文档内容
专题 02 矩形的判定与性质重难点题型专训（13 大题型+15 道提优训
练）
题型一 矩形的性质理解
题型二 利用矩形的性质求角度
题型三 根据矩形的性质求线段长
题型四 根据矩形的性质求面积
题型五 利用矩形的性质证明
题型六 求矩形在坐标系中的坐标
题型七 矩形与折叠问题
题型八 矩形的判定定理理解
题型九 添一个条件使四边形是矩形
题型十 证明四边形是矩形
题型十一 根据矩形的性质与判定求角度
题型十二 根据矩形的性质与判定求线段长
题型十三 根据矩形的性质与判定求面积
知识点1：矩形的概念与性质
1. 概念：有一个角是直角的平行四边形是矩形。
2. 性质：（1）矩形的对边平行且相等；
（2）矩形的四个角都是直角；
（3）矩形的对角线相等。
知识点2：直角三角形斜边上的中线
直角三角形斜边上的中线 等于斜边的一半
知识点3：矩形的判定
（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；
（2）对角线相等的平行四边形是矩形；
（3）有三各直角的四边形是矩形。【经典例题一 矩形的性质理解】
【例1】（2024·上海·模拟预测）下列关于矩形的说法有误的数量是（ ）
（1）矩形的对角线交点到四个顶点的距离相等
（2）矩形的对角线交点到四条边的距离不相等
（3）过矩形对角线交点，向四边作高与四边交点，则四个交点连成的图形是菱形
（4）矩形对角线互相垂直是随机事件，概率为
A．1 B．2 C．3 D．4
1．（2024·上海·模拟预测）下列关于矩形的说法有误的数量是（ ）
（1）矩形的对角线交点到四个顶点的距离相等
（2）矩形的对角线交点到四条边的距离不相等
（3）过矩形对角线交点，向四边作高与四边交点，则四个交点连成的图形是菱形
（4）矩形对角线互相垂直是随机事件，概率为
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（24-25八年级上·山东济南·期中）学习了勾股定理后，小明绘制了一幅“赵爽弦图”，如图①所示，
已知他绘制的图①的大正方形的面积是20，且图中四个全等的直角三角形与中间的小正方形恰好能拼成如
图②所示的矩形 ，则 的长为 ．
3．（24-25八年级上·江西景德镇·阶段练习）如图，这是一张矩形纸片 ，其中 ，
，E是 边上的一点，且 ，点P以 的速度从点A开始沿 的方向
运动一周停止，当 是以 为腰的等腰三角形时，点P运动的时间t为 s．【经典例题二 利用矩形的性质求角度】
【例2】（24-25九年级上·辽宁辽阳·期末）如图，延长矩形 的边 至点E，使 ，连接 ，
若 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
1．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在矩形 中，对角线 ， 相交于点O， ，且
，则 为 ．
2．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，四边形 是矩形，分别以点A和点C为圆心，大于
长为半径作弧，两弧交于点M，N；作直线 分别交 于点E，F，连接 ，若 ，
则 ．
3．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）已知：如图， 的对角线 、 相交于点O，E、F是
上的两点，且 ．(1)求证：四边形 是平行四边形．
(2)若四边形 是矩形， ，求 的度数．
【经典例题三 根据矩形的性质求线段长】
【例3】（24-25九年级上·重庆铜梁·期末）如图，矩形 中， ，点E是 边上一点，连接 ，
，将 绕点B逆时针旋转 得到 ， 恰好落在直线 上，连接 ，则 的
长为 （ ）
A． B． C． D．3
1．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在矩形 中， ， ，E为 上一点，
，M为 的中点．动点P，Q从E出发，分别向点B，C运动，且 ．若 和 交于点
F，连接 ，则 的最小值为 ．
2．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，矩形 的对角线 相交于点O，过点O作
交 于点E，若 ，则 的长为 ．3．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在 中， 于点E，延长 至点F，使 ，
连接 ， 与 交于点O．
(1)求证：四边形 为矩形；
(2)若 ， ， ，求 的长．
【经典例题四 根据矩形的性质求面积】
【例4】（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，点 是矩形 的对角线 上一点，过点 作
，分别交 ， 于 ， ，连接 ， ．若 ， ，则图中阴影部分的面积为
（ ）
A．10 B． C． D．
1．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，在矩形 中，对角线 、 相交于点 ， 为边
上任意一点（不与点 、 重合），过点 作 ， ，垂足分别为 、 ，若 ，
，则 ．2．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架 ，然后向右
拉框架，观察所得四边形的变化，下列结论中：①四边形 由矩形变为平行四边形；②变形前后对角
线 的长度不变；③四边形 的面积不变；④四边形 的周长不变．正确的有 ．
（填序号）
3．（24-25八年级下·江苏连云港·阶段练习）（1）如图1，点 为矩形 对角线 的中点，过点 作
，分别交 、 于点 、 ．若 ， ， 的面积为 ， 的面积为 ，
则 ________；
（2）如图2，点 为矩形 对角线 上一点，过点 作 ，分别交 、 于点 、 ．若
， ， 的面积为 ， 的面积为 ，求 的值．
（3）如图3，点 为 内一点（点 不在 上），过点 作 ， ，与各边分别相
交于点 、 、 、 ．设四边形 的面积为 ，四边形 的面积为 （其中 ），求
的面积（用含 、 的代数式表示）．【经典例题五 利用矩形的性质证明】
【例5】（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，在矩形 中， ， ，E为 上一点，
把 沿 折叠，使点C落在 边上的F处，则 的长为（ ）
A．2 B．7 C．18 D．
1．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，已知矩形 中，点 ， 分别是 ， 上的点，
，且 ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的值．
2．（24-25八年级下·重庆大足·阶段练习）如图，在矩形 中，E在 延长线上，连接 ，F在
上，连接 、 ， 且 ．(1)如果 ， ，求 的长；
(2)如果 ，求证： ．
3．（24-25九年级上·江西九江·期末）课本再现
我们在学习矩形的性质时发现了：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
如图1，在 中， ，若点D是斜边 的中点，则 ．
定理证明
（1）请完成这个定理的证明．
拓展应用
（2）如图2，已知 ，点E、F分别为 、 的中点， ， ．求 的
长．
【经典例题六 求矩形在坐标系中的坐标】
【例6】（23-24八年级下·云南昆明·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形 的顶点 ， 的坐标
分别为 ，点 是 的中点，点 在 上运动，当 时，点 的坐标是（ ）
A． B． C． D．1．（2023·河南商丘·二模）如图，在平面直角坐标系 中，四边形 为矩形，点 ， 分别在 轴、
轴上，且点 ， 为边 上一点，将 沿 所在直线翻折，当点 的对应点 恰好落在对角
线 上时，点 的坐标为( )
A． B． C． D．
2．（23-24八年级下·安徽黄山·期末）如图，四边形 是矩形，其中点 和点 分别在 轴和 轴上，
连接 ，点 的坐标为 ， 的平分线与 轴相交于点 ，则 点的坐标为 ．
3．（23-24七年级下·福建福州·期中）如图，长方形 中，O为平而直角坐标系的原点，
，点B在第一象限，D是长方形边上的一个动点，设 ，且 ，连接 ．
(1)长方形 的周长为 ．
(2)若点D在长方形的边 上，且线段 把长方形 的周长分成 两部分，求点D坐标；
(3)若点D在长方形的边 上，将线段 向下平移3个单位长度，得到对应线段 （F为点D的对应点），连接 ，求三角形 的面积（可用含m的式子表示）．
【经典例题七 矩形与折叠问题】
【例7】（24-25九年级上·广东佛山·期末）如图，矩形 中，点 分别在边 上，连接
，将 和 分别沿 折叠，使点 恰好落在 上的同一个点，记为点 ，若
，则 的长度为（ ）
A．2 B． C． D．
1．（24-25八年级下·宁夏石嘴山·阶段练习）如图，在长方形 中， ， ，点 是 上一
点，翻折 ，得 ，点 落在 上，求 的长度． ．
2．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，将长方形纸片 沿 折叠，使点 落在 边上点 处，
点 的对应点为 ，连接 交边 于点 ，连接 ，若 ， ， 点为 的中点，则线
段 的长为 ．3．（24-25八年级下·河南焦作·阶段练习）综合与实践
折叠问题是初中数学中的一个几何题型.折叠前后图形的大小和形状不发生改变，对应边相等，对应角相等，
折痕是对应点连线的垂直平分线，我们可以用一张纸演示折叠辅助解决问题.
问题情境
如图1，在长方形纸片 中， ， ， ，点 是线段 上
的动点，连接 ， 是由 沿 翻折所得到的图形.
（1）如图2，连接 ，当点 落在 上时， 的长为________________.
深入探究
（2）如图3，点 是 的中点，连接 .当点 落在 上时，求 的长.
拓展应用
（3）如图4，点 是 的中点，连接 ， .
① 的最小值为________________；
②当 是以 为腰的等腰三角形时，请直接写出 的长.【经典例题八 矩形的判定定理理解】
【例8】（24-25九年级下·江苏扬州·阶段练习）在数学活动课上，老师让同学们判断一个四边形门框是不
是矩形．下面是某合作学习小组的 位同学拟订的方案，其中正确的是（ ）
A．测量对角线是否互相平分 B．测量两组对边是否分别相等
C．测量其中三个角是否都为直角 D．测量一组对角是否都为直角
1．（2024·广西贵港·二模）请阅读下列材料，完成相应的任务．
×年×月×日星期日
只用卷尺也能判断矩形
今天，我在一本数学课外丛书上看到这样一个有趣的问题，工人师傅在做门窗或矩形零
件时，他是这样做的：首先利用卷尺（有刻度）测量两组对边的长度是否分别相等；其
次利用卷尺测量该门窗的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形．我有如下思考：工
人师傅的做法究竟是依据什么原理得到四边形是矩形？已知在四边形 中，
， ， ．
求证：四边形 是矩形．
证明：……．
任务：
(1)上述做法是依据了矩形的一个判定定理：________________；
(2)补全材料中的证明过程；
(3)利用卷尺（有刻度）能否用另外一种方法判定四边形是矩形？（写出简要的测量方法）
2．（23-24八年级下·江西赣州·期中）从平行四边形和矩形的学习中我们可以知道，给一般四边形的线和
角添加条件，会得到特殊的四边形．比如一般四边形添加“两组对边分别相等”的条件，可以得到平行四
边形；平行四边形添加“对角线相等”的条件又可以得到矩形．类似的，小开在探究平行四边形折叠问题
时观察到：(1)对任意 ，都可以在 上取一点 ，将 沿着 连线折叠，使得点 对应点 落在对角线
上如图①，由折叠可知， ______ ；但为使点 恰好与点 重合， 与 要满足一个特殊的
数量关系，请你直接写出这一数量关系．
(2)当点 恰好与点 重合时，若平行四边形 是矩形（ ）， 是一个特殊的角度，如
图③，请你求出这个角度．
(3)当点 恰好与点 重合时，如图②，求证： ．
3．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，四边形 是平行四边形， 为 上任意一点．
(1)如图①，只用无刻度的直尺在 边上作出点 ，使直线 平分平行四边形 的面积；
(2)如图②，用无刻度直尺和圆规作出矩形 ，使得点 、 、 分别在边 、 、 上（不写
作法，只保留作图痕迹）．
【经典例题九 添一个条件使四边形是矩形】
【例9】（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，四边形 的对角线 交于点O．根据图中所标
示的数据，再添加下列一个条件，其中能使四边形 为矩形的条件有（ ）个
① ；② ；③ ．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
1．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在 中，E为 的中点，连接 并延长交 的延长线于
点F，连接 ．
(1)求证： ；
(2)请添加一个条件，使得四边形 为矩形．（不需要证明）
2．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在 中，对角线 ， 相交于点 ， ， 在对角线
上，且
(1)求证： ；
(2)连接 ， ，请添加一个条件，使四边形 为矩形(不需要证明
3．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）如图，在平行四边形 中，对角线 与 相交于点 ，
点 ， 分别为 ， 的中点．
(1)求证： ；
(2)延长 至 ，使 ，连接 ，延长 交 于点 ．当 与 满足什么数量关系时，四边
形 是矩形？请说明理由；【经典例题十 证明四边形是矩形】
【例10】（24-25九年级上·广东广州·开学考试）如图，在平行四边形 中，E，F分别在 上，
．
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)连接 ，当 满足 时，四边形 是矩形．
1．（2025八年级下·全国·专题练习）在平行四边形 中，对角线 ， 相交于点O， ，
点E是 的中点，连接 ，过点C作 ，交 的延长线于点F．
(1)求证：四边形 是矩形；
(2)若 ， ，求四边形 的面积．
2．（2025八年级下·全国·专题练习）如图， 中， ， 平分 ， ，
．
(1)求证：四边形 是矩形；
(2)作 于F，若 ， ，求 的长．
3．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在平行四边形 中，对角线 与 相交于点 ，点 、
分别为 、 的中点，延长 至 ，使 ，连接 ．(1)求证： ≌ ；
(2)当 时，四边形 是矩形．
【经典例题十一 根据矩形的性质与判定求角度】
【例11】（2024·重庆铜梁·一模）如图，在正方形 中，点 是对角线 上一点， ，
，垂足分别为 ， ，连接 ．若 ，则 一定等于（ ）
A． B． C． D．
1．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，点E是 对角线 上的点（不与A，C重合），连接
，过点E作 交 于点F．连接 交 于点G， ， ．
(1)求证： 是矩形；
(2)若点E为 的中点，求 的度数．
2．（24-25九年级上·全国·期中）如图， 为 中的一条射线，点P在边 上， 于H，交
于点Q， 交 于点M， 于点D， 交 于点R，连接 交 于点S．(1)求证：四边形 为矩形；
(2)若 ，试探究 与 的数量关系，并说明理由．
3．（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，四边形 中，对角线 ， 相交于点O，
， ，且 ．
(1)求证：四边形 是矩形；
(2)过点B作 于点E，若 ，求 的度数．
【经典例题十二 根据矩形的性质与判定求线段长】
【例12】（2024八年级下·浙江温州·竞赛）如图所示， 是矩形 内一点，已知 ， ，
，则 的值为（ ）
A． B．8 C． D．9
1．（24-25九年级上·福建漳州·期中）如图，将矩形 的四个角向内翻折后，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形 ，则矩形 的周长为（ ）
A． B． C． D．8
2．（24-25九年级上·江苏连云港·期末）如图，矩形 中， ， ，点E、F分别为 、
边上的动点，且 ，M为 的中点，直线 分别交边 、 于点G、H，连接 、
，则 的最小值为 ．
3．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）如图，已知 中， ．
(1)尺规作图：按下列要求完成作图（保留作图痕迹，请标明字母）
①作线段AB的垂直平分线 ，交AB于点O；
②连接 并延长，在 的延长线上截取 ，使得 ；
③连接 、DB．
(2)若 ， ，则 ________．
【经典例题十三 根据矩形的性质与判定求面积】
【例13】（24-25九年级上·山西·期中）如图，在四边形 中，点E，F，G，H分别为边 ， ，和 的中点，顺次连接 ， ， 和 得到四边形 ．若 ， ， ，
则四边形 的面积等于（ ）
A．36 B．32 C．24 D．20
1．（24-25八年级下·天津和平·期中）如图，点P是矩形 的对角线 上一点，过点P作 ，
分别交 ， 于E、F，连接 、 ．若 ， ，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．10 B．12 C．16 D．18
2．（23-24八年级下·四川绵阳·期末）如图，P是正方形 对角线 上的一点，直线m，n经过点P
且 ，若四边形 与四边形 的面积分别是 ， ，那么四边形 与四边形
的面积之和是 ．
3．（2023·贵州六盘水·一模）如图，在 中，E为 的中点，连接 并延长交 的延长线于点
F，连接 ．(1)求证： ；
(2)若 ，求四边形 的面积．
1．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，在 中， ，D为边 上一动点，
E为平面上任意一点，若以点B、C、D、E为顶点的四边形为平行四边形，则 的长最小为（ ）
A．12 B．10 C．9.6 D．7.2
2．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，在矩形 中， ， ，动点P从点B出发，沿
着 向点D移动，若过点P作 ，垂足分别为E、F，连接 ，则 的长最小为
（ ）
A． B． C．5 D．7
3．（24-25九年级下·浙江杭州·阶段练习）已知：如图，在矩形 中，点 为 上一点， 平分
，点 为 的中点， ，则 的值为（ ）A． B． C． D．
4．（24-25九年级下·辽宁丹东·开学考试）如图，在矩形 中，对角线 相关于点 为边
上的任意一点（不与点 重合），过点 作 ，垂足分别为 ，若 ，
则 的值为（ ）
A． B． C．5 D．6
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ；
5．（24-25九年级下·四川内江·开学考试）如图， 中， ， ， ，线段 长
是5，且两个端点 、 分别在边 ， 上滑动，点 、 分别是 、 的中点，求 的最小值（ ）
A．2 B． C．3 D．
6．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，在矩形 中，对角线 相交于点 ，
，则 ．
7．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在矩形 中， ，点E在 上， ．若 平
分 ，则 的长为 ．
8．（24-25九年级上·湖北孝感·期末）如图，有一张矩形纸片 ， ， ，点E是
的中点．连接 ，将纸片沿直线 折叠，使点B落在点 ，连接 ，则（1） ，（2）
的长为 ．
9．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图， 是 斜边 上的中线， 与 关于直线
对称．连接 ，若 ，则 ．10．（24-25九年级上·江西吉安·期末）如图所示是一张矩形纸片 ，已知 为边 上
的一点， ，点 在矩形 的一边上．要使 是等腰三角形，则 的底边长为 ．
11．（23-24九年级下·辽宁鞍山·期中）已知：如图，点 为矩形 的边 上一点，连接 ，将矩形
的一部分 沿 翻折 得 ，且点 落在 的延长线上．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求折痕 的长．
12．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在 中，点E，F分别在边 ， 上， ，
(1)求证：四边形 是矩形．
(2)连接 ，若 ， ， 平分 ，求矩形 的面积
13．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，过矩形 的顶点C作 ，交 的延长线于点E，矩形 的对角线 相交于点O．
(1)证明 ；
(2)若 ，求矩形 的面积．
14．（24-25九年级下·山东济宁·阶段练习）如图，已知矩形 （ ）．
(1)请用直尺和圆规按下列步骤作图，保留作图痕迹：
①以点 为圆心，以 的长为半径画弧交边 于点 ，连接 ， ；
②作 的平分线交 于点 ．
(2)在（1）中所作出的图形中若 ， ，求 的长．
15．（24-25九年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，已知 和 的边 、 在同一条直线上，
， ， ．
(1)求证： ；
(2)已知 ， ，连接 、 、 ，当 ___________时，四边形 是矩形．
