文档内容
专题 02 二次根式的乘除重难点题型专训（12 大题型+15 道提优训
练）
题型一 二次根式的乘法
题型二 二次根式的除法
题型三 二次根式的乘除混合运算
题型四 最简二次根式的判断
题型五 化为最简二次根式
题型六 已知最简二次根式求参数
题型七 分母有理化及其应用
题型八 二次根式的大小比较
题型九 用二次根式的乘除法解决实际问题
题型十 二次根式的估值问题
题型十一 二次根式乘除法中的新定义问题
题型十二 二次根式乘除法中的规律计算问题
【知识梳理】
知识点一、二次根式的乘法
二次根式的乘法 · ＝ ．（a≥0，b≥0）
文字语言：二次根式与二次根式相乘，等于各个被开数的积的算术平方根.
推广：
知识点二、二次根式的除法
二次根式的除法： = （a≥0，b>0）
文字语言：二次根式与二次根式相乘，等于各个被开数的商的算术平方根.【经典例题一 二次根式的乘法】
【例1】（2025八年级下·全国·专题练习）计算 的正确结果为（ ）
A． B． C． D．
1．（23-24八年级下·河南郑州·期中）计算 的结果为（ ）
A． B． C．1 D．3
2．（23-24八年级下·山东烟台·期中）计算 的结果为 ．
3．（24-25八年级上·山西晋城·期中）阅读与思考
请阅读下列材料，并完成相应的任务．
在学习完实数的相关运算之后，数学兴趣小组的同学们提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根
与这两个数的算术平方根的积存在什么样的关系？
小南用自己的方法进行了探究： ，而 ，即
．
任务：
(1)结合材料，猜想：当 时，请直接写出 和 之间的关系．
(2)运用以上结论，计算：① ，②
(3)运用上述规律，解决实际问题：已知一个长方形的长为 ，宽为 ，求长方形的面积．
【经典例题二 二次根式的除法】
【例2】（24-25八年级下·山东烟台·期中）若 成立，则 的值可以是（ ）A．-4 B．2 C．4 D．5
1．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）若 ，则化简 的结果是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25八年级上·上海·阶段练习）计算： ．
3．（24-25八年级上·山东青岛·期中）小路在学习了 后， 认为 也成立，因此他认为一
个化简过程： 是正确的．
(1)你认为他的化简对吗？ 如果不对，请写出正确的化简过程；
(2)说明 成立的条件．
【经典例题三 二次根式的乘除混合运算】
【例3】（2023八年级下·江苏·专题练习）计算 （ ）的结果是（ ）
A． B． C． D．
1．（24-25八年级下·四川南充·期末）已知 ， ，则 的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．72．（24-25八年级上·上海·单元测试）已知 ， 且 ，则 ．
3．（2024八年级上·全国·专题练习）计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【经典例题四 最简二次根式的判断】
【例4】（23-24九年级上·四川乐山·期中）下列各式① ，② ，③ ，④ ，⑤ （ ＞
0）中是最简二次根式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
1．（23-24八年级上·上海松江·阶段练习）在二次根式 ， ， ， ， ，中，最简二
次根式个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（24-25九年级上·全国·课后作业）下列二次根式中，不是最简二次根式的有 个．
① ； ② ； ③ ； ④ .
3．（2024八年级上·全国·专题练习）在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根
式的式子进行化简．【经典例题五 化为最简二次根式】
【例5】（23-24八年级上·全国·单元测试）式子 化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
1．（23-24八年级下·山东聊城·期中）把 化成最简二次根式，正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25九年级上·四川眉山·阶段练习）把 根号外面的因式移到根号里面化简的结果是
．
3．（24-25八年级下·广东珠海·期中）观察式子：
，
反过来： ，
∴ ，
仿照上面的例子：
(1)化简
① ；
② ；
(2)如果 ， 且 ，化简 ．【经典例题六 已知最简二次根式求参数】
【例6】（23-24八年级上·河南驻马店·期末）若 与最简二次根式 能合并，则 的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
1．（24-25九年级上·四川遂宁·期中）若 和最简二次根式 是同类二次根式，则m的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）最简二次根式 与 是同类最简二次根式，则
．
3．（24-25八年级上·全国·课后作业）已知a、b是整数，如果 是最简二次根式，求 的值，
并求 的平方根．
【经典例题七 分母有理化及其应用】
【例7】（24-25八年级上·山东枣庄·期中）化简 时，甲的解法是：原式
，乙的解法是：
原式 ，以下判断正确的是（ ）
A．甲的解法正确，乙的解法不正确 B．甲的解法不正确，乙的解法正确
C．甲、乙的解法都正确 D．甲、乙的解法都不正确1．（24-25八年级上·上海·期中）把式子分母有理化过程中，错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025八年级下·全国·专题练习）若 ，则 ．
3．（24-25八年级上·山东青岛·期末）在数学小组探究学习中，小华与他的小组成员遇到这样一道题：
已知 ，求 的值．
他们是这样解答的：
，
，
，即 ，
，
．
请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题：
(1) ______；(2)化简： ；
(3)若 ，求 的值．
【经典例题八 二次根式的大小比较】
【例8】（23-24八年级下·山东烟台·期中）已知 ， ，则x与y的大小关系为（
）
A． B． C． D．无法比较
1．（24-25八年级上·福建泉州·期末）若 ，
则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25八年级上·陕西西安·期末）比较大小： （填“>”或“<”或“=”）．
3．（24-25八年级上·广东梅州·阶段练习）分母有理化应用：
(1)填空： 的有理化因式是________；将 分母有理化得________；
(2)化简： ；
(3)利用以上解题方法比较 与 的大小，并说明理由．
【经典例题九 用二次根式的乘除法解决实际问题】
【例9】（24-25八年级上·广东深圳·期末）如图，是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形 与正方形EFGH，连接 ．若 ， ，则正方形 的面积为（ ）
A．16 B．9 C．8 D．12
1．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）农场打算修建一个底面为长方形的蓄水池，若蓄水池的长为
，宽为 ，则蓄水池的占地面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，等边三角形和长方形有一条公共边，长方形内有一个正方形，
其四个顶点都在长方形的边上．若等边三角形的边长是 ，正方形的面积是2，则图中阴影部分的面积
是 ．
3．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）（1）如图1，已知：在 中， ， ，直线
经过点 ， 直线 ， 直线 ，垂足分别为点 、 ．证明： ．
（2）如图2，将（1）中的条件改为：在 中， ， 、 、 三点都在直线 上，并且有
，其中 为任意锐角或钝角．请问结论 是否成立？如成立，请
你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）运用这个知识来解决问题：如图3，过 的边 、 向外作等腰直角 和等腰直角， 是 边上的高，延长 交 于点 ， ， ．请直接写出 的
面积________．
【经典例题十 二次根式的估值问题】
【例10】（24-25九年级上·重庆·阶段练习）估计 的值应在（ ）
A． 和 之间 B． 和 之间 C． 和 之间 D． 和 之间
1．（23-24九年级下·重庆·开学考试）估计 的值应在（ ）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
2．（24-25九年级上·山西晋城·阶段练习）交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，
所用的经验公式是 ，其中 表示车速（单位：千米/时）， 表示刹车后车轮滑过的距离（单位：
米）， 表示动摩擦因数．在某次交通事故调查中，测得 米， ，肇事汽车的车速大约是
千米/时．（结果保留根号）
3．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）阅读下面的文字，解答问题．
例如： ，即 ，
的整数部分为2．小数部分为 ．
请解答：已知 整数部分是 ，小数部分是 ，且 ，求 的值．【经典例题十一 二次根式乘除法中的新定义问题】
【例11】（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）对于正整数a，b定义新运算“ ”，规定 ，
◎
则 的运算结果为（ ）
A． B． C． D．
1．（23-24九年级上·河南南阳·阶段练习）定义新运算“ ”，规定 ，则 的运算结
果为（ ）
A．10 B．8 C．4 D．2
2．（24-25九年级上·广西百色·期中）对于任意两个不相等的数 ，定义一种新运算
，如 ，那么 ．
3．（23-24八年级上·山西长治·阶段练习）如果一个数的平方等于 ，那么这个数叫做 的平方根．即：若
，则 ．反之．如果一个数是 的平方根，那么这个数的平方等于 ．即：若 ，
则 ．例如：
根据平方根的定义可得：∵ ，∴ ．
根据平方根的定义可得：∵ 是 的一个平方根，∴ ．
根据平方根的定义，利用上述符号及例子解决下列问题：
(1)求下列各式中 的值．
；
．(2)求证： ．
证明：∵ 是 的平方根，
∴ ．
∵ （依据 ）
，（依据 ）
∴ ．
填写推理依据，
依据 ：__________________；
依据 ：__________________．
计算： ．
【经典例题十二 二次根式乘除法中的规律计算问题】
【例12】（23-24八年级下·安徽滁州·期末）观察下列各式：
应用运算规律化简 的结果为（ ）
A．2023 B．2024 C． D．
1．（23-24八年级下·安徽合肥·阶段练习）通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律：
特例1： ；特例2： ；特例3：
……应用发现的运算规律求 的值（ ）A．2024 B． C． D．
2．（24-25八年级下·安徽滁州·阶段练习）一组二次根式按一定规律排列： ， ， ，3 ，6 ，
，……，若a，b，c是这组式子中相邻的三个二次根式，则a，b，c之间的关系是 .
3．（2024八年级上·全国·专题练习）先来看一个有趣的现象： ，这里根号里的
因数2经过适当的演变，2竟“跑”到了根号的外面．我们不妨把这种现象称为“穿墙”，具有这一性质
的数还有许多．如： 等等．
(1)①请你写一个有“穿墙”现象的数；
②按此规律，若 为正整数），则 的值为______．
(2)你能用含正整数 的式子来表示含有上述规律的等式吗？证明你找到的规律．
1．（24-25八年级上·上海·假期作业）下列根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25九年级上·四川宜宾·期中）如果 ，那么（ ）
A． B． C． D． 为一切实数
3．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）计算： 等于（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24八年级下·四川德阳·阶段练习）计算 的结果是（ ）A． B． C． D．
5．（23-24八年级下·安徽合肥·阶段练习）通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律：
特例1： ；特例2： ；特例3：
……应用发现的运算规律求 的值（ ）
A．2024 B． C． D．
6．（24-25八年级上·上海·期中）计算： ．
7．（24-25九年级上·四川眉山·阶段练习）把 根号外面的因式移到根号里面化简的结果是
．
8．（2024八年级上·全国·专题练习）下列二次根式：① ；② ；③ ；④ ．其中化简后的
被开方数是3的是 （填序号）．
9．（23-24八年级下·四川泸州·阶段练习）观察下列二次根式的化简：
；
；
；
…
则 ．
10．（24-25八年级下·福建龙岩·阶段练习）如果最简根式 和 是同类二次根式，则11．（24-25八年级下·全国·阶段练习）已知 ， ，求下列各式的值：
(1) ；
(2) ．
12．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）先阅读下面的解答过程，再解决问题．
形如 的化简，只要我们找到两个数 ，使 ，这样
，于是 ；
举例：化简
解：这里
即 ，
用上述例题的方法化简：
(1)
(2)
13．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）计算：
(1)
(2)
14．（2024八年级上·全国·专题练习）计算：
(1) ；
(2) ；(3) ；
(4) ．
15．（2024八年级上·全国·专题练习）计算：
(1) ；
(2) ， ．
