文档内容
专题 01 平行四边形的判定与性质重难点题型专训（17 大题型+15 道
提优训练）
题型一 判断能否构成平行四边形
题型二 添一个条件成为平行四边形
题型三 数图形中平行四边形的个数
题型四 求与已知三点组成平行四边形的点个数
题型五 证明四边形是平行四边形
题型六 利用平行四边形的性质求解
题型七 利用平行四边形的性质证明
题型八 平行四边形性质的其他应用
题型九 利用平行四边形的判定与性质求解
题型十 利用平行四边形的性质与判定证明
题型十一 平行四边形的性质与判定的应用
题型十二 平行四边形的存在性问题
题型十三 平行四边形相关的综合问题
题型十四 三角形中位线定理
题型十五 三角形中位线定理的应用
题型十六 三角形中位线的最值问题
题型十七 三角形中位线的新定义问题
知识点1：平行四边形的性质（一）
1.边的性质：两组对边分别平行且相等，如下图：AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD；
2.角的性质：两组对角分别相等，如图：∠A=∠C，∠B=∠D
知识点2：平行四边形的性质（二）
对角线的性质：对角线互相平分。如图：AO=CO，BO=DO知识点3：平行四边形的判定
1. 与边有关的判定：
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形
2. 与角有关的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形
3. 与对角线有关的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形
知识点4：平行四边形的判定与性质
1.平行四边形的性质
3.边的性质：两组对边分别平行且相等，如下图：AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD；
4.角的性质：两组对角分别相等，如图：∠A=∠C，∠B=∠D
对角线的性质：对角线互相平分。如图：AO=CO，BO=DO
2.平行四边形的判定
（1）与边有关的判定：
①两组对边分别平行的四边形是平行四边形
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形
（2）与角有关的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形
（3）与对角线有关的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形
知识点5：三角形的中位线
1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
注意：
（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.
（2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的 4个小三角形.因而每个小三角形的周长1 1
为原三角形周长的2 ，每个小三角形的面积为原三角形面积的4 .
（3）三角形的中位线不同于三角形的中线.
知识点5：顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形的形状
顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.
【经典例题一 判断能否构成平行四边形】
【例1】（24-25八年级上·山东淄博·期末）如图，在四边形 中，已知 ，对角线 ，
相交于点 ，若增加下列条件，则可以使四边形 成为平行四边形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行四边形的判定，三角形全等的判定与性质，熟练掌握平行四边的判定定理是解题
的关键．根据平行四边的判定定理逐一判断即可．
【详解】解：A. 由 ， ，不能判断四边形 是平行四边形，故本选项不符合题意；
B. 由 ， 可知，四边形 的一组对边平行，另一组对边相等，据此不能判定该四边
形是平行四边形，故本选项不符合题意；
C. ∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，故本选项符合题意；
D. 由 ， ，不能判断四边形 是平行四边形，故本选项不符合题意；
故选：C．1．（23-24八年级下·云南昆明·期末）如图，在四边形 中，对角线 与 相交于点 ．不能判定
四边形 是平行四边形的是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】A
【分析】本题考查了平行四边形的判定定理，根据两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相
平分的四边形是平行四边形；两组对边分别平行的四边形是平行四边形，逐项判断即可得出答案．
【详解】解：A、 ， 不能判定四边形 是平行四边形，故符合题意；
B、∵ ， ，
∴能判断四边形 是平行四边形，故不符合题意；
C、∵ ， ，
∴能判断四边形 是平行四边形，故不符合题意；
D、∵ ， ，
∴能判断四边形 是平行四边形，故不符合题意；
故选：A．
2．（23-24八年级下·福建漳州·期末）在四边形 中，现给出下列结论：
①若 ， ，则四边形 是平行四边形；
②若 ， ，则四边形 是平行四边形；
③若 ， ，则四边形 是平行四边形；
④若 ， ，则四边形 是平行四边形．
其中正确的结论是 ．（写出所有正确结论的序号）
【答案】②③
【分析】由于符合题目的已知条件的除了平行四边形之外，还有等腰梯形，故①错误；因为两组对角分别
相等的四边形是平行四边形，所以②正确；根据 ，可得 ，又由于 ，可判定
，再依据平行四边形的定义可得结论；过点 作 于 ，在 上截取 ，连接，根据线段垂直平分线性质可得出
，将 绕点 顺时针旋转，使 与 重合，得到 ，再结合平行四边形的性质，
可证出 ， ，这样的四边形 满足题目已知条件，但不符合命题的结论，不是平行四
边形，所以④错误，这样就可得解．
【详解】①因为一组对边平行，另一组对边相等可以是平行四边形，也可以是等腰梯形，所以①错误；
②因为两组对角分别相等的四边形是平行四边形，所以②正确；
③∵
∴
∵
∴
∴
∴四边形 是平行四边形
因此③正确；
④作 ，连接 ，
过点 作 于 ，在 上截取 ，连接 ，
∵ ， ，
∴ ，
将 绕点 顺时针旋转，使 与 重合，得到 ，
由作图可知： ， ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ， ，
显然，图中的四边形 不是平行四边形．
所以④错误；
故答案为：②③．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，旋转的性质与作图，熟练掌握平行四边形的性质与判
定是解本题的关键，同时要注意真命题需要证明，假命题只需举出反例即可．
3．（23-24八年级下·全国·课后作业）已知直角坐标系内四个点 ．以点
为顶点的四边形一定是平行四边形吗？如果你认为是，请给出证明；如果你认为不一定是，请添
加一个条件，使它成为平行四边形．
【答案】不一定是平行四边形，添加
【分析】利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
【详解】解：以点 为顶点的四边形不一定是平行四边形，
添加 ，
∵点 ，
∴ 轴， 轴，
∴ ，
∵ ，
∴
∴以点 为顶点的四边形是平行四边形．
【点睛】考查了平行四边形的判定，解题关键是掌握平行四边形的判定．
【经典例题二 添一个条件成为平行四边形】
【例2】（23-24八年级下·浙江衢州·期中）如图，在平行四边形 中，点E，F是对角线 所在直线
上的两个不同的点．下列条件中，不能得出四边形 是平行四边形的是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题重点考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，适当选择平行四边形
的判定定理证明四边形 是平行四边形是解题的关键．设 交 于点 ，则 ， ，
因为 ，所以 ，则四边形 是平行四边形，可判断A不符合题意；由 ，
， 不能证明 与 全等，则不能证明 与 平行，所以不能证明四边
形 是平行四边形，可判断B符合题意；由 ，得 ，可证明 ，
则 ，所以四边形 是平行四边形，可判断C不符合题意；由 ，
，推导出 ，可证明 ，得 ，则四边形 是平行
四边形，可判断D不符合题意，于是得到问题的答案．
【详解】解：设 交 于点 ，
四边形 是平行四边形，
， ，
，
，
，
四边形 是平行四边形，
故A不符合题意；
由 ， ， 不能证明 与 全等，
不能确定 与 是否相等，
不能证明 与 平行，
不能证明四边形 是平行四边形，
故B符合题意；
，
，
在 和 中，，
，
，
四边形 是平行四边形，
故C不符合题意；
，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
四边形 是平行四边形，
故D不符合题意，
故选：B．
1．（23-24八年级下·河南商丘·阶段练习）已知四边形 ， 与 相交于点O，已知 ，则
添加下列哪个条件可判定四边形为 为平行四边形（ ）
① ， ② ，③ ，④
A．①② B．①③④ C．②③ D．②③④
【答案】C
【分析】本题考查了平行四边形的判定，平行四边形的判定方法共有五种，在四边形中如果有：1、四边
形的两组对边分别平行；2、一组对边平行且相等；3、两组对边分别相等；4、对角线互相平分；5、两组对角分别相等．则四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定，逐一判断即可．
【详解】解：如图，
①添加 ，不能使四边形 是平行四边形，故不合题意；
②添加 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴可利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定，故符合题意；
③添加 ，根据 可得 ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
∴可利用对角线互相平分的四边形是平行四边形判定，故符合题意；
④添加 ，不能使四边形 是平行四边形，故不合题意；
故选：C．
2．（23-24八年级下·山东菏泽·期末）如图，在四边形 中， 是 边的中点，连接 并延长，交
的延长线于 点， ，请你添加一个条件（不需再添加任何线段或字母），使之能推出四边形
为平行四边形，请证明．你添加的条件是 ．
【答案】
【分析】本题是一道探索性的试题，考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的
关键．
由题目的已知条件可知添加 ，即可证明 ，从而进一步证明 ，且，进而证明四边形 为平行四边形．
【详解】解：条件是： ，
理由如下：∵ ，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 为平行四边形，
故答案为： ．
3．（24-25八年级下·福建福州·阶段练习）如图，在四边形 中， ， 是对角线 上的两点．
(1)若 ，请添加一个条件：_________，使得四边形 为平行四边形．
(2)在（1）的条件下，若 ，求证：四边形 是平行四边形．
【答案】(1) （答案不唯一）
(2)见解析
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，解题的关键是：
（1）根据平行四边形的判定添加条件即可；
（2）连接 交 于O，根据平行线的性质得出 ， ，根据等式的性质得出 ，
然后根据平行四边形的判定即可得证．
【详解】（1）解：补充：
理由：∵ ， ，
∴四边形 为平行四边形；（2）证明：连接 交 于O，
∵四边形 为平行四边形，
∴ ， ，
又 ，
∴ ，即 ，
∴四边形 是平行四边形．
【经典例题三 数图形中平行四边形的个数】
【例3】（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）如图，由六个全等的正三角形拼成的图中，平行四边形的个数
为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【分析】本题主要考查了正多边形的判定，以及平行四边形的判定，由 是由六个全等的正三角形
拼成的，可得出 是正六边形，进而可得出 ，则四边形 是平行四边形，
同理可得出四边形 ，四边形 ，四边形 ，四边形 ，四边形 都是平行四边形．
【详解】解：∵ 是由六个全等的正三角形拼成的，
∴ 是正六边形，
∴ ， ， 是正六边形的对角线，
可得 ，
∴四边形 是平行四边形，
同理：四边形 ，四边形 ，四边形 ，四边形 ，四边形 都是平行四边形，共6个，
故选C．
1．（2021九年级·全国·专题练习）如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AD，HN∥AB，则图中的平行四边
形（不包括四边形ABCD）的个数共有（ ）
A．9个 B．8个 C．6个 D．4个
【答案】B
【分析】根据平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，判定即可求得答案．
【详解】解：设EF与NH交于点O，
∵在
▱
ABCD中，EF∥AD，HN∥AB，
∴AD∥EF∥BC，AB∥NH∥CD，
则图中的四边形AEOH、DHOF、BEON、CFON、AEFD、BEFC、AHNB、DHNC都是平行四边形，共8
个．
故选：B．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质与判定．解题时可根据平行四边形的定义，直接从图中数出平行四
边形的个数，但数时应有一定的规律，以避免重复．
2．（23-24八年级下·重庆江津·阶段练习）如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，CA的中点，以这些点为顶点的平行四边形有 个．
【答案】3
【分析】由于D、E、F分别是边AB，BC，CA的中点，易知DE、DF、EF都是 ABC的中位线，那么
DE∥AC，DF∥BC，EF∥AB，根据平行四边形的定义，两两结合易证四边形EDFC△是平行四边形；四边形
EBDF是平行四边形；四边形ADEF是平行四边形．
【详解】∵D、E、F分别是边AB，BC，CA的中点，
∴DE、DF、EF都是 ABC的中位线，
∴DE∥AC，DF∥BC，△EF∥AB，
∴四边形EDFC是平行四边形，四边形EBDF是平行四边形，四边形ADEF是平行四边形．
故答案为3．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定、三角形中位线定理，解题的关键是熟练掌握三角形中位线定理的
内容．
3．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图,在▱ABCD中,E,F分别为AB,CD的中点,连接DE并延长,交CB
的延长线于点G,连接BF并延长,交AD的延长线于点H,连接HG.则图中共有 个平行四边形.
【答案】3
【分析】由已知条件和各种平行四边形的判定方法填空即可．
【详解】∵在平行四边形ABCD中，E、F分别为AB、CD的中点，
∴DF=BE，DF∥BE，
∴四边形BEDF为平行四边形，
图中四边形DHBG也是平行四边形，
故答案是：3.
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，不要忘记平行四边形的定义，有时用定义判定比用其他判定定理还简单．凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形
的性质和判定去解决问题．
【经典例题四 求与已知三点组成平行四边形的点个数】
【例4】（23-24八年级下·贵州黔东南·期中）以点O、A、B、C为顶点的平行四边形放置在平面直角坐标
系 中，其中点O为坐标原点．若点C的坐标是 ，点A的坐标是 ，则点B的坐标是（ ）
A． 或 B． 或
C． 或 或 D． 或 或
【答案】D
【分析】先根据题意画出图形，然后分 为边和对角线两种情况，分别根据平行四边形的判定和平移的
性质即可解答．
【详解】解：如图：当 为对角线时，点 的坐标为 ，即 ；
当 为边时，点 的坐标为 ，即 ；点 的坐标为 ，即 ．
故选D．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定、平移的性质等知识点，掌握分类讨论思想是解答本题的关键．
1．（23-24八年级下·广东深圳·期中）已知A，B，C三点的坐标分别是(3，3)，(8，3)，(4，6)，若以A，B，C，D四点为顶点的四边形是平行四边形，则D点的坐标不可能是（ ）
A．( ，6) B．(9，6) C．(7，0) D．(0， )
【答案】D
【分析】根据平行四边形的性质，分别从以BC为对角线、以AC为对角线、以AB为对角线去分析求解即
可求得答案．
【详解】解：当以BC为对角线时：CD=AB=5，此时D（9，6）；
当以AC为对角线时，CD=AB=5，此时D（-1，6）；
当以AB为对角线时，AD=BC═4，此时点D（7，0）．
∴D点的坐标不可能是：（0，-6）．
故选：D．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边平行且相等．解此题的关键是分类讨论数学思
想的运用．
2．（23-24八年级下·广东湛江·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C
在网格中的位置如图所示，建立适当的平面直角坐标系，使点A、B、C的坐标分别为 、 、
，在平面直角坐标系中找一点D，使以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形，请写出
所有符合条件的点D的坐标： ．
【答案】 或 或
【分析】此题主要考查平行四边形的判定，分三种情形，可以以 、 或 为一条对角线，画出平行
四边形即可.
【详解】解：根据题意得，建立如图直角坐标系．当 ， 时， ；
当 ， 时， ；
当 ， 时， ．
故答案为： 或 或 ．
3．（23-24七年级下·四川广安·阶段练习）在直角坐标系中，已知四边形 各顶点的坐标为：
．
(1)若将此四边形向左沿水平方向平移3个单位，再向上平移2个单位，请直接写出平移后的 、 、 、
各点的坐标；
(2)求 ；
(3)在坐标平面中有一点P，使以A，B，C，P为顶点的四边形为平行四边形，请写出所有符合要求的P点
坐标．（平行四边形对边平行且相等）【答案】(1)
(2)42
(3) 或 或
【分析】本题考查了利用平移变换作图，三角形的面积，平行四边形的判定，主要利用了平移规律：向右
平移横坐标加，向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加，向下平移纵坐标减，难点在于（3）的分类讨论．
（1）根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加解答；
（2）根据四边形的面积等于两个直角三角形的面积加上一个梯形的面积列式进行计算即可得解；
（3）分 是对角线三种情况解答．
【详解】（1）解：平移后的 ， 各点的坐标分别为 ；
（2）解：
；
（3）解：当 是对角线时，点 ，
是对角线时，点 ，
是对角线时，点 ．
综上， 或 或 ．【经典例题五 证明四边形是平行四边形】
【例5】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在 中， ， 于点 ，延长 到
点 ，使 ．过点 作 交 的延长线于点 ，连接 ， ．
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)5
【分析】（1）证 ，得 ，再由平行四边形的判定即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质得 ，再由等腰三角形的性质得 ，则 ，进
而由勾股定理得 的长即可．
【详解】（1）证明： ，
，
在 和 中，
，，
，
四边形 是平行四边形；
（2）解：由（1）可知，四边形 是平行四边形，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
．
1．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在 中，点 ， 在对角线 上，且 ，
顺次连接 ， ， ， ．
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)若 ， ，求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】此题考查平行四边形的判定与性质，关键是根据平行四边形的性质得出 ， 解答．
（1）根据平行四边形的性质得出 ， ，进而利用全等三角形的判定与性质得出 ，
进而利用平行四边形的判定解答即可；
（2）根据直角三角形的性质得出 ，进而利用平行四边形的性质解答即可．
【详解】（1）证明： 四边形 是平行四边形，
， ，，
在 与 中，
，
，
， ，
，
，
四边形 是平行四边形；
（2）解： 四边形 是平行四边形，
，
四边形 是平行四边形，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
．
2．（2025八年级下·全国·专题练习）如图， 是线段 的中点，且 ，点 在线段 上，
交 于点 ， ．(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)已知 ，连接 ，若 平分 ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)2
【分析】本题考查的是平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握相关判定与性质是
解题关键，
（1）证明 且 即可证明结论；
（2）利用平行四边形性质得出 即可求出结论．
【详解】（1）证明： 是线段 的中点，
，
，
，
，
，
，
四边形 是平行四边形；
（2）解：由（1）知，四边形 是平行四边形，
，
，
平分 ，
，
，
，
，
．
3．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，点E为平行四边形 的边 上的一点，连接 并延长，
使 ，连接 并延长，使 ，连接 ．H为 的中点，连接 ， ．(1)求证：四边形 为平行四边形；
(2)连接 ，交 于点O，若 ， ，求 的长度．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、平行线的性质等知识，熟练掌握平行
四边形的判定与性质是解决问题的关键．
（1）由平行四边形的性质得 ， ，再证 是 的中位线，得 ， ，
证出 ， ，然后由平行四边形的判定即可得出结论；
（2）连接 、 、 ，由三角形的中位线定理以及平行四边形的判定和性质解答即可．
【详解】（1）证明：∵四边形 是平行四边形，
， ， ．
， ，
是 的中位线，
， ．
为 的中点， ，
， ．
， ．
∴四边形 是平行四边形；
（2）解：连接 、 、 ，
， ，， ．
∵ ，
．
∴四边形 是平行四边形，
， ．
，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【经典例题六 利用平行四边形的性质求解】
【例6】（24-25九年级下·浙江绍兴·阶段练习）如图，在平行四边形 中， 的平分线和
的平分线交于 上一点 ，若 ， ，则 的长为（ ）
A．5 B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，等角对等边，勾股定理，熟练掌握以上知识点是
解题的关键．根据角平分线可知， ， ，结合四边形 是平行四边形，
， ，从而得到 ， ， ，最
后在 中利用勾股定理即可求解．
【详解】解： 四边形 是平行四边形， ，
， ， ， ，
， ， ，
的平分线和 的平分线交于 上一点 ，， ，
， ， ，
， ，
，
，
；
故选：C．
1．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，四边形 中， ， ， ， ，
． 是 的中点，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】解法一：延长 到 使 ，则四边形 是平行四边形，根据三角形的中位线的性质
得到 ，根据跟勾股定理得到 ，于是得到结论；
解法二：延长 交 于 ，证明 得 ， ，最后根据勾股定理得到
，于是得到结论．
【详解】解：解法一：延长 到 使 ，则四边形 是平行四边形，
， ，
是 的中点，是 的中点，
，
，
，
；
解法二：延长 交 于 ，
，
，
， ，
，
， ，
，
，
， ，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟
练掌握以上知识点是解答本题的关键．
2．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在 中， 的垂直平分线 交 于点 ，垂足为点
，连接 ，过点 作 ，交 的延长线于点 ，连接 ．若 ， ，则四边
形 的面积为 ．【答案】
【分析】本题考查垂直平分线的性质，勾股定理，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质．根据
垂直平分 可得 ， ，根据勾股定理求出 ，再证 ，推
出 ，最后利用三角形面积公式即可求解．
【详解】解： 中， ，
，
由题意知 垂直平分 ，
， ，
又 ，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
四边形 的面积 ，故答案为： ．
3．（24-25八年级下·江苏镇江·阶段练习）如图，四边形 是平行四边形，P是 上一点，且 和
分别平分 和 ．
(1)求 的度数；
(2)如果 ， ，求 的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由平行四边形的性质可得 ，由两直线平行同旁内角互补可得 ，
由角平分线的定义可得 ， ，进而可得
，由三角形的内角和定理可得 ，由
此即可求出 的度数；
（2）由角平分线的定义可得 ，由平行四边形的性质可得 ， ，
，由两直线平行内错角相等可得 ，进而可得 ，由等角对等
边可得 ，同理可得 ，于是可得 ，由（1）得
，在 中，根据勾股定理可得 ，然后由三角形的面积公式可得
，由此即可求出 的面积．
【详解】（1）解： 四边形 是平行四边形，
，
，
和 分别平分 和 ，
， ，，
；
（2）解： 平分 ，
，
四边形 是平行四边形，
， ， ，
，
，
，
同理可得： ，
，
由（1）得： ，
在 中， ， ，
，
的面积 ．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，三角形的面积公式，三角形的内角和定理，等角
对等边，两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补，角平分线的有关计算等知识点，熟练掌握相
关知识点并能加以综合运用是解题的关键．
【经典例题七 利用平行四边形的性质证明】
【例7】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在平行四边形 中，对角线 和 交于点O，点
分别为 的中点，连接 ．
(1)求证： ．
(2)若 ，且 ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析(2)16
【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，掌握平行四边形性质和全
等三角形的判定定理是解题关键．
（1）由平行四边形性质 ， ，再结合中点条件，利用“ ”即可证明．
（2）根据题意得出 为等腰三角形，由F是 的中点，可得 ，利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明：∵平行四边形 ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵点E，F分别为 的中点，
∴ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
．
（2）解：根据题意得
∴ ，
∵平行四边形 ，
，
∴ 为等腰三角形，
∵点F是 的中点，
∴ ，
在 中， ， ，
，
1．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在平行四边形 中， ， 是 的角平分
线．求证：(1) ；
(2) ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】此题主要考查了平行四边形的性质，以及全等三角形的判定与性质，关键是正确证明
．
（1）根据角平分线的性质可得 ，再加上条件 ，公共边 ，可利用 证明
；
（2）根据平行四边形的性质得出 ，再根据 ， ，可得
结论．
【详解】（1）证明：∵ 是 的角平分线，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ；
（2）证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ．
2．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在 中， ， 的平分线分别交 于点 ，
， ， 相交于点 ．(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)8
【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，解决本题的关键是掌握平行四边形的
性质．
（1）根据平行四边形两组对边分别平行可得 ，再根据角平分线的性质可得
，进而可得 ；
（2）过 作 ，首先证明△ 是等腰三角形，进而得到 ，再利用勾股定理计算出
的长，进而可得答案．
【详解】（1）证明： 四边形 是平行四边形，
，
，
、 的平分线 、 分别与 相交于点 、 ，
，
；
（2）解：如图，过 作 ，交 于点 ，
，
，
，
，
，平分 ，
，
，
，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
， ，
四边形 是平行四边形，
，
，
，
．
3．（2025八年级下·全国·专题练习）在 中， ，过 作 于 ，连接 ，延长
至 ，使 ，连接 ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求四边形 的周长．
【答案】(1)见解析
(2)【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，证得 ，
，是解决问题的关键．
（1）由已知证得 ， ，根据全等三角形的判定证得 ，根据全等三角形的性质
可得结论；
（2）由勾股定理得求得 ， ，由（1）知， ， ，即可求得结论．
【详解】（1）证明： ，
，
四边形 是平行四边形， ， ，
， ，
，
，
，
在 和 中，
，
，
；
（2）解：在 中， ， ，
，
在 中， ， ，
，
由（1）知， ， ，
四边形 的周长为： ．
【经典例题八 平行四边形性质的其他应用】
【例8】（23-24八年级下·北京·期中）定义：至少有一组对边相等的四边形为“等对边四边形”．(1)请写出一个你学过的特殊四边形中是“等对边四边形”的名称；
(2)如图，在 中，点 、 分别在边 、 边上，且满足 ，线段 、
交于点 ，
求证： ．
【答案】(1)平行四边形（答案不唯一）
(2)见详解
【分析】本题考查新定义题型，涉及特殊的四边形，四边形内角和．
（1）根据定义，平行四边形，菱形，矩形都符合，写出一个即可；
（2）利用四边形内角和及邻补角的性质即可得到答案．
【详解】（1）解：写出一个学过的特殊四边形中是“等对边四边形”的名称，如：平行四边形；
（2）
,
．
1．（2023·吉林长春·一模）如图，在 的正方形网格中（每个正方形的边长为1），点A和点B都在
格点上，仅用无刻度的直尺，分别按以下要求作图．(1)图①中，以A、B为顶点作一个平行四边形，要求顶点都在格点上，且其面积为6；
(2)图②中，以A、B为顶点作一个平行四边形，要求顶点都在格点上，且其面积为10；
(3)图③中，以A、B为顶点作一个平行四边形（正方形除外），要求顶点都在格点上，且其面积为13．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；
(3)见解析；
【分析】本题考查作图-应用与设计作图，解题的关键是掌握平行四边形的判定方法．
（1）利用数形结合的射线画出平行四边形 ；
（2）利用数形结合的思想画出平行四边形 ；
（3）利用数形结合的思想画出平行四边形 ．
【详解】（1）如图1中，平行四边形 即为所求；
（2）如图2中，平行四边形 即为所求；
（3）如图3中，平行四边形 即为所求．2．（23-24八年级下·河北沧州·阶段练习）如图： 的对角线交于点O．
(1)基础训练：
经过点O且与 、 分别相交于E、F．求证：
(2)拓展变式
若将条件改为 经过点O且与 、 的延长线分别相交于E、F，第（1）问的结论是否成立，请按题
意画出图形，标注字母，并给予证明．
(3)观察归纳
的对角线交于点O，直线 是经过点O的任意一条直线，将 的面积分为两部分，设四边
形 的面积为 ，四边形 的面积为 ，则 ______ ．
(4)实践操作
你能否只画一条直线，将下图中两个平行四边形的面积同时平分，若能，请画出这条直线（用虚线画出辅
助线）；若不能，请说明理由．【答案】(1)见解析
(2)成立，图和证明见解析
(3)
(4)见解析
【分析】（1）利用平行四边形的性质证明 ，可得 ；
（2）画出图形，同（1）的方法证明即可；
（3）根据全等三角形的性质得到 ， ，等量代换可得 ，即可证明；
（4）分别找出两个平行四边形对角线的交点，再连接即可．
【详解】（1）解：在 中， ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ；
（2）成立，理由是：
在 中， ， ，
∴ ，
在 和 中，
，∴ ，
∴ ；
（3）同（1）可证： ， ，
∴ ， ，
∴ ，
，
∴ ；
故答案为： ；
（4）能，如图，直线 即为所求．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用平行四边形的性质
得到线段，面积之间的关系．
3．（23-24八年级下·内蒙古赤峰·阶段练习）探究：如图1，在 ABCD中，AC，BD交于点O，过点O的直线交AD于点E，交BC于点F．
(1)求证：四边形AEFB与四边形DEFC的周长相等．
(2)直线EF是否将 ABCD的面积分成二等份？试说明理由．
(3)应用：张大爷家有一块平行四边形菜园，园中有一口水井P，如图2，张大爷计划把菜园平均分成两块，
分别种植西红柿和茄子，且使两块地共用这口水井，请你帮助张大爷把地分开．
【答案】(1)证明见解析
(2)直线 是将 的面积分成二等份，理由见解析
(3)见解析
【分析】（1）先根据平行四边形的性质可得 ，再根据三角形全等的判定证出
，根据全等三角形的性质可得 ，同样的方法可证出 ， ，然
后根据四边形的周长公式即可得证；
（2）先根据平行四边形的性质可得 ，再根据三角形全等的判定证出
，从而可得 ，根据全等三角形的性质可得 ， ，由此
即可得出结论；
（3）连接 交于点 ，作直线 ，则直线 两侧的四边形面积相等．
【详解】（1）证明： 四边形 是平行四边形，
，
，
在 和 中， ，
，
，
同理可证： ，，
，
四边形 与四边形 的周长相等．
（2）解：直线 是将 的面积分成二等份，理由如下：
四边形 是平行四边形，
，
在 和 中， ，
，
，
由（1）已证： ， ，
， ，
，
四边形 与四边形 的周长相等，
即直线 将 的面积分成二等份．
（3）解：连接 交于点 ，作直线 ，则直线 两侧的四边形面积相等，如图所示：
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、三角形全等的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质是解
题关键．
【经典例题九 利用平行四边形的判定与性质求解】
【例9】（2025八年级下·全国·专题练习）【追本溯源】题（1）来自于课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）．
(1)如图1， ， 平分 ．求证： ．
【方法应用】
(2)如图2， ， ， 平分 ，交边 于点 ，过点 作 交 的延长线
于点 ．若 ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)2.5
【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，角平分线的定义，熟练掌
握等腰三角形的性质是解题的关键．
（1）由角平分线的定义得出 ．由平行线的性质得出∠ADB=∠CBD，证出
，则可得出结论；
（2）根据平行四边形的判定和性质定理得到 ， ，由（1）可知，
， ，则可得出答案．
【详解】（1）证明： 平分 ，
．
，
，
，
；
（2）解： ， ，
四边形 是平行四边形， ，
， ，
由（1）可知， ， ，
，
，，
，
．
1．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在四边形 中， 且 ， ，点
P、Q分别从点A、C同时出发，点P以 的速度由A向D运动，点Q以 的速度由C向B运动．
问几秒后直线 将四边形 截出一个平行四边形．
【答案】2秒或3秒
【分析】此题主要考查的是平行四边形的判定，关键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
分别利用①当 时，②当 时，列方程得出答案即可．
【详解】解：设点P，Q运动的时间为 ．依题意得： ， ．
∵ ，
①当 时，四边形 是平行四边形．
即 ，
解得 ．
②当 时，
四边形 是平行四边形，即 ，
解得： ．
综上分析可知：经过2秒或3秒后，直线 将四边形 截出一个平行四边形．
2．（24-25八年级上·山东济南·期末）如图，在四边形 中， ， ， ， ，
，点E是 的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿 向点D运动；点Q
同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿 向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．设运动时间为t秒．
(1)线段 ； ； （用含t的代数式表示）；
(2)当t为何值时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形？
【答案】(1) ； ； 或
(2)当运动时间t为2秒或 秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形
【分析】此题考查一元一次方程的应用、平行四边形的判定、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正
确地用代数式表示线段的长度是解题的关键．
（1） ， ，点E是 的中点，得 ， ，则 或
，而 ， ，则 ；若点Q与点E重合，则 ，求得 ；若点P与点
D重合，则 ，所以当 时，则 ，当 时，则 ，于是得到问题的答案；
（2）由 ，可知点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形时， ，再分两种情况讨论，
一是当Q运动到E和B之间，则得： ；二是当Q运动到E和C之间，则得： ，解
方程求出相应的t值即可．
【详解】（1）解：∵ ， ，点E是 的中点，点P在 上，点Q在 上，
∴ ， ，
∴ 或 ，
∵点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿 向点D运动，
∴ ，
∴ ；
∵点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿 向点B运动，
∴ ，
若点Q与点E重合，则 ，解得 ；
若点P与点D重合，则 ，
当 时，则 ，
当 时，则 ，
故答案为： ； ； 或 ；
（2）解： ，
∴点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形时， ，
是 的中点，
，
分两种情况：
①当Q运动到E和B之间，则得： ，
解得： ，
②当Q运动到E和C之间，则得： ，
解得： ，
综上所述，当运动时间t为2秒或 秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形．
3．（2025·浙江衢州·一模）尺规作图是指用无刻度的直尺和圆规作图．已知：在四边形 中，
， ，用尺规作图作 ， 的角平分线．下面是两位同学的对话：
小衢 我会用八年级上册《1.5三角形的全等的判定①》中例2的尺规作图法．
小柯 我想到了新方法：如图所示，以 为圆心， 长为半径画弧，交 于点 ，连
结 ，那么 就是 的角平分线；同理，以 为圆心， 长为半径画弧，交
于点 ，连结 ，那么 就是 的角平分线．
依据小柯的“新方法”解答下列问题．
(1)说明 是 的角平分线的理由．
(2)若 ，垂足为O，当 ， 时，求 的长．
【答案】(1)见解析(2)4
【分析】本题主要考查了尺规作图作一个角的平分线、平行四边形的性质、圆的基本性质．
（1）根据作图的方法可知 ，根据等边对等角可知 ，根据平行四边形的性质可知
，根据平行线的性质可知 ，等量代换可知 ，所以可知 平分
；
（2）先根据已知证明 ，可得 ，由此证明四边形 为平行四边形，进
而得出 ， ，由 ，即可解题．
【详解】（1）解： 以D为圆心，DA长为半径画弧，交 于点E，
，
，
四边形 是平行四边形，
，
，
，即 平分 ，
（2）∵
∴ ，即 ，
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，又∵ ，
∴四边形 为平行四边形．
∴ ， ，
∴ ，
∴
【经典例题十 利用平行四边形的性质与判定证明】
【例10】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在平行四边形 中， 、 分别是 、 边上
的点，且 ．(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)连接 ，若 平分 ， ， ， ，求平行四边形 的周长．
【答案】(1)见解析
(2)26
【分析】（1）根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质得出 ，进而利用平行四边形的
判定解答即可；
（2）由平行四边形的性质和角平分线的定义得出 ，再根据勾股定理求出 的长，再求出
，求解即可．
【详解】（1）证明： 四边形 为平行四边形，
， ， ， ，
，
，
，
，即 ，
，
四边形 是平行四边形；
（2）解： 四边形 是平行四边形，
，
四边形 是平行四边形，
， ， ，
，
平分 ，
，
，
，
，
，，
，
平行四边形 的周长 ．
【点睛】此题考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定，角平分线的
定义，勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
1．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在平行四边形 中， 与 相交于点O，延长 至点
E，使 ，连接 ．
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)若 平分 ， ， ，求 的面积．
【答案】(1)见解析
(2) 的面积是 ．
【分析】此题重点考查平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作
出辅助线是解题的关键．
（1）由平行四边形的性质得 ， ，因为延长 至点E，使 ，所以 ，
，则四边形 是平行四边形；
（2）连接 ，由 的对角线 与 相交于点O，得 ，由 平分 ，
得 ，由 ，得 ，则 ，所以 ，则 ，
所以 ，求得 ，则 ．
【详解】（1）证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∵延长 至点E，使 ，
∴ ， ，∴四边形 是平行四边形；
（2）解：连接 ，
∵ 的对角线 与 相交于点O， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的面积是 ．
2．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在 中，E，F是对角线 上的两点，且 ．
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)若 ．求线段 长．【答案】(1)见解析
(2)4
【分析】本题考查平行四边形的判定和性质、勾股定理，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定和性质，
灵活运用勾股定理解决问题，属于中考常考题型．
（1）连接 ，根据平行四边形的性质可得 ，根据已知 证得 ，从而证
得结论；
（2）根据勾股定理求出 ，然后求得 ，进而求出 ．
【详解】（1）证明：连接 交 于O，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形；
（2）解：∵ ，
∴在 中， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
3．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在 的对角线 上依次取点 、 ，且
，作 ，分别交边 、 于点G、H．(1)求证：四边形 为平行四边形．
(2)若 ， ，求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知
识，掌握相关知识点是解题关键．
（1）证明 ，得 ，再由平行四边形的判定即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质得 ，则 ，再由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出
，然后由平行线的性质即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴四边形 为平行四边形；
（2）解：由（1）可知，四边形 为平行四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ．
【经典例题十一 平行四边形的性质与判定的应用】
【例11】（2023·吉林白山·一模）下面是李婷同学的自主探究笔记，请认真阅读并补充完整．
【复习】如图①，点 、 分别是 的边 、 的中点．
则 ______， ______；
【探究】如图②，在 和 中， 与 相交于点 ，点 、 、 分别为 、 、 的
中点，连接 交 于点 ，连接 交 于点 ．
求证：（1） ；
（2）当 时， ；
【应用】如图③，线段 、 相交于点 ，连接 、 ，点 、 分别为 、 的中点，连接
，若 ， ，则 长为______．
【答案】复习： ； ；探究：（1）见解析；（2）见解析；应用：
【分析】本题考查三角形中位线定理，相似三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，勾股定理，
熟练掌握以上知识点是解题的关键；
复习：直接由三角形的中位线定理即可解答；
探究：（1）由点 、 分别是 的边 、 的中点，得到 ，由点 ， 分别为 ，的中点，得到 ，证明四边形 为平行四边形，进而求解；
（2）根据中位线定理，得到 ， ，进而求解；
应用：连接 ，取 的中点 ，连接 ， ，通过中位线定理，平行线的性质可以求得
，进而根据勾股定理求解．
【详解】复习： ， 分别为边 ， 的中点，
，
故答案为： ，
探究：（1）解： 点 、 分别是 的边 、 的中点，
，
点 ， 分别为 ， 的中点，
，
四边形 为平行四边形，
，
（2） 点 ， 分别为 ， 的中点，
，
点 ， 分别为 ， 的中点，
，
，
，
应用：如图所示，连接 ，取 的中点 ，连接 ，交 于点H，连接 ，交 于点N，
，
点 ， 分别为边 ， 的中点，
， ，
点 ， 分别为 ， 的中点，
， ，
四边形 为平行四边形，
，
在 中， ， ， ，
则 ．
1．（23-24八年级下·山西朔州·期末）阅读与思考
问题情境：
如图1，某小区内有一池塘，同学们想利用所学知识测量池塘两端A，B两点间的距离．
可用工具：测量长度的卷尺、测量角度的测角仪．
方法分析：
“圆周率”小组的操作过程如下：如图2，取能直接到达A和B的点C，量出 的长和 的度数；
作 ；在射线 上找一点D，使 ；测出 的长度，就可得到A，B两点间的距离．
“智慧”小组的操作过程如下：如图3，取能直接到达A和B的点C，连接 ， ；分别取 ，
的中点D，E，测出 的长度，乘以2就可得到A，B两点间的距离．
说明：以上各点都在同一水平面内．（1）上面操作中，“圆周率”小组通过测量 的长度得到A，B两点间的距离，依据是 ．“智慧”小组
通过测量 的长度乘以2，就可得到A，B两点间的距离，依据是 ．
迁移应用：
（2）请你设计一种与上面方法不同的测量方案，要求：
①在图1中画出可操作的方案图；
②简要说明你的操作步骤；
③测量方案中，得到A，B两点间的距离的主要依据是 ．
【答案】（1）平行四边形对边相等；三角形的中位线等于第三边的一半；（2）①作图见解析；②步骤见
解析；③全等三角形对应边相等
【分析】（1）根据平行四边形的性质和三角形的中位线性质进行解答即可；
（2）构造全等三角形，画出图形，利用全等三角形的对应边进行解答即可．
【详解】解：（1）“圆周率”小组：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ ，
∴“圆周率”小组通过测量 的长度得到A，B两点间的距离，依据是平行四边形对边相等；
“智慧”小组：∵D，E分别为 ， 的中点，
∴ 为 的中位线，
∴ ，
∴“智慧”小组通过测量 的长度乘以2，就可得到A，B两点间的距离，依据是三角形的中位线等于第
三边的一半；
（2）①如图，②先在平地上取一个可直接到达A，B的点C，再连接 ，并分别延长 至点D， 至点E，使
， ，最后量出 的距离就是 的距离；
③在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴得到A，B两点间的距离的主要依据是全等三角形对应边相等．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质的应用，三角形中位线的应用，三角形全等的应用，平
行线的判定，解题的关键是理解题意熟练掌握相关的判定和性质．
2．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图是由小正方形组成的 网格，每个小正方形的顶点叫做格点，
图中 ， ， ， 都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．
(1)如图1， 是 上一点，在线段 上找一点 ，使 ；连接 ，作一点 ，使四边形
为平行四边形；
(2)在图2中作 的垂直平分线，分别交 ， 于 ， ；将四边形 沿 翻折，点 的对应
点为点 ，画出翻折后的四边形 ．
【答案】(1)作图见解析
(2)作图见解析
【分析】本题考查作图 轴对称变换，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）如图1中，连接 ， 交于点 ，连接 ，延长 交 一点 ，连接 ，延长 交网格线
一点 ，连接 ，四边形 即为所求；
（2）取格点 ，作直线 交 于点 ，交 一点 ，连接 ，取格点 ，连接 ，取格点 ，
，连接 交 于点 ，连接 ，四边形 即为所求．
【详解】（1）解：如图所示：
点 ，四边形 即为所求；
（2）解：如图所示：
直线 ，四边形 即为所求．
3．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）综合实践：“构图法”计算图形面积．
提出问题： 在 中， 的长度分别为． ，求 的面积．素材准备：三
张 的网格纸．
分析问题：如果运用三角形面积公式 （a为底边，h为对应的高）求解，由于三角形的三条边均
为无理数，高h的计算较为复杂．进一步观察发现： ， ，
．若把 放到图1的正方形网格中（每个小正方形的边长为1），且 的三个
顶点恰好都在小正方形的顶点（格点），这样无需求三角形的高，直接借助网格就能计算出 的面积．
种借助网格计算面积的方法我们称为“构图法”．
解决问题：（1）在图1中，已知点A的位置（点A是格点）．请分别画线段： （点
B、C也是格点）． 则可以计算出 的面积为______．
（2）已知以格点M、N、P、Q为顶点的平行四边形的面积为5，在图2中已经作出格点 M、N．
①在图2中作出格点 P、Q的位置（作出一种得可）；
②这样的平行四边形共有______个．
（3）若 的边长分别为： ．求 的面积．
【答案】（1）图见解析， 的面积为3．（2）① 图见解析；② 7 （3）
【分析】本题考查本作图—应用与设计作图，勾股定理，平行四边形的判定和性质，分割法求几何图形面
积，熟练掌握勾股定理，利用数形结合的思想是解题的关键．
（1）取格点 ，画出 ，利用分割法即可求解 的面积；
（2）① 根据平行四边形的面积公式，构造底边为5，高为1的平行四边形即可，② 通过取不同的格点，
结合利用割补法，图象的翻转，即可找到所有满足条件的平行四边形；
（3）通过构造小矩形长为 ，宽为 的矩形网格图，然后取格点 ，使得 ，
， ，再利用割补法即可求解；
【详解】解：（1）取格点 ，画出 ，如图所示，，
故 的面积为3．
（2）① 取格点 ，依次连接M、N、P、Q，构成平行四边形 ，
平行四边形 的底边为5，高为1，
平行四边形 的面积为5.
② 这样的平行四边形共有7个，除了第①中的平行四边形外，还有以下6种情况，
，
，，
．
（3）在备用图中，设矩形网格图中，小矩形长为 ，宽为 ，取格点 ，如图所示，
， ， ，
符合题意，
的面积为： ，的面积 ．
【经典例题十二 平行四边形的存在性问题】
【例12】（23-24八年级下·湖北·单元测试）如图，在平面直角坐标系中， ， ，
．
(1)求A点坐标；
(2)若点D的坐标为 ，将 沿直线 对折后，点D落到第一象限的点E处，求证：四边形
是平行四边形；
(3)在（2）的条件下，在直线 上是否存在点P，使得以P、A、D、B为顶点的四边形是平行四边形？如
果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)存在点 的坐标为 或 ，使以 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形
【分析】本题主要考查了坐标与图形，全等三角形的判定及性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，解本题的关键是四边形 为平行四边形，判断出 是解本题的难点．
（1）设 ，则 ，由勾股定理可知 ， ，进而可
列方程，即可求解；
（2）由（1）可知， ，则 ，可得 ，由题意可知 ，
则 ，得 ，由对折可知， ， ，即可证
明结论；
（3）由（2）可知 ，得 ，进而可知 ，分两种情况：当点 在 上
方时，当点 在 下方时，分别求解即可．
【详解】（1）解：设 ，则 ，
在 中， ，
在 中， ，
则 ，
解得： ，即： ，
∴点 的坐标为 ；
（2）证明：由（1）可知， ，则 ，
在 中， ，
∵点 的坐标为 ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
由对折可知， ， ，
∴四边形 是平行四边形；
（3）存在点 的坐标为 或 ，使以 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
由（2）得： ，则 ，
由（2）得： ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∵点 在 上，
∴ ，
当点 在 上方时，过点 作 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∵以 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，则 ，
∴此时点 的坐标为 ；
当点 在 下方时，过点 作 ，则 ，
同理，可得点 的坐标为 ；综上所述，存在点 的坐标为 或 ，使以 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形．
1．（23-24八年级下·广东广州·期中）如图，在 中， ， ，动点P从点A出发，
以每秒 的速度沿 的边逆时针匀速运动；动点Q同时从点A出发，以每秒 的速度沿
的边顺时针匀速运动；设点P的运动时间为t秒 ．
(1)当点P在 上运动时， ______cm（用含t的代数式表示）；
(2)当 ______秒时，P，Q两点相遇；
(3)是否存在t的值，使得以点A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出t的值；若不
存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3) 秒或 秒
【分析】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的判定与性质、一元一次方程的应用等知识点，熟练
掌握以上知识是解题的关键．
（1）结合题意利用距离 速度 时间的关系式解答即可；
（2）利用 的代数式表示出点 ， 移动的距离，再利用两点移动的距离之和为平行四边形的周长列方程
解答即可；
（3）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①当 为平行四边形时，利用平行四边形的对
边相等的性质列出关于 的方程解答即可；②当 为平行四边形时，利用同样的方法解答即可．
【详解】（1）解： 动点 从点 出发，以每秒 的速度沿 的边逆时针匀速运动，点 t秒运动的距离为 ，
，
当点 在 上运动时， ，
故答案为： ；
（2）解： 在 中， ， ，
的周长为 ．
由题意得：点 经过 秒运动的距离为 ，点 经过 秒运动的距离为 ，
， 两点相遇时， ，
，
．
当 秒时， ， 两点相遇．
故答案为： ；
（3）解：存在 的值，使得以点 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形， 的值为 秒或 秒．
理由：
①当 为平行四边形时，如图，
由题意得： ， ，
四边形 为平行四边形，
，
，
．
②当 为平行四边形时，如图，由题意得： ， ，
四边形 为平行四边形，
，
，
．
综上，存在 的值，使得以点 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形， 的值为 秒或 秒．
2．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，在平面直角坐标系中，点 ， ， ．
(1)若动点P从原点O出发，以每秒3个单位长度沿着x轴正方向运动，动点Q从点B 出发，以每秒1个单
位长度向点C运动，当点Q到达点C处时，两点都停止运动．设运动时间为t（秒）．若以A、B、P、Q
四个点为顶点的四边形是平行四边形，求此时t的值；
(2)点M在x轴上，平面内是否存在点N，当以A、C、M、N为顶点的四边形是菱形时，请直接写出所有满
足条件的点N的坐标．
【答案】(1) 或2时，以 ， ， ， 为顶点的四边形为平行四边形；
(2)点 的坐标为 或 或 或 ．
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题
的关键．
（1）分两种情况，由平行四边形的性质可得出答案；
（2）分不同情况画出图形，由菱形的性质可得出答案．
【详解】（1）解：若点 在点 的左侧，四边形 为平行四边形， ，由题意得 ，
解得 ，
若点 在点 的右侧，四边形 为平行四边形， ，
，
解得 ，
综上： 或2时，以 ， ， ， 为顶点的四边形为平行四边形；
（2）解：点 的坐标为 或 或 或 ．
理由如下：
点 ， ，
， ，
，
如图，以 为边，四边形 是菱形，
，
；
如图，以 为边，四边形 是菱形，
， ，
；
如图，以 为边，四边形 是菱形，
， ，
；如图，以 为对角线，四边形 是菱形，
设 ，
，
，
，
，
，
；
综上所述，以 、 、 、 为顶点的四边形是菱形时，点 的坐标为 或 或 或 ．
3．（23-24八年级下·广东珠海·期中）如图，在四边形 中， ， ， ，
， ，点P从点A出发，以 的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以
的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t
秒．
(1)当 时，请判定四边形 的形状，并证明．(2)当 时，求t的值．
(3)连接 ，是否存在 为等腰三角形？若存在请求t的值，若不存在，说明理由．
【答案】(1)四边形 是平行四边形．理由见解析
(2) 或 时，
(3)存在，当为4或者 或者 时， 为等腰三角形
【分析】（1）根据题意有： ， ，进而有 ， ，
当 时，可得 ，结合 ，即可作答；
（2）分四边形 是平行四边形和四边形 是等腰梯形两种情况，结合题意计算，得到答案；
（3）分三种情况讨论：当 为等腰三角形，且 时，过D点 于H；当 为等腰
三角形，且 时；当 为等腰三角形，且 时，根据等腰三角形的性质结合勾股定理
列出关于t的方程，解方程即可求解．
【详解】（1）解：结论：四边形 是平行四边形．理由：根据题意有： ， ，
∵ ， ，
∴ ， ，
当 时， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形；
（2）当 ，四边形PQCD是平行四边形时，
即有： ，则 ，解得， ；
当 时，四边形PQCD是等腰梯形时，过P点作 于M，过D点 于N，如图，
根据 ， ， ，可得四边形 是矩形，
则 ， ，
即 ， ，
∵梯形 为等腰梯形， 于M，
∴ ， ，
根据（1）有 ， ， ， ，
∴ ，
∴ ，解得 ，
综上所述： 或 时， ．
（3）存在，理由如下：
根据（1）有 ， ， ， ，
根据（2）有 ，
当 为等腰三角形，且 时，过D点 于H，如图，
根据（2）可知： 时，
∵ 为等腰三角形，∴ ，
∴ ，解得 ，即此时 ；
当 为等腰三角形，且 时，如图，∴ ，解得 ，即此时 ；
当 为等腰三角形，且 时，
过D点 于P，过Q点 于G，如图，
根据（2）同理可知四边形 是矩形，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∵ ， ，∴ ，
在 中， ，
∴ ，解得： ，
综上所述：当为4或者 或者 时， 为等腰三角形．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰梯形，勾股定理，等腰三角形的性质以及利用开平方解方程
的知识，掌握平行四边形的性质、梯形的性质以及等腰三角形的性质是解答本题的关键．
【经典例题十三 平行四边形相关的综合问题】
【例13】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在 中， ， 是 上的点，连接 ， ，
， ，且 ．(1)求证：四边形 是平行四边形．
(2)若 ， ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理等知识点，掌握平行四
边形的判定方法是解题的关键．
（1）先根据平行四边形的性质得到 ， ，然后根据 ．得到 ，即可证
明结论；
（2）根据 ，得出 ， ， ，结合 ，在
中，根据勾股定理求出 ，在 中，根据勾股定理求出 ，即可求解；
【详解】（1）证明：如图，连结 ，交 于点 ．
是平行四边形，
， ，
又 ，
，
，
四边形 是平行四边形；
（2）解： ，
， ， ，，
在 中， ，
在 中， ，
是平行四边形，
．
1．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）已知在 中， ，点 是 的中点，点 是
上一点．
(1)如图1， ， ， 是 的垂直平分线，求 的长；
(2)点 是 上一点，已知 ，连接 ．
①如图2，延长 到点 ，使得 ，连接 ，探索 和 之间的数量关系，并加以证
明；
②如图3，当 ， 时，其他条件不变，求 的长．
【答案】(1)
(2)① ，证明见解析；②
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，三角形中位线定
理等等，熟知勾股定理是解题的关键．
（1）连接 ，由线段垂直平分线的性质可得 ，设 ，则 ，再利用勾股定理
建立方程求解即可；（2）①证明 ，得到 ，则 ，可得 ；再证明
，得到 ，由勾股定理得 ，则 ；②如图所示，
取 中点H，连接 ，则 是 的中位线，可得到 ， ，再
证明 是等腰直角三角形，得到 ，则 ，即可由勾股定理得到
．
【详解】（1）解：如图所示，连接 ，
∵ 是 的垂直平分线，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
解得 ，
∴ ；
（2）解：① ，证明如下：
∵点 是 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ；
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ；
②如图所示，取 中点H，连接 ，则 是 的中位线，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
2．（2025八年级下·全国·专题练习）【三角形中位线定理】已知：在 中，点 ， 分别是边 ，
的中点．直接写出 和 的关系为 ；
【应用】如图，在四边形 中，点 ， 分别是边 ， 的中点，若 ， ， ，
，则 的度数为 度；【拓展】如图，在四边形 中， 与 相交于点 ，点 ， 分别为 ， 的中点， 分别
交 ， 于点 ， ， ．求证： ．
【答案】[三角形中位线定理] ， ；[应用] ；[拓展]见解析
【分析】本题考查了三角形中位线的应用，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理的逆定理，
熟练掌握三角形中位线的应用是解题的关键．
[三角形中位线定理]根据三角形中位线定理即可得到结论；
[应用]连接 ，根据三角形中位线定理得到 ， ，根据勾股定理的逆定理得到
，计算即可；
[拓展]取 的中点 ，连接 、 ，则 、 分别是 、 的中位线，由中位线的性
质定理可得 且 ， 且 ，结合等腰三角形的判定和性质，平行线的
性质即可得结论．
【详解】[三角形中位线定理]解： ， ；
理由：∵点 ， 分别是边 ， 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ， ，
故答案为： ， ；
[应用]解：如图所示，连接 ，
∵点 ， 分别是边 ， 的中点，
∴ ， ，∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
[拓展]证明：取 的中点 ，连接 、 ．如图：
∵点 ， 分别为 ， 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ 且 ，
同理可得 且 ．
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
3．（2025八年级下·全国·专题练习）综合实践课上，老师让同学们开展了 的折纸活动， 是
边上的一动点， 是 边上的一动点，将 沿直线 折叠，使点 落在 边上的点 处，点
的对应点为点 ，连接 ．(1)【观察发现】如图1，若 ， ， ，求 的长；
(2)【操作探究】如图2，当点 落在 的延长线上时，求证：四边形 为平行四边形．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）由折叠的性质可得 ，则 ，由三角形外角性质得 ，
所以 ，再利用勾股定理得 ，然后由 ，
求得 ，即可求解．
（2）根据折叠的性质先证 ，再证 即可证明四边形 为平行四边形．
【详解】（1）解：由折叠知 ，
．
．
，
．
．
由勾股定理得， ，
．
．
．
．
（2）证明：由折叠知 ， ， ．，
，
，
，
，
，
∵ ， ，
∴ ，
，
，
，点 在 延长线上，
，
，
．
，
，
四边形 是平行四边形．
【点睛】本题考查平行四边形折叠问题，直角三角形的判定，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，勾
股定理．熟练掌握平行四边形的性质与判定和折叠性质是解题的关键．
【经典例题十四 利用三角形中位线求线段长】
【例14】（24-25八年级上·浙江·期末）如图，在 中， ， ，点 在 边上，连
结 ．点 是 的中点，连接 ．若 ，则 的长是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B【分析】本题考查了三角形的中位线、矩形的性质与判定、勾股定理，熟练掌握以上知识点，结合图形取
中点构造三角形的中位线是解题的关键．取 中点为点 ，过点 作 于点 ，连接 ，先利
用勾股定理和三角形的面积公式求出 的长，再利用矩形的判定证明 是矩形，得出 即可解
答．
【详解】解：如图，取 中点为点 ，过点 作 于点 ，连接 ，
， ，点 为 中点，
， ，
在 中， ，
，
， ，
，
，
，
点 是 的中点，点 为 中点，
是 的中位线，
，
，
，
四边形 是矩形，
．
故选：B．
1．（24-25八年级上·湖北恩施·期末）如图， 中， 是 的中点， 在 上，且，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了三角形中位线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、平行线的
性质等知识，解题关键是正确作出辅助线，熟练掌握相关知识并灵活运用．在 上取点 ，使得
，连接 ，易得 为 的中位线，所以 ，再证明 为等腰三角形，可得
，然后由 可得答案．
【详解】解：如图，在 上取点 ，使得 ，连接 ，
则 ，
∵ 是 的中点， ，
∴ 为 的中位线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．故选：B．
2．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）如图，在矩形 中，对角线 、 相交于点 ，点 、 分别是
、 的中点，若 ， ，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理，矩形性质，三角形中位线的应用，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
根据勾股定理求出 ，根据矩形性质得出 ， ， ，求出 、 ，根据三
角形中位线求出即可．
【详解】解：∵四边形 是矩形，
∴ ， ， ，
∵ ， ，
∴由勾股定理得： ，
∴ ，
∵点 、 分别是 、 的中点，
∴ ，
故答案为： ．
3．（23-24八年级下·广东清远·期末）如图，点O是 内一点，连接 ，并将
的中点D，E，F，H依次连接，得到四边形 ．
(1)求证：四边形 是平行四边形．
(2)如果 ， ， ，求 的长．【答案】(1)见解析
(2) 的长是 ．
【分析】此题重点考查三角形中位线定理、平行四边形的判定、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解
题的关键．
（1）由D，E，F，H分别是 的中点，根据三角形中位线定理得 ，且
，即可证明四边形 是平行四边形；
（2）作 于点G，因为 ，利用等腰三角形的性质，直角三角形
的性质结合勾股定理求得 ， ，再根据三角形中位线定理求得即可．
【详解】（1）证明：∵D，E，F，H分别是 的中点，
∴ ，且 ， ，且 ，
∴ ，且 ，
∴四边形 是平行四边形；
（2）解：作 于点G，则 ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的长是 ．【经典例题十五 三角形中位线的实际应用】
【例15】（24-25九年级上·山西临汾·期中）2023年7月28日第31届世界大学生夏季运动会在成都东安湖
体育公园开幕．如图，贝贝想测量东安湖A，B两点间的距离，他在东安湖的一侧选取一点O，分别取
的中点M，N，但M，N之间被障碍物遮挡，故无法测量线段 的长，于是贝贝在 延长
线上分别选取P，Q两点，且满足 ，贝贝测得线段 米，则A，B两点间的距离
是（ ）米．
A．120 B．140 C．160 D．180
【答案】D
【分析】本题考查了三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形中位线等于第三边的
一半是解题的关键．证明 ，根据全等三角形的性质求出 ，再根据三角形中位线定理计
算即可．
【详解】解：在 和 中，
，
，
米，
点 分别为 ， 的中点，
是 的中位线，
米，
故选：D．
1．（23-24八年级下·广西南宁·期末）【综合与实践】如图1， 测出水池A， B两点间的距离（水池有障碍物不能直接测量）．
任务
皮尺
皮尺的功能： 直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮
尺的测量长度，长度单位：m）；
测量
工具
测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点O处，对其视线可及的P， Q两
测角仪
点，可测得 的大小．
小明的测量及求解过程
（1）如图2， 水池外选点 C， 用皮尺测得 ；
（2）分别在 上用皮尺测得 ，测得 ．
测量
过程
由测量可知：
∵ ， ，
求解 ∴点M是 的中点， 点N是 的中点，
过程
∴ 是 的______
∵ ，
∴ ______ ．
(1)把小明的求解过程补充完整；
(2)小明测出水池A，B两点间的距离，依据是 ；
(3)请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何量，并利用直角三角形的知识求水池A，B两点间的距离，请你画出示意图并写出测量及求解过程（要求测量得到的线段长度用字母a，b，c，…表示，
测量次数不超过3次）．
【答案】(1)见解析
(2)三角形的中位线等于第三边的一半
(3)示意图见解析，
【分析】本题考查三角形中位线的判定与性质，含30度直角三角的特征．
（1）根据三角形中位线的性质即可解答；
（2）三角形的中位线等于第三边的一半；
（3）用测角仪在点A处测出 ，在射线 上找一点G，用测角仪测出 ，然后用皮尺
测量出 ，利用含30度直角三角的特征即可解答．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴点M是 的中点， 点N是 的中点，
∴ 是 的中位线，
∵ ，
∴ ．
（2）解：由（1）可知小明测出水池A，B两点间的距离，
依据是：三角形的中位线等于第三边的一半；
（3）解：如图，
，
．2．（23-24八年级下·山西朔州·期末）阅读与思考
问题情境：
如图1，某小区内有一池塘，同学们想利用所学知识测量池塘两端A，B两点间的距离．
可用工具：测量长度的卷尺、测量角度的测角仪．
方法分析：
“圆周率”小组的操作过程如下：如图2，取能直接到达A和B的点C，量出 的长和 的度数；
作 ；在射线 上找一点D，使 ；测出 的长度，就可得到A，B两点间的距离．
“智慧”小组的操作过程如下：如图3，取能直接到达A和B的点C，连接 ， ；分别取 ，
的中点D，E，测出 的长度，乘以2就可得到A，B两点间的距离．
说明：以上各点都在同一水平面内．
（1）上面操作中，“圆周率”小组通过测量 的长度得到A，B两点间的距离，依据是 ．“智慧”小组
通过测量 的长度乘以2，就可得到A，B两点间的距离，依据是 ．
迁移应用：
（2）请你设计一种与上面方法不同的测量方案，要求：
①在图1中画出可操作的方案图；
②简要说明你的操作步骤；
③测量方案中，得到A，B两点间的距离的主要依据是 ．
【答案】（1）平行四边形对边相等；三角形的中位线等于第三边的一半；（2）①作图见解析；②步骤见
解析；③全等三角形对应边相等
【分析】（1）根据平行四边形的性质和三角形的中位线性质进行解答即可；
（2）构造全等三角形，画出图形，利用全等三角形的对应边进行解答即可．
【详解】解：（1）“圆周率”小组：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 为平行四边形，∴ ，
∴“圆周率”小组通过测量 的长度得到A，B两点间的距离，依据是平行四边形对边相等；
“智慧”小组：∵D，E分别为 ， 的中点，
∴ 为 的中位线，
∴ ，
∴“智慧”小组通过测量 的长度乘以2，就可得到A，B两点间的距离，依据是三角形的中位线等于第
三边的一半；
（2）①如图，
②先在平地上取一个可直接到达A，B的点C，再连接 ，并分别延长 至点D， 至点E，使
， ，最后量出 的距离就是 的距离；
③在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴得到A，B两点间的距离的主要依据是全等三角形对应边相等．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质的应用，三角形中位线的应用，三角形全等的应用，平
行线的判定，解题的关键是理解题意熟练掌握相关的判定和性质．
3．（2024·山东青岛·一模）【问题情境】
图形的分割：就是在保持面积不变的前提下，将一个或几个图形分割成两个或几个图形．图形的拼合：就
是把一个图形通过分割后再重新拼接组合，在保持面积不变的前提下，得到一个新的图形．图形分割与拼
合问题，集趣味性、探索性、实验性于一体．
如图①，任意三角形通过分割后重新拼接，可以拼成平行四边形，方案设计：图形的分割：取 中点 ，
中点 ，连接 ，沿 将 分割成两个图形；图形的拼合：如图所示，将 绕点 旋转，与四边形 拼接成平行四边形 ．此时， 的面积与 的面积相等．
【探究实践】仿照图示的方法，解答下列问题：
如图②，对直角三角形 ，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与三角形等面积的矩形．请你
写出方案设计．
【拓展应用】如图③，对任意三角形 ，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形等面
积的矩形．请你画出方案设计．
【答案】见解析
【分析】本题考查图形设计，三角形中位线的性质，矩形的判定；
探究实践：参考问题情境中的操作，进行图形的分割和合并即可；
拓展应用：先过 的 垂线，即可得到两个直角三角形，参考探究实践中的思路进行图形的分割和合并．
【详解】探究实践： 图形的分割：取 中点 ， 中点 ，连接 ，延 将 分割成两个图
形；
图形的拼合：如图②所示，将 绕点 旋转 ，与四边形拼接成矩形 ，此时，矩形 的
面积与 的面积相等，
拓展应用：如图：
图形的分割：过 作 于 ，取 中点 ， 中点 ，连接 交 于 ，延 ， 将分割成四个图形；
图形的拼合：如图③所示，将 绕点 旋转 ，将 绕点 旋转 ，与四边形拼接成矩形
，此时矩形 的面积与 的面积相等
【经典例题十六 利用三角形中位线求最值】
【例16】（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，在 中， ， ， 是平
面上一动点，连接 ， ， 是 的中点，连接 ，当 ， 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查勾股定理、三角形的中位线的性质、直角三角形斜边上的中线性质等知识，添加辅助线，
利用三角形的中位线性质求解是解答的关键．取 的中点F，连接 ， ，利用三角形的中位线性质
得到 ，再利用勾股定理和直角三角形的中线性质求得 ，然后利用三角形三
边关系得到 ，当B、F、E共线时取等号，进而得到答案．
【详解】解：取 的中点F，连接 ， ，如图，
∵ 是 的中点，点F是 的中点，
∴ 是 的中位线，又 ，∴ ，
∵在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，当B、F、E共线时取等号，
∴ 的最大值为 ，
故选：D．
1．（24-25九年级上·天津·期末）如图，已知 中， ， ，将直角边 绕A
点逆时针旋转至 ，连接 ，E为 的中点，连接 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质、以及三角形中位线等知识，取 的中点F，连接
， ，由旋转的性质及三角形中位线定理求出 ，由勾股定理求出 的长，由直角三角形的性
质求出 的长，则可求出答案．
【详解】解：取 的中点F，连接 ， ，∵将直角边 绕A点逆时针旋转至 ，
∴ ，
∵E是 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∵F为 中点，
∴ ，
在 中，
∵ ，
∴ ，
∴ 的最大值为 ，
故选：C．
2．（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，在菱形 中，E，F分别是边 上的动点，连接
，G，H分别为 的中点，连接 ．若 ， ，则 的最小值为 ．
【答案】【分析】连接 ，利用三角形中位线定理，可知 ，当 时，最小 ，即 得到最小
值，根据含 角的直角三角形的性质和勾股定理求出 最小值即可求解．
【详解】解：如图，连接 ，
四边形 是菱形，
，
， 分别为 、 的中点，
是 的中位线，
，
当 时，则 ， 最小，即 得到最小值，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形的中位线定理，垂线段最短，含 角的直角三角形的性质，勾
股定理，解题的关键是学会添加常用辅助线．
3．（2024九年级上·全国·专题练习）如图1，在 中， ， ，点D、E分别在边
， 上， ，连接 ，点M、P、N分别为 ， ， 的中点．(1)求证： ， ；
(2)把 绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接 ， ， ，判断 的形状，并说明理由；
(3)把 绕点A在平面内自由旋转，若 ， ，请求出 面积的最大值．
【答案】(1)见详解
(2) 是等腰直角三角形，理由见详解
(3)
【分析】（1）利用三角形中位线得出 ， ，进而判断出 ，即可得出结论，
再利用三角形的中位线得出 ， ，得出 、 ，最后用互余即
可得出结论．
（2）先判断出 ，得出 ，同（1）的方法得出 ， ，即可得出
，同（1）的方法即可得出结论．
（3）先判断出 最大时， 的面积最大，而 最大是 ，即可得出结论．
【详解】（1）∵点P，N分别为 ， 的中点，
∴ ， ，
∵点M，P分别为 ， 的中点，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（2）解： 是等腰直角三角形，理由如下：
由旋转知， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
利用三角形的中位线得 ， ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形，
同（1）的方法得 ，
∴ ，
同（1）的方法得 ，
∴ ，
∵ ，
∴
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形．
（3）解：由（2）知 是等腰直角三角形， ，∴当 最大时， 最大， 的面积最大，
∴如图所示，当点D在 的延长线上时， 最大，
此时可有 ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直
角三角形的性质的综合运用，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
【经典例题十七 三角形中位线的新定义问题】
【例17】（23-24八年级下·贵州黔东南·期中）我们给出如下定义：把对角线互相垂直的四边形叫做“对角
线垂直四边形”．如图，在四边形 中， ，四边形 就是“对角线垂直四边形”．
(1)下列四边形，一定是“对角线垂直四边形”的是______；
①平行四边形 ②矩形 ③菱形 ④正方形
(2)如图，在“对角线垂直四边形” 中，点 分别是边 的中点，求证：
四边形 是矩形．
【答案】(1)③④
(2)详见解析【分析】本题考查了中点四边形：任意四边形各边中点的连线所组成的四边形为平行四边形，也考查了三
角形中位线性质、菱形、正方形的性质．
（1）根据“对角线垂直四边形”的定义求解；
（2）根据三角形中位线的性质得到 ，则可判断四边形 是平行四边形，再证明
，然后判断四边形 是矩形；
【详解】（1）解：菱形和正方形是“对角线垂直四边形”，故③④满足题意．
故答案为：③④．
（2）证明：∵点 分别是边 的中点，
，
，
∴四边形 是平行四边形．
，
，
又 ，
，
，
∴平行四边形 是矩形．
1．（24-25九年级上·福建三明·阶段练习）定义：顺次连结四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．
如图，在四边形 中，顺次连结各边中点E、F、G、H得到的四边形EFGH叫做四边形 的中点
四边形．
利用三角形中位线的相关知识解决下列问题：
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)当对角线满足下列条件时，请你探究中点四边形 的形状：(写出结果并证明)当 时， 四
边形 是 ．【答案】(1)见解析
(2)矩形
【分析】本题考查了三角形的中位线定理，中点四边形，矩形的判定，解题的关键是掌握三角形的中位线
平行于第三边且等于第三边的一半．
（1）连接 ，根据中位线定理，得出 进而得出
， ，即可求证；
（2）根据三角形的中位线定理得出 ，结合 推出 ，即可
得出结论．
【详解】（1）证明：连接 ，
∵点E、F、G、H是四边形 各边中点，
∴
∴ ， ，
∴四边形 是平行四边形；
（2）解：∵点E、F、G、H是四边形 各边中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴四边形 是矩形．
故答案为：矩形．
2．（23-24八年级下·福建厦门·期中）定义：至少有一组对边相等的凸四边形为等对边四边形．如图，已
知四边形 ，点 是对角线 的中点， 为 的中点，连接 ， 为等边
三角形．(1)求证：四边形 是“等对边四边形”；
(2)若 ，求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，关键是由三角形中位线定理推出
，由 ，推出 ，由 ，推出
．
（1）由三角形中位线定理推出 ，即可得到 ，推出四边形 是“等对边
四边形”；
（2）过 作 交 延长线于 ，过 作 于 ，由补角的性质得到 ，由
推出 ，得到 ，由 推出 ，得到 ，
由三角形中位线定理推出 ，得到 ，由平角定义推出
，由三角形内角和定理得到 ，因此 ．
【详解】（1）证明：∵ 为等边三角形，
∴ ，
∵点 是对角线 的中点， 为 的中点，
∴ 是 的中位线， 是 的中位线，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是“等对边四边形”；
（2）解：过 作 交 延长线于 ，过 作 于 ，设 交于点 ，∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的中位线， 是 的中位线，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，则 ，
∴在 中， ，且 ，
∴ ．
3．（24-25八年级下·广东深圳·期末）【综合与实践】折纸是一项有趣的活动，折纸活动也伴随着我们初
中数学的学习．在折纸过程中，我们可以研究图形的运动和性质，也可以在思考问题的过程中，初步建立
几何直观，现在就让我们带着数学的眼光来折纸吧．定义：将纸片折叠，若折叠后的图形恰能拼合成一个
无缝隙、无重叠的长方形，这样的长方形称为完美长方形．(1)操作发现：如图1，将△ABC纸片按所示折叠成完美长方形 ，若 的面积为12． ，
则此完美长方形 的边长 ，面积为 ．
(2)类比探究：如图2，将 纸片按所示折叠成完美长方形 ，若 的面积为20， ，
求完美长方形 的周长．
(3)拓展延伸：如图3，将 纸片按所示折叠成完美长方形 ，若 ，则
长方形 的周长为 ， 的面积为 ．
【答案】(1)3；6
(2)13
(3)68，
【分析】本题考查了折叠的性质，平行四边形的性质与判定、勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的性
质与判定是解决此题的关键．
（1）由折叠可知点H是 中点， ，过点A作 于M，根据三角形 面
积求 的长，由 ，点H是 中点可知 是 中位线，得到 进而求
完美长方形面积；
（2）根据折叠可知， ，从而可得 ，根据平行四边形 面积可求得
的长为4进而可求周长；
（3）由折叠可证点E，G分别是 中点，进一步可证四边形 是平行四边形，所以
，即长方形 对角线长为26，设 ，根据勾股定理得到方程，解出
x，从而可得完美长方形的边长和宽，最后求周长面积即可．
【详解】（1）由折叠可知， ，
∴ ，点H是 中点
∵
∴
即 ，过点A作 于M，
∵四边形 是长方形
∴
∴
∴H是 中点
∴
∵
∴
∴
∴完美长方形的面积为
故答案为：3，6
（2）由折叠可知
同理可知
∴长方形 的面积为
∴长方形 的周长为
（3）由折叠可证点E，G分别是 的中点
∴
由题意知
∴∴ 为平行四边形
∴
在 中，设 ，则
由勾股定理得
∴
∴周长为：
面积为：
故答案为：68，
1．（2025·安徽六安·一模）如图，在平行四边形 中， 的平分线和 的平分线交于 上
一点 ，若 ， ，则 的长为（ ）
A． B． C．5 D．6
【答案】B
【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，等角对等边，勾股定理，熟练掌握以上知识点是
解题的关键．根据角平分线可知， ， ，结合四边形 是平行四边形，
， ，从而得到 ， ， ，最
后在 中利用勾股定理即可求解．
【详解】解： 四边形 是平行四边形，
， ， ，
， ，
的平分线和 的平分线交于 上一点，
， ，
，
故选：B．
2．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）已知四边形 ，从下列条件中：① ；② ；
③ ；④ ；⑤ ；⑥ ，任取两个，可以得出“四边形 是平行四边
形”这一结论的情况有（ ）
A．9种 B．11种 C．13种 D．15种
【答案】A
【分析】此题主要考查了平行四边形的判定，（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组
对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角
分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定
条件进行求解即可．
【详解】解：选取①②，可由两组对边分别平行的四边形是平行四边形得出四边形 是平行四边形；
选取①③，可由一组对边相等且平行的四边形是平行四边形得出四边形 是平行四边形；
同理②④也符合题意；
选取①⑤，可证明 ，则可推出 ，可证四边形 是平行四
边形；
同理选取②⑥，②⑤，①⑥也符合题意；
选取③④，可由两组对边分别相等的四边形是平行四边形得到四边形 是平行四边形；
选取⑤⑥，可由两组对角分别相等的四边形是平行四边形得到四边形 是平行四边形；
综上所述，一共有9种组合满足题意，
故选：A．
3．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在四边形 中， ， ， ，， ，动点 从点 出发，沿射线 以每秒3个单位的速度运动，动点 同时从点 出发，
在线段 上以每秒1个单位的速度向终点 运动，当动点 到达点 时，动点 也同时停止运动．设点
的运动时间为 （秒 ．以点 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形时 值为（ ）秒．
A．2或 B． C． 或 D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，一元一次方程的应用等知识，熟练掌握平行四边形的
判定与性质是解题的关键．由题意已知， ，要使 、 、 、 为顶点的四边形为平行四边形，
则只需要让 即可，列出等式可求解．
【详解】解： 四边形 是平行四边形，
，
当 从 运动到 时，且 在 上，
， ，
，
解得 ，
当 秒时，四边形 是平行四边形；
当点 在 延长线上时，
，
解得 ，
秒或 秒时， 、 、 、 为顶点的四边形为平行四边形．
故选：C．
4．（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，在 中， ， ， ． 、 分别是 、 上的动点，连接 、 ， 、 分别为 、 的中点，则 的最小值是（ ）
A．4 B．5 C． D．
【答案】D
【分析】如图，连接 ，过点 作 于 ，由勾股定理得 ，由三角形中位线定理
可得 ，当 时， 有最小值，即 有最小值，由直角三角形的性质可求解．
【详解】解：如图，连接 ，过点 作 于 ，
四边形 是平行四边形， ，
，
，
，
，
∴由勾股定理得 ，
、 分别为 、 的中点，
，
当 时， 有最小值，即 有最小值，
当点 与点 重合时， 的最小值为 ，
的最小值为 ，
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，直角三角形的性质，勾股定理，垂线段最短，
灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．5．（2025八年级下·全国·专题练习）如图， 、 分别是 的边 、 上的点， ，
，将四边形 沿 翻折，得到 ， 交 于点 ，则 的高是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据折叠的性质得 ，再利用平行四边形的性质得到 ，
则可判断 为等边三角形，作 于 ，利用含 度的直角三角形的性质可得 ，
最后根据勾股定理即可求解．
【详解】解： 四边形 沿 翻折，得到 ，
，
四边形 为平行四边形，
，
，
为等边三角形，
如图，作 于 ，
在 中， ，
，
，
即 的高是 ．
故选：B．
【点睛】本题考查了折叠的性质，平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质，含 角的直角三角形的性质，勾股定理，掌握相关知识是解题的关键．
6．（24-25八年级下·江西南昌·阶段练习）如图，已知平行四边形中 ，E为 的中点，
，F为 的中点， 与 相交于点G，则 的长等于 ．
【答案】
【分析】本题考查平行四边形的性质，勾股定理和全等三角形综合问题，取 的中点 ，连接 ，证
明 ，得到 ，求出 ，
由 的中点 ，F为 的中点，得到 ， ，证明
，则 ，即可求出 ．
【详解】解：如图，取 的中点 ，连接 ，
∵四边形 是平行四边形， ，
∴ ，
∵E为 的中点，
∴
∵ ，
∴
∵ 的中点 ，F为 的中点，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：
7．（2025·山东东营·一模）如图，在平行四边形 中， ，点P是 边上的动点，
连接 ，E是 的中点，F是 的中点，则 的最小值是 ．
【答案】
【分析】本题考查平行线的性质，三角形的中位线定理，含30度角的直角三角形，根据题意，易得 是
的中位线，得到 ，根据垂线段最短，得到 时， 最小，此时 最小，进行求
解即可．
【详解】解：∵在平行四边形 中， ，
∴ ，
∵E是 的中点，F是 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∴当 最小时， 最小，
∴当 时， 最小，此时 最小，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，即： 最小为 ；
故答案为： ．
8．（24-25八年级上·山东淄博·期末）如图， 过平行四边形 对角线的交点O，交 于点M，交
于点N，若平行四边形 的周长为20， ，则四边形 的周长为 ．
【答案】14
【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质，证明三
角形全等是解决问题的关键．
先利用平行四边形的性质求出 ， ，可利用全等的性质得到
，求出 ，即可求出四边形的周长．
【详解】∵四边形 是平行四边形，周长为20，
，
，
在 和 中，
，
，
，
则四边形 的周长，
，故答案为：14．
9．（2025·上海·模拟预测）如图，在平行四边形 中， ， ，点E是 上一点，将四
边形 沿 翻折得到四边形 ，点D正好落在 延长线上的点F处．
（1） 的长为 ；
（2）连接 ，若 ，则 的度数是 °．
【答案】 2 60
【分析】（1）结合折叠的性质证明 为等腰三角形，即可获得答案；
（2）取 中点M，连接 、 ，结合折叠的性质证明 ，在 中和
中，利用勾股定理解得 、 的值，进而证明 为等边三角形，由等边三角形的性质可
得 ，进而求解即可．
【详解】（1）解：∵四边形 是平行四边形， ， ，
∴ ，
∴ ，
由折叠可得， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
答案为：2；
（2）如图，取 中点M，连接 、 ，
∵四边形 是平行四边形， ， ，
∴ ， ，∵ ，
∴ ，
由折叠的性质可得 ，
∵ ，
∴ ，
∴在 中， ，
∴在 中， ，
∵点M为 中点，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
答案为：60．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定
与性质、直角三角形斜边上的中线的性质等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题的关键．
10．（24-25八年级上·山东济南·期末）如图，在 中，已知 ，点 在 上以 的速
度从点 向点 运动，点 在 上以 的速度从点 出发在 上往返运动．两点同时出发，当点
第一次返回 点时点 也停止运动，设运动时间为 （ ）．当 时，四边形 是平行
四边形．
【答案】 或
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质以及一元一次方程的应用，分四种情况列出关于t的一元一
次方程是解题的关键．由四边形 为平行四边形可得出 ，结合平行四边形的判定定理可得出当 时，四边形 是平行四边形，分两种情况考虑，在每种情况中由 即可列出关于t
的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：∵四边形 为平行四边形，
∴ ，
若四边形 是平行四边形，则 ，
设运动时间为t．
， ， ，
∵当点 第一次返回 点时点 也停止运动，
∴点 也运动 秒，则 ，
当 时，点 在 上运动，则 ，
∴ ，
∴ ，
解得： ；
当 时，点 在 上运动，则 ，
∴ ，
∴ ，
解得： ；
综上，当 或 时，四边形 是平行四边形．
故答案为： 或 ．
11．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，将 沿过点A的直线 折叠，使点D落到边 上的点
处，折痕交边 于点E，连接 ．
(1)证明四边形 是平行四边形；
(2)若 平分 ，求 的度数．【答案】(1)见解析
(2)
【分析】此题主要考查了平行四边形的判定与性质、折叠的性质、平行线的性质、角平分线等知识，得出
四边形 是平行四边形是解题关键．
（1）利用翻折变换的性质以及平行线的性质得出 ，进而利用平行四边形
的判定方法得出四边形 是平行四边形，进而求出四边形 是平行四边形；
（2）先由角平分线的定义得 ，再由平行线的性质得 ，进而得
，再根据三角形内角和定理可得结论．
【详解】（1）证明：∵将 沿过点A的直线 折叠，使点D落到 边上的点 处，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形；
（2）解：∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．12．（24-25九年级下·湖北荆州·阶段练习）如图，已知在 中，E，F是对角线BD上的两点，
，点G，H分别在BA和DC的延长线上，且 ，连接GE，EH，HF，FG．
求证：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】此题考查了平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定和性质，证明 是解题的
关键．
（1）由平行四边形性质得到 ，得到 ，证明 ，即可证明
；
（2）由全等的性质可得到 ，可证得 ，则可证四边形 是平行四边
形，由平行四边形性质即可得结论．
【详解】（1）证明：∵四边形 为平行四边形，
，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
在 与 中，
，
∴ ，
（2）∵∴ ，
∴
∴
∴ ．
∴四边形 是平行四边形．
∴
13．（24-25八年级下·江西南昌·阶段练习）根据要求作图．
(1)如图1，平行四边形 ，点E，F分别在边 上，且 ，连接 ．请你只用无刻度直
尺画出线段 的中点O．
(2)如图2，平行四边形 ，点E在边 上，请你只用无刻度直尺在边 上找一点F，使得四边形
为平行四边形．（保留画图痕迹，不必说明理由）．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质：
（1）连接 ，与 的交点即为点O；
（2）连接 交于点O，连接 并延长交 于点F；由平行四边形的性质得出 ，
证明 ，得出 ，即可得出结论．
【详解】（1）解：如图点O即为所求，
∵平行四边形 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；（2）如图点F即为所求，
∵平行四边形 ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴四边形 为平行四边形．
14．（24-25八年级上·山东济南·期末）如图，在四边形 中， ， ， ， ，
，点E是 的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿 向点D运动；点Q
同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿 向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．
设运动时间为t秒．
(1)线段 ； ； （用含t的代数式表示）；
(2)当t为何值时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形？
【答案】(1) ； ； 或
(2)当运动时间t为2秒或 秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形
【分析】此题考查一元一次方程的应用、平行四边形的判定、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正
确地用代数式表示线段的长度是解题的关键．
（1） ， ，点E是 的中点，得 ， ，则 或
，而 ， ，则 ；若点Q与点E重合，则 ，求得 ；若点P与点D重合，则 ，所以当 时，则 ，当 时，则 ，于是得到问题的答案；
（2）由 ，可知点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形时， ，再分两种情况讨论，
一是当Q运动到E和B之间，则得： ；二是当Q运动到E和C之间，则得： ，解
方程求出相应的t值即可．
【详解】（1）解：∵ ， ，点E是 的中点，点P在 上，点Q在 上，
∴ ， ，
∴ 或 ，
∵点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿 向点D运动，
∴ ，
∴ ；
∵点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿 向点B运动，
∴ ，
若点Q与点E重合，则 ，
解得 ；
若点P与点D重合，则 ，
当 时，则 ，
当 时，则 ，
故答案为： ； ； 或 ；
（2）解： ，
∴点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形时， ，
是 的中点，
，
分两种情况：
①当Q运动到E和B之间，则得： ，
解得： ，
②当Q运动到E和C之间，则得： ，
解得： ，综上所述，当运动时间t为2秒或 秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形．
15．（24-25九年级下·湖南长沙·开学考试）在 中， 相交于点 ，分别过点 作
于点 ， 于点 ，且 ．
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)若 ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，熟记各性质与判定是解题的关键．
（1）先证明 ，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形进行证明即可；
（2）根据勾股定理求出 ，再求出 ，在 中，由勾股定理可求出 的长．
【详解】（1）证明： 四边形 是平行四边形，
，
又 ，
，
，
又 ，
四边形 是平行四边形；
（2）解： ，
，
在 中，由勾股定理得， ，
，
，
四边形 是平行四边形，
，
在 中，由勾股定理得， ，．
