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专题07 轴对称中的最值模型问题（将军饮马等）重难点题型专训（8大题型
+29道拓展培优）
题型一 将军饮马之线段和最值
题型二 将军饮马之线段差最值
题型三 将军饮马之两定一动最值
题型四 三点共线最大值
题型五 双对称关系求周长最小值
题型六 两定两动型最值
题型七 两动一定最值
题型八 费马点最值问题
将军饮马中最短路径问题四大模型
一 两定点在直线的异侧
问题1 作法 图形 原理
连接AB，与直线l的交点 两点之间，线段最短，此
P即为所求。 时PA+PB的和最小。
在直线l上找一点P,使得
PA+PB的和最小。
二 两定点在直线的同侧
问题2：将军饮马 作法 图形 原理
作B关于直线l的对称点 化折为直；
C，连AC，与直线l的交 两点之间，线段最短，此
在直线l上找一点P,使得 点P即为所求。 时PA+PB的和AC最小。
PA+PB的和最小。
三 两动点一定点问题
问题3：两个动点 作法 图形 原理作P关于OA的对称
点P1，作P关于OB 两点之间，线段最短，此
的对称点P2，连接 时PC+PD+CD的和最小。
P1P2 。
点P在锐角∠AOB的内部，在
OA边上找一点C,在OB
边上找一点D,,使得
PC+PD+CD的和最小。
四 造桥选址问题
问题4：造桥选址 作法 图形 原理
将点A乡向下平移MN
两点之间，线段最短，此
的长度得A，连AB，
1 1 时 AM+MN+BN 的最小值为
交n于点N，过N作
AB+MN。
NM⊥m于M。 1
直线m∥n，在m，n上分别
求点 M、N，使 MN⊥m，
MN⊥n，且AM+MN+BN的和最
小。
注意：本专题部分题目涉及勾股定理，各位同学可以学习完第3章后再完成该专题训练．
勾股定理公式：a2+b2=c2
【经典例题一 将军饮马之线段和最值】
【例1】如图，在 中， ，分别以点 为圆心，以适当长为半径画弧，两弧分别交于
，画直线 为 的中点， 为直线 上任意一点，若 的面积为15，则
的最小长度为（ ）A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【分析】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质，三角形的面积，三线合一定理，两点之间
线段最短等知识，解题的关键是掌握垂直平分线的性质．如图，连接 ，AD．利用三角形的面积公式
求出 ，再根据两点之间线段最短，线段的垂直平分线的性质判断即可．
【详解】解：如图，连接 ，AD．
∵ ， 为 的中点，
∴ ，
， ，
，
由作图可知： 垂直平分线段 ，
，
，
的最小值为6，
故选：B．
1．如图，在 中， ， 平分 ，若P、Q分别是和 上的动点，则 的最小值是（ ）
A．1.2 B．2.4 C．4.8 D．9.6
【答案】C
【分析】本题考查了轴对称的性质、垂线段最短等知识，熟练掌握轴对称的性质是解题关键．作点 关于
的对称点 ，连接 ，则 ，从而可得 ，先根据两点之间线段最短可
得当点 共线时， 的值最小，最小值为 ，再根据轴对称的性质可得点 在边 上，然后
根据垂线段最短可得当 时， 的值最小，最后利用三角形的面积公式求解即可得．
【详解】解：如图，作点 关于 的对称点 ，连接 ，
由轴对称的性质得： ，
∴ ，
由两点之间线段最短可知，当点 共线时， 的值最小，最小值为 ，
∵ 平分 ，
∴点 在边 上，
由垂线段最短可知，当 时， 的值最小，
则此时 ，即 ，
解得 ，
即 的最小值是 ，
故选：C．
2．如图，在 中， ， ， ， 是 的角平分线，若 ， 分别是
和 上的动点，则 的最小值是 ．【答案】
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，轴对称−最短路线问题，三角形的面积，垂线段最短，作
关于 的对称点 ，由对称性可知，点 在 上，当 时， 的最小值为 ，再利用
面积法求出 的长即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：作 关于 的对称点 ，
∵ 是 的平分线，
∴点 在 上，
∴ ，
∴当 时， 的最小值为 ，
∵ ， 是 的平分线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ，
故答案为： ．
3．唐朝著名诗人李颀的代表作品《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其
中隐含着一个有趣的数学问题．如图1，诗中将士在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边饮马后再到B点宿营．请问在何处饮马才能使总路程最短？我们可以用轴对称的方法解决这个问题．
(1)如图2，作点B关于直线l的对称点 ，连接 与直线l交于点C，点C就是所求的位置．
理由：如图3，在直线 l上另取不同于点C的任一点 ，连接
因为点B 、 关于直线l对称，点C、 在直线l上，
所以 ， ，
所以 ，
在 中，依据 ，
可得
所以
即 最小．
(2)迁移应用：如图4， 是等边三角形，N是 的中点， 是 边上的中线， ，M是
上的一个动点，连接 、 ，则 的最小值是 ．
【答案】(1)见解析
(2)6
【分析】（1）根据轴对称的性质得到 ， ，然后利用三角形的任意两边之和大于第三边
求解即可；
（2）连接 ， ，根据题意得到当点N，M，C三点共线时， 有最小值，即 的长度，然
后根等边三角形的性质求解即可．
【详解】（1）解：理由：如图3，在直线 l上另取不同于点C的任一点 ，连接因为点B 、 关于直线l对称，点C、 在直线l上，
所以 ， ，
所以 ，
在 中，依据三角形的任意两边之和大于第三边
可得
所以
即 最小．
故答案为： ， ，三角形的任意两边之和大于第三边；
（2）解：如图所示，连接 ， ，
∵ 是等边三角形， 是 边上的中线，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴当点N，M，C三点共线时， 有最小值，即 的长度，
∵ ，N是 的中点， 是等边三角形，
∴ ，
∴ 的最小值为6．
【点睛】本题主要考查的是轴对称图形的性质以及两点之间线段最短，三角形三边关系，等边三角形的性
质等知识，正确掌握两点之间，线段最短是解题的关键．
【经典例题二 将军饮马之线段差最值】
【例2】如图，在 中， ， ．延长线段 至点 ，使 ，过点 作射线
，点 为射线 上的动点，分别过点 ， 作直线 的垂线 ， ．当 的值最
大时， 的度数为 ．【答案】 /130度
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质．如图，过点
作 直线 于点 ．证明 ，推出 与 重合时， 的值最大，此时 ，
画出相应的图形，根据条件，利用三角形的内角和、邻补角的意义，求出结果．
【详解】解：如图，过点 作 直线 于点 ．
直线 ， 直线 ，
，
， ，
，
，
，
与 重合时， 的值最大，
当 与 重合， 与 重合时， 的值最大，此时 ，
，
，
，
，
，
又 ，
，
，
故答案为： ．
1．如图， ， 为 上一动点， ，过 作 交直线 于 ，过 作
交直线 于点 ，若 ，当 的值最大时，则 ．
【答案】123°
【分析】当DM与DP重合，AN与AB重合时，|AN-DM|的值最大，此时|AN-DM|=AB，画出相应的图形，
根据条件，利用三角形的内角和、邻补角的意义，求出结果．
【详解】解：当DM与DP重合，AN与AB重合时，|AN-DM|的值最大，此时|AN-DM|=AB，
∵∠ABC=114°，
∴∠CDE=180°-114°=66°，∴∠MCD=90°-66°=24°，
又∵AB=BC，
∴∠ACB=（180°-114°）÷2=33°，
∴∠ACE=180°-∠ACB-∠DCM=180°-33°-24°=123°，
故答案为：123°．
【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形内角和、直角三角形、等腰三角形的性质等知识，根据题意画
出相应图形是解决问题的关键．
2．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点．已知
的顶点均在格点上．
(1)画出格点三角形 关于直线 对称的 ；
(2) 的面积是
(3)在直线 上找出点P，使 最大，并求出最大值为 ．（保留作图痕迹）
【答案】(1)见解析
(2)
(3)见解析，
【分析】本题考查作图-轴对称变换，线段最短，勾股定理；
（1）根据轴对称的性质作图即可．
（2）利用割补法求三角形的面积即可．
（3）延长 ，交直线DE于点 ，则点 即为所求．利用勾股定理求出 的长，即可得出答案．
【详解】（1）解：如图所示， 即为所求；（2） 的面积是
（3）如图所示，延长 ，交直线DE于点 ，
此时 ，为最大值，
则点 即为所求．
由勾股定理得， ，
最大值为 ．
故答案为： ．
3．如图，已知 的三个顶点在格点上．(1)画出 ，使它与 关于直线 对称；
(2)在直线 上画出点D，使 ．
(3)在直线 上画出点P，使 最大．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
(3)见详解
【分析】（1）分别作点A、B、C关于直线 的对称点 、 、 ；顺次连接 、 、 所得的三角
形即为所求．
（2）连接 交直线 于点D即可作答；
（3）延长 交直线 于点P即可作答；
【详解】（1）如图，
即 为所求；
（2）如图，点D即为所求；
证明：根据对称性可知 ，
根据对顶角相等可得： ，
即有 ；
（3）如图，
点P即为所求．
证明：如图，当点P在 处时，根据三角形三边的关系可知： ；
当点A、C、P在三点共线时，此时有： ；
综上有： ，当且仅当点A、C、P在三点共线时取等号，
即点P满足要求．
【点睛】本题考查了作轴对称图形，轴对称的性质，对顶角相等，三角形三边的关系等知识，掌握轴对称
图形的性质，是解答本题的关键．
【经典例题三 将军饮马之两定一动最值】
【例3】小王准备在红旗街道旁建一个送奶站，向居民区A，B提供牛奶，要使A，B两小区到送奶站的距
离之和最小，则送奶站C的位置应该在（ ）．
A． B． C．D．
【答案】C
【分析】本题考查轴对称-最短路线的问题，将折线最短问题转化为两点之间，线段最短问题．会作对称点
是解此类问题的基础，要求学生能熟练掌握，并熟练应用．另外本题的解决还应用了三角形的三边关系：
三角形的两边之和大于第三边．先作点 关于街道的对称点 ，再根据三角形的两边之和大于第三边，得
出 ，再进行边的等量代换，即可作答．
【详解】解：如图：作点 关于街道的对称点 ，连接 交街道所在直线于点 ，
，
，
在街道上任取除点 以外的一点 ，连接 ， ， ，
，
在 中，两边之和大于第三边，
，
，
点 到两小区送奶站距离之和最小．
故选：C．
【变式4-1】（2023春·黑龙江齐齐哈尔·八年级校考阶段练习）如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧
马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家．他要完成这
件事情所走的最短路程是多少？【答案】17km
【分析】如图（见详解），将小河看成直线MN，由题意先作A关于MN的对称点A′，连接A′B，构建直
角三角形，则A′B就是最短路线；在Rt△A′DB中，∠A′DB=90°，BD=8km，A′D=AD+A′ A，利
用勾股定理即可求出A′B．
【详解】如图，做出点A关于小河MN的对称点A′，连接A′B交MN于点P，则A′B就是牧童要完成这件
事情所走的最短路程长度．
由题意知：A′D=4+4+7=15km，BD=8km，∠D=90°，
在Rt△A′DB中，由勾股定理求得A′B=❑√A′D2+BD2=17km，
则他要完成这件事情所走的最短路程是17km．
【点睛】本题考查了轴对称—最短路线问题，掌握轴对称的性质和勾股定理是解题的关键．
【变式4-2】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，正△ABC的边长为2，过点B的直线l⊥AB，且
△ABC与△A′BC′关于直线l对称，D为线段BC′上一动点，则AD+CD的最小值是 ．
【答案】4【分析】根据等边三角形的性质及轴对称的性质得到∠ABC=∠A′BC′=60°，A′B=AB=BC=2，证明
△CBD≌△A′BD，得到CD=A′D，推出当A、D、A′三点共线时，AD+CD最小，此时AD+CD=A′
B+AB=4．
【详解】解：如图，连接A′D，
∵正△ABC的边长为2，△ABC与△A′BC′关于直线l对称，
∴∠ABC=∠A′BC′=60°，A′B=AB=BC=2，
∴∠CBC′=60°，
∴∠CBC′=∠A′BC′，
∵BD=BD，
∴△CBD≌△A′BD，
∴CD=A′D，
∴AD+CD=A′D+CD，
∴当A、D、A′三点共线时，AD+CD最小，此时AD+CD=A′B+AB=4，
故答案为：4．
．
【点睛】此题考查了等边三角形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定及性质，最短路径问题，正确
掌握全等三角形的判定是解题的关键．
【变式4-3】（2023·江苏·八年级假期作业）如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°,AB边的垂直
平分线DE交AB于点D，若AE=3，
(1)求BC的长；
(2)若点P是直线DE上的动点，直接写出PA+PC的最小值为_________．
【答案】(1)9
(2)9
【分析】（1）根据垂直平分线的性质可证△ABE为等腰三角形，由角度可证△ACE为30°直角三角形，再由线段之间的关系即可求出BC的长；
（2）根据将军饮马原理即可得出PA+PC的最小值为BC的长度．
【详解】（1）解：∵AB=AC，∠BAC=120°
1
∴∠B=∠C= (180°−∠BAC)=30°
2
∵AB边的垂直平分线交AB于点D，
∴BE=AE=3，
∴∠BAE=∠B=30°
∴∠CAE=∠BAC−∠BAE=120°−30°=90°
在Rt△CAE中，∠C=30°
∴CE=2AE=6
∴BC=BE+CE=3+6=9
（2）解：如图，
取点A关于直线DE的对称点，即点B；连接B,C两点，与直线DE交于点P(E)，
∵ PA=PB
∴ PA+PC=PB+PC
根据两点之间线段最短
则BC即为PA+PC的最小值，最小值为9
【点睛】本题考查了图形的轴对称，相关知识点有：垂直平分线的性质、将军饮马等，轴对称性质的充分
利用是解题关键．
【经典例题四 三点共线最大值】
【例5】如图，在△ABC中，AB=AC，AC的垂直平分线交AC于点N，交AB于点M，AB=12cm，
△BMC的周长是20cm，若点P在直线MN上，则PA−PB的最大值为 .【答案】8cm
【分析】根据垂直平分线的性质得到MA=MC，再利用三角形两边之差小于第三边解答即可．
【详解】解：∵MN垂直平分AC，
∴MA=MC，
又∵C =BM+MC+BC=20cm，BM+MA=AB=12cm，
△BMC
∴BC=20−12=8cm，
在MN上取点P，连接PA、PB、PC，
∵MN垂直平分AC，
∴PA=PC，
∴PA−PB=PC−PB，
在△PBC中PC−PB
