文档内容
专题02 二次根式的乘除 重难点题型专训（10大题型+15道拓展培优）
【题型目录】
题型一 二次根式的乘法
题型二 二次根式的除法
题型三 二次根式的乘除混合运算
题型四 最简二次根式的判断
题型五 化为最简二次根式
题型六 已知最简二次根式求参数
题型七 分母有理化及其应用
题型八 二次根式的大小比较
题型九 用二次根式的乘除法解决实际问题
题型十 二次根式乘除法中的新定义问题
【知识梳理】
知识点一、二次根式的乘法
二次根式的乘法 · ＝ ．（a≥0，b≥0）
文字语言：二次根式与二次根式相乘，等于各个被开数的积的算术平方根.
推广：
知识点二、二次根式的除法
二次根式的除法： = （a≥0，b>0）
文字语言：二次根式与二次根式相乘，等于各个被开数的商的算术平方根.
【经典例题一 二次根式的乘法】
【例1】（2023上·重庆沙坪坝·九年级重庆一中校考阶段练习）估计 的值应在（ ）
A．8和9之间 B．9和10之间 C．10和11之间 D．11和12之间
【变式训练】1．（2023下·山东临沂·八年级统考期中）已知 ，则有（ ）
A． B． C． D．
2．（2023下·上海浦东新·七年级校考期末）计算： ．
3．（2021下·湖北武汉·八年级校考阶段练习）计算：
(1) ．
(2)
【经典例题二 二次根式的除法】
【例2】（2023下·重庆九龙坡·八年级重庆实验外国语学校校考阶段练习）估算 的结果（
）
A．在6和7之间 B．在7和8之间 C．在8和9之间 D．在9和10之间
【变式训练】
1．（2023·安徽·九年级专题练习）若 ，且 ，则 的值为（ ）．
A． B． C． D．
2．（2022上·上海·八年级校考阶段练习） ．
3．（2022上·河南郑州·八年级校考阶段练习）计算下列各题
(1)
(2)【经典例题三 二次根式的乘除混合运算】
【例3】5．（2023下·浙江宁波·八年级统考阶段练习）已知 ， ，则 用 表示为
（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（2022下·河北廊坊·八年级统考阶段练习）若 ，则化简 （ ）
A．m B．-m C．n D．-n
2．（2023下·江西赣州·八年级统考阶段练习）已知： ，则 ．
3．（2023下·北京海淀·八年级首都师范大学附属中学校考阶段练习）计算下列各题：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【经典例题四 最简二次根式的判断】【例4．（2023上·上海松江·八年级校考阶段练习）在二次根式 ， ， ， ， ，中，
最简二次根式个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式训练】
1．（2023下·河北保定·八年级统考期中）在二次根式 ， ， ， 中，最简二次根式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2021·全国·八年级假期作业）在二次根式 ， ， ， ， ， ，
中，最简二次根式有 个．
3．（2023·上海·八年级假期作业）判断下列二次根式是不是最简二次根式：
(1) ；
(2) ；
(3) ．
【经典例题五 化为最简二次根式】
【例5】（2022上·上海静安·八年级上海市市北初级中学校考期中）对于所有实数 ，下列等式从左到右
一定成立的是（ ）
A． B． C． D．【变式训练】
1．（2023上·河北石家庄·八年级统考期末）如果 是最简二次根式，则x的值可能是（ ）
A．11 B．13 C．21 D．27
2．（2022上·江西九江·八年级统考期中）已知 ，若 是最简二次根式，请写出一个符合条件的正整
数n： ．
3．（2023下·广东珠海·八年级珠海市前山中学校考期中）观察式子：
，
反过来： ，
∴ ，
仿照上面的例子：
(1)化简
① ；
② ；
(2)如果 ， 且 ，化简 ．
【经典例题六 已知最简二次根式求参数】
【例6】（2021下·湖北武汉·八年级校考阶段练习）若 是正整数，则满足条件 的最小正整数值为
（ ）．
A．0 B．2 C．4 D．6
【变式训练】
1．（2022上·四川遂宁·九年级校联考期中）若 和最简二次根式 是同类二次根式，则m的值为（ ）
A． B． C． D．
2、（2023下·安徽·八年级淮北一中校联考阶段练习）已知 ， ， ，其
中A，B为最简二次根式，且 ，则 的值为 ．
3．（2020上·八年级课时练习）已知a、b是整数，如果 是最简二次根式，求 的值，并求
的平方根．
【经典例题七 分母有理化及其应用】
【例7】（2023春·四川巴中·八年级校联考期中）阅读下列材料，然后回答问题：
2 2
在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如 、 这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
❑√3 ❑√3+1
2 2×❑√3 2
= = ❑√3；
❑√3 ❑√3×❑√3 3
2 = 2(❑√3−1) = 2(❑√3−1) =❑√3−1 ．
❑√3+1 (❑√3+1)(❑√3−1) (❑√3) 2 −1
以上这种化简过程叫做分母有理化．
2
还可以用以下方法化简：
❑√3+1
2 = 3−1 = (❑√3) 2 −1=(❑√3+1)(❑√3−1) = ﹣1．
❑√3
❑√3+1 ❑√3+1 ❑√3+1 ❑√3+1
请任用其中一种方法化简：
2 5
① ；② ；
❑√15−3 2❑√3+❑√7
【变式训练】1
1、（2023春·甘肃平凉·八年级统考期中）分母有理化: =_________.
❑√3+2
2、（2023春·八年级单元测试）下列各组中互为有理化因式的是（ ）
A．❑√a+❑√b与−❑√b−❑√a B．2−❑√a与❑√a−2
C．❑√2a+❑√3与❑√3−❑√2a D．❑√a与❑√2a
3、（2023春·河南开封·八年级统考阶段练习）【阅读材料】
像 、 、 两个含有二次根式的代数式相
(❑√5+2)(❑√5−2)=1 ❑√a⋅❑√a=a(a≥0) (❑√b+1)(❑√b−1)=b−1(b≥0)
乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如， ❑√5与❑√5，❑√2+1与❑√2−1，
2❑√3+3❑√5与2❑√3−3❑√5等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母
中的根号．
【解决问题】
（1）填空：❑√7−3的有理化因式为 ；
1 9
（2）化简： − ；
2−❑√3 ❑√3
a b
（3）已知正整数a，b满足 − =3−2❑√2，求a，b的值．
❑√2−1 ❑√2
【经典例题八 二次根式的大小比较】
【例8】（2023·全国·八年级专题练习）比较大小：❑√5−❑√3______❑√7−❑√5．
【变式训练】
1、（2023·上海·八年级假期作业）若
，则a，b，c的大小关系是（ ）
a=2020×2022−2020×2021,b=❑√20232−4×2022,c=❑√20212+1
A．c>b>a B．c>a>b C．b>a>c D．b>c>a
2、（2023春·全国·八年级专题练习）计算：
（1）比较❑√15−❑√14和❑√14−❑√13的大小．
（2）求y=❑√x+1−❑√x−1+3的最大值．3、（2023·全国·八年级专题练习）先观察解题过程，再解决以下问题：
比较❑√3−❑√2与❑√2−1的大小．
解：(❑√3−❑√2)(❑√3+❑√2)=1，(❑√2−1)(❑√2+1)=1，
1 1
❑√3−❑√2= ，❑√2−1= 又❑√3+❑√2>❑√2+1，❑√3−❑√2<❑√2−1
❑√3+❑√2 ❑√2+1
（1）比较❑√4−❑√3与❑√3−❑√2的大小．
（2）试比较❑√n+1−❑√n与❑√n−❑√n−1的大小．
【经典例题九 用二次根式的乘除法解决实际问题】
【例9】（2023春·八年级课时练习）站在竖直高度 ℎm的地方，看见的水平距离是dm，它们近似地符合公
√ℎ
式d=8❑ .某一登山者登上海拔2000m的山顶，那么他看到的水平距离是________m.
5
【变式训练】
1、（2023春·八年级单元测试）站在水平高度为h米的地方看到可见的水平距离为d米，它们近似地符号
√ℎ
公式为d=8❑ ，某一登山者从海拔h米处登上海拔2ℎ米高的山顶，那么他看到的水平线的距离是原来
5
的多少倍？
2、（2023春·浙江·八年级专题练习）“欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远．如图，若观测
点的高度为ℎ，观测者视线能达到的最远距离为d，则d≈❑√2ℎR，其中R是地球半径，约等于6400km．
小丽站在海边的一块岩石上，眼睛离海平面的高度
ℎ
为0.02km，她观测到远处一艘船刚露出海平面，求d
的值为_____km．3、（2023春·江苏镇江·八年级统考期末）已知一个长方体木块放在在水平的桌面上，木块的长、宽、高分
别是 、 、 ，若木块对桌面的最大压强为 ，最小压强为 ，则p 的值等于
❑√a ❑√b ❑√c (a>b>c>0) p p 1
1 2 p
2
______．
【经典例题十 二次根式乘除法中的新定义问题】
【例10】（2023上·河南南阳·九年级校考阶段练习）定义新运算“ ”，规定 ，则
的运算结果为（ ）
A．10 B．8 C．4 D．2
【变式训练】
1．（2023下·山东泰安·八年级校考阶段练习）对于非零的两个实数x，y，定义运算“ ”的运算法则为：
则 （ ）
A．6 B．8 C．7 D．5
2．（2021上·河南南阳·九年级校考阶段练习）对于任意不相等的两个实数a，b（a＞b）定义一种新运算a※b＝ ，如3※2＝ ，那么12※3＝ ．
3．（2023上·山西长治·八年级长治市第六中学校校考阶段练习）如果一个数的平方等于 ，那么这个数叫
做 的平方根．即：若 ，则 ．反之．如果一个数是 的平方根，那么这个数的平方等
于 ．即：若 ，则 ．例如：
根据平方根的定义可得：∵ ，∴ ．
根据平方根的定义可得：∵ 是 的一个平方根，∴ ．
根据平方根的定义，利用上述符号及例子解决下列问题：
(1)求下列各式中 的值．
；
．
(2)求证： ．
证明：∵ 是 的平方根，
∴ ．
∵ （依据 ）
，（依据 ）
∴ ．
填写推理依据，
依据 ：__________________；
依据 ：__________________．
计算： ．【拓展培优】
1．（2024·重庆大渡口·统考一模）估算 的结果（ ）
A．在7和8之间 B．在8和9之间 C．在9和10之间 D．在10和11之间
2．（2023下·江苏·八年级专题练习）计算 （ ）的结果是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023上·福建泉州·九年级福建省永春第三中学校联考期中）设 的小数部分为a，则
的值为（ ）
A．22 B． C． D．4．（2022下·广东汕头·八年级广东省汕头市聿怀初级中学校考阶段练习）观察数据并寻找规律： ， ，
， ， ……，则第2021个数是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022上·山西太原·八年级校考阶段练习）下列各式的化简正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2023上·河南驻马店·九年级校考阶段练习）若 ， ，则 ．
7．（2022下·湖北武汉·九年级武汉市常青第一中学校考自主招生）已知 ，则
.
8．（2023下·湖南株洲·九年级株洲二中校考自主招生）设 ，则 ．
9．（2023下·江苏南京·八年级南京市竹山中学校考阶段练习）计算：
．
10．（2023下·安徽·八年级淮北一中校联考阶段练习）已知 ， ， ，
其中A，B为最简二次根式，且 ，则 的值为 ．
11．（2023上·福建宁德·八年级统考期中）计算下列各题：(1) ；
(2) ．
12．（2023上·宁夏中卫·八年级校考期中）计算
(1)
(2)
(3)
(4)
13．（2023下·江苏苏州·八年级校考阶段练习）先化简，再求值： ，其中 ．
14．（2022下·安徽芜湖·八年级校考期中）阅读下面的化简过程，仿做后面的各小题：化简：
(1) ；
(2) ；
(3) ．
15．（2023上·辽宁沈阳·八年级校联考阶段练习）观察下列等式：
第1个等式： ，
第2个等式： ，
第3个等式： ，
第4个等式： ，
……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)第6个等式：______；
(2)计算： ；
(3)写出你猜想的第n个等式，并证明其正确性（用含n的式子表示）；
(4)若 符合上述规律，请直接写出代数式 的值．
