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微专题04 数列的性质、蛛网图、最值问题、恒成立问题、插
项问题、公共项问题、规律问题、奇偶问题
【秒杀总结】
1、数列的周期性，此类问题的解法是由定义求出数列的前几项，然后归纳出周期性.
2、函数与数列的综合问题，解决该问题应该注意的事项：
(1)数列是一类特殊的函数，它的图象是一群孤立的点；
(2)转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很
容易被忽视的问题；
(3)利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限
制条件的转化.
3、证明数列 单调性的方法：根据 与 的关系判断出数列的单调性（当 恒
为正或者负时，可以考虑利用 与 的大小关系判断数列单调性）.
4、当出现与年份有关的数列选择题，题目本身难度比较大的时候，比如，出现 2019、
2020、2021类似这样的数字，我们完全可以通过逐个分析选项，通过选项找规律后判断是
否符合题意，来决定哪个选项正确.比如求 ，可以令 ，将选项中的所有数字
用 来表示，然后通过 来验证哪个选项正确.如果题目问的是 之类的偶
数年份，最好是通过 这样的偶数项来验证.
【典型例题】
例1．（浙江省杭州市第二中学滨江校区2022-2023学年高三上学期期中数学试题）已知数
列 满足 （ ， 为自然对数的底数），且对任意的 都存在
，使得 成立，则数列 的首项 须满足（ ）
A． B． C． D．
例2．（2023•新蔡县月考）数列 满足 ，则数列 的前60项和等
于
A．1830 B．1820 C．1810 D．1800例3．（2023•江苏模拟）若单调递增数列 满足 ，且 ，则
的取值范围是 ．
例4．（广东省实验中学2023届高三考前热身训练数学试题）已知 为数列 的前 项
和， ，平面内三个不共线的向量 ， ， ，满足
， ， ，若 ， ， 在同一直线上，则
___________.
例5．（江苏省苏州市吴中区木渎高级中学2022-2023学年高三上学期期中数学试题）数列
中， ，且 ，记数列 的前n项和为 ，若
对任意的 恒成立，则实数 的最大值为__________.
例6．（江西省临川二中、临川二中实验学校2023届高三第二次模拟考试数学试题）已知
数列 的前 项和为 ，若对一切正整数 ，不等式
恒成立，则满足条件的最小整数 为______.【过关测试】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）设数列 的通项公式为
，其前 项和为 ，则 （ ）
A． B． C．180 D．240
2．（2023·山东潍坊·高三统考期末）已知定义在 上的函数 满足 ，对 ，
，有 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全国·高三专题练习）设数列 的前 项和为 ，且
.若对任意的正整数 ，都有 成
立，则满足等式 的所有正整数 为（ ）
A．1或3 B．2或3 C．1或4 D．2或4
4．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考模拟预测）已知数列 、 ， ，
， 其中 为不大于x的最大整数.若 ， ， ，有
且仅有4个不同的 ，使得 ，则m一共有（ ）个不同的取值.
A．120 B．126 C．210 D．252
5．（2023·北京朝阳·高三统考期末）在数列 中， ，若存在
常数c，对任意的 ，都有 成立，则正数k的最大值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·湖南长沙·统考一模）裴波那契数列 ，因数学家莱昂纳多·裴波那契以兔子
繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，该数列 满足 ，且
．卢卡斯数列 是以数学家爱德华·卢卡斯命名，与裴波那契数列
联系紧密，即 ，且 ，则 （ ）
A． B．
C． D．7．（2023·全国·高三专题练习）已知 是数列 的前 项和，且 ，
（ ），则下列结论正确的是（ ）
A．数列 为等比数列 B．数列 为等比数列
C． D．
8．（2023·山西太原·高三统考期末）如表所示的数阵称为“森德拉姆素数筛”，表中每行
每列的数都成等差数列，设 表示该数阵中第m行、第n列的数，则下列说法正确的
是（ ）
2 3 4 5 6 7 …
1
3 5 7 9 11 …
2
1 1
4 7 10 16 …
3 9
1 2
5 9 13 21 …
7 5
2 3
6 11 1 26 …
1 1
1 2 3
7 19 31 …
3 5 7
… … … … … … …
A． B．
C． D．
9．（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考期末）已知等差数列 的前 项和为 ，
向量 ， ， ，且 ，则
用 表示 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
二、多选题10．（2023·湖北·校联考模拟预测）数列 各项均为正数，其前n项和 ，且满足
，下列四个结论中正确的是（ ）
A． 为等比数列 B． 为递减数列
C． 中存在大于3的项 D． 中存在小于 的项
11．（2023·全国·高三专题练习）若数列 满足 ，
则称数列 为“差半递增”数列，则（ ）
A．正项递增数列均为“差半递增”数列
B．若数列 的通项公式为 ，则数列 为“差半递增”数列
C．若数列 为公差大于0的等差数列，则数列 为“差半递增”数列
D．若数列 为“差半递增”数列，其前 项和为 ，且满足 ，则实数
的取值范围为
12．（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考期末）以下为自然数从小到大依次排成的
数阵：
1
2 3
4 5 6 7
8 9 10 11 12 13 14 15
第n行有 个数，则（ ）A．该数阵第n行第一个数为
B．该数阵第n行最后一个数为
C．该数阵前n行共有 个数
D．该数阵前n行所有数的和为
13．（2023·山东德州·高三统考期末）已知数列 的前 项和为 ，且 ，
则（ ）
A． B．C．数列 为等差数列 D． 为奇数时，
14．（2023·湖南株洲·高三校联考期末）已知数列 满足 ，
数列 前 项和为 ，则下列叙述正确的有（ ）
A． B．
C． D．
15．（2023春·浙江·高三校联考开学考试）已知数列 满足 ，且 ，
是数列 的前 项和，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
16．（2023·山西太原·高三统考阶段练习）高斯是德国著名的数学家，有“数学王子”之
称，以其名字命名的成果有110个.设 ，用 表示不超过 的最大整数，则 称
为高斯函数，若用 表示 的非负纯小数，如 ，已知数列 满足
，则 __________.
17．（2023春·江苏南通·高三校考开学考试）“0，1数列”是每一项均为0或1的数列，
在通信技术中应用广泛.设 是一个“0，1数列”，定义数列 ：数列 中每个0都变
为“1，0，1”， 中每个1都变为“0，1，0”，所得到的新数列.例如数列 ：1，0，则数
列 ：0，1，0，1，0，1.已知数列 ：1，0，1，0，1，记数列 ， ，
2，3，…，则数列 的所有项之和为______.
18．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ，其首项 ，若
数列 是单调递增数列，则实数 的取值范围是______.
19．（2023·全国·高三对口高考）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿
纸的某条对称轴把纸对折，规格为 的长方形纸，对折1次共可以得到
， 两种规格的图形，它们的面积之和 ，对折2次共可
以得到 ， ， 三种规格的图形，它们的面积之和
，以此类推，对折 次，那么 ________ ．20．（2023·上海·高三专题练习）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．
为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件
的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，
8，16，…，其中第一项是 ，接下来的两项是 ， ，再接下来的三项是 ， ， ，
依此类推．求满足如下条件的最小整数N： 且该数列的前N项和为2的整数幂．那
么该款软件的激活码是______．
21．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ，且对于任意的
，都有 恒成立，则实数 的取值范围______________．
22．（2023春·河南开封·高三统考开学考试）现取长度为2的线段 的中点 ，以
为直径作半圆，该半圆的面积为 （图1），再取线段 的中点 ，以 为
直径作半圆．所有半圆的面积之和为 （图2），再取线段 的中点 ，以 为
直径作半圆，所有半圆的面积之和为 ，以此类推，则 ______．
23．（2023·山东日照·高三校联考期末）设正项等比数列 的公比为 ，首项
，关于 的方程 有两个不相等的实根 ，且存在唯一的
，使得 ．则公比 的取值范围为______．
24．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ，
， 是递增数列， 是递减数列，则 __________．
