文档内容
第一次月考押题重难点检测卷（提高卷）
（满分120分，考试时间120分钟，共26题）
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号
填写在答题卡上；
2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦
干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效；
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效；
4.测试范围：二次根式、勾股定理全部内容；
5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第I卷（选择题）
一、选择题（10小题，每小题3分，共30分）
1．（24-25八年级上·江西宜春·期末）下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查最简二次根式，熟练掌握以上知识是解题的关键．
根据最简二次根式的被开方数不含分母，不含能开方开的尽的因数或因式，进行判断即可．
【详解】解：A、 ，不是最简二次根式，不符合题意；
B、 是最简二次根式，符合题意；
C、 ，不是最简二次根式，不符合题意；
D、 ，不是最简二次根式，不符合题意；
故选B．
2．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）下列计算正确的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的运算，根据二次根式的乘法、除法、加减法法则以及二次根式的性质逐项
判断即可．
【详解】解：A． ，原计算错误，不符合题意；
B． ，原计算错误，不符合题意；
C． ，原计算错误，不符合题意；
D． ，原计算正确误，符合题意；
故选：D．
3．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）利用四个全等的直角三角形可以拼成如下图所示的“赵爽弦
图”，在用“赵爽弦图”的面积验证勾股定理时，用到的相等关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理的证明，根据面积关系证明勾股定理是解题的关键；根据大正方形的面积等
于4个直角三角形的面积与小正方形的面积之和证明即可．
【详解】解：由题意知：大正方形的面积为 ，小正方形的面积为 ，直角三角形的面积为 ，
则 ，
，
故选： ．
4．（24-25八年级上·广东茂名·阶段练习）如图所示，将一根长为24cm的筷子，置于底面直径为12cm，
高5cm的圆柱形水杯中， 设筷子露在杯子外面的长度为h，则h的取值范围是（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，将勾股定理与实际问题相结合，解答此题的关键是画出图
形确定h的最大值和最小值．先根据题意画出图形，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】当筷子和杯底垂直时h最大，则最大 ，
当筷子和杯底及杯高成直角三角形时，h最小，此时 ，
故最小 ，
故取值范围是： ．
故选：C
5．（2025八年级下·全国·专题练习）实数 在数轴上的位置如图所示，则 化简的结
果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查数轴的特点，绝对值化简二次根式的性质，理解并掌握数轴的特点，绝对值的性质，
二次根式的性质是解题的关键．
由数轴得出 ，进一步得出 ，再根据二次根式的性质、绝对值的性质化简即可．【详解】解：由数轴得， ，
∴ ，
∴
，
故选：D．
6．（24-25八年级上·四川成都·期末）设 ， ，则用含a，b的式子表示 ，可得（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的化简及二次根式的乘法计算．计算a，b的值，然后将 进行化简，从
而求解．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
故选：C．
7．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，直角 中， ，点 是 三条角平分线的
交点， 的面积记为 ， 的面积记为 ， 的面积记为 ，下列关于 ， ， 之间的大
小关系，正确的是（ ）A． B． C． D．无法确定
【答案】B
【分析】此题考查角平分线的性质和勾股定理，关键是根据角平分线的性质得出 和 和
的高相等解答．根据角平分线的性质和勾股定理解答即可．
【详解】解： 点 是 三条角平分线的交点，
和 和 的高相等，高设为h，
的面积记为 ， 的面积记为 ， 的面积记为 ，
， ，
，
，
，
故选：B．
8．（23-24八年级下·广东江门·期中）如图， 中， ， ，三角形的顶点在相互平
行的三条直线， 、 、 上，且 、 之间的距离为1， 、 之间的距离为3，则 的长是（ ）
A． B． C． D．7
【答案】A【分析】本题主要考查了勾股定理，三角形的全等的判定和性质，证得 是解答本题的关键．
作 于D，作 于E，再证明 ，因此可得 ，再结合勾股定理求得 ，
然后再根据勾股定理求出 的长即可．
【详解】解：如图：作 于D，作 于E，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中，根据勾股定理得： ，
在 中，根据勾股定理得： ．
故选：A．
9．（2025九年级下·全国·专题练习）设
，则不超过 的最大整数为（ ）
A．2027 B．2026 C．2025 D．2024
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次根式的化简，根据 把原式的对应项化简，然后计算求解即可．
【详解】解：对于正整数 ，有
，
∴ ，
∴
，
，
∴不超过 的最大整数为2024.
故选：D．
10．（24-25八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，在 中， ，以该三角形的三条边为
边向外作正方形 ，正方形 和正方形 ，给出下列结论： ． 过点 作
于点 ，延长 交 于点 ，则 平分 ． 若 ，则 ．其中错
误的结论有( )A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】B
【分析】本题考查勾股定理，全等三角形的性质和判定；过点 作 交 延长线于点 ，证明
得出 ，进而得出 ；过点 作 交 的延长线于点 ，
过点 作 ，证明 ， ，进而得出 ，
，根据 ，不能得出 ， ，即可判断②；根据全等三角的性质
得出 ，得出 ，同理解得 ，进而即可判断③．
【详解】解：如图所示，过点 作 交 延长线于点 ，
，
，
又 ， ，
，
，
，即 ，故①正确
如图所示，过点 作 交 的延长线于点 ，过点 作
，
，
又 ，
，
同理可证， ，
若 ，
，则 平分 ．
而 ，则 ，
不平分 ，故②错误．
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
同理可得
，故③正确
故错误的有1个，
故选：B．
第II 卷（非选择题）
二、填空题（8小题，每小题3分，共24分）
11．（24-25九年级上·河南信阳·阶段练习）若式子 有意义，则写出一个符合条件的x的整数值：
．
【答案】2（答案不唯一）
【分析】本题主要考查二次根式和分式有意义的条件．熟练掌握二次根式和分式有意义的条件是解题的关
键．
根据二次根式及分式有意义的条件．得出不等式组 ，求出x的取值范围，即可求解．
【详解】解：由题意，得 ，
解得：
∴符合条件的x的整数值为2，
故答案为：2（答案不唯一）．
12．（24-25八年级上·吉林四平·期末）如图，所有四边形都是正方形，三角形是直角三角形，若正方形
A、C的面积分别为6和10，则正方形B的边长是 ．【答案】2
【分析】本题主要考查勾股定理，理解并掌握勾股定理的意义是解题的关键．
根据正方形的面积与边长的关系，可知 ，则 由此即可求解．
【详解】解：根据勾股定理的几何意义，可知 ，
∴ ．
∴正方形B的边长是2．
故答案为：2．
13．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）若x，y为实数，且 ，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，实数的运算，熟练掌握二次根式 是解题的关键．
根据二次根式 可得 且 ，从而可得 ， ，然后把 ， 的值代入式子中进行
计算即可得出答案．
【详解】解：由题意得：
且 ，
解得： 且 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
14．（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，在 中， ，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，若 ， ，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】6
【分析】本题主要考查勾股定理和圆有关的不规则图形的阴影面积．根据勾股定理求出 ，分别求出三
个半圆的面积和 的面积，两小半圆与直角三角形的面积和减去大半圆的面积即可得出答案．
【详解】解：在 中 ， ， ，
由勾股定理得： ，
阴影部分的面积为： ．
故答案为：6．
15．（2025八年级下·全国·专题练习）已知m为正整数，若 是整数，则根据
可知m有最小值 ．设n为正整数，若 是大于1的整数，则
n的最小值为 ．
【答案】3
【分析】本题考查二次根式的乘除法，二次根式的性质与化简，解题的关键是读懂题意，根据关键词“整
数”进行求解．
先将 化简为10 ，可得n最小为3，即可求解．
【详解】解：∵ 10 ，且为整数，
∴n最小为3.
故答案为：3．
16．（2025八年级下·全国·专题练习）分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去．指的是如果代数式中分母有根号，那么通常将分子、分母同乘以分母的有理化因式，达到化去
分母中根号的目的．如： ，观察此算式规律回答问题，已知
，则 的值是 ．
【答案】0
【分析】本题主要考查了分母有理数化，完全平方公式，先将m进行化简，再将要求的式子变形为
，然后代入计算即可．
【详解】解：
∴
，
故答案为：0．
17．（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为 ，底面
周长为 ，在容器内壁离容器底部 的 处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在与点 处相对的玻璃杯外
壁，且距离容器顶部 的点 处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是 ．【答案】
【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题、轴对称的性质、勾股定理，解决本题的关键是根据轴对称的
性质画出蚂蚁走的最短路径，构造直角三角形，、利用勾股定理求出结果．
【详解】解：如下图所示，将圆柱的侧面展开，
则有 ， ， ，
作点 关于 的对称点 ，作 交 的延长线于点 ，
则 ， ，
，
故答案为： ．
18．（24-25八年级上·浙江丽水·期末）如图，在四边形 中，对角线 ，F为 上一点，连
接 交 于点E， ，已知 ，且 ．
（1）则 的长是 ；
（2）若 ，且 ，则 ．
【答案】 10 6
【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质和判定、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，熟
练掌握相关知识是解题的关键．
（1）延长 交 的延长线于点H，易得 是等腰直角三角形，可证 ，所以，即可得解；
（2）由条件易证 ，得到 ，所以 ，即可求解．
【详解】解：（1）延长 交 的延长线于点H，
，
，
，
∴ ，
，即 是等腰直角三角形，
， ，
，
，
在 和 中，
，
∴ ，
，
，
，
在 中， ，
即 ，
；
故答案为：10；（2） ， ，
，
， ，
，
在 和 中，
，
，
，
设 ，则 ，
，
解得： ，
．
故答案为：6．
三、解答题（8小题，共66分）
19．（24-25九年级上·河南周口·阶段练习）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)0
(2)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质化简，平方差公式，完全平方公式，正确掌握
相关性质内容是解题的关键．
（1）先根据二次根式的性质化简，再运算乘除，最后运算减法，即可作答．
（2）先根据平方差公式，完全平方公式进行展开，再合并同类项，即可作答．
【详解】（1）解：（2）解：
20．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）如图，在 中， ， ， ．
(1)试判断 与 是否垂直？并通过计算进行说明；
(2)若 的面积为3，求 的长．
【答案】(1) ，证明见解析
(2)
【分析】本题考查了勾股定理的性质和判定，解题的关键是熟练掌握勾股定理的性质和判定；
（1）根据勾股定理的判定，证明 是直角三角形，即可得证；
（2）根据三角形的面积求出 ，再根据勾股定理的性质即可得解．
【详解】（1）解： ，理由如下，
，
，
是直角三角形，且 ，
；
（2）解： ，
，，
．
21．（24-25八年级上·吉林四平·期末）如图①、②、③均是 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为
格点，每个小正方形的边长均为1．请仅用无刻度的直尺按要求画出符合的图形．
(1)请在图①中，找一格点C，使 是直角三角形，且 为斜边，两直角边 、 长度均为有理数．
(2)请在图②中，找一格点C，使 是直角三角形，且 为直角边．
(3)请在图③中，找一格点C，使 是直角三角形，且 为斜边，两直角边 、 长度均为无理数．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题主要考查了三角形的分类，勾股定理与网格的计算，掌握三角形的分类，勾股定理的运用是
解题的关键．
（1）根据三角形的分类进行作图即可；
（2）根据等腰三角形的定义，勾股定理逆定理的运用进行作图；
（3）根据等腰三角形的定义，钝角三角形的定义作图即可．
【详解】（1）解：如图，点C为所求作的点；
（2）解：如图，点C为所求作的点；（3）解：如图，点C为所求作的点；
22．（2025·江西·模拟预测）一次数学活动课上，江老师要求大家化简 ，下面是小西
和小赣两位同学的运算过程：
小西： 小赣：
原式 原式
(1)小赣第一步的运算依据是______；
(2)江老师认为小西和小赣两人都错，现请你写出正确的运算过程；
(3)若a， 满足 ，求这个式子的值．
【答案】(1)乘法分配律
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了分式的化简求值，二次根式的性质，绝对值的非负性，熟练掌握运算法则是解此题的
关键．
（1）观察小赣同学的解题过程，即可确定运算依据；（2）先算括号内同分母的分式减法，再算除法即可；
（3）根据非负性，分别求出a，b的值，再代入求值即可．
【详解】（1）解：小赣第一步的运算依据是乘法分配律，
故答案为：乘法分配律；
（2）解：原式
；
（3）解： 满足 ，
， ，
原式 ．
23．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）数学兴趣小组发现，系在旗杆顶端的绳子垂到地面时多出了3
米，把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点A处（如图12所示），测得绳子底端A与旗杆根部C
之间的距离为9米，设旗杆 的高度为x米．
(1)用含x的式子表示绳子 的长为________米；
(2)求旗杆的高度 ；
(3)珍珍在绳子底端又接上了长5米的绳子（接头处忽略不计），把绳子拉直，若要拼接后绳子的底端恰好
接触地面的点D处，求珍珍应从A处向东走多少米？
【答案】(1)
(2)12米
(3)7
【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题．
（1）根据系在旗杆顶端的绳子垂到地面时多出了3米即可求解；（2）根据勾股定理 列方程求解即可；
（3）先根据勾股定理求出 ，即可得解．
【详解】（1）解：用含x的式子表示绳子 的长为 米，
故答案为： ；
（2）解：由题意知： 米， ，
，
，
解得： ，
旗杆的高度 米；
（3）解：由（2）知， 米，则 米，
米，
米，
珍珍应从A处向东走7米．
24．（24-25九年级上·河南郑州·期中）阅读下列解题过程：
请你参考上面的化简方法，解决如下问题：
(1)计算： ；
(2)计算： ．【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是分母有理化，二次根式的混合运算；
（1）仿照题意求解即可；
（2）先仿照题意证明 ，进而将原式转变为
，据此求解即可．
【详解】（1）解： ；
（2）解： ，
∴
．
25．（23-24八年级上·河南·阶段练习）（1）如图1， 都是等边三角形，点 在边 上，连
接 ，则 的度数为______．
（2）如图2， 都是等腰直角三角形， ，点 在边 上，连接 ，请
判断 的度数及线 之间的数量关系，并说明理由．
（3）如图3，在四边形 中， ，连接 ，求四边形
的面积．【答案】（1） ；（2） ， ，理由见解析；（3）
【分析】本题考查了等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、三角形全等的性质和判定，
构建全等三角形是关键．
（1）根据等边三角形性质利用 证明 ，可得 ；
（2）根据等腰直角三角形性质利用 证明 ，可得 ； ，进而
可得 ，再利用勾股定理即可得到结论；
（3）如图，延长 至点 ，使 ，由 ，则 ，可得
，进而可证 ，推出 ，再根据图形面积之间的关系可得结果．
【详解】解：（1）∵ 和 都是等边三角形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（2） ， ，理由如下：
∵ 和 都是等腰直角三角形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，∴ ，
∴ ,
∴ ．
（3）如图，延长 至点 ，使
∵ ，
∴
∵
∴ ，
在 和 中，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 。
26．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图， 中， ， ， ，若动点M从
点C出发，沿着 的三条边顺时针走一圈回到C点，且速度为每秒 ，设出发的时间为t秒．(1)当t＝ 时， 平分 ；
(2)求t为何值时， 为等腰三角形？
(3)另有一点N，从点C开始，沿着 的三条边逆时针走方向运动，且速度为每秒 ，若M、N两点
同时出发，当M、N中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当 s时，直线 把 的周长分成
相等的两部分？
【答案】(1)3
(2)6或 或12或13
(3)4或12
【分析】（1）过点M作 于D，证明 ，得出 ，由勾股定理列方程，
即可求得答案；
（2）分情况讨论：①M在边 上时，求出 的长，即得答案；②点M在边 上时，有三种情况，分
别求出 的值，即得答案；③在边 上时，不能构成三角形；由此即得答案；
（3）分两种情况：①当M、N没相遇前；②当M、N相遇后；分别由题意列出方程，解方程即可．
【详解】（1）解：过点M作 于D，
则 ，
平分 ，
，
， ， ，
，
，
，在 和 中，
，
，
， ，
，
设 ，则 ，
在 中， ，
解得： ，
，
即当t为3时， 平分 ；
（2）解:①当点M在 上，如图， 时， ，
则 ；
②当点M在 上， 时，过点C作 于D，
，
，
在 中， ，
， 为 边上的高，
，，
，
则 ，
当 时， ，
，
，
当 时，
， ，
，
，
，
③当点M在边 上时，不能构成三角形；
综上所述，当 或 或12或13时， 为等腰三角形；
（3）解：分两种情况：
①M、N相遇前，当M点在 上，N在 上，如图所示：
则 ，
；
②在M、N相遇后，当M点在 上，N在 上，如图所示：则 ，
；
为4或12时，直线 把 的周长分成相等的两部分．
故答案为：4或12．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理及其逆定理，直角三角形的
性质，一元一次方程的应用，正确画出图形变换时的图形是解题的关键．
