文档内容
专题 01 平行四边形的判定与性质重难点题型专训（17 大题型+15 道
提优训练）
题型一 判断能否构成平行四边形
题型二 添一个条件成为平行四边形
题型三 数图形中平行四边形的个数
题型四 求与已知三点组成平行四边形的点个数
题型五 证明四边形是平行四边形
题型六 利用平行四边形的性质求解
题型七 利用平行四边形的性质证明
题型八 平行四边形性质的其他应用
题型九 利用平行四边形的判定与性质求解
题型十 利用平行四边形的性质与判定证明
题型十一 平行四边形的性质与判定的应用
题型十二 平行四边形的存在性问题
题型十三 平行四边形相关的综合问题
题型十四 三角形中位线定理
题型十五 三角形中位线定理的应用
题型十六 三角形中位线的最值问题
题型十七 三角形中位线的新定义问题
知识点1：平行四边形的性质（一）
1.边的性质：两组对边分别平行且相等，如下图：AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD；
2.角的性质：两组对角分别相等，如图：∠A=∠C，∠B=∠D
知识点2：平行四边形的性质（二）
对角线的性质：对角线互相平分。如图：AO=CO，BO=DO知识点3：平行四边形的判定
1. 与边有关的判定：
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形
2. 与角有关的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形
3. 与对角线有关的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形
知识点4：平行四边形的判定与性质
1.平行四边形的性质
3.边的性质：两组对边分别平行且相等，如下图：AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD；
4.角的性质：两组对角分别相等，如图：∠A=∠C，∠B=∠D
对角线的性质：对角线互相平分。如图：AO=CO，BO=DO
2.平行四边形的判定
（1）与边有关的判定：
①两组对边分别平行的四边形是平行四边形
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形
（2）与角有关的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形
（3）与对角线有关的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形
知识点5：三角形的中位线
1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
注意：
（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.
（2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的 4个小三角形.因而每个小三角形的周长
1 1
为原三角形周长的2 ，每个小三角形的面积为原三角形面积的4 .（3）三角形的中位线不同于三角形的中线.
知识点5：顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形的形状
顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.
【经典例题一 判断能否构成平行四边形】
【例1】（24-25八年级上·山东淄博·期末）如图，在四边形 中，已知 ，对角线 ，
相交于点 ，若增加下列条件，则可以使四边形 成为平行四边形的是（ ）
A． B． C． D．
1．（23-24八年级下·云南昆明·期末）如图，在四边形 中，对角线 与 相交于点 ．不能判定
四边形 是平行四边形的是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
2．（23-24八年级下·福建漳州·期末）在四边形 中，现给出下列结论：
①若 ， ，则四边形 是平行四边形；
②若 ， ，则四边形 是平行四边形；
③若 ， ，则四边形 是平行四边形；
④若 ， ，则四边形 是平行四边形．
其中正确的结论是 ．（写出所有正确结论的序号）
3．（23-24八年级下·全国·课后作业）已知直角坐标系内四个点 ．以点为顶点的四边形一定是平行四边形吗？如果你认为是，请给出证明；如果你认为不一定是，请添
加一个条件，使它成为平行四边形．
【经典例题二 添一个条件成为平行四边形】
【例2】（23-24八年级下·浙江衢州·期中）如图，在平行四边形 中，点E，F是对角线 所在直线
上的两个不同的点．下列条件中，不能得出四边形 是平行四边形的是（ ）
A． B． C． D．
1．（23-24八年级下·河南商丘·阶段练习）已知四边形 ， 与 相交于点O，已知 ，则
添加下列哪个条件可判定四边形为 为平行四边形（ ）
① ， ② ，③ ，④
A．①② B．①③④ C．②③ D．②③④
2．（23-24八年级下·山东菏泽·期末）如图，在四边形 中， 是 边的中点，连接 并延长，交
的延长线于 点， ，请你添加一个条件（不需再添加任何线段或字母），使之能推出四边形
为平行四边形，请证明．你添加的条件是 ．
3．（24-25八年级下·福建福州·阶段练习）如图，在四边形 中， ， 是对角线 上的两点．
(1)若 ，请添加一个条件：_________，使得四边形 为平行四边形．(2)在（1）的条件下，若 ，求证：四边形 是平行四边形．
【经典例题三 数图形中平行四边形的个数】
【例3】（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）如图，由六个全等的正三角形拼成的图中，平行四边形的个数
为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
1．（2021九年级·全国·专题练习）如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AD，HN∥AB，则图中的平行四边
形（不包括四边形ABCD）的个数共有（ ）
A．9个 B．8个 C．6个 D．4个
2．（23-24八年级下·重庆江津·阶段练习）如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，CA的中点，
以这些点为顶点的平行四边形有 个．
3．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图,在▱ABCD中,E,F分别为AB,CD的中点,连接DE并延长,交CB
的延长线于点G,连接BF并延长,交AD的延长线于点H,连接HG.则图中共有 个平行四边形.【经典例题四 求与已知三点组成平行四边形的点个数】
【例4】（23-24八年级下·贵州黔东南·期中）以点O、A、B、C为顶点的平行四边形放置在平面直角坐标
系 中，其中点O为坐标原点．若点C的坐标是 ，点A的坐标是 ，则点B的坐标是（ ）
A． 或 B． 或
C． 或 或 D． 或 或
1．（23-24八年级下·广东深圳·期中）已知A，B，C三点的坐标分别是(3，3)，(8，3)，(4，6)，若以A，
B，C，D四点为顶点的四边形是平行四边形，则D点的坐标不可能是（ ）
A．( ，6) B．(9，6) C．(7，0) D．(0， )
2．（23-24八年级下·广东湛江·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C
在网格中的位置如图所示，建立适当的平面直角坐标系，使点A、B、C的坐标分别为 、 、
，在平面直角坐标系中找一点D，使以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形，请写出
所有符合条件的点D的坐标： ．
3．（23-24七年级下·四川广安·阶段练习）在直角坐标系中，已知四边形 各顶点的坐标为：
．(1)若将此四边形向左沿水平方向平移3个单位，再向上平移2个单位，请直接写出平移后的 、 、 、
各点的坐标；
(2)求 ；
(3)在坐标平面中有一点P，使以A，B，C，P为顶点的四边形为平行四边形，请写出所有符合要求的P点
坐标．（平行四边形对边平行且相等）
【经典例题五 证明四边形是平行四边形】
【例5】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在 中， ， 于点 ，延长 到
点 ，使 ．过点 作 交 的延长线于点 ，连接 ， ．
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)若 ， ，求 的长．
1．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在 中，点 ， 在对角线 上，且 ，
顺次连接 ， ， ， ．(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)若 ， ，求 的度数．
2．（2025八年级下·全国·专题练习）如图， 是线段 的中点，且 ，点 在线段 上，
交 于点 ， ．
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)已知 ，连接 ，若 平分 ，求 的长．
3．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，点E为平行四边形 的边 上的一点，连接 并延长，
使 ，连接 并延长，使 ，连接 ．H为 的中点，连接 ， ．
(1)求证：四边形 为平行四边形；
(2)连接 ，交 于点O，若 ， ，求 的长度．
【经典例题六 利用平行四边形的性质求解】
【例6】（24-25九年级下·浙江绍兴·阶段练习）如图，在平行四边形 中， 的平分线和
的平分线交于 上一点 ，若 ， ，则 的长为（ ）A．5 B． C． D．
1．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，四边形 中， ， ， ， ，
． 是 的中点，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在 中， 的垂直平分线 交 于点 ，垂足为点
，连接 ，过点 作 ，交 的延长线于点 ，连接 ．若 ， ，则四边
形 的面积为 ．
3．（24-25八年级下·江苏镇江·阶段练习）如图，四边形 是平行四边形，P是 上一点，且 和
分别平分 和 ．
(1)求 的度数；
(2)如果 ， ，求 的面积．
【经典例题七 利用平行四边形的性质证明】
【例7】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在平行四边形 中，对角线 和 交于点O，点
分别为 的中点，连接 ．(1)求证： ．
(2)若 ，且 ， ，求 的长．
1．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在平行四边形 中， ， 是 的角平分
线．求证：
(1) ；
(2) ．
2．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在 中， ， 的平分线分别交 于点 ，
， ， 相交于点 ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的长．
3．（2025八年级下·全国·专题练习）在 中， ，过 作 于 ，连接 ，延长
至 ，使 ，连接 ．(1)求证： ；
(2)若 ， ，求四边形 的周长．
【经典例题八 平行四边形性质的其他应用】
【例8】（23-24八年级下·北京·期中）定义：至少有一组对边相等的四边形为“等对边四边形”．
(1)请写出一个你学过的特殊四边形中是“等对边四边形”的名称；
(2)如图，在 中，点 、 分别在边 、 边上，且满足 ，线段 、
交于点 ，
求证： ．
1．（2023·吉林长春·一模）如图，在 的正方形网格中（每个正方形的边长为1），点A和点B都在
格点上，仅用无刻度的直尺，分别按以下要求作图．(1)图①中，以A、B为顶点作一个平行四边形，要求顶点都在格点上，且其面积为6；
(2)图②中，以A、B为顶点作一个平行四边形，要求顶点都在格点上，且其面积为10；
(3)图③中，以A、B为顶点作一个平行四边形（正方形除外），要求顶点都在格点上，且其面积为13．
2．（23-24八年级下·河北沧州·阶段练习）如图： 的对角线交于点O．
(1)基础训练：
经过点O且与 、 分别相交于E、F．求证：
(2)拓展变式
若将条件改为 经过点O且与 、 的延长线分别相交于E、F，第（1）问的结论是否成立，请按题
意画出图形，标注字母，并给予证明．
(3)观察归纳
的对角线交于点O，直线 是经过点O的任意一条直线，将 的面积分为两部分，设四边
形 的面积为 ，四边形 的面积为 ，则 ______ ．
(4)实践操作
你能否只画一条直线，将下图中两个平行四边形的面积同时平分，若能，请画出这条直线（用虚线画出辅
助线）；若不能，请说明理由．3．（23-24八年级下·内蒙古赤峰·阶段练习）探究：如图1，在 ABCD中，AC，BD交于点O，过点O的
直线交AD于点E，交BC于点F．
(1)求证：四边形AEFB与四边形DEFC的周长相等．
(2)直线EF是否将 ABCD的面积分成二等份？试说明理由．
(3)应用：张大爷家有一块平行四边形菜园，园中有一口水井P，如图2，张大爷计划把菜园平均分成两块，
分别种植西红柿和茄子，且使两块地共用这口水井，请你帮助张大爷把地分开．
【经典例题九 利用平行四边形的判定与性质求解】
【例9】（2025八年级下·全国·专题练习）【追本溯源】题（1）来自于课本中的习题，请你完成解答，提
炼方法并完成题（2）．
(1)如图1， ， 平分 ．求证： ．
【方法应用】
(2)如图2， ， ， 平分 ，交边 于点 ，过点 作 交 的延长线
于点 ．若 ， ，求 的长．1．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在四边形 中， 且 ， ，点
P、Q分别从点A、C同时出发，点P以 的速度由A向D运动，点Q以 的速度由C向B运动．
问几秒后直线 将四边形 截出一个平行四边形．
2．（24-25八年级上·山东济南·期末）如图，在四边形 中， ， ， ， ，
，点E是 的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿 向点D运动；点Q
同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿 向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．
设运动时间为t秒．
(1)线段 ； ； （用含t的代数式表示）；
(2)当t为何值时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形？
3．（2025·浙江衢州·一模）尺规作图是指用无刻度的直尺和圆规作图．已知：在四边形 中，
， ，用尺规作图作 ， 的角平分线．下面是两位同学的对话：
小衢 我会用八年级上册《1.5三角形的全等的判定①》中例2的尺规作图法．
小柯 我想到了新方法：如图所示，以 为圆心， 长为半径画弧，交 于点 ，连
结 ，那么 就是 的角平分线；同理，以 为圆心， 长为半径画弧，交
于点 ，连结 ，那么 就是 的角平分线．依据小柯的“新方法”解答下列问题．
(1)说明 是 的角平分线的理由．
(2)若 ，垂足为O，当 ， 时，求 的长．
【经典例题十 利用平行四边形的性质与判定证明】
【例10】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在平行四边形 中， 、 分别是 、 边上
的点，且 ．
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)连接 ，若 平分 ， ， ， ，求平行四边形 的周长．
1．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在平行四边形 中， 与 相交于点O，延长 至点
E，使 ，连接 ．
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)若 平分 ， ， ，求 的面积．
2．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在 中，E，F是对角线 上的两点，且 ．(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)若 ．求线段 长．
3．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在 的对角线 上依次取点 、 ，且
，作 ，分别交边 、 于点G、H．
(1)求证：四边形 为平行四边形．
(2)若 ， ，求 的度数．
【经典例题十一 平行四边形的性质与判定的应用】
【例11】（2023·吉林白山·一模）下面是李婷同学的自主探究笔记，请认真阅读并补充完整．
【复习】如图①，点 、 分别是 的边 、 的中点．
则 ______， ______；
【探究】如图②，在 和 中， 与 相交于点 ，点 、 、 分别为 、 、 的
中点，连接 交 于点 ，连接 交 于点 ．
求证：（1） ；
（2）当 时， ；
【应用】如图③，线段 、 相交于点 ，连接 、 ，点 、 分别为 、 的中点，连接，若 ， ，则 长为______．
1．（23-24八年级下·山西朔州·期末）阅读与思考
问题情境：
如图1，某小区内有一池塘，同学们想利用所学知识测量池塘两端A，B两点间的距离．
可用工具：测量长度的卷尺、测量角度的测角仪．
方法分析：
“圆周率”小组的操作过程如下：如图2，取能直接到达A和B的点C，量出 的长和 的度数；
作 ；在射线 上找一点D，使 ；测出 的长度，就可得到A，B两点间的距离．
“智慧”小组的操作过程如下：如图3，取能直接到达A和B的点C，连接 ， ；分别取 ，
的中点D，E，测出 的长度，乘以2就可得到A，B两点间的距离．
说明：以上各点都在同一水平面内．
（1）上面操作中，“圆周率”小组通过测量 的长度得到A，B两点间的距离，依据是 ．“智慧”小组
通过测量 的长度乘以2，就可得到A，B两点间的距离，依据是 ．
迁移应用：
（2）请你设计一种与上面方法不同的测量方案，要求：
①在图1中画出可操作的方案图；
②简要说明你的操作步骤；③测量方案中，得到A，B两点间的距离的主要依据是 ．
2．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图是由小正方形组成的 网格，每个小正方形的顶点叫做格点，
图中 ， ， ， 都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．
(1)如图1， 是 上一点，在线段 上找一点 ，使 ；连接 ，作一点 ，使四边形
为平行四边形；
(2)在图2中作 的垂直平分线，分别交 ， 于 ， ；将四边形 沿 翻折，点 的对应
点为点 ，画出翻折后的四边形 ．
3．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）综合实践：“构图法”计算图形面积．
提出问题： 在 中， 的长度分别为． ，求 的面积．素材准备：三
张 的网格纸．
分析问题：如果运用三角形面积公式 （a为底边，h为对应的高）求解，由于三角形的三条边均
为无理数，高h的计算较为复杂．进一步观察发现： ， ，
．若把 放到图1的正方形网格中（每个小正方形的边长为1），且 的三个
顶点恰好都在小正方形的顶点（格点），这样无需求三角形的高，直接借助网格就能计算出 的面积．
种借助网格计算面积的方法我们称为“构图法”．
解决问题：（1）在图1中，已知点A的位置（点A是格点）．请分别画线段： （点
B、C也是格点）． 则可以计算出 的面积为______．
（2）已知以格点M、N、P、Q为顶点的平行四边形的面积为5，在图2中已经作出格点 M、N．
①在图2中作出格点 P、Q的位置（作出一种得可）；
②这样的平行四边形共有______个．
（3）若 的边长分别为： ．求 的面积．
【经典例题十二 平行四边形的存在性问题】
【例12】（23-24八年级下·湖北·单元测试）如图，在平面直角坐标系中， ， ，
．
(1)求A点坐标；
(2)若点D的坐标为 ，将 沿直线 对折后，点D落到第一象限的点E处，求证：四边形
是平行四边形；
(3)在（2）的条件下，在直线 上是否存在点P，使得以P、A、D、B为顶点的四边形是平行四边形？如
果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
1．（23-24八年级下·广东广州·期中）如图，在 中， ， ，动点P从点A出发，
以每秒 的速度沿 的边逆时针匀速运动；动点Q同时从点A出发，以每秒 的速度沿的边顺时针匀速运动；设点P的运动时间为t秒 ．
(1)当点P在 上运动时， ______cm（用含t的代数式表示）；
(2)当 ______秒时，P，Q两点相遇；
(3)是否存在t的值，使得以点A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出t的值；若不
存在，请说明理由．
2．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，在平面直角坐标系中，点 ， ， ．
(1)若动点P从原点O出发，以每秒3个单位长度沿着x轴正方向运动，动点Q从点B 出发，以每秒1个单
位长度向点C运动，当点Q到达点C处时，两点都停止运动．设运动时间为t（秒）．若以A、B、P、Q
四个点为顶点的四边形是平行四边形，求此时t的值；
(2)点M在x轴上，平面内是否存在点N，当以A、C、M、N为顶点的四边形是菱形时，请直接写出所有满
足条件的点N的坐标．
3．（23-24八年级下·广东珠海·期中）如图，在四边形 中， ， ， ，
， ，点P从点A出发，以 的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以
的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t
秒．
(1)当 时，请判定四边形 的形状，并证明．
(2)当 时，求t的值．(3)连接 ，是否存在 为等腰三角形？若存在请求t的值，若不存在，说明理由．
【经典例题十三 平行四边形相关的综合问题】
【例13】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在 中， ， 是 上的点，连接 ， ，
， ，且 ．
(1)求证：四边形 是平行四边形．
(2)若 ， ， ，求 的长．
1．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）已知在 中， ，点 是 的中点，点 是
上一点．
(1)如图1， ， ， 是 的垂直平分线，求 的长；
(2)点 是 上一点，已知 ，连接 ．
①如图2，延长 到点 ，使得 ，连接 ，探索 和 之间的数量关系，并加以证
明；
②如图3，当 ， 时，其他条件不变，求 的长．
2．（2025八年级下·全国·专题练习）【三角形中位线定理】已知：在 中，点 ， 分别是边 ，
的中点．直接写出 和 的关系为 ；【应用】如图，在四边形 中，点 ， 分别是边 ， 的中点，若 ， ， ，
，则 的度数为 度；
【拓展】如图，在四边形 中， 与 相交于点 ，点 ， 分别为 ， 的中点， 分别
交 ， 于点 ， ， ．求证： ．
3．（2025八年级下·全国·专题练习）综合实践课上，老师让同学们开展了 的折纸活动， 是
边上的一动点， 是 边上的一动点，将 沿直线 折叠，使点 落在 边上的点 处，点
的对应点为点 ，连接 ．
(1)【观察发现】如图1，若 ， ， ，求 的长；
(2)【操作探究】如图2，当点 落在 的延长线上时，求证：四边形 为平行四边形．
【经典例题十四 利用三角形中位线求线段长】
【例14】（24-25八年级上·浙江·期末）如图，在 中， ， ，点 在 边上，连
结 ．点 是 的中点，连接 ．若 ，则 的长是（ ）
A．2 B． C． D．1．（24-25八年级上·湖北恩施·期末）如图， 中， 是 的中点， 在 上，且
，则 等于（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）如图，在矩形 中，对角线 、 相交于点 ，点 、 分别是
、 的中点，若 ， ，则 ．
3．（23-24八年级下·广东清远·期末）如图，点O是 内一点，连接 ，并将
的中点D，E，F，H依次连接，得到四边形 ．
(1)求证：四边形 是平行四边形．
(2)如果 ， ， ，求 的长．
【经典例题十五 三角形中位线的实际应用】
【例15】（24-25九年级上·山西临汾·期中）2023年7月28日第31届世界大学生夏季运动会在成都东安湖
体育公园开幕．如图，贝贝想测量东安湖A，B两点间的距离，他在东安湖的一侧选取一点O，分别取的中点M，N，但M，N之间被障碍物遮挡，故无法测量线段 的长，于是贝贝在 延长
线上分别选取P，Q两点，且满足 ，贝贝测得线段 米，则A，B两点间的距离
是（ ）米．
A．120 B．140 C．160 D．180
1．（23-24八年级下·广西南宁·期末）【综合与实践】
如图1， 测出水池A， B两点间的距离（水池有障碍物不能直接测量）．
任务
皮尺
皮尺的功能： 直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮
尺的测量长度，长度单位：m）；
测量
工具
测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点O处，对其视线可及的P， Q两
测角仪
点，可测得 的大小．
小明的测量及求解过程
（1）如图2， 水池外选点 C， 用皮尺测得 ；
测量
过程
（2）分别在 上用皮尺测得 ，测得 ．由测量可知：
∵ ， ，
求解 ∴点M是 的中点， 点N是 的中点，
过程
∴ 是 的______
∵ ，
∴ ______ ．
(1)把小明的求解过程补充完整；
(2)小明测出水池A，B两点间的距离，依据是 ；
(3)请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何量，并利用直角三角形的知识求水池A，B两
点间的距离，请你画出示意图并写出测量及求解过程（要求测量得到的线段长度用字母a，b，c，…表示，
测量次数不超过3次）．
2．（23-24八年级下·山西朔州·期末）阅读与思考
问题情境：
如图1，某小区内有一池塘，同学们想利用所学知识测量池塘两端A，B两点间的距离．
可用工具：测量长度的卷尺、测量角度的测角仪．
方法分析：
“圆周率”小组的操作过程如下：如图2，取能直接到达A和B的点C，量出 的长和 的度数；
作 ；在射线 上找一点D，使 ；测出 的长度，就可得到A，B两点间的距离．
“智慧”小组的操作过程如下：如图3，取能直接到达A和B的点C，连接 ， ；分别取 ，
的中点D，E，测出 的长度，乘以2就可得到A，B两点间的距离．
说明：以上各点都在同一水平面内．（1）上面操作中，“圆周率”小组通过测量 的长度得到A，B两点间的距离，依据是 ．“智慧”小组
通过测量 的长度乘以2，就可得到A，B两点间的距离，依据是 ．
迁移应用：
（2）请你设计一种与上面方法不同的测量方案，要求：
①在图1中画出可操作的方案图；
②简要说明你的操作步骤；
③测量方案中，得到A，B两点间的距离的主要依据是 ．
3．（2024·山东青岛·一模）【问题情境】
图形的分割：就是在保持面积不变的前提下，将一个或几个图形分割成两个或几个图形．图形的拼合：就
是把一个图形通过分割后再重新拼接组合，在保持面积不变的前提下，得到一个新的图形．图形分割与拼
合问题，集趣味性、探索性、实验性于一体．
如图①，任意三角形通过分割后重新拼接，可以拼成平行四边形，方案设计：图形的分割：取 中点 ，
中点 ，连接 ，沿 将 分割成两个图形；图形的拼合：如图所示，将 绕点 旋转
，与四边形 拼接成平行四边形 ．此时， 的面积与 的面积相等．
【探究实践】仿照图示的方法，解答下列问题：
如图②，对直角三角形 ，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与三角形等面积的矩形．请你
写出方案设计．
【拓展应用】如图③，对任意三角形 ，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形等面
积的矩形．请你画出方案设计．【经典例题十六 利用三角形中位线求最值】
【例16】（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，在 中， ， ， 是平
面上一动点，连接 ， ， 是 的中点，连接 ，当 ， 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
1．（24-25九年级上·天津·期末）如图，已知 中， ， ，将直角边 绕A
点逆时针旋转至 ，连接 ，E为 的中点，连接 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，在菱形 中，E，F分别是边 上的动点，连接
，G，H分别为 的中点，连接 ．若 ， ，则 的最小值为 ．3．（2024九年级上·全国·专题练习）如图1，在 中， ， ，点D、E分别在边
， 上， ，连接 ，点M、P、N分别为 ， ， 的中点．
(1)求证： ， ；
(2)把 绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接 ， ， ，判断 的形状，并说明理由；
(3)把 绕点A在平面内自由旋转，若 ， ，请求出 面积的最大值．
【经典例题十七 三角形中位线的新定义问题】
【例17】（23-24八年级下·贵州黔东南·期中）我们给出如下定义：把对角线互相垂直的四边形叫做“对角
线垂直四边形”．如图，在四边形 中， ，四边形 就是“对角线垂直四边形”．
(1)下列四边形，一定是“对角线垂直四边形”的是______；
①平行四边形 ②矩形 ③菱形 ④正方形
(2)如图，在“对角线垂直四边形” 中，点 分别是边 的中点，求证：
四边形 是矩形．
1．（24-25九年级上·福建三明·阶段练习）定义：顺次连结四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．
如图，在四边形 中，顺次连结各边中点E、F、G、H得到的四边形EFGH叫做四边形 的中点
四边形．利用三角形中位线的相关知识解决下列问题：
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)当对角线满足下列条件时，请你探究中点四边形 的形状：(写出结果并证明)当 时， 四
边形 是 ．
2．（23-24八年级下·福建厦门·期中）定义：至少有一组对边相等的凸四边形为等对边四边形．如图，已
知四边形 ，点 是对角线 的中点， 为 的中点，连接 ， 为等边
三角形．
(1)求证：四边形 是“等对边四边形”；
(2)若 ，求 的度数．
3．（24-25八年级下·广东深圳·期末）【综合与实践】折纸是一项有趣的活动，折纸活动也伴随着我们初
中数学的学习．在折纸过程中，我们可以研究图形的运动和性质，也可以在思考问题的过程中，初步建立
几何直观，现在就让我们带着数学的眼光来折纸吧．定义：将纸片折叠，若折叠后的图形恰能拼合成一个
无缝隙、无重叠的长方形，这样的长方形称为完美长方形．
(1)操作发现：如图1，将△ABC纸片按所示折叠成完美长方形 ，若 的面积为12． ，
则此完美长方形 的边长 ，面积为 ．
(2)类比探究：如图2，将 纸片按所示折叠成完美长方形 ，若 的面积为20， ，求完美长方形 的周长．
(3)拓展延伸：如图3，将 纸片按所示折叠成完美长方形 ，若 ，则
长方形 的周长为 ， 的面积为 ．
1．（2025·安徽六安·一模）如图，在平行四边形 中， 的平分线和 的平分线交于 上
一点 ，若 ， ，则 的长为（ ）
A． B． C．5 D．6
2．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）已知四边形 ，从下列条件中：① ；② ；
③ ；④ ；⑤ ；⑥ ，任取两个，可以得出“四边形 是平行四边
形”这一结论的情况有（ ）
A．9种 B．11种 C．13种 D．15种
3．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在四边形 中， ， ， ，
， ，动点 从点 出发，沿射线 以每秒3个单位的速度运动，动点 同时从点 出发，
在线段 上以每秒1个单位的速度向终点 运动，当动点 到达点 时，动点 也同时停止运动．设点
的运动时间为 （秒 ．以点 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形时 值为（ ）秒．
A．2或 B． C． 或 D．
4．（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，在 中， ， ， ． 、 分别
是 、 上的动点，连接 、 ， 、 分别为 、 的中点，则 的最小值是（ ）A．4 B．5 C． D．
5．（2025八年级下·全国·专题练习）如图， 、 分别是 的边 、 上的点， ，
，将四边形 沿 翻折，得到 ， 交 于点 ，则 的高是（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25八年级下·江西南昌·阶段练习）如图，已知平行四边形中 ，E为 的中点，
，F为 的中点， 与 相交于点G，则 的长等于 ．
7．（2025·山东东营·一模）如图，在平行四边形 中， ，点P是 边上的动点，
连接 ，E是 的中点，F是 的中点，则 的最小值是 ．
8．（24-25八年级上·山东淄博·期末）如图， 过平行四边形 对角线的交点O，交 于点M，交
于点N，若平行四边形 的周长为20， ，则四边形 的周长为 ．9．（2025·上海·模拟预测）如图，在平行四边形 中， ， ，点E是 上一点，将四
边形 沿 翻折得到四边形 ，点D正好落在 延长线上的点F处．
（1） 的长为 ；
（2）连接 ，若 ，则 的度数是 °．
10．（24-25八年级上·山东济南·期末）如图，在 中，已知 ，点 在 上以 的速
度从点 向点 运动，点 在 上以 的速度从点 出发在 上往返运动．两点同时出发，当点
第一次返回 点时点 也停止运动，设运动时间为 （ ）．当 时，四边形 是平行
四边形．
11．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，将 沿过点A的直线 折叠，使点D落到边 上的点
处，折痕交边 于点E，连接 ．
(1)证明四边形 是平行四边形；
(2)若 平分 ，求 的度数．12．（24-25九年级下·湖北荆州·阶段练习）如图，已知在 中，E，F是对角线BD上的两点，
，点G，H分别在BA和DC的延长线上，且 ，连接GE，EH，HF，FG．
求证：
(1) ；
(2) ．
13．（24-25八年级下·江西南昌·阶段练习）根据要求作图．
(1)如图1，平行四边形 ，点E，F分别在边 上，且 ，连接 ．请你只用无刻度直
尺画出线段 的中点O．
(2)如图2，平行四边形 ，点E在边 上，请你只用无刻度直尺在边 上找一点F，使得四边形
为平行四边形．（保留画图痕迹，不必说明理由）．
14．（24-25八年级上·山东济南·期末）如图，在四边形 中， ， ， ， ，
，点E是 的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿 向点D运动；点Q
同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿 向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．
设运动时间为t秒．
(1)线段 ； ； （用含t的代数式表示）；
(2)当t为何值时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形？
15．（24-25九年级下·湖南长沙·开学考试）在 中， 相交于点 ，分别过点 作
于点 ， 于点 ，且 ．(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)若 ，求 的长．
