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期中重难点真题特训之易错必刷题型（86题39个考点）专练
【精选最新考试题型专训】
易错必刷题一、二次根式的相关概念
1．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）下列式子中，一定是二次根式的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据被开方数为非负数，再列不等式，逐一分析即可．
本题考查了二次根式的定义，掌握被开方数是非负数是关键．
【详解】解：A、 不是二次根式，故本选项不符合题意；
B、当 时，则它无意义，故本选项不符合题意；
C、由于 ，所以它符合二次根式的定义，故本选项符合题意；
D、当 时，它无意义，故本选项不符合题意；
故选：C．
易错必刷题二、二次根式有意义的条件
2．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）已知 ，则 的值为（ ）
A． B． C．2025 D．4050
【答案】B
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数求得 ，则 ，代入求值即可．
考查了二次根式的意义和性质．概念：式子 叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是
非负数，否则二次根式无意义．【详解】解：由题意，得 ，
解得 ．
∴ ，
∴ ．
故选：B．
3．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）若代数式 有意义，则实数 的取值范围是（ ）
A． ， B． C． D． 且
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，根据二次根式和分式有意义的条件解答
即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：要使代数式 有意义，则 且 ，
∴ 且 ，
故选： ．
4．（23-24八年级下·江苏·自主招生）将式子 根式外的因式移到根式内的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的性质、二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．先
根据二次根式有意义的条件可得 ，再根据二次根式的性质计算即可得．
【详解】解：由题意得： ，且 ，
∴ ，
则，
故选：C．
易错必刷题三、求二次根式的值
5．（23-24八年级下·江苏·阶段练习）已知 ，则 ．
【答案】
【分析】根据二次根式的性质将原式进行化简，注意要结合二次根式有意义的条件进行分情况讨论
【详解】求解．
解：∵ ，
∴ 与 同号，
①当 ， 时，
原式
；
②当 ， 时，
原式，
故答案为： ．
【点睛】此题考查了二次根式的性质，解题的关键是利用二次根式有意义的条件．
6．（23-24八年级下·江苏·阶段练习）若 ，则 ．
【答案】 或
【分析】由于算术平方根等于本身的数有0和1，所以2x-1=0或2x-1=1，解方程即可．
【详解】解：∵ ，
∴2x-1=0或2x-1=1，
解得： 或 1．
故答案为 或 ．
【点睛】本题考查了算术平方根等于本身的数，理解题意列出方程是解题的关键．
7．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）若 求 的值．
【答案】
【分析】此题主要考查了非负数性质以及二次根式，正确得出 ， 的值是解题关键．直接利用算术平方
根和偶次方的非负数性质得出 ， 的值，进而得出答案．
【详解】解： ，
，
解得 ，．
易错必刷题四、求二次根式的参数
8．（23-24八年级下·江苏南京·期中）已知a是正整数， 是整数，则a的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的意义，根据 是正整数， 是正整数，得出 是一个完全平方数，再
将 分解质因数，即可得出结果．
【详解】解： 是正整数， 是正整数，
是一个完全平方数，
，
是一个完全平方数，
的最小值为6，
故选：D．
易错必刷题五、利用二次根式的性质化简
9．（24-25八年级下·江苏常州·阶段练习）若 则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，根据二次根式的性质即可求出答案．
【详解】解： ，
，
，
故选：D．
10．（24-25八年级下·江苏连云港·阶段练习）已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简
的结果是【答案】 /
【分析】本题主要考查了实数与数轴，化简绝对值和二次根式的性质．先根据数轴推出 ， ，
再化简绝对值和利用二次根式的性质化简，最后合并同类项即可得到答案．
【详解】解；由数轴可知 ， ，
∴ ， ，
∴
，
故答案为： ．
11．（24-25八年级下·江苏镇江·阶段练习）化简下列二次根式：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ；
(6) ．
【答案】(1)
(2)(3)
(4)
(5)
(6)
【分析】本题考查了二次根式的性质；关键在于理解二次根式的化简方法，即通过将根号内的数分解为质
因数的乘积，然后利用根式化简的规则，提取平方根，最终得到最简形式．
（1）根据二次根式的性质化简即可求解；
（2）被开方数先化为分数，再根据二次根式的性质化简即可求解；
（3）被开方数先化为假分数，再根据二次根式的性质化简即可求解；
（4）根据二次根式的性质化简即可求解；
（5）先提公因式，再根据二次根式的性质化简即可求解；
（6）根据二次根式的性质化简即可求解．
【详解】（1）解：
（2）解：
（3）解：
（4）解：
（5）解：
（6）解：
易错必刷题六、复合二次根式的化简12．（23-24八年级下·江苏淮安·期中）观察下面的式子： ， ， ，
(1)类比上述式子，再写3个同类型的式子；
(2)用字母表示你猜想的规律，并给出证明．
【答案】(1) ， ，
(2)猜想： ，证明见解析
【分析】本题是数字规律题，分式的化简，二次根式的性质，考查学生把特殊归纳到一般的能力，解题关
键是仔细观察，找出各式的内在联系，
（1）先观察列举出的式子，再写出3个同类型的式子；
（2）可找出它们的一般规律，用含有n的式子表示出来即可，再根据分式的性质化简证明即可．
【详解】（1）解：答案不唯一，如3个同类型的式子是：
， ， ；
（2）猜想： （ 为自然数）．
证明： ．
13．（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）有这样一类题目：将 化简，如果你能找到两个数 、
，使 且 ，则将 将变成 ，即变成 开方，从而使得
化简．
例如， ，请仿照上例解下列问题：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的化简、运算，
（1）结合题干思路方法作答即可；
（2）结合题干思路方法作答即可．
【详解】（1）解： ，
；
（2）解： ，
．
14．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子
可以化成另一个式子的平方，如： ；
．
【类比归纳】
(1)小华仿照小明的方法将 化成了 ，则 __________， __________．
(2)请运用小明的方法化简 ．
【答案】(1)3；
(2)
【分析】本题主要考查了二次根式的性质和完全平方公式的使用，解题的关键在于能够准确读懂题意．（1）将4看成是 ，则 ，由此求解即可；
（2）将7看成是 ，则 ，由此求解即可．
【详解】（1）解：
，
∴ ；
∴ ；
（2）解：
．
易错必刷题七、二次根式的四则混合运算
15．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)1；
(2) ．
【分析】本题考查的是实数的混合运算，二次根式的乘法运算；
（1）先计算乘方，求解立方根，算术平方根，再计算乘法运算，最后计算加减运算即可；
（2）利用二次根式的乘法运算法则与分配律进行简便运算即可；【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
16．（24-25八年级下·江苏南京·期中）计算：
(1)
(2)
【答案】(1) ；
(2)
【分析】本题主要考查二次根式的性质和化简，二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关
键；
（1）先化简二次根式，先计算乘除法，再计算加减法即可；
（2）先计算乘除法，再化简二次根式．
【详解】（1）解：原式
（2）解：原式
17．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）由 ，可知 ，则 的整数部分为3，小数部分为 ．
(1) 的整数部分为 ，小数部分为 ．
(2) 的整数部分为 ，小数部分为 ，求 的值；
(3)已知 与 的小数部分分别为 ，且 求 的值；
【答案】(1)4，
(2)
(3) 或
【分析】（1）根据材料代入运算即可．；
（2）根据题意可得， ， ，代入即可求解；
（3）根据题意可得， ， ，代入即可求解．
本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的性质．
【详解】（1）∵ ，即 ，
∴ 的整数部分为4
∴ 的小数部分为 ．
（2）∵ 即 ，
∴ 的整数部分为1，
∴ 的小数部分为 ．
∴ ， ，
∴ ．（3）已知 与 的小数部分分别为 ，
∵ ，
∴ ，
∴ 的整数部分为10，小数部分为 ，
∵ ，
∴ ，
∴ 的整数部分为 ，小数部分为 ，
∴ ， ， ，
， 或 ．
易错必刷题八、最简二次根式
18．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义．最简二次根式必须满足两个条件：
（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
根据最简二次根式的定义对各选项分析判断，即可求解．
【详解】解：A、 ，不是最简二次根式，不符合题意；
B、 ，不是最简二次根式，不符合题意；
C、 是最简二次根式，符合题意；D、 ，不是最简二次根式，不符合题意．
故选：C．
19．（24-25八年级下·山东临沂·阶段练习）若 与最简二次根式 可以合并，则 的值为
．
【答案】
【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义和二次根式的化简，先把 化简成最简的二次根式，即可
得到关于t的一元一次方程，求出t即可．
【详解】解：化简： ，
∵ 与最简二次根式 可以合并，
∴ ，
解得：
20．（24-25八年级下·江苏南京·期中）已知二次根式 ．
(1)求使得该二次根式有意义的x的取值范围；
(2)已知 是最简二次根式，且与 可以合并．
①求x的值；②求 与 的乘积．
【答案】(1)
(2)① ；②1
【分析】本题考查了二次根式的性质、同类二次根式，二次根式的乘法运算，掌握二次根式的性质和运算
法则是解题的关键．
（1）根据二次根式中被开方数为非负数，求解即可；
（2）①只有同类二次根式才能合并，把 化简为最简二次根式，即可求解；②利用二次根式的乘法法则
求解即可．【详解】（1）∵二次根式 有意义，
∴ ，
解得 ；
（2）① ，
∵ 与 能合并，并且 是最简二次根式，
∴ ，
解得 ；
②由①可得： ．
易错必刷题九、同类二次根式
21．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）已知二次根式 ．
(1)求使得该二次根式有意义的 的取值范围；
(2)已知 是最简二次根式，且与 可以合并．求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，最简二次根式和同类二次根式的定义，熟知二次根式的
相关知识是解题的关键．
（1）根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于 进行求解即可；
（2）根据最简根式和同类二次根式的定义可得 ，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：∵二次根式 有意义，
∴ ，
解得： ；
（2）解： ，∵最简二次根式 与 可以合并，
∴ ，
解得： ．
易错必刷题十、分母有理化
22．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）已知 ， ，则 与 的关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题考查的是二次根式的化简，掌握分母有理化是解决此题的关键．
将 进行分母有理化，即可判断．
【详解】解： ，
故选：A．
23．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）对于有理数 和 ，定义了一种新运算： ，例如
，则 为 ．
【答案】 /
【分析】本题考查二次根式的混合运算，根据新定义代入计算求值即可．
【详解】解：由题意得： ，
故答案为： ．
24．（24-25八年级下·广西南宁·阶段练习）【阅读材料】阅读下列材料，然后回答问题：（材料一）有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互
叫做有理化因式．
例如： 的有理化因式是 的有理化因式是 ．
（材料二）分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去，指的是如果二次
根式中分母有根号，那么通常在分子、分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中根号的目的．
例如： ．
【知识运用】
(1)填空： 的有理化因式是___________（写出一个即可）； 的有理化因式是___________．
(2)把下列式子分母有理化： ．
【答案】(1) （答案不唯一）； （答案不唯一）
(2)
【分析】本题考查了有理化因式，以及分母有理化，理解有理化因式的定义是解答本题的关键．
（1）根据有理化因式的定义求解即可；
（2）把分子、分母都乘以 计算即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ 的有理化因式是 ；
∵ ，
∴ 的有理化因式是 ．
故答案为： （答案不唯一）； （答案不唯一）；
（2）解： ．易错必刷题十一、已知字母的值化简求值
25．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）先化简，再求值： 的值，其中
．
【答案】 ；
【分析】本题主要考查了分式化简求值，熟练掌握分式混合运算法则，是解题的关键．根据分式混合运算
法则进行化简，然后再代入数据求值即可．
【详解】解：
，
把 代入得：原式 ．
26．（24-25八年级下·福建厦门·阶段练习）先化简， 再求值： 其中
【答案】 ；
【分析】本题主要考查了分式化简求值，熟练掌握分式混合运算法则，是解题的关键．根据分式混合运算
法则进行化简，然后代入数据进行计算即可．
【详解】解：，
把 代入得：
原式 ．
27．（24-25八年级下·重庆·阶段练习）请阅读下列材料：
已知 ，求代数式 的值．
小熙根据二次根式的性质： ，联想到了如下解法：
由 得 ，则 ，即 ， ．把 作为整体，得：
∴
．
请运用上述方法解决下列问题：
(1)已知 ，求代数式 的值；
(2)已知 ，求代数式 的值．
【答案】(1)2
(2)2025
【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用、二次根式的乘法、整体思想等知识点，解题的关键是熟练
掌握运算法则，准确计算．
（1）按照例题的方法解答即可；
（2）由 得 ，将其两边平方并利用完全平方公式展开，得到 ；将 整体
代入 计算即可．
【详解】（1）解：由 得 ，则 ，
∴ ，
∴ ．
（2）解：由 得 ，则 ，
∴ ，
∴
．
易错必刷题十二、比较二次根式的大小
28．（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）材料阅读：二次根式的运算中，经常会出现诸如
的计算，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化” ；
．
类似地，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化” ；
．
根据上述知识，请你解答下列问题：
(1)化简 ；(2)比较 与 的大小，并说明理由．
【答案】(1)2
(2) ，理由见解析
【分析】本题考查的是分母有理化：
（1）根据分母有理化是要求把分子分母同时乘以 ，再计算即可得到答案；
（2）根据分子有理化的要求把原式变形为同分子的分数 ，再比较大小即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：∵ ， ，且
，
∴ ．
易错必刷题十三、二次根式的应用
29．（24-25八年级下·河南商丘·阶段练习）有一块长方形木板 ，甲采用如图的方式，将木板的长
增加 ，宽 增加 ，得到一个面积为 的正方形 ．(1)求 的长；
(2)求变动后面积共增加了多少 ；
(3)乙想从长方形木板 中截出长为 、宽为 的长方形木条，最多能截出根这样的木条．
【答案】(1)
(2)174
(3)5根
【分析】本题主要考查了二次根式的应用，矩形面积的计算，正方形面积的计算，解题的关键是熟练掌握
二次根式混合运算法侧．
（1）先求出正方形的边长，然后再求出长方形的各边长，再求出结果即可；
（2）根据矩形面积公式列式计算即可；
（3）根据 ，得出最多能截出5根这样的木条．
【详解】（1）解：∵木板的长 增加 ，宽 增加 ，得到一个面积为192cm的正方形
，
∴正方形 的边长为： ，
答： 的长为 ；
（2）解：∵
∴矩形木板ABCD的面积为 ；
∴变动后面积共增加了 ，答：变动后面积共增加了174 ；
（3）解：∵ ，
又∶ ，
∴从矩形木板ABCD中截出长为2.0cm，宽为1.5cm的矩形木条，最多能截出5根这样的木条．
30．（24-25八年级下·黑龙江佳木斯·阶段练习）据报道某天有一个熊孩子把 楼的啤酒瓶拿到 楼然后
扔下去，所幸并没有人员伤亡，熊孩子也被家长打得屁股开花；据研究从高空抛物到落地所需时间 （单
位： ）和高度 （单位： ）近似的满足公式 （不考虑风速的影响）．
(1)从 高空抛物到落地所需时间 的值是多少？
(2)从 高空抛物到落地所需时间 的值是多少？
(3) 是 的多少倍？
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（ ）把 代入公式计算即可求解；
（ ）把 代入公式计算即可求解；
（ ）根据（ ）（ ）的结果计算即可求解；
本题考查了二次根式的实际应用，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
【详解】（1）解：当 时， ；
（2）解：当 时， ；（3）解： ，
是 的 倍．
31．（24-25八年级下·陕西汉中·期末）如图，在某地的清明上河园景区，有一个用于表演豫剧的矩形舞台
，其面积为 平方米，长为 米．
(1)求这个舞台的宽；（结果化简为最简二次根式）
(2)为了增加舞台效果，准备在舞台的四周铺设宽度均为 米的装饰带（图中阴影部分），求装饰后矩形
舞台 的总面积．
【答案】(1) 米
(2) 平方米
【分析】本题考查二次根式的混合运算的应用，
（1）利用二次根式的除法解题即可；
（2）利用二次根式的混合运算解题即可．
【详解】（1）解：这个舞台的宽为 （米）
答：这个舞台的宽为 米；
（2）解：装饰后矩形舞台 的总面积为
（平方米）．
答：舞台装饰后的面积是 平方米．
易错必刷题十四、勾股定理的证明方法
32．（24-25八年级下·山东济南·期中）用图1中四个完全一样的直角三角形可以拼成图2的大正方形，解答下列问题：
(1)根据图2，利用图形的面积关系，试说明 ．
(2)利用（1）的关系式解答：如果大正方形的面积是25，且 ，求小正方形的面积．
【答案】(1)见解析；
(2)小正方形的面积等于1．
【分析】本题考查了对勾股定理的证明，掌握三角形和正方形面积计算公式是解决问题的关键．
（1）方法1、根据图2是由4个完全一样的直角三角形和1个小正方形构成的，所以其面积 个正方形的
面积 个三角形的面积；方法2、观察图形发现图2是一个正方形，所以其面积 边长 ；写出 、 、
之间的等量关系；
（2）直接用（1）的结论求出结果．
【详解】（1）证明： ，
，
，
；
（2）解： 大正方形的面积是25，
，
，
，，
．
由（1）得 ，
，
小正方形的面积等于1．
易错必刷题十五、以弦图为背景的计算题
33．（23-24七年级下·广西柳州·期中）【综合与实践】
如图，每个小方格的面积均为1，图（1）（2）（3）中以直线三角形三边向外作正方形A、B、C，图中正
方形的面积如下：
A B C
图
（1 4 4 8
）
图
_____ 1
（2 9
_ 3
）
图
_____ 3
（3 9
_ 4
）
（1）在表格中的横线上填空．
【提出问题】（2）根据图（1）（2）（3）中三个正方形的面积关系，若直角三角形两条直角边长分别为a，b，斜边长
为c，写出a，b，c之间的数量关系：______．
【解决问题】
（3）根据（2）中的发现，解决以下问题：
一个垂直于地面的木杆在离地面6米处被折断，木杆顶端落在离木杆底端8米处，木杆折断之前有多高？
【答案】（1）4；25；（2） ；（3）16尺
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，勾股定理的证明：
（1）根据网格的特点，结合正方形面积计算公式求解即可；
（2）根据（1）所求得到 ，即 ；
（3）根据（2）的结论求出 的长即可得到答案．
【详解】解：（1）由题意得，图（2）中正方形A的边长为2，则其面积为4；
图（3）中正方形B的边长为5，则其面积为25；
故答案为：4；25；
（2）由（1）所求可得 ，
∴ ，
故答案为： ；
（3）如图所示，由题意得， 尺， 尺， ，
∴ ，
∴ 尺或 尺（舍去），
∴木杆折断之前有 尺，易错必刷题十六、用勾股定理解三角形
34．（24-25八年级下·山东德州·阶段练习）如图，在等腰 中， ， ，且
，以边 、 、 为直径画半圆，其中所得两个月形图案 和 （图中阴影部
分）的面积之和等于（ ）
A．8 B． C．2 D．4
【答案】C
【分析】本题主要考查了勾股定理，阴影部分面积的计算，解题关键是熟练掌握勾股定理求出
．先根据勾股定理求出 ，得出 ，根据
求出结果即可．
【详解】解：在等腰 中， ， ， ，
，
∴
，
∴
，
∴
∴
．
35．（2025八年级下·江苏常州·专题练习）如图，已知在 中， ， ， ，
D是 上的一点， ，点P从B点出发沿射线 方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的
运动时间为t．过点D作 于点E．在点P的运动过程中，当t为 时，能使【答案】5或11
【分析】根据动点运动的不同位置利用勾股定理即可求解．
本题主要考查动点与三角形的综合运用，理解动点的规律与线段的关系，三角形全等的判定和性质，直角
三角形的勾股定理是解题的关键．
【详解】解：①点P在线段 上时，过点D作 于E，如图1所示：
则 ，
∴ ，
∴ 平 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得： ，
解得： ；
②点P在线段 的延长线上时，过点D作 于E，如图2所示：同①得： ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得： ，
解得： ．
综上所述，在点P的运动过程中，当t的值为5或11时，能使 ．
36．（24-25八年级下·江西九江·阶段练习）如图，在 中， ，垂足为 ， 为 上一点，
交 于点 ，且 ， ， ，
(1)求证： 与 全等；
(2)求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了直角三角形全等的判定和性质，勾股定理，得到 是解答关
键．
（1）根据 得到 ，即可得到 和 是直角三角形，根据判定直角三
角形全等的“ ”得到三角形全等；
（2）由（1）可知 ，进而得到 ，再利用勾股定理求解．
【详解】（1）证明：∵ ，∴ ，
在 与 中，
，，
∴ ，
（2）解：由（1）可知 ，
∴ ，
∴ ．
易错必刷题十七、勾股数问题
37．（24-25八年级下·云南昭通·阶段练习）勾股定理是一个基本的几何定理，在我国西汉时期算书《周髀
算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整
数直角三角形”，这三个整数叫做一组“勾股数”．如：3，4，5；5，12，13；8，15，17；等等都是勾
股数．
(1)如果 是一组勾股数，即满足 ，则 （为正整数）也是一组勾股数．如：5，12，
13是一组勾股数，则______________也是一组勾股数；
(2)世界上第一次给出的勾股数公式，收集在我国的《九章算术》中，书中提到：当
（ 为正整数， 时， 构成一组勾股数；请证明满足以上
公式的 是一组勾股数．
【答案】(1)10，24，26（答案不唯一）
(2)见解析
【分析】本题考查了勾股数，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据勾股数的定义：都是正整数且较小的两个数的平方的和等于最大的数的平方，进行作答即可；
（2）先根据 整理得 ，再结合 ，即可作答．
【详解】（1）解：∵ ，∴10，24，26是一组勾股数
故答案为：10，24，26（答案不唯一）；
（2）解：依题意，
，
∴满足以上公式的 是一组勾股数．
易错必刷题十八、勾股定理与网格问题
38．（24-25八年级下·四川泸州·阶段练习）如图，每个小正方形的边长都为1．
(1)求四边形 的面积；
(2)求四边形 的周长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了勾股定理，网格里求不规则图形的面积，熟练掌握利用分割法或补形法求不规则
图形是解题关键．
（1）利用补形法即可求解四边形 的面积；
（2）利用勾股定理求出 、 、 、 的值，即可求解．
【详解】（1）解：四边形 的面积 ．
（2）解：根据勾股定理，得： ， ，， ，
四边形 的周长 ．
易错必刷题十九、勾股定理与折叠问题
39．（24-25八年级下·浙江金华·期中）如图，有一张直角三角形纸片，两直角边 ，
将 折叠，使点B与点A重合，折痕为 ．
(1)求 的周长．
(2)求 的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由翻折易得 ，则 的周长 ；
（2）由翻折易得 ，利用直角三角形 ，勾股定理即可求得 长．
本题考查了折叠性质以及勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【详解】（1）解：∵将 折叠，使点B与点A重合，折痕为 ，
∴ ，
则 的周长 ；
（2）解：由题意得 ；
设 ，则 ，
，
在 中，根据勾股定理得： ，
即 ，
解得 ；
即 ．
40．（24-25八年级下·山西运城·期末）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为 ，斜边长为 ．课堂上，老师结合图形，用不同的方
式表示大正方形的面积，证明了勾股定理 ．
(1)现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2．若 ， ，则空白部分的面积为 ．
(2)如图3，长方形 沿 折叠，使点 落在边 上的点 处．若 ， ，求 的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键；
（1）根据空白部分的面积 边长为c的正方形的面积 个直角三角形的面积 ，即可求解；
（2）根据勾股定理求得 ，进而设 ，则 ， ，
在 中，勾股定理建立方程，解方程，即可求解．
【详解】（1）解：空白部分的面积 边长为c的正方形的面积 个直角三角形的面积 ，
∵ ， ，
∴空白部分的面积 ；
故答案为： ．
（2）解：∵折叠，
∴ ，在 中，∵ ， ，
∴
∴ ，
设 ，则 ，
在 中，
∴
解得：即
41．（23-24八年级下·辽宁大连·阶段练习）在四边形 中， ，
， ．
(1) 为边 上一点，将 沿直线 翻折至 的位置（点 落在点 处），当点 落在 边上
时，利用尺规作图，在图中作出满足条件的图形（不写作法，保留作图痕迹，用2B铅笔加粗加黑）．并
直接写出此时 _______；
(2)点 为射线 上的一个动点，将 沿 翻折，点 恰好落在直线 上的点 处，求 的长．
【答案】(1)图形见解析，
(2) 或
【分析】本题主要考查图形折叠的性质和勾股定理：
（1）以点 为圆心，以 的长为半径作圆，交 于点 ，连接 ，作 的角平分线，交 于一
点，该点即为 ，连接 ， ， 即为所求；设 ，则 ，根据图形折叠的性质可知
， ，根据勾股定理即可求得答案；
（2）分两种情况计算：当点 在线段 上时；当点 在线段 的延长线上时．
【详解】（1）如图所示，以点 为圆心，以 的长为半径作圆，交 于点 ，连接 ，作 的
角平分线，交 于一点，该点即为 ，连接 ， ， 即为所求．
设 ，则 ．
根据图形折叠的性质可知
， ．在 中
．
则 ．
在 中
，即
．
解得
．
即 ．
（2）①如图所示，当点 在线段 上时．
设 ，则 ．
根据图形折叠的性质可知
， ， ．
在 中
．
则 ．
在 中
，即解得 ．
即 ．
②如图所示，当点 在线段 的延长线上时．
根据图形折叠的性质可知 ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
在 中
．
∴ ．
综上所述， 或 ．
易错必刷题二十、勾股定理的逆定理
42．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）阅读理解试题：请阅读下列材料，并完成相应的任务，两
点间的距离公式：如果平面直角坐标系内有两点 ， ，那么两点间的距离
，例如：若点 ， ，则
(1)已知点 ， ，求 ， 两点间的距离；(2)已知点 ， ， ，判断 的形状．
【答案】(1)
(2) 是直角三角形
【分析】（1）根据两点间距离公式即可求解；
（2）根据两点间距离公式得出 ，再根据勾股定理逆定理，进而即可求解．
【详解】（1）解：根据题意可得：
，
∴ ， 两点间的距离为 ．
（2） ，
，
，
∴ ，
∴ 是直角三角形．
【点睛】本题主要考查了两点间距离公式，勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
43．（24-25八年级下·宁夏银川·阶段练习）如图，在一条河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点
A，B．其中 ．因建设新农村需要，由C到B的道路另作他用，不再通行．该村为方便村民取水决
定在河边新建一个取水点P（A，P，B在一条直线上），并新修建一条道路 ，建成后经测量得到相关数
据 ， ， ．
(1)任务一：在每千米道路造价相同的前提下，试说明道路 设计方案的成本最低（即证明 ）；
(2)任务二：求修建后的路线 比原来的路线 缩短了多少千米．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】本题主要考查了勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理及勾股定
理的逆定理．
（1）根据勾股定理的逆定理解答即可；
（2）设 ，则 ，在 中，由勾股定理建立方程求解即可．
【详解】（1）解：∵ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
根据垂线段最短知：道路 设计方案的成本最低；
（2）解：设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∵ ，
∴修建后的路线 比原来的路线 缩短了 ．
44．（24-25八年级下·贵州毕节·期末）如图，在四边形 中， ， ， ，
，连接 ．
(1)求 的长；
(2)求证： ．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】此题考查了勾股定理以及逆定理的运用．（1）在 中，利用勾股定理求出 的长；
（2）在 中，根据勾股定理逆定理证明 是直角三角形，即可求解．
【详解】（1）解：在 中， ，
，
；
（2）解：在 中， ， ， ，
则 ．
是直角三角形．
．
易错必刷题二十一、勾股定理的实际应用
45．（24-25八年级下·四川成都·期末）每年的 月 日是我国的消防日，为了增强全民的消防安全意识，
某校师生举行了消防演练，如图，云梯 长为 米，云梯顶端 靠在教学楼外墙 上（墙与地面垂
直），云梯底端 与墙角 的距离为 米．
(1)求云梯顶端 与墙角 的距离 的长；
(2)现云梯顶端 下方 米 处发生火灾，需将云梯顶端 下滑到着火点 处，则云梯底端在水平方向上滑
动的距离 为多少米．
【答案】(1) 的长为
(2) 为
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
（1）在 中，根据勾股定理即可得到求解；
（2）在 中，根据勾股定理求出 ，即可得到结论．
【详解】（1）解：∵在 中， ， ，
∴由勾股定理得 ，即 ，
解得： ，
答：云梯顶端 与墙角 的距离 的长为 ；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
在 中， ， ，
由勾股定理得 ，
即 ，
解得： ，
∵ ，
∴ ．
答：云梯底端在水平方向上滑动的距离 为 ．
46．（24-25八年级下·陕西榆林·阶段练习）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范
围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，台风过后，某山坡上的一棵甲树从点 处被拦腰折断，其树
顶恰好落在另一棵乙树的根部 处，已知点 距离甲树的根部 处 为 米，甲、乙两树根部的距离
为 米，两棵树的株距（两棵树的水平距离） 为 米，且点 ， ， 在一条直线上， ，求
甲树原来的高度．
【答案】甲树原来的高度为 米
【分析】问题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
根据勾股定理计算即可．
【详解】解： ，
，
米， 米，
（米），（米），
（米），
甲树原来的高度为 （米），
答：甲树原来的高度为 米.
47．（24-25八年级下·河北邢台·阶段练习）如图，小岛A位于港口C北偏西 方向上，小岛B位于港口
C的北偏东 方向上，且与港口C相距200海里，小岛B与小岛A相距250海里．
(1)求小岛A与港口C的距离；
(2)在小岛B处有一艘载满货物的货船，以每小时20海里的速度从小岛B出发沿B→A方向航行，当货船距
离港口C最近时，求货船还需航行多长时间才能到达小岛A？
【答案】(1)小岛A与港口C的距离为150海里
(2)货船还需航行4.5小时才能到达小岛A
【分析】此题考查了勾股定理的应用，理解题意是解答的关键．
（1）根据勾股定理求解即可；
（2）过点C作 于点D，首先利用等面积法求出 ，然后利用勾股定理求出 ，进
而求解即可．
【详解】（1）解：由题意得 ， ， ．
在 中， ，
∴ ．
答：小岛A与港口C的距离为150海里；
（2）解：过点C作 于点D，当货船航行到点D时，此时货船距离港口C最近．
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ （小时）．
答：货船还需航行4.5小时才能到达小岛A．
易错必刷题二十二、勾股定理中的最短路径问题
48．（2025八年级下·江苏常州·专题练习）如图，长方体的底面边长分别为4cm和8cm，高为10cm，若一
只蚂蚁从点 开始经过4个侧面爬行一圈到达点 ，若蚂蚁的爬行速度为 内蚂蚁能否爬到点 ？
【答案】 内蚂蚁能爬到点
【分析】本题考查平面展开 - 最短路径问题与勾股定理应用，先得到长方体侧面展开图，再利用勾股定理
计算即可．
【详解】解：如图，将长方体的侧面展开在同一平面内，
，
．
，
，
内蚂蚁能爬到点 ．49．（24-25八年级下·广东茂名·期中）动手操作：
（1）如图1，把矩形 卷成以AB为高的圆柱形，则点A与点______重合，点B与点______重合；
探究与发现：
（2）如图2，若圆柱的底面周长是 ，高是 ，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处作
装饰，则这条丝线的最小长度是多少？
（3）如图3，在（2）的条件下，若用丝线从该圆柱的底部A缠绕4圈直到顶部B处，则至少需要多少丝
线？
【答案】（1） ， （2） （3） ．
【分析】（1）根据对称性即可推出答案；
（2）最短距离可以转化为两条直角边分别为 ， 的直角三角形的斜边即可；
（3）用丝线从该圆柱的底部 缠绕4圈直到顶部 处时，剖面图即为 为 的 ，求出 即可．本题考查了平面展开 最短路径问题，勾股定理，几何体的平面展开图，本题重点理解几何体平面展开图
的对应点关系以及熟练解直角三角形的综合应用是解题关键．
【详解】解：（1）把矩形 卷成以 为高的圆柱形，则点 与点 重合，点 与点 重合，
故答案为： ， ；
（2）如图所示，连接 ，
这条丝线的最小长度即为 的长，
由勾股定理得： ，
即这条丝线的最小长度是 ；
（3）若用丝线从该圆柱的底部 缠绕4圈直到顶部 处，如图所示：
在 中， ， ，
，
则 ．
答：至少需要 的丝线．
50．（23-24八年级下·广西南宁·期中）2024年“广西三月三·八桂嘉年华”文化旅游品牌活动在南宁青秀
山风景区拉开帷幕．大家身着民族服饰共赴一场民俗文化盛宴．如图，在地图上A、B两站直线距离为
25km，C、D为青秀山和园博园民俗文化活动场地，且 于A， 于B．已知 ，
，现在小明要在直线 上找到地点E，使得：(1)若要使得C、D两活动点到地点E的距离相等，则小明所在的E站应在离A站多少 处？
(2)若要使得地点E到C、D两地的距离之和最短，则小明所在的E站应在离A站多少 处？并求出
的最短距离．
【答案】(1)小明所在的E站应在离A站 处
(2)则要使得地点E到C、D两地的距离之和最短，则小明所在的E站应在离A站多少15 处，此时
的值为 ．
【分析】本题考查了勾股定理的应用以及等角对等边的性质，利用勾股定理正确建立方程是解题关键．
（1）先根据垂直的定义可得 ，再根据勾股定理可得 ， ，
从而可得 ，设 ，则 ，据此建立方程，解方程即可得．
（2）作点D关于 的对称点 ，连接 交 于点 ，即 到C、D站的距离之和最短，过点 作
的延长线于点F，证明 ，由勾股定理得出 ， 的最小值即为 ，再得出
，根据等角对等边得出 ．
【详解】（1）解：∵使得 两活动点到地点 站的距离相等，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
设 ，则 ，
∵ ， ，
∴ ，
解得： ，∴ ，
则小明所在的E站应在离A站 处．
（2）作点D关于 的对称点 ，连接 交 于点 ，
即 到C、D站的距离之和最短，过点 作 的延长线于点F，
则 ， ， ，
∴ ，
∴ ．
∴ 的最小值即为 ，即
此时 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
则要使得地点E到C、D两地的距离之和最短，则小明所在的E站应在离A站多少15 处，此时
的值为 ．
易错必刷题二十三、勾股定理中的是否受影响型问题
51．（24-25八年级下·湖北黄石·阶段练习）2024年9月第11号台风“摩羯”登陆，使我国很多地区受到
严重影响．据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径 （即以台风中心为圆心，
为半径的圆形区域都会受台风影响）．如图，线段 是台风中心从 市移动到 市的大致路线，是某个大型农场，且 ．若 之间相距 之间相距 ．
(1)判断农场 是否会受到台风的影响，请说明理由；
(2)若台风中心的移动速度为 ，则台风影响该农场持续时间有多长？
【答案】(1)农场 会受到台风的影响，理由见解析；
(2) 小时．
【分析】本题主要考查勾股定理的运用，正确作出辅助线，勾股定理的计算方法是解题的关键．
（1）如图，过 作 于 ，由勾股定理得到 ，由此即可求解；
（2）如图，台风从点 开始影响该农场，到点 以后结束影响，连接 ， ，由勾股定理得
， ，由此即可求解．
【详解】（1）解：农场 会受到台风的影响，理由如下：
如图，过 作 于 ，
，
，
，
的面积 ，
，
，，
农场 会受到台风的影响；
（2）解：如图，台风从点 开始影响该农场，到点 以后结束影响，连接 ， ，
，
，
，
由勾股定理得 ，
，
台风中心的移动速度为 ，
台风影响该农场持续时间是 （小时）．
52．（24-25八年级下·河南漯河·阶段练习）某市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台
风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向
由点 行驶向点 ，已知点 为一海港，当 时， 点到 ， 两点的距离分别为 和
，以台风中心为圆心周围 以内为受影响区域．
(1)海港 受台风影响吗？为什么？
(2)若台风的速度为 ，则台风影响该海港持续的时间有多长？
【答案】(1)海港 受台风影响，理由见解析
(2)持续 小时
【分析】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用
勾股定理解答．
（1）过点 作 ，利用勾股定理求出 ，再利用等面积法得出 的长，进而得出海港 是否受
台风影响；
（3）假设当 ， 时，正好影响 港口，利用勾股定理得出 ， ，再得出
的长，进而得出台风影响该海港持续的时间．
【详解】（1）解：海港 受台风影响，理由如下：
如图，过点 作 ，∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵以台风中心为圆心周围 以内为受影响区域，
∴海港 受台风影响；
（2）解：如图，假设当 ， 时，正好影响 港口，
∴ ， ，
∴ ，
∵台风的速度为 千米/小时，
∴ （小时），
答：海港 受台风影响的时间会持续 小时．
易错必刷题二十四、平行四边形的判定
53．（2024·河北沧州·一模）根据所标数据，不能判断下列四边形是平行四边形的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查平行四边形的判定、平行线的判定等知识，掌握平行四边形的判定条件是解题的关
键．根据平行四边形的判定定理判断即可．
【详解】解：A．根据对角线互相平分能判断该四边形是平行四边形，故不符合题意；
B．根据两组对边分别相等能判断该四边形是平行四边形，故不符合题意；
C．根据图可判断出，一组对边相等，另一组对边平行，不能判断该四边形是平行四边形，符合题意；
D．根据两组对边分别平行能判断四边形是平行四边形，故不符合题意．
故选：C．
54．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）四边形 中， ，对角线 、 交于点 ，增
加下列条件不能使四边形 为平行四边形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平行四边形的判定，三角形全等的判定与性质．根据平行四边的判定定理逐一判断即
可．
【详解】解：A、由 ， ，能判断四边形 是平行四边形，故本选项不符合题意；
B、由 ， 可知，四边形 的一组对边平行，另一组对边相等，据此不能判定该四边
形是平行四边形，故本选项符合题意；
C、由 ， ，能判断四边形 是平行四边形，故本选项不符合题意；
D、∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，能判断四边形 是平行四边形，故本选项不符合题意；故选：B．
55．（24-25八年级下·江苏常州·课后作业）如图，四边形 是平行四边形，E为 延长线上一点，
，连接 交 于点F，连接 、 、 ．
(1)若 ，求 的度数；
(2)已知 ，求证：四边形 是平行四边形．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和平行线的
性质等知识点．
（1）根据平行四边形的性质得出 ， ，根据平行线的性质得出 ，求
出 ，根据 得出即可；
（2）根据等腰三角形的性质得出 ，求出 ，根据全等三角形的性质得出
，再根据平行四边形的判定得出结论即可．
【详解】（1）解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）证明：∵ ， ，
∴ ，在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴四边形 是平行四边形．
易错必刷题二十六、平行四边形的性质
56．（24-25八年级下·河南漯河·阶段练习）如图，四边形 是平行四边形， 和 分别平分
和 ，交 于 ， ． 与 相交于点 ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定，平行线的性质，线段的和差，熟练掌握这些性
质与判定是解题的关键．
（1）由平行四边形的性质得 ， ，由平行线的性质得 ， ，
结合角平分线得出 ， ，得 ， ，则可得出 ，即可
证明；
（2）利用 ，得出 ，再利用线段的和差即可求解．
【详解】（1）解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ 和 分别平分 和 ，
∴ ， ，∴ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
57．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，在周长为 的 中， ， 、 相
交于点 ， 交 于 ，则 的周长为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质，掌握知识点的应用是解题的关键．
由四边形 是平行四边形，则 ，从而得出 垂直平分 ，故有 ，所以 的周
长为 ，再由 为 即可求解．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 的周长
，
∵ 为 ，∴ ，
∴ 的周长为 ，
故选： ．
58．（23-24八年级下·广东佛山·期末）如图，在 中， ，点E是 中点，作 于
点F，已知 ， ，则 的长为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查平行四边形的性质，勾股定理以及三角形面积，熟练掌握平行四边形的性质是解题
的关键．
通过计算 、 的长度，利用三角形面积公式求得 ，即可求出答案．
【详解】解：如图，连接 ，
， 四边形 是平行四边形， ，
， ，
，
，
，
，
，
点 是 中点，
，
，，
，
即 ，
∴ ，
故答案为： ．
易错必刷题二十七、三角形的中位线
59．（24-25八年级下·山西朔州·阶段练习）如图，在四边形 中， ， ，
， ，点 ， 分别是对角线 ， 的中点， 平分 ，则 的长为
．
【答案】
【分析】本题考查三角形中位线的性质，含 的直角三角形的性质，平行线的判定及性质等知识点，取
、 边上的中点 、 ，连接 ， ， ，根据中位线的性质可知 ， ，
， ， ，进而可得 ， ，再结合含 的直角三角形的性质
即可求解．
【详解】解：取 、 边上的中点 、 ，连接 ， ， ，
∵点 ， 分别是对角线 ， 的中点，
∴ ， ， ， ， ，则 ， ，
∴ ，
∵ ，则 ，
∴ 、 、 在同一直线上，则 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
60．（2025·山西吕梁·一模）阅读与思考
下面是小宇同学证明三角形中位线定理的过程，请你仔细阅读并完成相应的任务．
如图 ，在 中，点 、 分别是 、 的中点，连接 ．求证： ，
．
证明：如图 ，延长 到点 ，使 ，连接 ， ，
．
点 是 的中点，
，
四边形 是平行四边形．（依据1），
， ．
点 是 的中点，
，
．
又 ，
四边形 是平行四边形．
， ，（依据2）， ．
任务：
(1)直接写出上面证明中的“依据1”和“依据2”；
(2)小宇继续探究，如图 ，在 中，点 、 分别是 、 的中点，连接 ，点 是 的中点，
连接 ， ， ．求证： ；
(3)我们还学过证明一条线段是另一条线段的一半的数学定理，请你再写出一条与上面内容不同的数学定理：
．
【答案】(1)对角线互相平分的四边形是平行四边形；平行四边形的对边平行且相等
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题主要考查三角形中位线定理的证明及其应用，平行四边形的判定及性质，直角三角形斜边上
的中线等于斜边的一半等，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）通过添加辅助线，利用平行四边形的判定定理，即对角线互相平分的四边形是平行四边形，构造出
平行四边形 ，得 ， ，从而证明四边形 是平行四边形，进而得出结论；
（2）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得 ．因为点 是 的中点，即
，得出 ．根据三角形中位线定理，得 ，进而证明结论；
（3）答案不唯一，合理即可．如平行四边形的对角线互相平分，或在直角三角形中， 的角所对的直角
边等于斜边的一半．
【详解】（1）解：依据 ：对角线互相平分的四边形是平行四边形，
依据 ：平行四边形的对边平行且相等；
（2） 点 、 分别是 、 的中点，，
，点 是 的中点，
，
点 是 的中点，
，
，
；
（3）答案不唯一，合理即可．如平行四边形的对角线互相平分；在直角三角形中， 的角所对的直角边
等于斜边的一半．
61．（23-24八年级下·山西朔州·期末）阅读与思考
问题情境：
如图1，某小区内有一池塘，同学们想利用所学知识测量池塘两端A，B两点间的距离．
可用工具：测量长度的卷尺、测量角度的测角仪．
方法分析：
“圆周率”小组的操作过程如下：如图2，取能直接到达A和B的点C，量出 的长和 的度数；
作 ；在射线 上找一点D，使 ；测出 的长度，就可得到A，B两点间的距离．
“智慧”小组的操作过程如下：如图3，取能直接到达A和B的点C，连接 ， ；分别取 ，
的中点D，E，测出 的长度，乘以2就可得到A，B两点间的距离．
说明：以上各点都在同一水平面内．
（1）上面操作中，“圆周率”小组通过测量 的长度得到A，B两点间的距离，依据是 ．“智慧”小组
通过测量 的长度乘以2，就可得到A，B两点间的距离，依据是 ．迁移应用：
（2）请你设计一种与上面方法不同的测量方案，要求：
①在图1中画出可操作的方案图；
②简要说明你的操作步骤；
③测量方案中，得到A，B两点间的距离的主要依据是 ．
【答案】（1）平行四边形对边相等；三角形的中位线等于第三边的一半；（2）①作图见解析；②步骤见
解析；③全等三角形对应边相等
【分析】（1）根据平行四边形的性质和三角形的中位线性质进行解答即可；
（2）构造全等三角形，画出图形，利用全等三角形的对应边进行解答即可．
【详解】解：（1）“圆周率”小组：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ ，
∴“圆周率”小组通过测量 的长度得到A，B两点间的距离，依据是平行四边形对边相等；
“智慧”小组：∵D，E分别为 ， 的中点，
∴ 为 的中位线，
∴ ，
∴“智慧”小组通过测量 的长度乘以2，就可得到A，B两点间的距离，依据是三角形的中位线等于第
三边的一半；
（2）①如图，
②先在平地上取一个可直接到达A，B的点C，再连接 ，并分别延长 至点D， 至点E，使
， ，最后量出 的距离就是 的距离；
③在 和 中，，
∴ ，
∴ ，
∴得到A，B两点间的距离的主要依据是全等三角形对应边相等．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质的应用，三角形中位线的应用，三角形全等的应用，平
行线的判定，解题的关键是理解题意熟练掌握相关的判定和性质．
易错必刷题二十八、矩形的判定
62．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）如图， 的对角线交于点O，点E、F、G、H分别是
、 、 、 的中点．
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)当 满足什么条件时，四边形 是矩形？请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)当 时，四边形 是矩形，理由见解析
【分析】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理等知识，熟练掌握菱形的
判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．
（1）由三角形中位线定理得 ， ，同理 ， ，再由平行四边形的性
质得 ，则 ， ，即可得出结论；
（2）连接 ，由平行四边形的性质得 ， ， ，再证四边形 是平行四边
形，得 ，然后证 ，即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵G，F分别为 的中点，
∴ 为 的中位线，
∴ ， ，同理可得： ， ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ， ，
∴四边形 是平行四边形；
（2）解：当 时，四边形 是矩形，理由如下，
如图，连接 ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ， ，
∵G，H分别是 的中点，
∴ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵E，F分别是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴平行四边形 是矩形．
易错必刷题二十九、矩形的性质
63．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，在平行四边形 中，点 是边 的中点，连接
并延长，交 的延长线于点 ，连接 ， ．(1)求证： ；
(2)当四边形 是矩形时，若 ，求 的度数．
【答案】(1)证明见解析；
(2) ．
【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定，等腰三角形的性质等知识，熟
练掌握矩形的性质是解题的关键．
（ ）由四边形 是平行四边形，得 ，即 ，根据平行线的性质得 ，
又点 是边 的中点，所以 ，然后由三角形的判定方法即可求证；
（ ）由四边形 为矩形，则 ， ， ，则 ，然后由三角形的外角
性质和等腰三角形的性质得 ，
再通过平行四边形的性质即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，即 ，
∴ ，
∵点 是边 的中点，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ；
（2）解：∵四边形 为矩形，
∴ ， ， ，
∴ ，∴ ，
∵四边形 为平行四边形，
∴ ，
∴ 的度数为 ．
64．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，在矩形 中，点 、 分别在边 、 上，
， ， ，求 的长．
【答案】
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
连接 ，由矩形的性质得到 ， ， ，根据勾股定理得到
， ，继而得出
，求出 ．
【详解】解：如图，连接 ，
矩形 ，
， ， ，
，
，
，
，
，
，，
，
．
65．（24-25八年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，已知 和 的边 、 在同一条直线上，
， ， ．
(1)求证： ；
(2)已知 ， ，连接 、 、 ，当 ___________时，四边形 是矩形．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）求出 ，然后由 证明 即可；
（2）由勾股定理得 ，证明 ，可得 ，当 时，
，可得 ，则四边形 是平行四边形，进而证明平行四
边形 是矩形，然后由三角形面积求出 的长即可．
【详解】（1）证明： ，
∴ ，
在 和 中， ，
；
（2）解： ， ， ，
，
由（1）可知， ，
，
在 和 中，，
，
， ，
∴当 时， ，
∴ ，
四边形 是平行四边形，
，
平行四边形 是矩形，
此时 ，
，
∴当 时，四边形 是矩形．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、矩形的判定、平行四边形的判定和性质、勾股定理以及三
角形面积公式等知识，熟练掌握矩形的判定和全等三角形的判定与性质是解题的关键．
易错必刷题三十、矩形中的折叠问题
66．（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，矩形 中， ， ，M是边 上一点，
将 沿直线 翻折，得到 ．
(1)当 平分 时，求 的长；
(2)连接 ，当 时，求 的面积．
【答案】(1)(2)
【分析】本题考查了矩形与折叠性质，全等三角形性质，勾股定理，掌握全等三角形的性质及勾股定理是
解决此题关键．
(1)由折叠的性质得 ，根据全等三角形性质及角平分线概念得 ，
再由矩形性质可得答案；
(2)延长 交 的延长线于点 ，由矩形性质及折叠性质可得 ，设 ，则
，根据勾股定理及三角形面积公式可得答案．
【详解】（1）解：由折叠的性质得 ，
，
平分 ，
，
，
四边形 是矩形，
，
，
，
，
设 ，
，
，
，
，
；
（2）解：延长 交 的延长线于点 ，四边形 是矩形，
，
，
由折叠的性质得， ，
， ， ，
，
，
设 ，则 ，
，
，
在 中， ，
即 ，
，
， ，
，
，
，
．
67．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，矩形纸片 中，将矩形纸片翻折，使点B落在
对角线 上的点F处，折痕 交 于点 ，若 ，则 的长度为 ．【答案】
【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，根据矩形的性质易得 ，由折叠的性质
可得 ，得到 ，利用勾股定理求出 ，设
，则 ，利用勾股定理建立方程求解即可．
【详解】解：矩形纸片 中， ，
∵将矩形纸片折叠，使点 落在对角线 上的点 处，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∵ ，
在 中， ，
∴ ，即 ，
解得 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
68．（24-25八年级下·陕西西安·期中）已知长方形 中， ， ， 是 边上一点，将
长方形沿直线 折叠，使点 恰好落在对角线 上，则 的长为（ ）
A．5 B．13 C． D．15【答案】C
【分析】根据勾股定理，得到 ， ， ，继而得
到 ，设 ，则 ，利用勾股定理解答即可．
本题考查了矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，熟练掌握勾股定理，矩形的性质是解题的关键．
【详解】解：矩形 中， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
根据折叠的性质，得 ， ， ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴
解得 ．
∴ ，
故选：C．
易错必刷题三十一、菱形的判定
69．（24-25八年级下·四川达州·期末）如图，在 中，对角线 ， 相交于点 ，再添加一个条
件，可推出 是菱形，则这个条件可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查菱形的判定，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线垂直的平行四边形是菱
形，进行判断即可．
【详解】解：∵ ，∴当 时， 是菱形；故选项A符合题意；
B，C，D三个选项都不能推出 是菱形；
故选A．
70．（2023·湖南岳阳·模拟预测）已知：在 中，分别过点B、D作 于点E， 于
点F，如图．请从以下四个关系式中：① ；② ；③ ；④ 选择一个
合适的作为已知条件，使 是菱形．
(1)你选择的条件是______．
(2)添加了条件后，请证明 为菱形．
【答案】(1)③（答案不唯一）
(2)见解析
【分析】本题考查了菱形的判定，关键是掌握菱形的判定方法．
（1）根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，选择条件：③ ；
（2）证 ，可得一组邻边相等，可证 是菱形．
【详解】（1）解：选择的条件是③： ，
故答案为：③；
（2）证明： ，
，
∵四边形 为平行四边形；
为菱形．
易错必刷题三十二、菱形的性质
71．（23-24八年级下·河北邢台·阶段练习）如图，在菱形ABCD中，AB的垂直平分线交对角线AC于点
F，交AB于点E，连接DF，BF．(1)求证： ；
(2)若∠ADC=110°，求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)∠FDC=75°．
【分析】（1）连接BF，由线段垂直平分线的性质得AF=BF，再证 BCF≌△DCF（SAS），得BF=DF，即
可得出结论； △
（2）由菱形的性质得∠DCA=∠DAC=35°，由AF=DF以及三角形的外角性质，得到
∠DFC=∠FDA+∠DAC=70°，据此求解即可得出答案．
【详解】（1）证明：连接BF，如图所示：
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴AF=BF，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=DC，∠BCF=∠DCF，
在△BCF和△DCF中，
，
∴△BCF≌△DCF（SAS），
∴BF=DF，
∴AF=DF；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∠ADC=110°，
∴AD=DC，∠DCA=∠DAC= (180°-∠ADC)= ×70°=35°，∵AF=DF，
∴∠FDA=∠DAC=35°，
∴∠DFC=∠FDA+∠DAC=70°，
∴∠FDC=180°-∠DFC-∠DCA=180°-70°-35°=75°．
【点睛】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、
三角形的外角性质等知识；熟练掌握菱形的性质，证明△BCF≌△DCF是解题的关键．
72．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，在菱形 中，对角线 交于点O，过点A作
于点E，延长 到点F，使得 ，连接 ，
(1)求证：四边形 是矩形；
(2)连接 ，若 ，求 的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定，直角三角形的性质和勾股定理：
（1）根据菱形的性质得到 且 ，等量代换得到 ，推出四边形 是平行四边
形，根据矩形的判定定理即可得到结论；
（2）由菱形的性质得 ，由勾股定理求出 ， ，再由直角三角形斜边上的中线
性质即可得出答案．
【详解】（1）证明： 四边形 是菱形，
且 ，
，
，
，
，
四边形 是平行四边形，
，，
四边形 是矩形；
（2）解： 四边形 是菱形， ，
，
，
∴ ，
在 中，由勾股定理得 ，
在 中， ，
四边形 是菱形，
，
，
．
易错必刷题三十三、菱形的面积计算
73．（2025·陕西榆林·一模）如图，在菱形 中，对角线 与 交于点 ， ．则菱形
的面积是（ ）
A． B．16 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查菱形的性质，由菱形的性质推出 ， ， ，由勾股定理求出
，得到 ，由菱形的面积公式即可求出菱形 的面积．关键是掌握菱形的面
积公式．
【详解】解： 四边形 是菱形，， ， ，
，
，
菱形 的面积 ．
故选：D．
74．（23-24八年级下·北京丰台·期末）如图，在 中， ， 是 中点，连接 分别过
点 ，点 作 ， ，交点为 ．
(1)求证：四边形 是菱形；
(2)若 ， ，求四边形 的面积．
【答案】(1)详见解析
(2)
【分析】（1）先证四边形 是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线性质得 ，
即可得出结论；
（2）过点 作 于点 ，解直角三角形求出 结果即可；
本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质等知识，熟练掌
握平行四边形的判定与性质，证明四边形为菱形是解题的关键．
【详解】（1）解：证明： ， ，
四边形 是平行四边形，
在 中， ， 是 中点，
，
四边形 是菱形；
（2）过点 作 于点 ，则 ，如图：，
，
，
在 中， ，
根据勾股定理可得， ，
在 中， ， ， ， ，
，
是 的中点，
，
．
易错必刷题三十四、正方形的判定
75．（24-25八年级下·山西运城·期中）如图，已知四边形 是平行四边形，添加以下条件，不能判定
四边形 是正方形的是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】D
【分析】本题考查了正方形的判定．熟练掌握正方形的判定方法是解题的关键．
根据正方形的判定方法逐一判断即可求解．
【详解】∵ 是平行四边形，∴添加以下条件，
A. ， ，能判定四边形 是正方形；
B. ， ，能判定四边形 是正方形；C. ， ，能判定四边形 是正方形；
D. ， ，只能判定四边形 是菱形，不能判定四边形 是正方形．
故选：D．
易错必刷题三十五、正方形的性质
76．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在正方形 中， ，O、E、F、M分别为
的中点，则 的长等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接 ，则 ；在 中，由勾股定理求得 ，由直角三角形斜边上中线的性
质，求得 ，从而求得 ．
【详解】解：如图，连接 ，
∵ 分别是 的中点，
∴ ；
∵四边形 为正方形， ，
∴ ， ；
∵点E为 的中点，
∴ ，
在 中，由勾股定理得 ，
∵点F为直角三角形斜边上中点，
∴ ，∴ ；
故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形中位线定理，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识，
掌握这些知识是解题的关键．
77．（24-25八年级下·浙江金华·期末）如图，正方形 由四个全等的直角三角形（ ， ，
， ）和中间一个小正方形 组成，连接 ．若 ， ，则 （ ）
A．5 B． C． D．4
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理，正方形的性质，全等三角形的性质，先求得 ，利用勾股定理
即可解答．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
是四个全等的直角三角形， ，
， ，
四边形 为正方形，
，，
故选：C．
78．（24-25八年级下·福建福州·阶段练习）在正方形 中， 为 上一动点，连接 交对角线
于点 ．
(1)连接 ，如图1，求证： ；
(2)如图2，过点 作 交 于点 ，求证： ；
(3)在（2）的条件下，如图3，连接 ，当 ， 时，求 的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据正方形的性质，全等三角形的判定和性质，即可；
（2）连接 ，根据正方形的性质，全等三角形的判定和性质，可得 ， ，
，根据 ，四边形的内角和，则 ，推出
，根据平角的性质，可 ，等量代换，可得 ，根
据等边对等角，可得 ，根据三角形的内角和，即可；
（3）延长 到 ，使 ，根据正方形的性质，全等三角形的判定和性质，可得
， ，由（2） ，根据角的数量关系，可得 ，根据
全等三角形的判定和性质，可得 ， ，再根据线段之间的数量关系，即可．
【详解】（1）解：证明如下：
∵四边形 是正方形， 是对角线
∴ ，
∵ 是公共边
∴
∴ ．
（2）解：证明如下：连接 ，
∵四边形 是正方形， 是对角线，
∴ ， ，
在 和 中，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 ．
（3）解：延长 到 ，使 ，
∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴
∴ ．
【点睛】本题考查正方形，全等三角形，等腰三角形的知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，
正方形的性质，等腰三角形的性质，进行解答，即可．
易错必刷题三十六、中点四边形
79．（23-24八年级下·山西朔州·期中）已知：如图，四边形 四条边上的中点分别为 、 、 、
，顺次连接 、 、 、 ，得到四边形 （即四边形 的中点四边形）．
(1)四边形 的形状是________，并证明你的结论．
(2)当四边形 的对角线满足________条件时，四边形 是矩形．(3)在教材课本中你学过的哪种特殊四边形的中点四边形是菱形？________
【答案】(1)平行四边形，证明见解析
(2)
(3)矩形
【分析】（1）连接BD，然后根据三角形中位线可进行求解；
（2）根据矩形的判定定理可进行求解；
（3）由矩形的性质可进行求解．
【详解】（1）解：四边形 的形状是平行四边形，理由如下：
如图1，连结 ．
∵ 、 分别是 、 中点，
∴ ， ，
同理 ， ，
∴ ， ，
∴四边形 是平行四边形；
（2）解：当四边形 的对角线满足 时，四边形 是矩形；理由如下：
连结AC，如图所示：
由（1）可知四边形 是平行四边形，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形；
（3）解：由（1）可知四边形 是平行四边形，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是菱形；
故答案为矩形．
【点睛】本题主要考查中点四边形、三角形中位线、矩形的性质与判定及菱形的判定，熟练掌握中点四边
形、三角形中位线、矩形的性质与判定及菱形的判定是解题的关键．
易错必刷题三十七、平行四边形的存在性问题
80．（23-24八年级下·天津蓟州·期末）如图，在四边形 中， ， ， ，
，点P从点D出发，以每秒1个单位长度的速度向点A运动，点Q从点B同时出发，以每秒2个
单位长度的速度向点C运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点P运动时
间为t秒．
(1)当点P运动停止时， ______，线段 的长为______；
(2)①用含t的式子填空： ______， ______， ______；
② t为何值时，四边形 为矩形，求出t的值；
(3)在运动的过程中，是否存在某一时刻t，使以P，D，C，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请
求出t的值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ；
(2)① ； ； ；②
(3)
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，矩形的判定，一元一次方程的几何应用：（1）分别计算出点P和点Q到达终点的时间，进而得到停止时间，据此求出对应的 的长即可；
（2）①根据题意列出对应的代数式即可；②根据题意可得当四边形 是平行四边形时，四边形
是矩形，则 ，据此列出方程求解即可；
（3）根据题意可得四边形 为平行四边形，则 ，据此列出方程求解即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴点P运动9秒后停止，即 ，
∴ ，
故答案为： ； ；
（2）解：①由题意得， ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ； ； ；
②∵ ，
∴当四边形 是平行四边形时，四边形 是矩形，
∴此时有 ，
∴ ，
解得 ；
（3）解：∵以P，D，C，Q为顶点的四边形为平行四边形，且 ，
∴此时四边形 为平行四边形，
∴ ，
∴ ，
解得 ．
81．（23-24八年级下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，长方形 ， ， ．在 上取一点 ，沿 折叠，点 恰
好落在 上的点 处．(1)点 的坐标为___________．
(2)求点 的坐标；
(3)若点 是平面内一点，是否存在点 ，使得以 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，
直接写出点 的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由 ， 即可求解；
（2）设 ，则 ，计算出线段 即可利用勾股定理求解 ，进而可求点 的坐标；
（3）根据“平行四边形的对角线互相平分”即可分类讨论求解．
【详解】（1）解：∵
∴点 的坐标为
故答案为：
（2）解：由题意得：
∴
设 ，则
在 中：
解得：∴点
（3）解：由题意得可得：
设点
为对角线，则有：
解得：
故
为对角线，则有：
解得：
故
为对角线，则有：
解得：
故
综上所述：【点睛】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理．熟记相关结论是解题关键．
82．（23-24八年级下·甘肃兰州·期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝
12cm，BC＝18cm，点P从点A出发以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以2cm/s的速度
向点B运动，当点Q到达点B时，点P也停止运动，设点P，Q运动的时间为ts．
(1)从运动开始，当t取何值时，PQ∥CD？
(2)在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形PQCD是菱形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明
理由；
(3)从运动开始，当t取何值时，四边形PQBA是矩形？
(4)在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形PQBA是正方形？若存在，请求出t值；若不存在，请说
明理由．
【答案】(1)4
(2)不存在，理由见解析
(3)6
(4)不存在，理由见解析
【分析】（1）利用平行四边形的判定和性质进行求解即可；
（2）利用菱形的判定和性质进行求解即可；
（3）利用矩形的判定和性质进行求解即可；
（4）利用正方形的判定和性质进行求解即可．
【详解】（1）解：由运动知，AP＝tcm，CQ＝2tcm，
∴DP＝AD﹣AP＝（12﹣t）cm，
∵ ，要 ，
∴四边形CDPQ为平行四边形，
∴DP＝CQ，
∴12﹣t＝2t，
∴t＝4，
即t＝4时，PQ CD；
（2）不存在，理由：∵四边形PQCD是菱形，
∴CQ＝CD，
∴2t＝10，
∴t＝5，
此时，DP＝AD﹣AP＝12﹣5＝7（cm），
而DP≠CD，
∴四边形PQCD不可能是菱形；
（3）如图，∵∠B＝90°，AD BC，
∴当AP＝BQ时，四边形ABQP是矩形，
即t＝18﹣2t，
解得：t＝6，
∴当t＝6时，四边形PQBA是矩形；
（4）由当t＝6时，四边形PQBA是矩形，
∴AP＝6cm，
∵AB＝8cm，
∴AP≠AB，
∴矩形PQBA不能是正方形，
即不存在时间t，使四边形PQBA是正方形．
【点睛】本题考查四边形中的动点问题．解题的关键是熟练掌握平行四边形、菱形、矩形和正方形的判定
和性质，确定动点的位置．
易错必刷题三十八、平行四边形的旋转问题
83．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，四边形 是正方形， ， 分别是 和 的延长线
上的点，且 ，连接 ， ， ．(1) 可以看作是 经过平移、轴对称或旋转中的一种变换得到，请写出得到 的变换过程；
(2)已知 ， ，直接写出四边形 的面积为________．
【答案】(1) 是由 绕点A顺时针旋转 得到
(2)25
【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于
旋转角；旋转前、后的图形全等．
（1）根据正方形的性质得 ， ，则可根据“ ”证明 ，
于是根据旋转的定义，将 绕A点顺时针方向旋转90度得到 ；
（2）由 得 ，所以 ，然后根据正方形的面积公式计算即可．
【详解】（1）解： 四边形 是正方形，
， ，
在 和 中 ，
，
∴ ，
∴ ，
可以由 绕旋转中心A点，按顺时针方向旋转90度得到；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
，
，
．84．（23-24八年级下·北京海淀·阶段练习）已知：如图，正方形 中，点E是 边上一点，将线段
绕点A逆时针方向旋转 得到线段 ，连接 ．
(1)补全图形：求证： ．
(2)以 的中点G，连接 ，猜想 的位置关系，并证明．
【答案】(1)补全图形以及证明见解析
(2) ，证明见解析
【分析】（1）根据 可证 ，根据 可证 ，即可求证；
（2）取 的中点O，连接 ，先证 ，可得 ，进而可知
点A，E，D，C在以 为直径的同一个圆上，即可求解．
【详解】（1）解：补全图形如图所示：
证明：∵四边形 是正方形，
∴ ，
∵将线段 绕点A逆时针方向旋转 得到线段 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∵ ，∴ ，
∴ ．
（2）解： ，理由如下：
∵将线段 绕点A逆时针方向旋转 得到线段 ，
∴ ，
∴ ，
∵点G是 的中点，
∴ ，
∴ ，
取 的中点O，连接 ，
∴ ，
∴点A，E，D，G在以 为直径的同一个圆上，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了正方形的性质、斜中半定理、四点共圆问题等知识点．熟记相关知识点并进行严密的
几何推理是解题关键．
易错必刷题三十九、平行四边形中的最值
85．（23-24八年级下·浙江台州·期中）如图，C为线段 上一动点，分别过点B，D作 ，
，连结 ， ，已知 ， ， ．
(1)请问点C什么位置时 的值最小？最小值为多少？
(2)设 ，则 可表示为 ，请直接写出 的最小值为
______．【答案】(1)点C在线段 和 交点处时 最小为10
(2)10
【分析】本题主要考查勾股定理及矩形的判定，熟练掌握勾股定理及矩形的性质与判定是解题的关键；
（1）根据两点之间线段最短及结合勾股定理可进行求解；
（2）根据（1）可直接进行求解．
【详解】（1）解：根据两点之间线段最短可知：当A、C、E三点共线时，即点C在线段 和 交点处
时 的值最小，如图所示：
过点A、D分别作 ， ，交于一点F，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，即 ，
∴四边形 是矩形，
∵ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最小值为10；
（2）解：由（1）可知： 的最小值为10；
故答案为10．
86．（23-24八年级下·江苏常州·单元测试）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE＝2，AE＝
3BE，P是AC上一动点，连接PE，PB．(1)在AC上找一点P，使△BPE的周长最小（作图说明）；
(2)求出△BPE周长的最小值．
【答案】(1)见解析
(2)12
【分析】（1）连接DE，交AC于点P′，连接BP′，当点P在点P′处时，△BPE的周长最小．理由：证明
△AB P′≌△AD P′，即可求解；
（2）根据（1）可得P′B＋P′E＝DE．再由AE＝3BE，可得AE＝6．从而得到AD＝AB＝8．再由勾股定理，
即可求解．
【详解】（1）解：如图，连接DE，交AC于点P′，连接BP′，当点P在点P′处时，△BPE的周长最小．
理由：在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAC=∠DAC，
∵AP′=AP′，
∴△ABP′≌△ADP′，
∴BP′=DP′，
∴BP+PE= DP′+ P′E≥DE，
即当点P位于PP′时，△BPE的周长PB+EP+BE最小；
（2）解：由（1）得：B P′=DP′，
∴P′B＋P′E＝DE．
∵BE＝2，AE＝3BE，
∴AE＝6．
∴AD＝AB＝8．
∴DE＝ ＝10．
∴PB＋PE的最小值是10．
∴△BPE周长的最小值为10＋BE＝10＋2＝12．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，最短距离，全等三角形的判定和性质等，熟练掌握相
关知识点是解题的关键．
