文档内容
专题01 二次根式 重难点题型专训（8大题型+15道拓展培优）
【题型目录】
题型一 求二次根式的值
题型二 根据二次根式有意义的条件求参
题型三 利用二次根式被开方数的非负性求值
题型四 根据二次根式是整数求字母的值
题型五 利用二次根式的性质化简
题型六 数轴与二次根式的化简问题
题型七 根据含隐含条件的参数范围化简二次根式
题型八 复合二次根式的化简
【知识梳理】
知识点一.二次根式的定义
形如 （a≥0）的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号；
判断一个式子是二次根式，需要满足以下条件：（1）根指数必须是2；（2）被开方数为非负数.
知识点二.二次根式有无意义的条件：
（1）如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须
是非负数．
（2）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
知识点三.二次根式的性质：
（1） ， （双重非负性）．
（2） （任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．
应用：在实数范围内分解因式：
（3）
（4） = · （a≥0，b≥0）
（5） = （a≥0，b>0）
知识点四.二次根式的化简：（1）二次根式化简的步骤：
①把被开方数分解因式；
②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；
③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数 2，所得结果为最简二次
根式或整式．
（2）最简二次根式的条件：
被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
【经典例题一 求二次根式的值】
【例1】（2022下·浙江绍兴·八年级统考期末）当x＝1时，二次根式 的值等于（ ）
A．4 B．0 C． D．2
【变式训练】
1．（2020下·内蒙古·八年级校考期中）a是任意实数，下列各式中：① ；② ；③ ；
④ ；⑤ ，一定是二次根式的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2022下·湖北咸宁·八年级统考期末）代数式 的最小值为 ．
3．（2022·河南·模拟预测）求代数式 ÷ 的值，其中x＝ ．
【经典例题二 根据二次根式有意义的条件求参】
【例2】（2023上·河南周口·九年级统考阶段练习）函数 中，自变量x的取值范围为
（ ）．
A． B． C． 且 D．【变式训练】
1．（2023下·湖南株洲·九年级株洲二中校考自主招生）使函数 有意义，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·四川成都·八年级校考期末）已知 ，则 ．
3．（2023下·江苏苏州·八年级校考开学考试）（1）已知 、 为实数，且 ，求
的平方根．
（2）已知实数 满足 ，求 的值．
【经典例题三 利用二次根式被开方数的非负性求值】
【例3】（2023春·福建福州·八年级统考期中）已知y=❑√x−2022−❑√2023−x+1，其中x为整数，则y的
值为__________．
【变式训练】
1、（2023春·河北邢台·八年级校考期末）若❑√x−1+❑√y+3=0，求x−y的值．
2、（2023春·黑龙江绥化·八年级统考期中）若y=❑√x−3+❑√3−x−2，则xy=______.
3、（2023·全国·八年级假期作业）已知实数 满足 ，求 的值是多
a ❑√(2008−a) 2+❑√a−2009=a a−20082少？
【经典例题四 根据二次根式是整数求字母的值】
√36
【例4】（2023春·八年级单元测试）若❑ 是整数，则整数n的所有可能的值为_______．
n
【变式训练】
1、（2023春·广东惠州·八年级校考期中）已知：❑√20n是整数，则满足条件的最小正整数n为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．20
2、（2023春·湖北武汉·八年级统考期中）已知❑√10−n是整数，则自然数n所有可能的值的和为______．
3、（2023春·江苏·八年级专题练习）如果❑√17+4a是一个正整数，则整数a的最小值是（ ）
A．-4 B．-2 C．2 D．8
【经典例题五 利用二次根式的性质化简】
【例5】（2023下·浙江丽水·八年级期末）已知 是 的小数部分，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（2023上·河南洛阳·九年级统考期中）化简二次根式 ，得（ ）
A． B． C． D．
2．（2024上·上海闵行·八年级统考期末）计算： ．3．（2024上·北京昌平·八年级统考期末）阅读材料：
和 为整数， ；
和 为整数， ；
和 为整数， ；
……
小明发现结论：若 和 为相邻的两个整数，其中 ，则有 ，
并给出了证明：根据题意，得
．
等式两边同时___________，得
____________ ．
整理得
．
请根据以上材料，解决以下问题：
(1)请补全小明的证明过程.
(2)若 和 为两个相邻整数，则 ____________.
(3)若 和 为相差4的两个整数，求 的值．
【经典例题六 数轴与二次根式的化简问题】
【例6】（2023上·吉林长春·八年级校联考期末）已知实数a在数轴上的对应点位置如图，则化简
的结果为（）A．1 B． C． D．
【变式训练】
1．（2023上·重庆·九年级重庆第二外国语学校校考期中）实数a、b在数轴上所对应的点如图所示，化简
的结果是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·江苏常州·八年级校考阶段练习）已知 ， 在数轴上的位置如图所示，则 的
化简的结果为 ．
3．（2023上·江苏苏州·八年级校考期中）阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题
化简： ．
解：隐含条件 ，解得： ， ．
原式 ．
【启发应用】
（1）按照上面的解法，试化简： ．
【类比迁移】
（2）实数 ， 在数轴上的位置如图所示，化简： ．
（3）已知 ， ， 为 的三边长．化简： ．【经典例题七 根据含隐含条件的参数范围化简二次根式】
【例7】（2023春·八年级课时练习）一次函数y=mx+n的图象如图所示，化简
_______．
❑√m2+2mn+n2−|m+1|=
【变式训练】
1、（2023春·黑龙江绥化·八年级校考阶段练习）若化简 的结果是 ，则x的
|1−x|−❑√x2−8x+16 2x−5
取值范围是___________
2、（2023春·山东烟台·八年级统考期中）已知m是 的小数部分，则式子 ___________．
❑√2 ❑√(m−1) 2=
3、（2023春·黑龙江绥化·八年级校考阶段练习）已知ab＜0，化简 ______
❑√a2b=
【经典例题八 复合二次根式的化简】
【例8】（2022上·四川遂宁·九年级四川省射洪市柳树中学校考阶段练习）若 ，则 化简后的结
果是（ ）
A．xy B． C． D．【变式训练】
1．（2022下·辽宁葫芦岛·八年级统考期中）若 ，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·北京·九年级专题练习）化简 的结果为 ．
3．（2024上·湖南娄底·八年级统考期末）阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数．形如 ，
如果你能找到两个数 、 ，使 ，且 ，则 可变形为
．从而达到化去一层根号的目的．例如化简 ， 且
，
．
(1)填上适当的数： ______；
(2)当 时，化简 ．
【拓展培优】1．（2024上·河北衡水·八年级统考期末）若 ，则 的值可以是（ ）
A．4 B．2 C．0 D．
2．（2022下·重庆酉阳·八年级校考期末）式子 在实数范围内有意义，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024上·湖南岳阳·八年级岳阳市弘毅新华中学校考期末）若 有意义，则实数 的取值范
围是（ ）
A． 且 B． 且 C． 且 D． 且
4．（2023上·江苏苏州·八年级苏州市平江中学校校联考期中）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：
结果为（ ）
A． B． C． D．0
5．（2023上·重庆·八年级校联考期中）若 （ 为正整数），则下列说法正确的个数是
（ ）
① ， ， ；② ；③ ．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
6．（2023上·陕西西安·八年级校考期中）已知 ， 都是实数，且 ，则 ．
7．（2023上·上海静安·八年级校联考期末）当 时， .
8．（2024上·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）已知 ，当 分别取 ， ， ，……，
时，所对应 值的总和是 .
9．（2023上·四川达州·八年级校考期中）问题探究：因为 ，所以 ，因
为 ，所以 请你根据以上规律，结合你的经验化简下列各式：．
10．（2023上·四川内江·九年级四川省内江市第二中学校考阶段练习）若关于 的二次根式 有意义，
且 为整数，若关于 的分式方程 的解为正数，则满足条件的所有 的值的积为
11．（2023上·江苏苏州·八年级苏州市立达中学校校考期中）实数 在数轴上对应点的位置如图所示，
化简 ．
12．（2023上·广东深圳·八年级深圳大学附属中学校考期中）已知正数 ，正数 的两个不同的平
方根分别是 和 ，
(1)求 ， 的值；
(2)求 的值．
13．（2023上·江苏常州·八年级校考阶段练习）有这样一类题目：将 化简，如果你能找到两个数
、 ，使 且 ，则将 将变成 ，即变成 开方，从而使得
化简．例如， ，
∴ ，请仿照上例解下列问题：
(1) ；
(2) ．
14．（2023上·四川遂宁·八年级四川省遂宁市第二中学校校考阶段练习）阅读下列材料：我们可以通过以
下方法求代数式 的最小值．
，且 ，当 时， 有最小值 ．
请根据上述方法， 解答下列问题：
(1)若 ，则 的值是___________．
(2)求证：无论 取何值 都有意义；
(3)若代数式 的最小值为2，求 的值
15．（2017·四川·八年级阶段练习）我们已经学过完全平方公式 ，知道所有的非负数
都可以看作是一个数的平方，如 ， ， ， ，那么，我们可以利用这种思想
方法和完全平方公式来计算下面的题：
例：求 的算术平方根．
解： ， 的算术平方根是 ．
你看明白了吗？请根据上面的方法化简：(1)
(2)
(3) ．
