文档内容
专题03 二次根式的加减 重难点题型专训（10大题型+15道拓展培优）
【题型目录】
题型一 同类二次根式
题型二 二次根式的加减运算
题型三 二次根式的混合运算
题型四 分母有理化
题型五 已知字母的值，化简求值
题型六 已知条件式，化简求值
题型七 比较二次根式的大小
题型八 二次根式的实际应用
题型九 二次根式的新定义问题
题型十 二次根式的阅读理解类问题
【知识梳理】
知识点1： 同类二次根式
1. 同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。
2. 合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并
m√a+n√a=(m+n)√a(a≥0)
的依据式乘法分配律，如
知识点2： 二次根式的加减
1. 二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进
行合并。
2. 二次根式加减运算的步骤：
①化：将各个二次根式化成最简二次根式；
②找：找出化简后被开方数相同的二次根式；
③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方
数保持不变。
知识点3：二次根式的混合运算
二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括
号里面的（或先去掉括号）【经典例题一 同类二次根式】
【例1】（2024上·河北石家庄·八年级校考期末）若最简二次根式 可以与 合并，则 的值可以是
（ ）
A．5 B．4 C．2 D．1
【变式训练】
1．（2020上·上海杨浦·七年级校考阶段练习）在根式中，同类二次根式有（ ）组
① 和 ；② 和 ；③ 和 ；④ 和 ；⑤ 和
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2023下·湖北恩施·八年级校考期中）若最简二次根式 和 可以合并，则 的平方根
是 ．
3．（2023下·江苏扬州·八年级统考期末）已知二次根式 ．
(1)求使得该二次根式有意义的 的取值范围；
(2)已知 是最简二次根式，且与 可以合并，
求 的值；
求 与 的乘积．
【经典例题二 二次根式的加减运算】
【例2】（2023上·甘肃酒泉·八年级校考期末）下列计算正确的是（ ）A． B．
C． D．
【变式训练】
1．（2023上·山东济南·八年级统考期中）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023下·山东聊城·八年级统考期中）计算 的结果是 ．
3．（2023上·陕西西安·八年级校考阶段练习）化简：
(1) ；
(2) ；
(3)
【经典例题三 二次根式的混合运算】
【例3】（2024上·重庆北碚·九年级西南大学附中校考期末）估算 的值应在（ ）
A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间
【变式训练】
1．（2023上·辽宁丹东·八年级校考期中）设 的整数部分是m，小数部分是n，则n的值是
（ ）A． B． C． D．
2．（2024上·北京房山·八年级统考期末）计算 ．
3．（2024上·北京平谷·八年级统考期末）计算：
(1) ；
(2) ．
【经典例题四 分母有理化】
【例4】（2022上·湖北武汉·八年级校考阶段练习）若 ，则式子 的值为（ ）
A． B． C． D．4
【变式训练】
1．（2023上·山东青岛·八年级青岛超银中学校考自主招生）化简：
的结果是
（ ）
A．1 B． C． D．
2．（2022上·广东揭阳·八年级统考期中）已知：对于正整数n，有 ，若某
个正整数k满足 ，则k＝ ．3．（2024上·河北石家庄·八年级校考期中）阅读下面的材料，解答后面给出的问题：
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，
例如 与 与 ．这样，化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘分母的
有理化因式的方法就可以了，例如：
．
(1)请仿照上面给出的方法，化简： ；
(2)计算： ．
【经典例题五 已知字母的值，化简求值】
【例5】（2023下·山东淄博·八年级统考期中）已知 ，则代数式 的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（2023下·河北承德·八年级统考期末）若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．2．（2023上·四川巴中·九年级四川省巴中中学校考阶段练习）已知 ，求代数式
3．（2023上·陕西榆林·八年级校联考期末）我们知道 ，因此将 分子、分
母同时乘“ ”，分母就变成了1，原式可以化简为 ，所以有 ．
请仿照上面的方法，解决下列各题．
(1)化简： ， ；
(2)若 ， ，求 的值；
(3)根据以上规律计算下列式子的值： ．
【经典例题六 已知条件式，化简求值】
【例6】（2023上·福建泉州·九年级校联考期中）已知 ，则 的值为（ ）
A． B． C．2025 D．2020
【变式训练】
1．（2023·湖北武汉·模拟预测）若三个实数 ， ， 满足 ，且 ，则有：
，则 的值（ ）A． B． C．2023 D．
2．（2023上·四川达州·八年级校联考期中）如果 ，那么 ．
3．（2023上·陕西西安·八年级西安市第三中学校考期中）已知 ，求 的值．小明是这
样分析与解答的：
∴ ，
∴ ．
∴ ，即 ．
∴ ，
∴ ．
青你根据小明的分析过程，解决下列问题：
(1)化简： _________；
(2)计算： ；
(3)若 ，求 的值．
【经典例题七 比较二次根式的大小】
【例7】（2023上·福建泉州·八年级统考期末）若
，则a，b，c的大小关系是（ ）A． B． C． D．
【变式训练】
1．（2023下·重庆渝北·八年级礼嘉中学校考阶段练习）二次根式除法可以这样做：如果
．像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或者把根号
中的分母化去，叫做分母有理化．有下列结论：
①将式子 进行分母有理化，可以对其分子、分母同时乘以 ；
②若a是 的小数部分，则 的值为 ；
③比较两个二次根式的大小： ；
④计算 ；
⑤若 ， ，且 ，则整数 ．
以上结论正确的是（ ）
A．①③④ B．①②④⑤ C．①③⑤ D．①③④⑤
2．（2023上·宁夏银川·八年级银川唐徕回民中学校考期中）比较下列各数大小：
① ；② ；③
3．（2023上·四川宜宾·八年级四川省宜宾市第二中学校校考期中）观察下列一组等式，然后解答后面的问
题．
， ， ， ，……
(1)观察上面的规律，计算下面的式子：
(2)利用上面的规律，试比较 与 的大小．【经典例题八 二次根式的实际应用】
【例8】（2023上·广东深圳·八年级校考期中）已知三角形的三边长分别为a、b、c，求其面积．
对此问题，中外数学家曾经进行过深入研究．
古希腊几何学家海伦（Heron，约公元50年），给出了求其面积的海伦公式：
，其中 ①
我国南宋时期数学家秦九韶（约1202~1261），给出了著名的秦九韶公式：
．②
若一个三角形的三边长依次为 ， ， ，请选用适当的公式求出这个三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（2023下·河北保定·八年级统考期中）要用栅栏围成如图所示的两个正方形鸡圈，它们的面积分别为
， ，则所需栅栏的总长度最少为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·福建漳州·八年级福建省长泰县第一中学校考期中）在一个正方形 的内部按照如图方式
放置大小不同的两个小正方形，其中较大的正方形 面积为20，两个小正方形重叠部分的面积为5，空白部分的面积总和为 ，则较小的正方形 面积为 ．
3．（2024上·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记 ，
那么三角形的面积为 .
古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年），在数学史上以解决几何测量问题而闻名.在他的著作《度
量》一书中，给出了公式 和它的证明，这一公式称为海伦公式.
我国南宋时期数学家秦九韶（约1202-1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式
.
(1)在 中， ， ， ，利用上面公式 求 的面积；
(2)求证： .
【经典例题九 二次根式的新定义问题】
【例9】（2023春·贵州黔西·八年级校考阶段练习）我们规定用(a，b)表示数对，给出如下定义：记
1
m= ，n=❑√b（a>0，b>0），将(m，n)与(n，m)称为数对(a，b)的一对“对称数对”．例如：
❑√a的一对“对称数对”为(1 )与( 1)．
(4，1) ，1 1，
2 2
(1)数对(25，4)的一对“对称数对”是______和______；
(2)若数对(3，y)的一对“对称数对”的两个数对相同，求y的值；
(3)若数对 的一对“对称数对”的其中一个数对是 ，求 的值．
(x，2) (❑√2，1) x
【变式训练】
1、（2023春·全国·八年级专题练习）定义：若两个二次根式a，b满足a⋅b=c，且c是有理数，则称a与
b是关于c的共轭二次根式．
(1)若a与❑√2是关于4的共轭二次根式，求a的值；
(2)若2+❑√3与4+❑√3m是关于2的共轭二次根式，求m的值．
2、（2023春·重庆涪陵·八年级统考期末）对于任意实数m，n，若定义新运算
m⊗n=
{❑√m−❑√n(m≥n),)
❑√m+❑√n(m0)
，则称
−y(x<0)
点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点（3，2）的“横负纵变点”为（3，2），点（﹣2，5）的“横负
纵变点”为（﹣2，﹣5）．
请选择合适的材料解决下面的问题：
(1)点(❑√2,−❑√3)的“横负纵变点”为______，点(−3❑√3,−2)的“横负纵变点”为______；
(2)化简：❑√7+2❑√10；
1
(3)已知a为常数（1≤a≤2），点M（−❑√2，m）且m= (❑√a+2❑√a−1+❑√a−2❑√a−1)，点M′是点M
❑√2
的“横负纵变点”，求点M′'的坐标．
【经典例题十 二次根式的阅读理解类问题】
【例10】（2023春·江苏·八年级期末）阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如 ．善于
3+2❑√2=(1+❑√2) 2
思考的小明进行了以下探索：
设
a+b❑√2=(m+n❑√2) 2
（其中a、b、m、n均为整数），则有
a+b❑√2=m2+2n2+2mn❑√2
．
∴a=m2+2n2，b=2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b❑√2的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)当a、b、m、n均为正整数时，若 ，用含m、n的式子分别表示a、b，得：
a+b❑√3=(m+n❑√3) 2 a=
，b= ；
(2)利用所探索的结论，请找一组正整数a、b、m、n填空：；
+❑√3=(+❑√3) 2
(3)若 且a、m、n均为正整数，求a的值．
a−6❑√5=(m−n❑√5) 2
【变式训练】
1、（2023春·江西赣州·八年级统考期中）阅读材料并解决问题：
1 = ❑√3−❑√2 = ❑√3−❑√2 =❑√3−❑√2 ，像上述解题过程中， ❑√3+❑√2 与 ❑√3−❑√2 相乘
❑√3+❑√2 (❑√3+❑√2)(❑√3−❑√2) (❑√3) 2 −(❑√2) 2
的积不含二次根式，我们可以将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化．
解答下面的问题：
1 1 1
(1)计算： =___________， =___________；若n为正整数，请你猜想 =
❑√2+❑√1 ❑√4+❑√3 ❑√n+1+❑√n
___________．
(2)计算：( 1 1 1 ) ；
+ +⋅⋅⋅+ ×(❑√2022+1)
❑√2+1 ❑√3+❑√2 ❑√2022+❑√2021
(3)计算：( 2 2 2 ) ．
+ +⋅⋅⋅+ ×(❑√2024+1)
❑√3+1 ❑√5+❑√3 ❑√2024+❑√2022
2、（2023春·八年级单元测试）阅读下述材料：
我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，
与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式，比如：
(❑√7−❑√6)(❑√7+❑√6) 1 ，
❑√7−❑√6= =
❑√7+❑√6 ❑√7+❑√6
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：
比较❑√7−❑√6和❑√6−❑√5的大小．可以先将它们分子有理化如下：
1 1
❑√7−❑√6= ， ❑√6−❑√5= ，
❑√7+❑√6 ❑√6+❑√5因为❑√7+❑√6>❑√6+❑√5，所以❑√7−❑√6<❑√6−❑√5．
再例如：求y=❑√x+2−❑√x−2的最大值．做法如下：
4
解：由x+2≥0,x−2≥0可知x≥2，而y=❑√x+2−❑√x−2= ，
❑√x+2+❑√x−2
当x=2时，分母❑√x+2+❑√x−2有最小值2，所以y的最大值是2．
解决下述问题：
（1）比较3❑√2−4和2❑√3−❑√10的大小；
（2）求y=❑√1−x+❑√1+x−❑√x的最大值和最小值．
3、（2023春·广东惠州·八年级阶段练习）阅读材料：
①我们知道：式子|x+1)的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数−1的点之间的距离，且
＝ ；
|x+1) ❑√(x+1) 2
②把根式 进行化简，若能找到两个数m、n，是 且 ，则把x±2 变成
❑√x±2❑√y m2+n2=x mn=❑√y ❑√y
开方，从而使得 化简．如： ＝ ＝
m2+n2±2mn=(m±n) 2 ❑√x±2❑√y ❑√3+2❑√2 ❑√1+2❑√2+2
＝ ＝ ；
❑√(❑√1) 2+2×1×❑√2+(❑√2) 2 ❑√(1+❑√2) 2 |1+❑√2)=1+❑√2
(1)化简：❑√5+2❑√6．
1 1 1 1
(2)计算： + + +
❑√3+2❑√2 ❑√5+2❑√6 ❑√7+2❑√12 ❑√9+4❑√5
(3)直接写出代数式 的最小值为 ．
❑√x2+2x+5+❑√x2−22x+130【拓展培优】
1．（2024上·河北唐山·八年级统考期末）下列二次根式中，可与 进行合并的二次根式是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024上·河北承德·八年级统考期末）下列说法正确的是（ ）
A． 是最简二次根式 B．在数轴上找不到
C．1的立方根与1的平方根相等 D． 和 是同类二次根式
3．（2024上·重庆沙坪坝·九年级重庆一中校考期末）估计 的值应在（ ）
A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间
4．（2023上·河南南阳·九年级统考期中）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023上·河北张家口·八年级统考期末）二次根式除法可以这样做：如
．像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或者把根号
中的分母化去，叫做分母有理化．有下列结论：①将式子 进行分母有理化，可以对其分子、分母同时乘以 ；
②若 是 的小数部分，则 的值为 ；
③比较两个二次根式的大小： ；
④计算 ．
以上结论正确的是（ ）
A．①③④ B．①④ C．①②③ D．①③
6．（2024上·上海浦东新·八年级上海市民办新竹园中学校考期末）已知函数 ，那么
．
7．（2023上·四川成都·八年级校考期中）已知 ，则 化简的结果为
．
8．（2023上·江苏苏州·八年级苏州市立达中学校校考期中）我国南宋著名的数学家秦九韶，曾提出利用三
角形的三边求面积的“秦九临公式”：如果一个三角形的三边长分别为 ，则三角形的面积
．依据上述公式，若一个三角形的三边长分别是5，6，7，则这个三角形的
面积等于 ．
9．（2023上·河北衡水·八年级校联考阶段练习）已知 是实数，且满足 ．
（1） ；
（2） ．
10．（2023上·河北秦皇岛·八年级校考阶段练习）阅读下面问题：
；；……
计算：（1） ； ；
（2） ； ．
11．（2024上·陕西咸阳·八年级统考期末）计算： ．
12．（2024上·河北承德·八年级统考期末）计算：
(1)
(2)
13．（湖南省常德市初中教学联盟校2023-2024学年八年级上学期期末数学试题）【阅读材料】小明在学
习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：
；
．
【类比归纳】
（1）小华仿照小明的方法将 化成了 ，则 ______， ______．
（2）请运用小明的方法化简 ．
【拓展提升】
（3）计算．
14．（2024上·湖南怀化·八年级校考期末）将边长分别为 ， ， ， 的正方形的面
积记作 ， ， ， ．
(1)计算： ， ， ；
(2)把边长为 的正方形的面积记作 ，其中n是正整数，从（1）的计算结果，你能猜出 等
于多少吗？证明你的结论．
15．（2023上·江西南昌·八年级校考期末）请阅读下列材料：
问题：已知 ，求代数式 的值．
小敏的做法是：根据 得 ，
∴ ，得： .
把 作为整体代入：得
即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题．请你用上述方法解决下面问题：
(1)己知 ，求代数式 的值；(2)已知 ，求代数式 的值．
