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专题 03 菱形的判定与性质重难点题型专训（10 大题型+15 道提优训
练）
题型一 利用菱形的性质求角度
题型二 利用菱形的性质求线段长
题型三 利用菱形的性质求面积
题型四 利用菱形的性质证明
题型五 添一个条件使四边形是菱形
题型六 证明四边形是菱形
题型七 根据菱形的性质与判定求角度
题型八 根据菱形的性质与判定求线段长
题型九 根据菱形的性质与判定求面积
题型十 菱形的综合性问题
知识点1：菱形的概念与性质
1. 概念：一组邻边相等的平行四边形是菱形
2.性质： 边：菱形的四条边都相等．
对角线：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．
菱形的面积：菱形的面积等于对角线乘积的一半．
知识点2：菱形的判定
1. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形（定义）．
2. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形（对角线）．
3. 四条边相等的四边形是菱形（边）
【经典例题一 利用菱形的性质求角度】
【例1】（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，在菱形 中，对角线 与 相交于点 ，
垂足为 ，若 ，则 的大小为（ ）A．24度 B．25度 C．40度 D．65度
1．（23-24八年级上·甘肃定西·期末）如图，把菱形 沿 折叠，使点 落在 上的点 处，连接
．若 ，则 的大小为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）如图，在菱形 中，过点 作 分别交 ， 于
点 ， ， 为 的中点， ，则 的度数为 ．
3．（2023九年级下·湖南长沙·学业考试）如图，在菱形 中， ，分别以点 ， 为圆心、
大于 的长为半径作弧，两弧分别交于点 ， ，作直线 ，交 于点 ，交 于点 ，连接 ，
求 的度数．【经典例题二 利用菱形的性质求线段长】
【例2】（陕西省咸阳市2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题）如图，菱形 的对角线
、 相交于点O，E是 的中点，连接 ，若菱形 的周长为48，则 的长是（ ）．
A．4.8 B．6 C．8 D．12
1．（24-25九年级上·辽宁阜新·期末）如图，在菱形 中， ，点M，N分别在 和
上，沿 将 折叠，点A恰好落在 边上的点E处．若 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25九年级下·辽宁·开学考试）如图，在菱形 中， ， ，点E是 的中点，
点F为 上一动点，将 沿 折叠，得到 ．若 与菱形 的对角线平行，则 的
长为 ．
3．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，在平行四边形 中， ， 是 和 的中点，且．在 的延长线上取一点 ，连接 ，使得 ．
(1)求证：四边形 为菱形；
(2)若 ， ，求 的长．
【经典例题三 利用菱形的性质求面积】
【例3】（24-25九年级上·陕西榆林·期末）如图，菱形 的对角线 交于点O，菱形 的
周长为32，过点O作 于点E，若 ，则菱形 的面积是（ ）
A．16 B．32 C． D．
1．（24-25九年级上·江西吉安·阶段练习）如图，在菱形 中，对角线 和 相交于点 ， ，
， 于点H，则 的面积为 ．
2．（24-25九年级上·海南儋州·期中）如图，菱形 的面积为 ，点 是 的中点，点 是 边
上的动点．当点 运动到 边的中点时， 的面积为 ；当 的面积为 时，图中阴影部
分的面积为 ．3．（24-25九年级上·辽宁辽阳·期末）如图，在矩形 中，对角线 与 相交于点O，过点C作
的平行线，过点D作 的平行线，两线交于点P．
(1)求证：四边形 是菱形；
(2)若 ， ，求四边形 的面积．
【经典例题四 利用菱形的性质证明】
【例4】（24-25九年级上·湖北鄂州·期末）如图，在菱形 中，过点B作 于点E，过点B作
于点F，求证： ．
∵在菱形 中， ， ， ，
∴ ．1．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）已知：四边形 是菱形， 、 分别是 、 上的点，
且 ，连接 ， ．
(1)如图1，求证： ；
(2)如图2，连接 ， ，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图中一定是等腰三角形的所有三角形．
2．（24-25九年级上·贵州毕节·期中）如图，在菱形 中， 于点 ， 于点 ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的长．
3．（24-25八年级上·山东烟台·期末）【问题解决】
如图 ，在矩形 中，点 分别在 边上， ， 于点 ．
（1）求证：四边形 是正方形；
（2）延长 到点 ，使得 ，连接 ，判断 的形状，并说明理由．
【类比探究】
（3）如图 ，在菱形 中，点 分别在 边上， 与 相交于点 ， ，
， ， ，求 的值．∵四边形 是菱形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
【经典例题五 添一个条件使四边形是菱形】
【例5】（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）如图，在四边形 中，对角线 相交于点
．添加下列条件，不能判定四边形 是菱形的是（ ）
A． B． C． D．1．（24-25八年级下·山东济宁·期末）如图，在四边形 中，对角线 相交于点 ，已知
．请你添加一个条件 ，使四边形 是菱形．
2．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，平行四边形 的对角线相交于点O，过O的直线分别交 、
于点M、N．
(1)求证：
(2)连接 ， ．请添加一个条件，使四边形 为菱形．（不需要说明理由）
3．（24-25九年级上·河南平顶山·期中）如图， 是 的高， ， 分别是 ， 的中点，点
在 上， ， 分别是 ， 的中点，连接 ， ， ， ．
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)若 ， ， ．填空：
①当 时，四边形 是矩形；
②当 时，四边形 是菱形．
【经典例题六 证明四边形是菱形】
【例6】（陕西省咸阳市2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题）如图，点E、F分别为平行
四边形 的边 、 上的点， ，连接 、 ， ，求证：四边形 是
菱形．1．（2025·广东·模拟预测）如图， 是 的一个外角， ， ．
(1)尺规作图：作 的平分线，交 于点 （保留作图痕迹，不写作法）；
(2)若 ，求证：四边形 是菱形
2．（24-25九年级下·广东广州·开学考试）如图，在 中， ，D是 的中点，E是
的中点，延长 至点F，使得 ，求证：四边形 是菱形．
3．（24-25九年级上·四川成都·期末）在 中， ，现将 沿 翻折得到 ，
连接BD交 于点 ，过点 作 交 于点 ，连接DE．
(1)求证：四边形 为菱形；
(2)若 ， ，求四边形 的周长．【经典例题七 根据菱形的性质与判定求角度】
【例7】（23-24八年级下·全国·单元测试）已知：如图，平行四边形 中，对角线 ，BD相交于点
，延长CD至 ，使 ，连接 交AD于点 ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的度数．
1．（23-24八年级下·湖南益阳·期中）如图，四边形 为平行四边形，对角线 的垂直平分线分别交
于点 ，
(1)求证：四边形 是菱形；
(2)若 ，求 的度数．
2．（23-24八年级下·河南郑州·阶段练习）如图， 是 的角平分线，点 分别在 上，
且 ， ．
(1)指出图中的一个等腰三角形，并加以证明；(2)求证： ；
(3)若 ， ，求 的度数．
3．（2024八年级下·天津·专题练习）如图，同一平面内三条不同的直线 ， ， ， ，直
线 与另外两条直线分别交于点 ， ，点 ， 分别为 ， 上两点，且满足 平分 ，
平分 ．
(1)求证：四边形 为平行四边形；
(2)若四边形 为菱形，求出 的大小．
【经典例题八 根据菱形的性质与判定求线段长】
【例8】（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，在 中， ，点D是 的中点，连接
，过点C作 ，过点A作 ， ， 交于点B，连接 ．
(1)求证：四边形 是菱形；
(2)连接 交 于点G，交 于点F，若 ， ，求 的长．
1．（24-25九年级上·河南开封·期末）如图，在四边形 中， ， ，对角线 ，
交于点O， 平分 ．(1)请用无刻度的直尺和圆规作直线 ，使 ，且交 延长线于点E．
(2)连接 ，若 ， ，求 的长．
2．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，四边形 ， ， 平分 交 于点C，
平分 ，交 于点O，连接 ．
(1)求证：四边形 是菱形；
(2)若 ， ， 则四边形 的周长是_______．
3．（23-24九年级上·福建厦门·期中）在 中 是斜边 的中点，将线段 绕点 旋转至
位置，点 在直线 外，连接 ．
(1)如图1，
①求 的大小；
②若 平分 ，求证： ；
(2)如图2，已知点 和边 上的点 满足 于 ．连接 ，求 的长．
【经典例题九 根据菱形的性质与判定求面积】
【例9】（24-25九年级上·广东河源·期末）尺规作图并按要求完成：已知 ，以点 为圆心，以 长为半径画弧，交 于点 ，分别以 、 为圆心，以大
于 长为半径画弧，两弧交于点 ．做射线 ，交 于点 ．连接 ．
(1)填空：则 是 的________；
(2)判断四边形 的形状，并证明你的结论；
(3)已知 ， ，求四边形 的面积．
1．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图， 为平行四边形 的对角线， ，E是
的中点，F是 的中点，连接 并延长交 于点G，连接 ．
(1)求证：四边形 是菱形．
(2)若 ， ，求四边形 的面积．
2．（2024·云南昆明·模拟预测）如图，在矩形 中（ ），对角线 相交于点O，延长
到点E，使得 ，连接 ，点F是 的中点，连接 ．
(1)求证：四边形 是菱形；
(2)若矩形 的周长为20， ，求四边形 的面积．3．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，矩形 的对角线 ， 相交于点O， ，
．
(1)求证：四边形 是菱形；
(2)若 ，求四边形 的面积和周长．
【经典例题十 菱形的综合性问题】
【例10】（24-25九年级上·广东清远·期中）综合与实践
【实践操作】
步骤1：准备一张矩形纸片；
步骤2：按如图所示方式操作：将 沿 翻折，使点A落在对角线 上的点M处；
步骤3：按如图所示方式操作：将 沿 翻折，使点C落在对角线 上的点N处．
【实践探索】
(1)用你所学数学知识说明：四边形 是平行四边形；
(2)当四边形 是菱形时，且 ，求菱形 的面积．
1．（24-25九年级上·山西运城·阶段练习）阅读下列材料，完成相应任务．
命题 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
已知：如图1，在 中， 是 边上的中线， ；
求证： 是直角三角形．【分析问题】
（1）看见中线，联想到和中点有关的定理，比如：三角形中位线定理；线段垂直平分线上的点到这条线
段两个端点的距离相等；______等；（添加一个和中点有关的定理）
（2）深入思考后发现：对于有关中点问题，常用以下几种辅助线解决问题．
如图，在 中， 是 边上的中线．
辅助线一：如图2，倍长中线 ，构造全等三角形或平行四边形；
辅助线二：如图3，倍长线段 ，构造中位线；
辅助线三：如图4，取 的中点M，连接 构造中位线，等等．
【解决问题】
请选用（2）中的一种添加辅助线的方法，完成上面命题的证明；
【拓展应用】
（3）如图，菱形 的周长为 ， ，点M为边 的中点，点N是边 上一动点，把∠A
沿直线 折叠，点A落在点E处，当 是直角三角形时， 的长度为______．
2．（24-25九年级上·广东河源·阶段练习）如图，在四边形 中， ， ，对角线交于点 ， 平分 ，过点 作 交 的延长线于点 ．
(1)求证：四边形 是菱形；
(2)若 ， ，求 的长；
(3)在（2）的条件下，已知点 是线段 上的一个动点，则 的最小值为_________．
3．（24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习）在矩形 中， ， ，E、F是对角线 上的两
个动点，分别从A、C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中 ．
(1)若G，H分别是 ， 中点，则四边形 一定是怎样的四边形（E、F相遇时除外）？
答：______；（直接填空，不用说理）
(2)在（1）条件下，若四边形 为矩形，求t的值；
(3)在（1）条件下，若G向D点运动，H向B点运动，且与点E，F以相同的速度同时出发，若四边形
为菱形，求t的值．
1．（2025·广东广州·模拟预测）如图，将菱形纸片 折叠，使点 落在 边的点 处，折痕为 ，
若 ， 为 的中点， ，则四边形 的面积是（ ）A． B． C． D．
2．（2025·安徽阜阳·一模）如图，折叠矩形纸片 ，使得顶点 ， 重合，点 落在 处，然后还原，
得到折痕 ．已知： ， ，则折痕 的长为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·安徽·一模）如图，在菱形 中， ， ，过菱形 的顶点分别作边对
角线 ， 的平行线，两两相交于点 ， ， ， ，则四边形 的周长为（ ）
A． B．
C． D．
4．（24-25九年级上·河南郑州·期末）如图，四边形 是菱形，对角线 、 交于点 ，
于点 ， 是线段 的中点，连接 ．若 ， ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．5．（24-25九年级上·辽宁朝阳·期末）如图，在菱形 中， ，点 ， 分别在边 ， 上，
， ， ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，菱形 的边长为2， ，且 为 的中
点， 是对角线 上的一动点，则 的最小值为 ．
7．（2025·浙江·一模）如图，在菱形 中， ， ，点 为 中点，将菱形沿 折叠，
使点 与点 重合，连结 、 ，则 ．
8．（2025·陕西西安·二模）菱形 中、 ， ， 、 分别是边 和对角线 上的
动点，且 ，则 的最小值为 ．9．（2024·广东佛山·一模）如图，在菱形 中， ， 是锐角， 于点E，M是 的中
点，连结 ， ．若 ，则 的长为 ．
10．（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图所示的玩具，其主要部分是由六个全等的菱形组成，菱形边长
为3cm，现将玩具尾部点 固定，当这组菱形形状发生变化时，玩具的头部 沿射线 移动，整个过程
中六个菱形始终全等．当 由 变为 时，点 移动了 cm．
11．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）如图，在 中，过点 作 ， ，垂足分别为
， ， ．
(1)求证： ．
(2) 是菱形吗？请说明理由．
12．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，四边形 是菱形，过 的中点E作 的垂线 ，交
于点M，交 的延长线于点F．
(1)证明： ；(2)若 ，求菱形 的周长．
13．（24-25八年级下·全国·课后作业）将两张宽度相等的矩形纸片叠放在一起得到如图所示的四边形
．
(1)证明：四边形 是菱形；
(2)如果两张矩形纸片的长都是8，宽都是2，那么菱形 的周长的最大值为_______，最小值为
________．
14．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，在平行四边形 中，点E，F分别在 ， 上，
， ．
(1)求证：四边形 是矩形；
(2)若 ，且 ，求 的长．
15．（24-25八年级下·江苏盐城·阶段练习）（1）【问题呈现】在数学活动课上，王老师为每位学生提供
了几张长方形纸片和平行四边形纸片，王老师问了小明一个问题：如图1，已知矩形 的对角线
的垂直平分线与边 、 分别交于点 、 ．求证：四边形 是菱形．请你帮小明写出证明过程．
（2）【类比应用】如图2，王老师要求小明将矩形 沿直线 翻折，使点 的对称点与点 重合，
点 的对称点为 ，直线 分别交矩形 的边 、 于点 、 ，若 ， ，求折痕
的长．
（3）【拓展延伸】如图3，王老师要求小明将平行四边形 沿直线 翻折，使点 的对称点与点
重合，点 的对称点为 ，直线 分别交平行四边形 的边 、 于点 、 ，若 ，
， ，求四边形 的面积．
