文档内容
专题02 二次根式的乘除 重难点题型专训（10大题型+15道拓展培优）
【题型目录】
题型一 二次根式的乘法
题型二 二次根式的除法
题型三 二次根式的乘除混合运算
题型四 最简二次根式的判断
题型五 化为最简二次根式
题型六 已知最简二次根式求参数
题型七 分母有理化及其应用
题型八 二次根式的大小比较
题型九 用二次根式的乘除法解决实际问题
题型十 二次根式乘除法中的新定义问题
【知识梳理】
知识点一、二次根式的乘法
二次根式的乘法 · ＝ ．（a≥0，b≥0）
文字语言：二次根式与二次根式相乘，等于各个被开数的积的算术平方根.
推广：
知识点二、二次根式的除法
二次根式的除法： = （a≥0，b>0）
文字语言：二次根式与二次根式相乘，等于各个被开数的商的算术平方根.
【经典例题一 二次根式的乘法】
【例1】（2023上·重庆沙坪坝·九年级重庆一中校考阶段练习）估计 的值应在（ ）
A．8和9之间 B．9和10之间 C．10和11之间 D．11和12之间
【答案】C
【分析】先利用二次根式的乘法法则计算，进而估算无理数的大小得出答案．【详解】解：
∵
∴
∴
故选：C．
【点睛】本题主要考查的是二次根式乘法运算，估算无理数的大小，夹逼法的应用是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023下·山东临沂·八年级统考期中）已知 ，则有（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先利用二次根式的乘法法则与二次根式的性质求出 ，再利用夹
值法即可求出 的范围．
【详解】解： ．
∵ ，
∴ ，
即 ．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的运算，二次根式的性质，估算无理数的大小，将 化简为 是解题的关
键．
2．（2023下·上海浦东新·七年级校考期末）计算： ．
【答案】【分析】先用积的乘方逆运算进行变形，再根据二次根式与平方差公式进行求解即可．
【详解】 ，
= ，
= ，
= ，
故答案为： ．
【点睛】此题考查了积的乘方逆运算，解题的关键是理解积的乘方逆运算，熟练掌握二次根式的化简与平
方差公式的应用．
3．（2021下·湖北武汉·八年级校考阶段练习）计算：
(1) ．
(2)
【答案】(1)6；
(2) ．
【分析】（1）先利用平方差公式计算，再根据二次根式的性质化简各数，然后相加减即可求解；
（2）根据二次根式的性质化简，然后合并同类二次根式，即可求解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：．
【点睛】本题考查了二次根式的加减运算和二次根式的混合即，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
【经典例题二 二次根式的除法】
【例2】（2023下·重庆九龙坡·八年级重庆实验外国语学校校考阶段练习）估算 的结果（
）
A．在6和7之间 B．在7和8之间 C．在8和9之间 D．在9和10之间
【答案】A
【分析】先根据二次根式的除法法则计算，后运用无理数估算思想计算求解即可．
【详解】∵
，
且 ，
∴ ，
故选A．
【点睛】本题考查了二次根式的除法，无理数的估算，熟练掌握除法运算，正确进行无理数的估算是解题
的关键．
【变式训练】
1．（2023·安徽·九年级专题练习）若 ，且 ，则 的值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】用已知式子分别表示出 ， ，再计算它们的商即可得结论．
【详解】解： ，
， ．， ．
， ．
，
， ．
．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的运算和整式的变形，掌握二次根式的运算和完全平方公式是解决本题的关
键．其中，开平方运算时，确定符号是本题的难点．
2．（2022上·上海·八年级校考阶段练习） ．
【答案】
【分析】直接利用二次根式的除法运算法则计算得出答案．
【详解】解：
，
故答案为： ．
【点睛】此题主要考查了二次根式的除法运算，正确运用二次根式的除法运算法则是解题关键．
3．（2022上·河南郑州·八年级校考阶段练习）计算下列各题
(1)(2)
【答案】(1)5
(2)
【分析】（1）首先根据二次根式的性质化简，然后再利用二次根式的除法法则和合并同类项法则进行计
算即可；
（2）利用平方差公式、完全平方式化简计算即可．
【详解】（1）解：原式
（2）解：原式
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解本题的关键在熟练掌握相关的运算法则．
【经典例题三 二次根式的乘除混合运算】
【例3】5．（2023下·浙江宁波·八年级统考阶段练习）已知 ， ，则 用 表示为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意将 变形为 ，由此可得出答案．
【详解】解：由题意得：，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的乘除法运算，将 变形为 是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022下·河北廊坊·八年级统考阶段练习）若 ，则化简 （ ）
A．m B．-m C．n D．-n
【答案】B
【分析】先由已知条件得到m、n的符号，再根据二次根式的乘除法则化简计算即可．
【详解】解：由已知条件可得：
m<0，n<0，
∴原式=
=
=
=|m|
=-m，
故选：B．
【点睛】本题考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的乘除法是解题关键．
2．（2023下·江西赣州·八年级统考阶段练习）已知： ，则 ．
【答案】2
【分析】根据平方差公式及二次根式的除法即可得解．
【详解】解：设 ，∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为2．
【点睛】本题主要考查了平方差公式及二次根式的除法，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
3．（2023下·北京海淀·八年级首都师范大学附属中学校考阶段练习）计算下列各题：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)2
【分析】根据二次根式的性质以及混合运算法则化简计算即可
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键
【经典例题四 最简二次根式的判断】
【例4．（2023上·上海松江·八年级校考阶段练习）在二次根式 ， ， ， ， ，中，
最简二次根式个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据二次根式的性质化简，根据最简二次根式的概念判断即可．
【详解】解： 不能再化简，是最简二次根式；
，不是最简二次根式，
，不是最简二次根式，不能再化简，是最简二次根式；
，不是最简二次根式，
即最简二次根式有2个，
故选：B．
【点睛】本题考查的是最简二次根式的概念，掌握二次根式的性质、最简二次根式的概念是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023下·河北保定·八年级统考期中）在二次根式 ， ， ， 中，最简二次根式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据最简二次根式的定义进行判断即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴最简二次根式有： 、 ，共2个，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题考查最简二次根式的定义，熟练掌握最简二次要满足被开方数的因数（因式）是整数（整
式）；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；被开方数不含分母是解题的关键．
2．（2021·全国·八年级假期作业）在二次根式 ， ， ， ， ， ，
中，最简二次根式有 个．
【答案】2
【分析】将各二次根式能化简的依次化简后即可得到答案.
【详解】解： = ， = ， = ， = ， = ， = ，
= ，∴ ， 是最简二次根式，
故答案为：2.
【点睛】此题考查最简二次根式：①被开方数不含分母，②被开方数中不含开得尽方的因数或因式，以及
化简二次根式.
3．（2023·上海·八年级假期作业）判断下列二次根式是不是最简二次根式：
(1) ；
(2) ；
(3) ．
【答案】(1)不是
(2)不是
(3)不是
【分析】根据最简二次根式定义：（1）被开方数中各因式的指数都为1；（2）被开方数不含分母．同时
符合上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，先利用二次根式性质化简，再结合最简二次根式定义
判断即可得到答案．
【详解】（1）解： ，
不是最简二次根式；
（2）解： ，
不是最简二次根式；
（3）解： ，不是最简二次根式．
【点睛】本题考查二次根式性质及最简二次根式的概念，熟记最简二次根式定义是解决问题的关键．
【经典例题五 化为最简二次根式】
【例5】（2022上·上海静安·八年级上海市市北初级中学校考期中）对于所有实数 ，下列等式从左到右
一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用二次根式的性质化简，二次根式的乘法法则，逐一判断即可解答．
【详解】解：当 时， ，当 时， ，故A不一定成立；
当 都小于0时， ，故B不一定成立；
，故C不成立；
，故D成立，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，二次根式的化简，二次根式的乘法法则，熟知上述性质和计算法则
是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023上·河北石家庄·八年级统考期末）如果 是最简二次根式，则x的值可能是（ ）
A．11 B．13 C．21 D．27
【答案】B
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方式非负，列出不等式得到解集后，再由最简二次根式定义代值逐项验证即可得到答案．
【详解】解： 是二次根式，
，解得 ，
A、当 时， ，确定 不是最简二次根式，该选项不符合题意；
B、当 时， ，确定 是最简二次根式，该选项符合题意；
C、当 时， ，确定 不是最简二次根式，该选项不符合题意；
D、当 时， ，确定 不是最简二次根式，该选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件及最简二次根式定义，熟练掌握最简二次根式的定义是解决问题
的关键．
2．（2022上·江西九江·八年级统考期中）已知 ，若 是最简二次根式，请写出一个符合条件的正整
数n： ．
【答案】1
【分析】根据根号下不含能开得尽的因式，根号下不含分母，是最简二次根式，可得答案．
【详解】解：∵ 且 是最简二次根式，
∴ ，
故答案为：1(答案不唯一)．
【点睛】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的定义是解题关键．
3．（2023下·广东珠海·八年级珠海市前山中学校考期中）观察式子：
，
反过来： ，
∴ ，
仿照上面的例子：
(1)化简① ；
② ；
(2)如果 ， 且 ，化简 ．
【答案】(1)① ；② ；
(2)
【分析】（1）①由 ，再化简即可；②由 ，
再化简即可；
（2）由 ， 且 ，可得 ， ，
，再化简即可．
【详解】（1）解：①∵ ，
；
②∵ ，
∴ ．
（2）∵ ， 且 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查的是二次根式的乘方运算，二次根式的化简，熟练地把二次根式化为最简二次根式是解
本题的关键．【经典例题六 已知最简二次根式求参数】
【例6】（2021下·湖北武汉·八年级校考阶段练习）若 是正整数，则满足条件 的最小正整数值为
（ ）．
A．0 B．2 C．4 D．6
【答案】D
【分析】先化简 ，然后依据 是正整数可得到问题的答案．
【详解】解： ，
∵ 是正整数，
∴ 为完全平方数，
∴ 的最小值是 ．
故选：D.
【点睛】本题主要考查的是二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022上·四川遂宁·九年级校联考期中）若 和最简二次根式 是同类二次根式，则m的值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】把 化成最简二次根式，由最简二次根式的含义：被开方数相同，可得关于m的方程，解方程
即可．
【详解】∵ ，而最简二次根式 与 是同类二次根式，
∴ ，
解得： ；故选：B．
【点睛】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的概念是解题的关键．但要注意，要把 化成最
简二次根式．
2、（2023下·安徽·八年级淮北一中校联考阶段练习）已知 ， ， ，其
中A，B为最简二次根式，且 ，则 的值为 ．
【答案】68
【分析】根据题意得出 ，求出 ，进而得出 ，求出 ，再代入求
值即可．
【详解】∵A，B为最简二次根式，且 ，
∴ ，
解得 ，
∴ ， ， ，
∴ ，
解得 ，
∴ ．
故答案为：68．
【点睛】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的定义得出 是解题的关键．
3．（2020上·八年级课时练习）已知a、b是整数，如果 是最简二次根式，求 的值，并求
的平方根．
【答案】4，±2．
【分析】根据最简二次根式的定义得出a=1，2b﹣5=1，进而求出答案．
【详解】解：∵ 是最简二次根式，
∴a=1，2b﹣5=1，
解得：a=1，b=3，∴ = =4，
∴ 的平方根为±2．
【点睛】本题考查最简二次根式以及平方根，熟悉最简二次根式的定义是解题关键．
【经典例题七 分母有理化及其应用】
【例7】（2023春·四川巴中·八年级校联考期中）阅读下列材料，然后回答问题：
2 2
在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如 、 这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
❑√3 ❑√3+1
2 2×❑√3 2
= = ❑√3；
❑√3 ❑√3×❑√3 3
2 2(❑√3−1) 2(❑√3−1)
= = =❑√3−1．
❑√3+1 (❑√3+1)(❑√3−1) (❑√3) 2 −1
以上这种化简过程叫做分母有理化．
2
还可以用以下方法化简：
❑√3+1
2 3−1 (❑√3) 2 −1 (❑√3+1)(❑√3−1)
= = = =❑√3﹣1．
❑√3+1 ❑√3+1 ❑√3+1 ❑√3+1
请任用其中一种方法化简：
2 5
① ；② ；
❑√15−3 2❑√3+❑√7
❑√15+3
【答案】① ；
3
②2❑√3−❑√7.
【分析】（1）根据题意分子分母同时乘以❑√15+3进行分母有理化即可；
（2）根据题意分子分母同时乘以2❑√3−❑√7进行分母有理化即可.
2 2（❑√15+3） 2（❑√15+3） ❑√15+3
【详解】解：① = = = ；
❑√15−3 （❑√15−3)(❑√15+3) （❑√15）2−32 35 5（2❑√3−❑√7) 5（2❑√3−❑√7)
② = = =2❑√3−❑√7 .
2❑√3+❑√7 (2❑√3+❑√7）（2❑√3−❑√7) (2❑√3) 2 −(❑√7) 2
【点睛】分母有理化是本题的考点，能够运用平方差公式把分母中的根号去掉是解题的关键.
【变式训练】
1
1、（2023春·甘肃平凉·八年级统考期中）分母有理化: =_________.
❑√3+2
【答案】2−❑√3
【分析】❑√3+2的有理化因式为：❑√3−2，故将分子分母同时乘❑√3−2，然后化简即可.
1(❑√3−2) ❑√3−2
【详解】 = =2−❑√3
(❑√3+2)(❑√3−2) 3−4
故答案为2−❑√3
【点睛】此题考查的是分母有理化，找出分母的有理化因式是解决此题的关键.
2、（2023春·八年级单元测试）下列各组中互为有理化因式的是（ ）
A．❑√a+❑√b与−❑√b−❑√a B．2−❑√a与❑√a−2
C．❑√2a+❑√3与❑√3−❑√2a D．❑√a与❑√2a
【答案】C
【分析】根据有理化因式的定义判断即可.
【详解】A. (❑√a+❑√b) (−❑√b−❑√a)=−(❑√a+❑√b) 2 ,不符合题意;
B. (2−❑√a) (❑√a−2)=−(❑√a−2) 2 ,不符合题意;
C. (❑√2a+❑√3) (❑√3−❑√2a)=(❑√2a) 2 −❑√3 2=2a2−3 ,符合题意;
D. ❑√a·❑√2a=❑√2a,不符合题意;
故选C.
【点睛】本题考查有理化因式得定义,关键在于掌握定义化简判断.
3、（2023春·河南开封·八年级统考阶段练习）【阅读材料】
像(❑√5+2)(❑√5−2)=1、❑√a⋅❑√a=a(a≥0)、(❑√b+1)(❑√b−1)=b−1(b≥0)两个含有二次根式的代数式相
乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如， ❑√5与❑√5，❑√2+1与❑√2−1，
2❑√3+3❑√5与2❑√3−3❑√5等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．
【解决问题】
（1）填空：❑√7−3的有理化因式为 ；
1 9
（2）化简： − ；
2−❑√3 ❑√3
a b
（3）已知正整数a，b满足 − =3−2❑√2，求a，b的值．
❑√2−1 ❑√2
【答案】（1）❑√7+3；（2）2−2❑√3；（3）a=3，b=10
【分析】（1）根据题意，理解有理化因式的概念，即可求解；
（2）对式子分别进行有理化，然后运算求解即可；
（3）对式子分别进行有理化，对应系数相等，列二元一次方程组，即可求解．
【详解】解：（1）根据有理化因式的概念可得：❑√7−3的有理化因式为❑√7+3；
1 9
（2） − =2+❑√3−3❑√3=2−2❑√3
2−❑√3 ❑√3
a b
（3）对 − =3−2❑√2进行有理化得：
❑√2−1 ❑√2
❑√2 1
(❑√2+1)a− b=3−2❑√2，即(a− b)❑√2+a=3−2❑√2
2 2
{ a− 1 b=−2) {b=10)
可得： 2 ，解得
a=3
a=3
所以，a=3，b=10
【点睛】此题考查了二次根式的分母有理化，理解题意掌握二次根式分母有理化的方法是解题的关键．
【经典例题八 二次根式的大小比较】
【例8】（2023·全国·八年级专题练习）比较大小：❑√5−❑√3______❑√7−❑√5．
【答案】＞
【分析】先求出❑√5−❑√3与❑√7−❑√5的倒数，然后进行大小比较．
1 ❑√5+❑√3
【详解】∵ =
❑√5−❑√3 2
1 ❑√7+❑√5
=
❑√7−❑√5 2而❑√7+❑√5＞❑√5+❑√3，
∴❑√5−❑√3＞❑√7−❑√5．
故答案为：＞．
【点睛】本题考查了实数大小比较：利用平方法或倒数法进行比较大小．
【变式训练】
1、（2023·上海·八年级假期作业）若
a=2020×2022−2020×2021,b=❑√20232−4×2022,c=❑√20212+1，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．c>b>a B．c>a>b C．b>a>c D．b>c>a
【答案】A
【分析】分别将a、b、c平方，利用完全平方公式和二次根式的性质化简后对平方进行比较得出结论．
【详解】解：∵a=2020×2022−2020×2021=2020×(2022−2021)=2020，
∴a2=20202，
∵b=❑√20232−4×2022，c=❑√20212−1，
∴b2=20232−4×2022=(2022+1) 2−4×2022=(2022−1) 2=20212，
c2=20212+1，
∵20202<20212<20212+1，即c2>b2>a2，
∵a、b、c都是大于0的实数，
∴c>b>a，
故选：A．
【点睛】本题考查了完全平方公式、二次根式大小的比较等知识点，利用完全平方公式计算出值，是解决
本题的关键．
2、（2023春·全国·八年级专题练习）计算：
（1）比较❑√15−❑√14和❑√14−❑√13的大小．
（2）求y=❑√x+1−❑√x−1+3的最大值．
【答案】（1）❑√15−❑√14<❑√14−❑√13；（2）❑√2+3
❑√15−❑√14
【分析】（1）分子有理化，将❑√15−❑√14即 分子分母同时乘以❑√15+❑√14将❑√15−❑√14转化
1
1 1
为 ，同理将❑√14−❑√13转化为 ，比较❑√15+❑√14与❑√14+❑√13的大小即可．
❑√15+❑√14 ❑√14+❑√13❑√x+1−❑√x−1
（2）分子有理化，将❑√x+1−❑√x−1即 分子分母同时乘以❑√x+1+❑√x−1转化为
1
2 2
，当x=1时，分母❑√x+1+❑√x−1有最小值❑√2即 有最大值❑√2，故y的最
❑√x+1+❑√x−1 ❑√x+1+❑√x−1
大值为❑√2+3．
1
【详解】（1）❑√15−❑√14= ，
❑√15+❑√14
1
❑√14−❑√13= ，
❑√14+❑√13
而❑√15>❑√13，
∴❑√15+❑√14>❑√14+❑√13，
∴❑√15−❑√14<❑√14−❑√13．
（2）∵x+1≥0，x−1≥0，
∴x≥1，
2
∵y=❑√x+1−❑√x−1+3 = +3，
❑√x+1+❑√x−1
当x=1时，分母❑√x+1+❑√x−1有最小值❑√2，
2
∴y= +3有最大值是❑√2+3．
❑√x+1+❑√x−1
【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件以及分子有理化在二次根式中的应用，此类问题掌握分子、
分母有理化的方法是解题关键．
3、（2023·全国·八年级专题练习）先观察解题过程，再解决以下问题：
比较❑√3−❑√2与❑√2−1的大小．
解：(❑√3−❑√2)(❑√3+❑√2)=1，(❑√2−1)(❑√2+1)=1，
1 1
❑√3−❑√2= ，❑√2−1= 又❑√3+❑√2>❑√2+1，❑√3−❑√2<❑√2−1
❑√3+❑√2 ❑√2+1
（1）比较❑√4−❑√3与❑√3−❑√2的大小．
（2）试比较❑√n+1−❑√n与❑√n−❑√n−1的大小．
【答案】（1）❑√4−❑√3＜❑√3−❑√2；（2）❑√n+1−❑√n＜❑√n−❑√n−1
【分析】（1）根据示例中的方法，把❑√4−❑√3与❑√3−❑√2化为分子是1的数，再比较大小即可；
（2）根据示例中的方法，把❑√n+1−❑√n与❑√n−❑√n−1化为分子是1的式子，再比较大小即可．
【详解】（1）∵(❑√4−❑√3)(❑√4+❑√3)=1，(❑√3−❑√2)(❑√3+❑√2)=1，
1 1
∴❑√4−❑√3= ，❑√3−❑√2= ，
❑√4+❑√3 ❑√3+❑√2又∵❑√4+❑√3>❑√3+❑√2，
1 1
∴ ＜ ，即：❑√4−❑√3＜❑√3−❑√2；
❑√4+❑√3 ❑√3+❑√2
（2）∵(❑√n+1−❑√n)(❑√n+1+❑√n)=1，(❑√n−❑√n−1)(❑√n+❑√n−1)=1，
1 1
∴❑√n+1−❑√n= ，❑√n−❑√n−1= ，
❑√n+1+❑√n ❑√n+❑√n−1
又∵❑√n+1+❑√n＞❑√n+❑√n−1，
1 1
∴ ＜ ，即：❑√n+1−❑√n＜❑√n−❑√n−1．
❑√n+1+❑√n ❑√n+❑√n−1
【点睛】本题主要考查了实数的大小比较，掌握二次根式的运算法则，把二次根式化为分子为1的数或式
子，是解题的关键．
【经典例题九 用二次根式的乘除法解决实际问题】
【例9】（2023春·八年级课时练习）站在竖直高度ℎm的地方，看见的水平距离是dm，它们近似地符合公
√ℎ
式d=8❑ .某一登山者登上海拔2000m的山顶，那么他看到的水平距离是________m.
5
【答案】160
√ℎ
【分析】把h=2000代入公式d=8❑ 进行即可.
5
√ℎ
【详解】解：把h=2000代入公式d=8❑ 得
5
√2000
d=8❑ =8❑√400=8×20=160
5
所以答案是：160.
【点睛】本题考查了二次根式的计算.熟练掌握二次根式的性质是运算的关键.
【变式训练】
1、（2023春·八年级单元测试）站在水平高度为h米的地方看到可见的水平距离为d米，它们近似地符号
√ℎ
公式为d=8❑ ，某一登山者从海拔h米处登上海拔2ℎ米高的山顶，那么他看到的水平线的距离是原来
5
的多少倍？【答案】❑√2
【分析】由题意知d和h的关系式，则由海拔h米处登上海拔2ℎ米高的山顶，那么他看到的水平线的距离
之比可以得到．
√ℎ √2ℎ
【详解】解：登山者看到的原水平线的距离为d =8❑ ，现在的水平线的距离为d =8❑ ，
1 5 2 5
√2ℎ
8❑
d 5
2= =❑√2，即他看到的水平线的距离是原来的❑√2倍．
d
1 8❑
√ℎ
5
2、（2023春·浙江·八年级专题练习）“欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远．如图，若观测
点的高度为ℎ，观测者视线能达到的最远距离为d，则d≈❑√2ℎR，其中R是地球半径，约等于6400km．
小丽站在海边的一块岩石上，眼睛离海平面的高度ℎ为0.02km，她观测到远处一艘船刚露出海平面，求d
的值为_____km．
【答案】16
【分析】根据d≈❑√2ℎR，R≈6400km，ℎ =0.02km，由此即求解．
【详解】解：根据题意得，d≈❑√2ℎR，R≈6400km，ℎ =0.02km，
∴d≈❑√2ℎR=❑√2×6400×0.02=80×0.2=16(km)，
故答案是：16．
【点睛】本题主要考查的是代数式的求值计算，理解代数式中相应字母的值是解题的关键．
3、（2023春·江苏镇江·八年级统考期末）已知一个长方体木块放在在水平的桌面上，木块的长、宽、高分
p
别是❑√a、❑√b、❑√c (a>b>c>0)，若木块对桌面的最大压强为p ，最小压强为p ，则 1 的值等于
1 2 p
2
______．❑√ac
【答案】
c
【分析】先分别求解最大压强与最小压强，再列式计算即可．
【详解】解：如图，a>b>c，
∴❑√a>❑√b>❑√c
∴❑√ab>❑√bc，
∵最大压强是前面向下放置，
F
∴p = ，
1 ❑√bc
∵最小压强是面积最大的面向下，
F
∴p = ，
2 ❑√ab
p F ❑√ab ❑√a ❑√ac
∴ 1= × = = ；
p ❑√bc F ❑√c c
2
❑√ac
故答案为： ．
c
【点睛】本题考查的是二次根式的乘除混合运算的实际应用，属于跨学科的题，熟记公式与二次根式的除
法运算是解本题的关键．
【经典例题十 二次根式乘除法中的新定义问题】
【例10】（2023上·河南南阳·九年级校考阶段练习）定义新运算“ ”，规定 ，则
的运算结果为（ ）
A．10 B．8 C．4 D．2【答案】D
【分析】本题主要考查了二次根式的运算、新定义运算等知识点，先根据新定义运算列出算式，然后根据
二次根式的运算法则计算即可；掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
【详解】解： ．
故选D．
【变式训练】
1．（2023下·山东泰安·八年级校考阶段练习）对于非零的两个实数x，y，定义运算“ ”的运算法则为：
则 （ ）
A．6 B．8 C．7 D．5
【答案】A
【分析】根据新定义的运算法则求解即可.
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ；
故选：A.
【点睛】本题以新定义为载体，主要考查了二次根式的运算，正确理解新定义的法则是关键.
2．（2021上·河南南阳·九年级校考阶段练习）对于任意不相等的两个实数a，b（a＞b）定义一种新运算
a※b＝ ，如3※2＝ ，那么12※3＝ ．
【答案】 /
【分析】根据运算规则，将a=12，b=3代入计算即可．
【详解】解：由题意得：
12※4＝ ＝ ＝ ，故答案为： ．
【点睛】本题考查新定义下的实数运算，二次根式的除法．审清题意，根据新运算a※b＝ 代入计算
是解题的关键．
3．（2023上·山西长治·八年级长治市第六中学校校考阶段练习）如果一个数的平方等于 ，那么这个数叫
做 的平方根．即：若 ，则 ．反之．如果一个数是 的平方根，那么这个数的平方等
于 ．即：若 ，则 ．例如：
根据平方根的定义可得：∵ ，∴ ．
根据平方根的定义可得：∵ 是 的一个平方根，∴ ．
根据平方根的定义，利用上述符号及例子解决下列问题：
(1)求下列各式中 的值．
；
．
(2)求证： ．
证明：∵ 是 的平方根，
∴ ．
∵ （依据 ）
，（依据 ）
∴ ．
填写推理依据，
依据 ：__________________；依据 ：__________________．
计算： ．
【答案】(1) 或 或 ；
(2) 积的乘方；平方根的定义； ．
【分析】（ ） 把 看成一个整体，然后利用平方根的定义即可求解；
先化简 ，把 看成一个整体，然后利用平方根的定义即可求解；
（ ） 根据积的乘方和平方根的定义即可；
根据二次根式乘法法则进行即可计算．
【详解】（1） ，
，
或 ；
，
，
或 ；
（2） 积的乘方；平方根的定义；
原式 ．
【点睛】此题考查了平方根和二次根式的乘法，解题的关键是正确理解平方根的定义和熟练掌握二次根式
的乘法运算．
【拓展培优】1．（2024·重庆大渡口·统考一模）估算 的结果（ ）
A．在7和8之间 B．在8和9之间 C．在9和10之间 D．在10和11之间
【答案】D
【分析】本题主要考查二次根式的估值，被开方数越大，二次根式的值越大，先计算 ，再
由 变形即可求出答案．
解题的关键是要找到离 最近的两个能开方的整数，就可以选出答案．
【详解】解： ， ， ，
，
，
在10和11之间，
故选：D．
2．（2023下·江苏·八年级专题练习）计算 （ ）的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，利用二次根式的性质进行化简，正确化简二次根式是解题关键．
直接利用二次根式的混合运算法则，计算化简即可．
【详解】解：
，
故选：A．
3．（2023上·福建泉州·九年级福建省永春第三中学校联考期中）设 的小数部分为a，则的值为（ ）
A．22 B． C． D．
【答案】A
【分析】根据无理数的估算，求 的小数部分为 ，然后代入，根据二次根式的乘法，利用二
次根式的性质进行化简，计算求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ 的整数部分为3，则小数部分 ，
∴
故选：A．
【点睛】本题考查了无理数的估算，二次根式的乘法，利用二次根式的性质进行化简，代数式求值等知识．
解题的关键在于熟练掌握各知识的运用．
4．（2022下·广东汕头·八年级广东省汕头市聿怀初级中学校考阶段练习）观察数据并寻找规律： ， ，
， ， ……，则第2021个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据给出的数列可以看出第奇数个数为正，第偶数个数为负，第n个数的绝对值是 ，即可确
定第n个数为 ，据此即可求得．
【详解】解：观察这列数： ，，
，
，
，
……，
根据规律可知，第n个数为 ，
∴第2021个数是 ，
故选：A．
【点睛】本题主要考查数字的变化规律，归纳总结出数字的变化规律是解题的关键．
5．（2022上·山西太原·八年级校考阶段练习）下列各式的化简正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据二次根式的乘除运算法则即可求出答案．
【详解】解： 、 ，故本选项错误，不符合题意；
、 ，故本选项错误，不符合题意；
、 ，本选项正确，符合题意；、 ，故本选项错误，不符合题意，
故选： ．
【点睛】本题考查二次根式的乘除，解题的关键是熟练运用二次根式的乘除运算法则，本题属于基础题型．
6．（2023上·河南驻马店·九年级校考阶段练习）若 ， ，则 ．
【答案】2
【分析】本题主要考查了二次根式的性质、二次根式运算等知识，首先根据题意可得 ，
，然后根据二次根式的性质和运算法则求解即可，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ．
故答案为：2．
7．（2022下·湖北武汉·九年级武汉市常青第一中学校考自主招生）已知 ，则
.
【答案】10
【分析】设 ，则 ，可得 ，然后根据平
方差公式可得 ，然后代入计算即可解答．
【详解】设 ，则 ，
∴
∵ ，
∴ ，∴ ，即 ．
故答案为10．
【点睛】本题主要考查了换元法、乘方、平方差公式等知识点，掌握换元法是解答本题的关键．
8．（2023下·湖南株洲·九年级株洲二中校考自主招生）设 ，则 ．
【答案】10
【分析】由 可得 ，则 ，再整体代入代数式进行求值即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
整理得： ，则 ，
∴
；
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是求解代数式的值，二次根式的乘法运算，熟练的利用完全平方公式把原条件变形是
解本题的关键．
9．（2023下·江苏南京·八年级南京市竹山中学校考阶段练习）计算：
．
【答案】24
【分析】对前面两个括号里面的因式运用平方差公式，后两个括号里面的因式先变形，在运用平方差公式，最后再将两个结果运用平方差公式，由此可得出答案．
【详解】解：由题意得：
原式
故答案为：24．
【点睛】本题考查了二次根式的乘法运算，熟练掌握平方差公式的运用，是解题的关键．
10．（2023下·安徽·八年级淮北一中校联考阶段练习）已知 ， ， ，
其中A，B为最简二次根式，且 ，则 的值为 ．
【答案】68
【分析】根据题意得出 ，求出 ，进而得出 ，求出 ，再代入求
值即可．
【详解】∵A，B为最简二次根式，且 ，∴ ，
解得 ，
∴ ， ， ，
∴ ，
解得 ，
∴ ．
故答案为：68．
【点睛】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的定义得出 是解题的关键．
11．（2023上·福建宁德·八年级统考期中）计算下列各题：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】（ ）根据二次根式的乘法和绝对值化简，然后再合并同类二次根式即可；
（ ）根据二次根式的除法法则运算，然后再合并同类二次根式即可；
此题考查了二次根式的乘除运算和化简绝对值，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】（1）解：原式 ，
，
，
；（2）解：原式 ，
，
．
12．（2023上·宁夏中卫·八年级校考期中）计算
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式以及平方差公式，熟练掌握二次根式的性质和运
算法则是解题关键
（1）先将二次根式化简，再计算二次根式加减运算即可；
（2）先将二次根式化简，再计算括号内，最后计算乘法即可；
（3）根据二次根式的混合运算法则以及完全平方公式计算即可；
（4）根据二次根式的混合运算法则以及平方差公式计算即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
13．（2023下·江苏苏州·八年级校考阶段练习）先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】
【分析】根据分式的先进行括号内的分式加法，再进行分式除法运算，最后把x的值代入计算即可；
【详解】解：
，当 时，
原式 ．
【点睛】本题考查的是分式的化简求值和二次根式的除法运算，掌握分式的乘除混合运算法则是解题的关
键．
14．（2022下·安徽芜湖·八年级校考期中）阅读下面的化简过程，仿做后面的各小题：
化简：
(1) ；
(2) ；
(3) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）将 变形为 ，然后得出 ，求出结果即可；
（2）将 变形为 ，然后得出 ，求出结果即可；
（3）将 变形为 ，然后得出 ，求出结果即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：
；
（3）解：
．
【点睛】本题主要考查了利用二次根式性质化简，解题的关键是熟练掌握二次根式性质，理解题意．
15．（2023上·辽宁沈阳·八年级校联考阶段练习）观察下列等式：
第1个等式： ，
第2个等式： ，
第3个等式： ，
第4个等式： ，
……
按照以上规律，解决下列问题：(1)第6个等式：______；
(2)计算： ；
(3)写出你猜想的第n个等式，并证明其正确性（用含n的式子表示）；
(4)若 符合上述规律，请直接写出代数式 的值．
【答案】(1)
(2)
(3) ，证明见解析
(4) 的值为2或30
【分析】（1）结合题目所给等式即可求得答案；
（2）结合所给等式利用二次根式的乘法法则计算即可；
（3）结合所给等式猜想第n个等式，然后进行证明即可；
（4）将原式变形后根据所得规律求得a，b的值，将其代入 中计算即可．
【详解】（1）解：由题干中所给等式可得第6个等式为： ，
故答案为： ；
（2）解：原式
；（3）解：第n个等式为： ，证明如下：
；
（4）解： ，
即 ，
符合所得规律，
，
解得： 或 ， ，
那么 或 ，
即 的值为2或30．
【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，写出相应的等式，
并证明猜想的正确性．
