文档内容
专题 01 二次根式重难点题型专训（11 大题型+15 道提优训练）
题型一 二次根式的基本概念
题型二 求二次根式的值
题型三 根据二次根式有意义的条件求参
题型四 利用二次根式被开方数的非负性求值
题型五 根据二次根式是整数求字母的值
题型六 利用二次根式的性质化简
题型七 已知字母的范围化简二次根式
题型八 数轴与二次根式的化简问题
题型九 根据含隐含条件的参数范围化简二次根式
题型十 复合二次根式的化简
题型十一 二次根式的简单应用
【知识梳理】
知识点一.二次根式的定义
形如 （a≥0）的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号；
判断一个式子是二次根式，需要满足以下条件：（1）根指数必须是2；（2）被开方数为非负数.
知识点二.二次根式有无意义的条件：
（1）如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须
是非负数．
（2）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
知识点三.二次根式的性质：
（1） ， （双重非负性）．
（2） （任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．
应用：在实数范围内分解因式：
（3）（4） = · （a≥0，b≥0）
（5） = （a≥0，b>0）
知识点四.二次根式的化简：
（1）二次根式化简的步骤：
①把被开方数分解因式；
②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；
③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数 2，所得结果为最简二次
根式或整式．
（2）最简二次根式的条件：
被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
【经典例题一 二次根式的基本概念】
【例1】（24-25八年级上·上海·假期作业）下列代数式 ， ， ， ， 中，
二次根式有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
1．（2024八年级上·全国·专题练习）下列各式：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥
．其中一定是二次根式的有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
2．（24-25八年级上·甘肃张掖·阶段练习）数学课上，同学们探究二次根式的运算规律的过程如下，请补充完整：特例l： ；特例2： ；特例3： ；观察、归纳，得出猜想：
如果n为正整数，请用含n的式子表示这个运算规律， ．
3．（23-24八年级上·全国·单元测试）找出下列二次根式．
(1) ；
(2) ；
(3) ．
【经典例题二 求二次根式的值】
【例2】（24-25八年级上·重庆·期中）已知 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
1．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）当x＝1时，二次根式 的值等于（ ）
A．4 B．0 C． D．2
2．（24-25八年级下·湖北荆门·阶段练习）已知 ，则 ．
3．（23-24八年级下·贵州黔南·期中）若 求 的值．
【经典例题三 根据二次根式有意义的条件求参】
【例3】（24-25八年级上·广东河源·期中）若二次根式 在实数范围内有意义，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．1．（24-25九年级上·四川宜宾·期中）等式 成立的条件是（ ）
A． B．
C． 且 D．
2．（2022·四川成都·模拟预测）已知 ， 均为实数， ，则 的值为 ．
3．（24-25八年级上·四川达州·阶段练习）已知实数 满足等式 ．
(1) 的取值范围是 ；
(2)小明求出 的值为 ，他的答案正确吗？为什么？
【经典例题四 利用二次根式被开方数的非负性求值】
【例4】（23-24九年级上·浙江温州·自主招生）已知实数a满足 ，那么
的值是（ ）
A．2023 B． C．2024 D．
1．（24-25七年级下·重庆江津·期中）已知 ，则
（ ）
A． B．0 C．1 D．2
2．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）已知 ，则 ．
3．（23-24八年级下·全国·单元测试）（1）①若 有意义，则化简 ；
②化简： ；
（2）已知 求 ．【经典例题五 根据二次根式是整数求字母的值】
【例5】（2024八年级·全国·竞赛）已知 是整数，则满足条件的最小正整数 （ ）．
A．5 B．0 C．3 D．75
1．（24-25八年级下·福建莆田·期中）已知n是正整数， 是整数，则n的最小值是( )
A．0 B．2 C．3 D．7
2．（24-25八年级下·辽宁营口·阶段练习） 是一个正整数，则 的最小正整数是 ．
3．（23-24八年级下·甘肃武威·期中）已知 是整数，求自然数n的值．
【经典例题六 利用二次根式的性质化简】
【例6】（24-25八年级上·陕西西安·期中）若二次根式 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
1．（24-25八年级上·山东枣庄·期中）已知 ，化简 的结果为（ ）
A．1 B． C． D．
2．（24-25八年级上·上海·假期作业）已知 ，则代数式 的值是 ．
3．（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）【阅读材料】小华根据学习“二次根式”及“乘法公式”积累的经
验，通过“由特殊到一般”的方法，探究“当 时， 与 的大小关系”．
下面是小华的深究过程：
①具体运算，发现规律：当 时，特例1：若 ，则 ；特例2：若 ，则；特例3：若 ，则 ．
②观察、归纳，得出猜想：当 时， ．
③证明猜想：
当 时，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
当且仅当 时， ．
请你利用小华发现的规律解决以下问题：
(1)当 时， 的最小值为 ；
(2)当 时， 的最小值为 ；
(3)当 时，求 的最小值．
【经典例题七 已知字母的范围化简二次根式】
【例7】（24-25八年级上·上海徐汇·期中）当 时，化简 （ ）
A． B． C． D．
1．（24-25九年级上·河南南阳·阶段练习）已知 ，则化简 的结果是（ ）A．﹣1 B．1 C． D．
2．（24-25九年级上·河南鹤壁·期中）若 ，则 ．
3．（24-25八年级上·福建三明·期中）若2，5，n为三角形的三边长，化简
【经典例题八 数轴与二次根式的化简问题】
【例8】（24-25八年级上·北京石景山·期末）实数m，n在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简
的结果是（ ）
A．n B． C． D．
1．（24-25八年级上·湖南永州·期末）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简
的结果是（ ）
A． B．0 C． D．2b
2．（24-25八年级上·四川成都·期中）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简：
．
3．（24-25八年级上·辽宁铁岭·期中）已知实数 ， ， 在数轴上对应的点如图所示，化简【经典例题九 根据含隐含条件的参数范围化简二次根式】
【例9】（2023春·八年级课时练习）一次函数y=mx+n的图象如图所示，化简
_______．
❑√m2+2mn+n2−|m+1|=
1、（2023春·黑龙江绥化·八年级校考阶段练习）若化简 的结果是 ，则x的
|1−x|−❑√x2−8x+16 2x−5
取值范围是___________
2、（2023春·山东烟台·八年级统考期中）已知m是 的小数部分，则式子 ___________．
❑√2 ❑√(m−1) 2=
3、（2023春·黑龙江绥化·八年级校考阶段练习）已知ab＜0，化简 ______
❑√a2b=
【经典例题十 复合二次根式的化简】
【例10】（24-25八年级下·黑龙江鹤岗·期末）把 中根号前的（m－1）移到根号内得 （
）
A． B． C． D．1．（24-25八年级上·上海宝山·期中）下列各式中，与化简 所得结果相同的是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）观察下列各式：
，
，……．请运用以上的方法化简
．
3．（23-24八年级上·四川巴中·阶段练习）阅读材料．
把根式 进行化简，若能找到两个数m、n，是 且 ，则把 变成
开方，从而使得 化简．
如：
解答问题：
(1)填空： ______， ______．
(2)
【经典例题十一 二次根式的简单应用】
【例11】（23-24八年级下·重庆江津·期末）通过学习二次根式和乘法公式后，可以发现：
当 ， 时，∵ ，∴ ，
当且仅当 时取等号．请利用上述结论解决以下问题：
①当 时， 的最小值为2；②当 时， 的最小值为5；
③如图，某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成长方形的花圃．如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为 的花圃，所用的篱笆至少需要 ．其中正确的个数
是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
1．（2024八年级下·全国·专题练习）我们知道，整式，分式，二次根式等都是代数式，代数式是用基本运
算符号连接起来的式子，而当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似 这
样的形式，我们称形如这种形式的式子称为根分式，例如 都是根分式，已知两个根分式
与 ，则下列说法：
①根分式 中 的取值范围为： 且 ；
②存在实数 ，使得 ；
③存在无理数 ，使得 是一个整数；
其中正确的个数是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25八年级上·北京昌平·期中）我们知道，整式，分式，二次根式等都是代数式，代数式是用基本
运算符号连接起来的式子，而当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似
这样的形式，我们称形如这种形式的式子称为根分式，例如 都是根分式，已知两个根分式
与 ，则下列说法：
①根分式 中 的取值范围为： ；
②存在实数 ，使得 ；
③存在实数 ，使得 是一个整数；
上述说法中正确的是 ．3．（24-25八年级上·福建福州·阶段练习）【发现问题】小明在计算时发现：对于任意两个连续的正整数，
它们的乘积与较大数的和一定为较大数的平方．
推理证明：
解：设 、 是连续的正整数，
， ，
对于任意两个连续的正整数，它们的乘积与较大数的和一定为较大数的平方．
(1)【类比猜想】小红同学提出：任意两个连续正整数的乘积与较小数的差是较小数的平方．请你推理证明；
(2)【深入思考】若 （ ， 为两个连续奇数， ， ），求证： 一定
是偶数．
1．（24-25八年级上·上海·假期作业）下列代数式 ， ， ， ， 中，二次
根式有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
2．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）已知 ，化简二次根式 的正确结果是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25八年级上·山东枣庄·期中）已知 ，化简 的结果为（ ）
A．1 B． C． D．
5．（24-25九年级上·四川内江·阶段练习）已知 ，化简 的结果为（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）若 在实数范围内有意义，则 的取值范围是 ．
7．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）若x，y为实数，且 ，则 ．
8．（24-25八年级上·四川达州·阶段练习）已知 ，则 值等于 ．
9．（24-25八年级上·浙江温州·期末）设
，则与 最接近的整数是 ．
10．（24-25九年级上·四川内江·期中）形如 的根式叫做复合二次根式，有些复合二次根式可以
进一步化简，例如 ，复合二次根式 化简的
结果是 ．
11．（24-25八年级上·陕西西安·期中）实数 在数轴上的位置如图所示，化简：
．
12．（24-25八年级上·河南郑州·期中）已知 的平方根为 ， 的立方根为 ．
(1)求 ， 的值；
(2)若 ，请计算 的算术平方根．
13．（24-25九年级上·河南驻马店·阶段练习）通过学习算术平方根，我们知道所有的非负数都可以看作一
个正数的平方，如： ， ， ， ， ，那么我们可以利用这种思想方法
和完全平方公式来计算下面的题：例：求 的算术平方根．
解： ，
的算术平方根是 ．
请根据上面的方法化简下列式子：
(1) ；
(2) ．
14．（24-25八年级上·湖南怀化·期末）阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题
化简： ．
解：隐含条件 ，
解得 ，
∴ ，
∴原式
【启发应用】
（1）按照上面的解法，试化简 （结果保留 ）
【类比迁移】
（2）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：
（3）已知a，b，c为 的三边长．化简：
15．（24-25八年级上·四川眉山·阶段练习）实数 ， ， 在数轴上的对应点如图所示，
(1)判断正负，用“ ”或“ ”填空： ________0， _______0， ________0；
(2)化简 ．
