ，用
含 的式子表示出来，再按照题中所给公式求得最小值，加上常数即可．
【详解】解：（1）∵ ，且 ，
∴ ；
当 时， ，
故答案为： ，2；
（2）设这个长方形花园靠墙的一边的长为 米，另一边为 米，
则 ，，
这个篱笆长 米，
根据材料可得， ，当 时， 的值最小，
或 （舍弃），
，
∴当长、宽分别为8米，4米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是 米．
（3）设 ，已知 ， ，
则由等高三角形可知： ，
，
，
四边形 面积
当且仅当 ，即 时，取等号，
四边形 面积的最小值为 ．
1．（24-25九年级上·四川内江·期末）下列运算正确的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据每一选项依次计算判断即可得解．
【详解】解：A、 与 不能合并，所以A选项错误；
B、 ，所以B选项错误；
C、 ，所以C选项正确；
D、 ，所以D选项错误．
故选：C．
2．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）若 与 是同类二次根式，则 的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式的性质和同类二次根式的定义，能熟记同类二次根式的定义的内容是解此题
的关键．
根据同类二次根式的定义逐个判断即可．
【详解】解：A、 ，与 不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
B、 ，与 是同类二次根式，故本选项符合题意；
C、 ，与 不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
D、 ，与 不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
故选：B
3．（24-25九年级上·河南焦作·阶段练习）如图是一个按某种规律排列的数阵．若用有序实数对 表示
第 行，从左到右第 个数，如 表示实数 ，则 表示的实数是（ ）第1行
第2行
第3行
第4行
…… ……
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查数字类的规律探索，用有序数对表示位置，二次根式．理解题意找出规律是解题关键．
根据表格可知规律为每行数的个数与行数相同，被开方数为正整数按顺序排列，由此可求出第八行第1个
数，从而即可求出第八行第5个数．
【详解】解：由表格可知每行数的个数与行数相同，被开方数为正整数按顺序排列，
∴第八行第1个数为 ，
∴第八行第5个数为 ，
∴ 表示的实数是 ．
故选B．
4．（23-24八年级下·全国·单元测试）给出下列各式：① ；②6；③ ；④ ；⑤
；⑥ ．其中二次根式的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键；
根据二次根式的定义，一般地，把形如 的式子叫做二次根式逐项判断即可．
【详解】解： ，
是二次根式，故①符合题意；
6不是二次根式，故②不符合题意；，
不是二次根式，故③不符合题意；
，
，
是二次根式，故④符合题意；
，
是二次根式，故⑤符合题意；
是三次根式，故⑥不符合题意；
综上所述，二次根式有 个，
故选：B．
5．（24-25八年级下·重庆江津·阶段练习）二次根式除法可以这样做，如
，像这样通过分子，分母同乘一个式子把分母中的根号化去或者把根号
号中的分母化去，叫做分母有理化．有下列结论：①将式子 进行分母有理化，可以对其分子、分
母同时乘以 ；②若a是 的小数部分，则 的值为 ；③比较两个二次根式的大小：
；④计算： ；⑤若x= ，
，且 ，则整数 ．以上结论正确的是（ ）
A．①③④ B．①②④⑤ C．①③⑤ D．①③④⑤
【答案】D
【分析】本题考查了分母有理化，以及二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键题．
①类比示例，利用分式的基本性质进行分母有理化；②估计无理数的整数部分，求出小数部分 ，进而分母有理化进行化简；
③通过分母有理化，比较两个二次根式的大小；
④通过分母有理化找到题中无理式求和的运算规律，从而化简求出值；
⑤ 与y可以利用分母有理化化简， 可得出x与y互为倒数，故 ，然后观察方程特点，求得n的值．
【详解】解： ，故将式子 进行分母有理化，可以对其分子、分母
同时乘以 ，故①正确；
∵a是 的小数部分， ，
∴ ，
∴ ，
故②错误；
∵ ， ，
∴ ，故③正确；
，故④正确；
⑤∵ ，
∴ ，∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
，
，
，
，
∵ ，
∴ ，
即 ，
解得 ．故⑤正确．
故选：D．
6．（24-25八年级上·上海闵行·期中）如果最简二次根式 与 是同类二次根式，那么 的值等于
．
【答案】
【分析】本题考查同类二次根式，根据同类二次根式的定义得到 ， ，然后求解即可，即
可得出答案．解题的关键是掌握同类二次根式的定义：把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开
方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．也考查了二元一次方程组的应用．
【详解】解：∵最简二次根式 与 是同类二次根式，∴ ，
解得： ，
∴ 的值等于 ．
故答案为： ．
7．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）已知 ，
，则 的算术平方根为 ．
【答案】
【分析】本题考查二次根式的混合运算、二次根式有意义的条件．根据 ，
，可以求得x、y的值，然后即可求得 的平方根．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
∵ ，
∴ ， ， ，
解得 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
8．（24-25八年级上·湖南怀化·期末）对于任意不相等的两个数 ， ，定义一种运算 如下：，如 ，那么 ．
【答案】
【分析】利用新定义的运算规则将原式转化为二次根式的运算，然后化简得出答案即可．
【详解】解： ，
，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，二次根式的混合运算，利用二次根式的性质化简，分母有
理化等知识点，读懂题意，熟练掌握新定义的运算规则是解题的关键．
9．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）阅读以下材料：将分母中的根号化去，叫做分母有理化．分母有
理化的方法，一般是把分子分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号．例如：
，
（1）将 分母有理化可得 ；
（2）关于 的方程 的解是 ．
【答案】 /
【分析】本题考查二次根式分母有理化，及其规律探索，解方程，掌握二次根式分母有理化，发现规律，
解方程方法，找到有理化分母是解题关键．
（1）根据材料进行分母有理化即可．
（2）先分母有理化，再根据式子的规律化简，解方程即可求解．【详解】解：（1） ，
故答案为： ；
（2） ，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
10．（24-25八年级上·贵州黔东南·阶段练习）对于任意不相等的两个数 ， ，定义一种运算※如下：
，如 ．那么 ．
【答案】 /
【分析】主要考查了新定义题型，二次根式混合运算，解题关键是严格按照新定义的运算法则进行计算．
根据※的定义转化为一般的式子，然后进行化简即可求解．
【详解】解∶．
故答案为： ．
11．（江西省九江市2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试题）已知 为 的整数部分， 为 的
小数部分，求下列代数式的值．
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是估算无理数的大小，代数式求值，估算出 的取值范围是解题的关键．
（1）先估算出 的取值范围，求出 、 的值，再代入所求式子中计算即可；
（2）将 、 的值代入求解即可．
【详解】（1）解： ，
，即 ，
的整数部分 ，小数部分 ，
；
（2） ， ，．
12．（23-24八年级上·宁夏银川·期末）计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)1
(2)2
【分析】本题考查了实数的混合运算，二次根式的除法运算，掌握二次根式的性质以及二次根式的运算法
则是解题的关键．
（1）根据二次根式的性质，求一个数的立方根和平方根，进而根据实数的性质进行计算即可；
（2）根据二次根式的乘除法运算进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
13．（24-25八年级上·宁夏银川·期末）计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)(2)
【分析】本题考查实数的混合运算，二次根式的混合运算：
（1）先化简各数，再进行加减运算即可；
（2）先进行乘除运算，再进行加减运算即可．
【详解】（1）解：原式 ；
（2）原式 ．
14．（24-25八年级上·四川达州·期末）定义：我们将 与 称为一对“对偶式”．因为
，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”
来解决．
例如：已知 ，求 的值，可以这样解答：
因为 ，
所以 ．
根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题：
(1)已知： ，则 ______；
(2)化简： ______；
(3)计算： ．
【答案】(1)2
(2)
(3)【分析】本题考查分母有理化及二次根式的混合运算，解题的关键是读懂阅读材料，应用“对偶式”进行
分母有理化．
（1）根据阅读材料的方法进行求解即可；
（2）分母有理化即可得答案；
（3）将每个加数分母有理化，再相加即可．
【详解】（1）解：因为 ，
所以 ．
故答案为：2；
（2）解：原式 ，
故答案为： ；
（3）原式
，
．
15．（24-25八年级上·广东梅州·阶段练习）观察下列运算过程：
；
请运用上面的运算方法计算：
(1)已知 ， ，求 的值；(2)求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了计算规律探究、分母有理化、平方差公式，发现计算规律并正确运用是解题关键．
（1）根据分母有理化得出 ， ，进而得到 ， ，再代入代数式进行计算
即可求解；
（2）根据运算方法可得到 ，然后按照规律计算即可．
【详解】（1）解： ， ，
， ，
， ，
；
（2）
．
