文档内容
专题 03 二次根式的加减重难点题型专训（12 大题型+15 道提优训
练）
题型一 同类二次根式
题型二 二次根式的加减运算
题型三 二次根式的混合运算
题型四 分母有理化
题型五 已知字母的值，化简求值
题型六 已知条件式，化简求值
题型七 比较二次根式的大小
题型八 二次根式的实际应用
题型九 二次根式的新定义问题
题型十 二次根式的阅读理解类问题
题型十一 二次根式加减法中的规律计算
题型十二 二次根式计算综合问题
【知识梳理】
知识点1： 同类二次根式
1. 同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。
2. 合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并
m√a+n√a=(m+n)√a(a≥0)
的依据式乘法分配律，如
知识点2： 二次根式的加减
1. 二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进
行合并。
2. 二次根式加减运算的步骤：
①化：将各个二次根式化成最简二次根式；
②找：找出化简后被开方数相同的二次根式；
③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方
数保持不变。知识点3：二次根式的混合运算
二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括
号里面的（或先去掉括号）
【经典例题一 同类二次根式】
【例1】（24-25九年级上·河南洛阳·阶段练习）若 与 可以合并成一项，则m可以是（ ）
A．50 B．15 C．0.5 D．
1．（23-24八年级下·全国·单元测试）下列各式中与 是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）在 ， ， ， ， ， 中不是 的同类
二次根式的有 ．
3．（24-25八年级·上海·假期作业）若 与 是同类二次根式，求 的最小正整数？
【经典例题二 二次根式的加减运算】
【例2】（24-25八年级上·山西运城·期中）下列各式计算结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．1．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）下列各式计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25九年级上·四川眉山·阶段练习）计算： － ＋ ＝ ．
3．（24-25八年级上·河南开封·期末）计算：
(1) ；
(2) ．
【经典例题三 二次根式的混合运算】
【例3】（23-24八年级上·四川眉山·期末）化简 的结果是（ ）
A． B． C． D．
1．（24-25九年级上·湖南衡阳·阶段练习）下列二次根式的运算：① ；② ；③
；④ ；⑤ ；⑥ ；其中运算正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）化简：
（1） ；（2） ；
（3）当 时， ；
（4）当 时， ．
3．（2025八年级下·全国·专题练习）已知 ，求下列各式的值：
(1) ；
(2) ．
【经典例题四 分母有理化】
【例4】（23-24八年级上·山东枣庄·阶段练习）已知 ，则代数式 的值为（ ）
A． B． C．3 D．
1．（24-25九年级上·河南驻马店·阶段练习）观察下列等式：第1个等式： ；第2个等
式： ；第3个等式： ；第4个等式： ，……，
按照上述规律，计算： （ ）
A． B． C．9 D．8
2．（24-25八年级上·陕西宝鸡·阶段练习）观察下列二次根式的化简： ， ，， 从计算结果中找到规律，再利用这一规律计算下列式子的值．
．
3．（24-25八年级上·湖南娄底·期末）阅读下列材料：
【材料一：分母有理化】① ；
② ；
；
【材料二：分子有理化】
．
请结合上述材料，解答下列问题：
(1)化简： __________， ____________．
(2)比较 和 的大小，并说明理由；
(3)计算： ．
【经典例题五 已知字母的值，化简求值】
【例5】（24-25八年级下·山东淄博·期中）已知 ，则代数式 的值为（ ）
A． B． C． D．1．（24-25九年级上·海南海口·阶段练习）已知 时，则代数式 的值（ ）
A．1 B．4 C．7 D．3
2．（24-25八年级上·上海·阶段练习）若 ，则 的值是
3．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）先化简，再求值： ，其中 ．
小芳：
小亮：
解：原式
解：原式
(1)____的解答过程是错误的；
(2)先化简，再求值： ，其中 ．
【经典例题六 已知条件式，化简求值】
【例6】（24-25八年级·江苏·假期作业）代数式 的最小值是（ ）
A．0 B．3 C． D．不存在
1．（24-25八年级上·广东深圳·阶段练习）已知 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25八年级上·上海·阶段练习）已知 ，求 的值 ．
3．（24-25九年级上·四川眉山·期中）已知， ， ．求：
(1) 和 的值；(2)求 的值．
【经典例题七 比较二次根式的大小】
【例7】（24-25八年级上·福建泉州·期末）若
，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
1．（24-25七年级下·江西抚州·阶段练习）已知 ， ，
，那么a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）比较大小：
（1） ；
（2） ．
3．（24-25八年级上·辽宁阜新·期中）阅读材料：像 ； ；
…两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式
互为有理化因式．例如 与 ， 与 ， 与 等都是互为有理化因式．
在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．
例如： ．解答下列问题：
(1)①比较大小： （填 ， 或 ）
②已知 ， ，则 的值为 ；
(2)已知正整数a，b满足 ，求a，b的值．
(3)化简： ．
【经典例题八 二次根式的实际应用】
【例8】（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，长方形内有两个相邻的正方形：正方形 和正方形
，面积分别为1和2，那么图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
1．（2021·陕西西安·模拟预测）秦九韶是我国南宋著名的数学家，他与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学
四大家，在他所著的《数书九章》中记录了三斜求积术，即三角形的面积 ，
其中 ， ， 为三角形的三边长．若一个三角形的三边分别为 ，用公式计算出它的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25八年级上·山东滨州·期末）古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形
的三边求面积的公式，称为海伦－秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记 ，
那么三角形的面积为 ．如图，在 中， 所对的边分别记为
a、b、c，若 ，则 的面积为 ．
3．（2025八年级下·全国·专题练习）阅读下面的材料，解决下面的问题．
古希腊的几何学家海伦在他的《度量》一书中给出了利用三角形的三边求三角形面积的“海伦公式”：如
果一个三角形的三边长分别为a，b，c，设 ，则三角形的面积 ．
我国南宋著名的数学家秦九韶提出了利用三角形的三边求面积的“秦九韶公式”（三斜求积术）：如果一
个三角形的三边长分别为a，b，c，则三角形的面积 ．
(1)若一个三角形的三边长分别是5，6，7，则这个三角形的面积等于______；
(2)若一个三角形的三边长分别是 ，求这个三角形的面积．
【经典例题九 二次根式的新定义问题】
【例9】（24-25九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）已知实数a、b，定义“△”运算如下：
，计算 的值为（ ）A． B． C． D．
1．（23-24八年级下·广西贺州·期中）对于任意的正数x、y的新定义运算 为： ，
计算 的结果为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25八年级下·河南洛阳·期中）对于任意正数 ， ，定义运算“ ”如下： ，
计算 结果为 ．
3．（24-25八年级下·广东江门·期中）在日常生活中，有时并不要求某个量的准确值，而只需求出它的整
数部分．为了解决某些实际问题，我们定义一种运算——取一个实数的整数部分，即取出不超过实数x的
最大整数．在数轴上就是取出实数x对应的点左边最接近的整数点（包括x本身），简称取整，记为 ．
这里 ， ，其中 是一个整数， ，a称为实数x的小数部分，记作 ，所以
有 ．例如， ， ．
关于取整运算有部分性质如下：
①
②若n为整数，则
请根据以上材料，解决问题：
(1) ______；若 ， ，则 ______；(2)记 ，求 ．
【经典例题十 二次根式的阅读理解类问题】
【例10】（24-25八年级下·重庆江津·阶段练习）阅读下列材料，然后回答问题．
在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如 一样的式子，其实我们还可以将其进一步化
简： ，以上这种化简的步骤叫做分母有理化．请根据上述方法分
析下列结论：
① ；
②若 ， ，则 ；
③ ， 且 ，则
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
1．（24-25八年级下·广西南宁·期末）请阅读材料，并解决实际问题：
海伦—秦九韶公式
海伦（约公元50年），古希腊几何学家，在数学史上以解决几何测量问题闻名，在他的著作《度量》一书
中证明了一个利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式：假设在平面内，有一个三角形的三条
边长分别为a，b，c，记 ，那么这个三角形的面积 ，这个公式称海
伦公式．秦九韶（约1202-1261），我国南宋时期的数学家，曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式 ．它填补了中国数学史上的一个空白，从中可以看出中国古代已经具有很
高的数学水平．通过公式变形，可以发现海伦公式和秦九韶公式实质是同一公式，所以海伦公式也称海伦
—秦九韶公式．问题：在 中， ， ， ，用海伦—秦九韶公式求 的面积为
（ ）
A． B．12 C． D．24
2．（24-25八年级下·湖北孝感·期中）阅读下列材料：我们知道 ，因此将 的分子
分母同时乘以“ ”，分母就变成了4，即 ，从而可以达到
对根式化简的目的．根据上述阅读材料解决问题：若 ，则代数式 的
值是 ．
3．（24-25八年级上·河南焦作·期中）阅读材料：像 ， ……这种两个
含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算
时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．
例如： ； ．
解答下列问题：
(1) 的有理化因式是________； 的有理化因式是________；
(2)观察下面的变形规律，请你猜想： ________．
， ， …
(3)利用上面的方法，请化简：【经典例题十一 二次根式加减法中的规律计算】
【例11】（24-25九年级上·河南焦作·阶段练习）如图是一个按某种规律排列的数阵．若用有序实数对
表示第 行，从左到右第 个数，如 表示实数 ，则 表示的实数是（ ）
第1行
第2行
第3行
第4行
…… ……
A． B． C． D．
1．（24-25八年级下·广西南宁·期末）观察下列各式： ，……， ，……请
你从上述等式中找出规律，并利用这一规律计算： 的值是
（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24八年级下·山东东营·阶段练习）观察下列各式：
，
，
，请利用你发现的规律，计算：
，其结果为 ．
3．（24-25八年级上·全国·期末）在学习二次根式的过程中，小红发现有一些特殊无理数之间具有互为倒
数的关系．例如：由 ，可得 与 互为倒数，即 ，
．类似地， ， ， ， ，根
据小红发现的规律，解决下列问题：
(1) ， ；（ 为正整数）
(2)若 ，则 ；
(3)计算： ．
【经典例题十二 二次根式计算综合问题】
【例12】（24-25八年级上·宁夏银川·期中）小明在解决问题：已知 ，求 的值．他是
这样分析与解答的：
，
．
，即 ．
．
．请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
(1)计算∶ _____．
(2)计算： ；
(3)若 ，求 的值．
1．（23-24八年级上·江西抚州·阶段练习）化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以
分母的有理化因式的方法就可以了，例如： ，
，
(1)若 ，求 的值；
(2)比较 与 的大小，并说明理由．
(3)利用这一规律计算： ．
2．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）计算
(1) ；
(2) ；
(3) ；(4) ；
(5) ；
(6) ．
3．（2024·广东肇庆·一模）【发现问题】
由 得， ；如果两个正数 ， ，即 ， ，则有下面的不等式：
，当且仅当 时取到等号．
【提出问题】若 ， ，利用配方能否求出 的最小值呢？
【分析问题】例如：已知 ，求式子 的最小值．
解：令 ，则由 ，得 ，当且仅当 时，即 时，式子有最小
值，最小值为4．
【解决问题】
请根据上面材料回答下列问题：
（1） __________ （用“ ”“ ”“ ”填空）；当 ，式子 的最小值为__________；
【能力提升】
（2）用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米），问这个
长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？
（3）如图，四边形 的对角线 、 相交于点 ， 、 的面积分别是8和14，求四
边形 面积的最小值．1．（24-25九年级上·四川内江·期末）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）若 与 是同类二次根式，则 的值可以是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25九年级上·河南焦作·阶段练习）如图是一个按某种规律排列的数阵．若用有序实数对 表示
第 行，从左到右第 个数，如 表示实数 ，则 表示的实数是（ ）
第1行
第2行
第3行
第4行
…… ……
A． B． C． D．
4．（23-24八年级下·全国·单元测试）给出下列各式：① ；②6；③ ；④ ；⑤
；⑥ ．其中二次根式的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．（24-25八年级下·重庆江津·阶段练习）二次根式除法可以这样做，如，像这样通过分子，分母同乘一个式子把分母中的根号化去或者把根号
号中的分母化去，叫做分母有理化．有下列结论：①将式子 进行分母有理化，可以对其分子、分
母同时乘以 ；②若a是 的小数部分，则 的值为 ；③比较两个二次根式的大小：
；④计算： ；⑤若x= ，
，且 ，则整数 ．以上结论正确的是（ ）
A．①③④ B．①②④⑤ C．①③⑤ D．①③④⑤
6．（24-25八年级上·上海闵行·期中）如果最简二次根式 与 是同类二次根式，那么 的值等于
．
7．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）已知 ，
，则 的算术平方根为 ．
8．（24-25八年级上·湖南怀化·期末）对于任意不相等的两个数 ， ，定义一种运算 如下：
，如 ，那么 ．
9．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）阅读以下材料：将分母中的根号化去，叫做分母有理化．分母有
理化的方法，一般是把分子分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号．例如：
，
（1）将 分母有理化可得 ；（2）关于 的方程 的解是 ．
10．（24-25八年级上·贵州黔东南·阶段练习）对于任意不相等的两个数 ， ，定义一种运算※如下：
，如 ．那么 ．
11．（江西省九江市2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试题）已知 为 的整数部分， 为 的
小数部分，求下列代数式的值．
(1) ；
(2) ．
12．（23-24八年级上·宁夏银川·期末）计算：
(1) ；
(2) ．
13．（24-25八年级上·宁夏银川·期末）计算：
(1) ；
(2) ．
14．（24-25八年级上·四川达州·期末）定义：我们将 与 称为一对“对偶式”．因为
，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”
来解决．
例如：已知 ，求 的值，可以这样解答：
因为 ，所以 ．
根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题：
(1)已知： ，则 ______；
(2)化简： ______；
(3)计算： ．
15．（24-25八年级上·广东梅州·阶段练习）观察下列运算过程：
；
请运用上面的运算方法计算：
(1)已知 ， ，求 的值；
(2)求 的值．
