文档内容
专题01 二次根式 重难点题型专训（8大题型+15道拓展培优）
【题型目录】
题型一 求二次根式的值
题型二 根据二次根式有意义的条件求参
题型三 利用二次根式被开方数的非负性求值
题型四 根据二次根式是整数求字母的值
题型五 利用二次根式的性质化简
题型六 数轴与二次根式的化简问题
题型七 根据含隐含条件的参数范围化简二次根式
题型八 复合二次根式的化简
【知识梳理】
知识点一.二次根式的定义
形如 （a≥0）的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号；
判断一个式子是二次根式，需要满足以下条件：（1）根指数必须是2；（2）被开方数为非负数.
知识点二.二次根式有无意义的条件：
（1）如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须
是非负数．
（2）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
知识点三.二次根式的性质：
（1） ， （双重非负性）．
（2） （任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．
应用：在实数范围内分解因式：
（3）
（4） = · （a≥0，b≥0）
（5） = （a≥0，b>0）
知识点四.二次根式的化简：（1）二次根式化简的步骤：
①把被开方数分解因式；
②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；
③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数 2，所得结果为最简二次
根式或整式．
（2）最简二次根式的条件：
被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
【经典例题一 求二次根式的值】
【例1】（2022下·浙江绍兴·八年级统考期末）当x＝1时，二次根式 的值等于（ ）
A．4 B．0 C． D．2
【答案】C
【分析】把 代入 解题即可
【详解】解：把 代入 得，
故选：C．
【点睛】此题考查了二次根式的定义和二次根式的性质，能灵活运用二次根式的性质进行计算是解题的关
键．
【变式训练】
1．（2020下·内蒙古·八年级校考期中）a是任意实数，下列各式中：① ；② ；③ ；
④ ；⑤ ，一定是二次根式的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据二次根式的定义逐个判断即可．
【详解】∵二次根式 必须满足
∴只有②③④可以确定被开方数非负一定是二次根式的个数是3个
故选C
【点睛】本题考查了二次根式的定义，能熟记二次根式的定义是解此题的关键．
2．（2022下·湖北咸宁·八年级统考期末）代数式 的最小值为 ．
【答案】2
【分析】根据二次根式成立的条件即可解答．
【详解】解：根据题意可得 ，
∴
，
∴ 的最小值为2，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次根式成立的条件，熟练掌握和运用二次根式成立的条件是解决本题的关键．
3．（2022·河南·模拟预测）求代数式 ÷ 的值，其中x＝ ．
【答案】-2+
【分析】先根据分式的混合运算法则进行化简，再把x的值代入化简后的式子进行计算即可．
【详解】解：原式=（ ）÷
= ·
= ·
=
=
当x＝ 时，原式= =-2+ ．
【点睛】本题考查分式的化简求值以及二次根式的混合运算，属于常考题型，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
【经典例题二 根据二次根式有意义的条件求参】
【例2】（2023上·河南周口·九年级统考阶段练习）函数 中，自变量x的取值范围为
（ ）．
A． B． C． 且 D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件、分式
有意义的条件列不等式组求解即可；掌握二次根式有意义的条件是被开方数为非负数、分式有意义的条件
是分母不为零成为解题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴ ，解得： ．
故选A．
【变式训练】
1．（2023下·湖南株洲·九年级株洲二中校考自主招生）使函数 有意义，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由被开方式是分式，再根据二次根式有意义的条件，列不等式求解即可．
【详解】解：由题意得： ，
解得： ，
故选：C．
【点睛】此题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．2．（2023上·四川成都·八年级校考期末）已知 ，则 ．
【答案】6
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，确定x，y的值，后求代数式的值即可．
【详解】∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：6．
3．（2023下·江苏苏州·八年级校考开学考试）（1）已知 、 为实数，且 ，求
的平方根．
（2）已知实数 满足 ，求 的值．
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）根据 和 均有意义，得出 ，则 ，求出b的值，即可求解；
（2）根据 有意义，得出 ，推出 ，则 ，即可求解．
【详解】解：（1）∵ 和 均有意义，
∴ ，
∴ ，解得： ，
∴ ，
∴ 的平方根为 ；
（2）∵ 有意义，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，则 ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式中被开方数为非负数．
【经典例题三 利用二次根式被开方数的非负性求值】
【例3】（2023春·福建福州·八年级统考期中）已知y=❑√x−2022−❑√2023−x+1，其中x为整数，则y的
值为__________．
【答案】0或2
{x−2022≥0)
【分析】先根据二次根式有意义的条件得出 ，求出2022≤x≤2023，再根据x为整数，得出
2023−x≥0
x=2022或x=2023，分别代入，即可得出答案．
{x−2022≥0)
【详解】解：要使y=❑√x−2022−❑√2023−x+1有意义，则 ，
2023−x≥0
解得：2022≤x≤2023，
∵x为整数，
∴x=2022或x=2023，
当x=2022时，y=❑√2022−2022−❑√2023−2022+1=0−1+1=0；
当x=2023时，y=❑√2023−2022−❑√2023−2023+1=1−0+1=2；
综上分析可知：y的值为0或2．
故答案为：0或2．
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握二次根式被开方数大于等于零．
【变式训练】
1、（2023春·河北邢台·八年级校考期末）若❑√x−1+❑√y+3=0，求x−y的值．
【答案】4
【分析】结合题意，根据二次根式的性质，可分别得到x和y的方程，经计算从而完成求解．
【详解】∵❑√x−1+❑√y+3=0{x−1=0)
∴
y+3=0
{ x=1 )
∴
y=−3
∴x−y=1−(−3)=4．
【点睛】本题考查了二次根式、一元一次方程、等式等知识；解题的关键是熟练掌握平方根、一元一次方
程、等式的性质，从而完成求解．
2、（2023春·黑龙江绥化·八年级统考期中）若y=❑√x−3+❑√3−x−2，则xy=______.
1
【答案】
9
【分析】根据二次根式成立的条件得出关于x的不等式组，求得x=3，进而求出y=−2，代入xy即可求出
答案．
【详解】∵y=❑√x−3+❑√3−x−2，
{x−3≥0)
∴ ．
3−x≥0
∴x=3．
∴y=❑√x−3+❑√3−x−2=−2．
1
∴xy=3−2=
．
9
1
故答案是 ．
9
1
【点睛】本题主要考查了二次根式的性质和负整数指数幂的性质，熟练掌握❑√a(a≥0)以及a−p=
（a≠0
ap
，p为正整数）是解题的关键．
3、（2023·全国·八年级假期作业）已知实数a满足❑√(2008−a) 2+❑√a−2009=a，求a−20082的值是多
少？
【答案】2009
【分析】根据二次根式有意义的条件求出a取值范围，再将等式边形即可．
【详解】解：∵二次根式有意义，
∴a-2009≥0，即a≥2009，
∴2008-a≤-1＜0，
∴a-2008+❑√a−2009=a，解得❑√a−2009=2008，
等式两边平方，整理得a-20082=2009．【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键．
【经典例题四 根据二次根式是整数求字母的值】
√36
【例4】（2023春·八年级单元测试）若❑ 是整数，则整数n的所有可能的值为_______．
n
【答案】1，4，9，36
√36 36 36
【分析】❑ 是整数，则 ≥0，且 是完全平方数，即可求出n的值．
n n n
√36
【详解】解：∵❑ 是整数，
n
36 36
∴ ≥0，且 是完全平方数，
n n
36
∴① =1，即n=36；
n
36
② =4，即n=9；
n
36
③ =9，即n=4；
n
36
④ =36，即n=1；
n
综上所述，整数n的所有可能的值为1，4，9，36．
故答案是：1，4，9，36．
√36
【点睛】本题考查了二次根式的定义，理解❑ 是整数的条件是解题的关键．
n
【变式训练】
1、（2023春·广东惠州·八年级校考期中）已知：❑√20n是整数，则满足条件的最小正整数n为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．20
【答案】C
【分析】将❑√20n化简为2❑√5n，要是一个数开平方后为整数，那么这个数一定是完全平方数，即可解
答．
【详解】解：❑√20n=2❑√5n，
∵ ❑√20n是整数，∴满足条件的最小正整数n为5，
故选：C．
【点睛】本题考查了求二次根式中参数的值，熟知二次根式的计算结果是整数的情况是解题的关键．
2、（2023春·湖北武汉·八年级统考期中）已知❑√10−n是整数，则自然数n所有可能的值的和为______．
【答案】26
【分析】根据二次根式的定义可知10−n≥0，直接列出n所有可能的值再求和即可．
【详解】❑√10−n是整数，则自然数n所有可能的值为n=1,6,9,10，
所以n所有可能的值的和为1+6+9+10=26．
故答案为：26
【点睛】此题考查二次根式的定义，解题关键是明确❑√a,a≥0．
3、（2023春·江苏·八年级专题练习）如果❑√17+4a是一个正整数，则整数a的最小值是（ ）
A．-4 B．-2 C．2 D．8
【答案】A
17
【分析】根据❑√17+4a是一个正整数，得出a＞− ，根据a为整数，得出a的最小值为−4，最后代入
4
a=−4验证❑√17+4a是一个正整数符合题意，得出答案即可．
【详解】解：∵❑√17+4a是一个正整数，
∴17+4a＞0，
17
∴a＞− ，
4
∵a为整数，
∴a的最小值为−4，
且a=−4时，❑√17+4a=❑√17−16=1符合题意，故A正确．
故选：A．
17
【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，根据题意求出a＞− ，是解题的关键．
4
【经典例题五 利用二次根式的性质化简】
【例5】（2023下·浙江丽水·八年级期末）已知 是 的小数部分，则 的值是（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【分析】本题主要考查了二次根式的性质，关键是掌握完全平方公式和 ．首先根据题意可得
，再根据完全平方公式可得 ，再代入求值即可．
【详解】解： 是 的小数部分，
，
．
故选： ．
【变式训练】
1．（2023上·河南洛阳·九年级统考期中）化简二次根式 ，得（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是二次根式的性质与化简，先根据 ，再由二次根式的性质即可得出结论，熟知二
次根式具有非负性是解题的关键．
【详解】解： ，
故选： ．
2．（2024上·上海闵行·八年级统考期末）计算： ．
【答案】
【分析】此题考查二次根式的性质与化简，根据二次根式性质化简即可求解，解题关键在于掌握运算法则．【详解】解： ，
故答案为： ．
3．（2024上·北京昌平·八年级统考期末）阅读材料：
和 为整数， ；
和 为整数， ；
和 为整数， ；
……
小明发现结论：若 和 为相邻的两个整数，其中 ，则有 ，
并给出了证明：根据题意，得
．
等式两边同时___________，得
____________ ．
整理得
．
请根据以上材料，解决以下问题：
(1)请补全小明的证明过程.
(2)若 和 为两个相邻整数，则 ____________.
(3)若 和 为相差4的两个整数，求 的值．
【答案】(1)平方，
(2)25
(3)
【分析】本题考查了完全平方公式，二次根式的性质化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．
（1）根据证明过程补全即可；（2）根据已知结论，得出 ，求出 的值即可；
（3）根据题意，得 ，将等式两边同时平方，整理后求解即可．
【详解】（1）解：根据题意，得 ，
等式两边同时平方，得 ，
整理得 ，
故答案为：平方， ；
（2）解：由题意可知， ，
，
即 ，
故答案为：25．
（3）解：根据题意，得 ，
等式两边同时平方，得 ，
整理得： ，
，
，
．
【经典例题六 数轴与二次根式的化简问题】
【例6】（2023上·吉林长春·八年级校联考期末）已知实数a在数轴上的对应点位置如图，则化简的结果为（）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查二次根式的性质与化简、实数与数轴，掌握二次根式的基本性质是解题关键．
根据二次根式的基本性质，先把二次根式写成绝对值的形式，再用绝对值的性质化简，最后计算．
【详解】解：根据题意得： ，
，
故选：A．
【变式训练】
1．（2023上·重庆·九年级重庆第二外国语学校校考期中）实数a、b在数轴上所对应的点如图所示，化简
的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查数轴，绝对值，二次根式的性质．先根据数轴确定a，b的范围，再根据绝对值和二次根
式的性质进行化简，即可解答．
【详解】由数轴可得 ， ，
∴ ， ，
∴ ，
故选：A．2．（2023上·江苏常州·八年级校考阶段练习）已知 ， 在数轴上的位置如图所示，则 的
化简的结果为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查数轴上点表示的数以及大小关系、二次根式的性质与化简，根据数轴上点表示的数
的大小关系，得 ， ，熟练掌握数轴上的点表示的数的大小关系、二次根式的性质是解题的关
键．
【详解】根据数轴可知： ， ，
则原式 ，
，
，
，
故答案为： ．
3．（2023上·江苏苏州·八年级校考期中）阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题
化简： ．
解：隐含条件 ，解得： ， ．
原式 ．
【启发应用】
（1）按照上面的解法，试化简： ．
【类比迁移】
（2）实数 ， 在数轴上的位置如图所示，化简： ．
（3）已知 ， ， 为 的三边长．化简： ．
【答案】（1） ；（2） ；（3）【分析】本题主要考查了化简二次根式，实数与数轴，三角形三边的关键：
（1）先根据题意得到 ，据此化简二次根式即可；
（2）先根据数轴得到 ，据此化简二次根式和绝对值即可；
（3）根据三角形三边的关系得到 ，据此化简二次根式即可．
【详解】解：（1）∵ 有意义，
∴ ，即 ，
∴
；
（2）由题意得， ，
∴ ，
∴
；
（3）∵ ， ， 为 的三边长
∴ ，
∴
．
【经典例题七 根据含隐含条件的参数范围化简二次根式】【例7】（2023春·八年级课时练习）一次函数y=mx+n的图象如图所示，化简
❑√m2+2mn+n2−|m+1|=_______．
【答案】n−1
【分析】先根据一次函数y=mx+n经过第一、二、三象限，且交于y轴的正半轴，可得m＞0，n＜0，
再由图可知，当x=1时，一次函数的值大于0，即有当x=1时，有y=m+n＞0，据此化简即可．
【详解】∵一次函数y=mx+n经过第一、二、三象限，且交于y轴的正半轴，
∴m＞0，n＜0，
由图可知，当x=1时，一次函数的值大于0，
∴将x=1代入y=mx+n中有y=m+n＞0，
即：❑√m2+2mn+n2−|m+1|
=❑√(m+n) 2−(m+1)
=m+n−m−1
=n−1，
故答案为：n−1．
【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，二次根式的化简以及绝对值的化简等知识，根据一次函数的
图象与性质得出m＞0，m+n＞0，是解答本题的关键．
【变式训练】
1、（2023春·黑龙江绥化·八年级校考阶段练习）若化简|1−x|−❑√x2−8x+16的结果是2x−5，则x的
取值范围是___________
【答案】1≤x≤4
【分析】根据|1−x)−❑√x2−8x+16=2x−5可以得到|x−1)−|x−4)=2x−5，然后根据x的取值范围去绝对值即可求解.
【详解】解：由题意可知：|1−x)−❑√x2−8x+16=2x−5
∴|1−x)−❑√(x−4) 2=2x−5
∴|x−1)−|x−4)=2x−5，
∴当x<1时
原式=1−x+x−4=−3不合题意；
∴当x>4时，
原式=x−1−x+4=3不合题意；
∴当1≤x≤4时，
原式=x−1+x−4=2x−5符合题意；
∴x的取值范围为：1≤x≤4，
故答案为：1≤x≤4.
【点睛】本题主要考查了绝对值的性质，二次根式的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求
解.
2、（2023春·山东烟台·八年级统考期中）已知m是❑√2的小数部分，则式子❑√(m−1) 2=___________．
【答案】2−❑√2
【分析】首先确定m=❑√2−1，再将其代入❑√(m−1) 2并化简计算即可．
【详解】解：∵m是❑√2的小数部分，
∴m=❑√2−1，
∴❑√(m−1) 2=❑√ (❑√2−1−1) 2=❑√ (❑√2−2) 2=|❑√2−2)=2−❑√2．
故答案为：2−❑√2．
【点睛】本题考查了无理数的估算以及二次根式的性质，解题的关键是求出m=❑√2−1．
3、（2023春·黑龙江绥化·八年级校考阶段练习）已知ab＜0，化简❑√a2b=______
【答案】−a❑√b
【分析】根据二次根式有意义的条件得到a2b⩾0，利用a2≥0，ab<0得a<0，b>0，再根据二次根式的
性质得原式=|a|❑√b，然后去绝对值即可．
【详解】解：∵a2b⩾0，
而a2 ⩾0，ab<0，∴a<0，b>0，
∴原式=❑√a2·❑√b
=|a|·❑√b
=−a❑√b．
故答案为：−a❑√b．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是掌握❑√a2=|a|．
【经典例题八 复合二次根式的化简】
【例8】（2022上·四川遂宁·九年级四川省射洪市柳树中学校考阶段练习）若 ，则 化简后的结
果是（ ）
A．xy B． C． D．
【答案】D
【分析】根据 ， 有意义可得 ，进而即可求解．
【详解】解：∵ ， 有意义，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的性质化简，得出 是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022下·辽宁葫芦岛·八年级统考期中）若 ，则a的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据二次根式的性质列出不等式，解不等式即可解答．
【详解】∵ ，
∴ ，
∴-2 ．
故选A．
【点睛】本题考查二次根式的性质，根据二次根式的性质列出不等式是解题的关键．
2．（2021·北京·九年级专题练习）化简 的结果为 ．
【答案】
【分析】先把 化为平方的形式，再根据 化简即可求解．
【详解】解：原式
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了双重二次根式的化简，把 化为平方的形式是解题关键．
3．（2024上·湖南娄底·八年级统考期末）阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数．形如 ，
如果你能找到两个数 、 ，使 ，且 ，则 可变形为
．从而达到化去一层根号的目的．例如化简 ， 且
，．
(1)填上适当的数： ______；
(2)当 时，化简 ．
【答案】(1) ， ，
(2)
【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，正确应用完全平方公式，掌握完全平方公式的特征是解
题的关键．
（1）将8写成 ，将 写成 ，然后将被开方数变形成完全平方公式的形式，即可得
出答案．
（2）将x写成 ，然后将被开方数变形成完全平方公式的形式，即可得出答案．
【详解】（1）解：
，
故答案为： ， ， ；
（2） ，
，
，
，，
．
【拓展培优】
1．（2024上·河北衡水·八年级统考期末）若 ，则 的值可以是（ ）
A．4 B．2 C．0 D．
【答案】D
【分析】本题考查二次根式的性质，根据 ，当 时， 求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，则 ，
故选项D符合题意，选项A、B、C不符合题意，
故选：D．
2．（2022下·重庆酉阳·八年级校考期末）式子 在实数范围内有意义，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握定义是解题关键．如果一个式子中含有多个二
次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．直接利用二次根式的定
义分析得出答案．
【详解】解：由题意得： ，
解得： ，
故选：A．
3．（2024上·湖南岳阳·八年级岳阳市弘毅新华中学校考期末）若 有意义，则实数 的取值范
围是（ ）
A． 且 B． 且 C． 且 D． 且【答案】B
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件是被开
方数大于等于0，分式有意义的条件是分母不为0是解题的关键．
【详解】解：∵ 有意义，
∴ ，
∴ 且 ，
故选：B．
4．（2023上·江苏苏州·八年级苏州市平江中学校校联考期中）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：
结果为（ ）
A． B． C． D．0
【答案】A
【分析】此题考查了二次根式的化简、整式的加减法以及绝对值的性质，首先根据数轴上a、b点的位置确
定出a、b的取值范围，然后再根据二次根式和绝对值的性质进行化简．
【详解】由数轴得， ，
，
故选A．5．（2023上·重庆·八年级校联考期中）若 （ 为正整数），则下列说法正确的个数是
（ ）
① ， ， ；② ；③ ．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【分析】本题考查了算术平方根和规律型的题目，分别计算当 为1，2，3，4时 的值，可得规律
，即可得出答案，找出数字的规律是解题的关键．
【详解】解： 为正整数），
，
，
，故①正确；
，故②正确；
，
，
，
，
所以可知 ，，故③正确．
故选：D．
6．（2023上·陕西西安·八年级校考期中）已知 ， 都是实数，且 ，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，先根据二次根式有意义的条件得到 ，
解不等式组得到 ，进而得到 ，代入代数式计算即可求值，掌握二次根式有意义的条件是解题的
关键．
【详解】解：由题意得， ，
解得 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
7．（2023上·上海静安·八年级校联考期末）当 时， .
【答案】 / / /
【分析】根据不等式的性质可得 ，再根据二次根式的性质求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．8．（2024上·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）已知 ，当 分别取 ， ， ，……，
时，所对应 值的总和是 .
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的化简求值、绝对值运算等知识点，掌握二次根式的化简方法是解题关键．
先化简二次根式求出 的表达式，再将 的取值依次代入，然后求和即可得．
【详解】解： ，
当 时， ，
当 时， ，
则所求的总和为：
故答案为： ．
9．（2023上·四川达州·八年级校考期中）问题探究：因为 ，所以 ，因
为 ，所以 请你根据以上规律，结合你的经验化简下列各式：
．
【答案】 /
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简的方法，关键是把复合二次根式的被开方数 配成完全
平方式．观察式子可知： ， ，故 可看作 平方的结果．
【详解】解： ，
．
故答案为：10．（2023上·四川内江·九年级四川省内江市第二中学校考阶段练习）若关于 的二次根式 有意义，
且 为整数，若关于 的分式方程 的解为正数，则满足条件的所有 的值的积为
【答案】
【分析】根据二次根式 有意义的可得 ，再根据分式的解 为正数，可得 ，确
定 的取值范围，当 时的情形除外，求得所有正数解 ，再求其积即可
【详解】解： 二次根式 有意义．
，
，
去分母得， ，
解得 ,
,
,
,
,
∴ ,
综上可知， 且 ，m为整数，
，其和为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，分式方程的解法，不等式的整数解，解题的关键是综合运用以上知
识．11．（2023上·江苏苏州·八年级苏州市立达中学校校考期中）实数 在数轴上对应点的位置如图所示，
化简 ．
【答案】0
【分析】本题主要考查了绝对值以及二次根式的性质与化简，正确得出各式的符号是解题的关键．直接根
据数轴上a，b，c的位置得出 ，进而化简得出答案．
【详解】解：由数轴可得： ，
，
则
．
12．（2023上·广东深圳·八年级深圳大学附属中学校考期中）已知正数 ，正数 的两个不同的平
方根分别是 和 ，
(1)求 ， 的值；
(2)求 的值．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】本题考查了算术平方根，平方根的意义，以及二次根式的性质．
（1）根据算术平方根，平方根的定义求解即可；
（2）把a，b的值代入 ，然后根据二次根式的性质化简即可．【详解】（1）∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵正数 的两个不同的平方根分别是 和 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（2）∵ ， ，
∴ ．
13．（2023上·江苏常州·八年级校考阶段练习）有这样一类题目：将 化简，如果你能找到两个数
、 ，使 且 ，则将 将变成 ，即变成 开方，从而使得
化简．例如， ，
∴ ，
请仿照上例解下列问题：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】（ ）把 分成 ，根据二次根式的性质进行化简即可；
（ ）把 分成 ，根据二次根式的性质进行化简即可；
本题考查的是二次根式的性质和化简，正确理解阅读材料所示内容、掌握二次根式的性质是解题的关键．【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
（2）解：∵ ，
∴ ．
14．（2023上·四川遂宁·八年级四川省遂宁市第二中学校校考阶段练习）阅读下列材料：我们可以通过以
下方法求代数式 的最小值．
，且 ，当 时， 有最小值 ．
请根据上述方法， 解答下列问题：
(1)若 ，则 的值是___________．
(2)求证：无论 取何值 都有意义；
(3)若代数式 的最小值为2，求 的值
【答案】(1)
(2)证明过程见解答
(3) 的值为
【分析】本题考查了完全平方公式的应用；
（1）把右边化简，求出 和 的值，进而可求出 的值；
（2）把被开方数配方，即可证明结论成立；
（3）把所给代数式配方，根据代数式 的最小值为 ，得出关于 的方程，然后解方程即可．
【详解】（1）解：故答案为： ；
（2）证明：
无论 取何值， 的值都是正数，
无论 取何值，二次根式 都有意义；
（3）原式 ，
，
，
，
．
15．（2017·四川·八年级阶段练习）我们已经学过完全平方公式 ，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如 ， ， ， ，那么，我们可以利用这种思想
方法和完全平方公式来计算下面的题：
例：求 的算术平方根．
解： ， 的算术平方根是 ．
你看明白了吗？请根据上面的方法化简：
(1)
(2)
(3) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算以及完全平方公式；
（1）将 变形为完全平方式的形式 ，然后开平方即可；
（2）先化简 ，再化简原式即可得出答案；
（3）分别化简，合并同类二次根式即可得出答案．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式；
（3）解：
．
