文档内容
专题03 勾股定理的应用重难点题型专训（11大题型+15道拓展培优）
【题型目录】
题型一 梯子滑落问题
题型二 旗杆高度问题
题型三 求小鸟飞行距离问题
题型四 求大树折断前的高度
题型五 解决水杯中筷子问题
题型六 航海问题
题型七 求河宽
题型八 求台阶上地毯长度
题型九 判断是否受台风影响
题型十 选址使到两地距离相等
题型十一 最短路径问题
【知识梳理】
知识点1：勾股定理应用
勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角
三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思
考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．
知识点2 ：平面展开图-最短路径问题
几何体中最短路径基本模型如下：基本思路：将立体图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短确定最短路线，构造直角
三角形，利用勾股定理求解
【经典例题一 梯子滑落问题】
【例1】（2023上·山东菏泽·八年级校考阶段练习）如图，一根长为25m的梯子 斜靠在垂直于地面的墙
上，这时梯子的底端B离墙根E的距离为 ，如果梯子的底端向外（远离墙根方向）移动 至D处则梯
子的顶端将沿墙向下移动的距离 为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】可得 ， ， ，由 ， ，即可求
解．
【详解】解：由题意得
， ， ，
，
在 中
，在 中
，
（ ），
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握解法是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023下·河南信阳·八年级校联考阶段练习）某数学兴趣小组开展了关于笔记本电脑的张角大小的实践
探究活动．如图，当张角为 时，顶部边缘B处离桌面的高度 为7cm，此时底部边缘A处与C处
间的距离 为24cm，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为 时（点D是点B的对
应点），顶部边缘D处到桌面的距离 为15cm，则底部边缘A处与E之间的距离 为
（ ）
A．20cm B．18cm C．12cm D．10cm
【答案】A
【分析】勾股定理解 得出 ，勾股定理解 即可求解．
【详解】解：依题意， ，
在 中， ，
∵ ， ，
在 中， ，
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．
2．（2023上·浙江杭州·八年级统考期中）如图，一根长度为 的木棒 斜靠在直角墙上，棌低端到墙的距离 为 ，如果木棒顶端 沿墙下滑 至 ，那么木棒低端 将向外滑动 ．
【答案】80
【分析】本题考查了勾股定理的应用．根据勾股定理求出 的长即可得出 的长，再根据勾股定理求
出 的长即可得出 的长，即可得出结果．
【详解】解：由勾股定理得， ，
，
，
，
木棒低端 将向外滑动 ，
故答案为：80．
4．（2023上·江苏徐州·八年级统考期中）如图，一架梯子 长 米，斜靠在墙上（墙与地面垂直），梯
子底端至墙的距离 为 米．
(1)这个梯子的顶端 距地面有多高？
(2)如果梯子的顶端下滑了 米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
(3)若梯子 的中点为 ，梯子在下滑的过程中， 的长是否发生变化，如变化说明变化规律，如果不
变直接写出 的长度．
【答案】(1) 米(2) 米
(3)不变， 米
【分析】本题考查了勾股定理的应用，直角三角形斜边上的中线的性质；
（1）直接由勾股定理即可求解；
（2）由勾股定理求出 的长即可得出结果；
（3）根据 始终是以斜边长为 米的直角三角形的斜边上的中线可得出结论．
【详解】（1）解：根据勾股定理可得 米；
（2）解： 米，
在 中， 米，
∴ 米，
∴梯子的底端在水平方向滑动了 米；
（3）不变，
∵ 始终是以斜边长为 米的直角三角形的斜边上的中线，
∴ 的长为定值， 米．
【经典例题二 旗杆高度问题】
【例2】（2023上·山东威海·七年级统考期中）数学兴趣小组的同学要测量与地面垂直的旗杆高度．如图，
已知系在旗杆顶端A的绳子紧贴旗杆垂到地面后，在地面上多出1米，将绳子拉直后测出绳子的末端与地
面的重合点C到旗杆底部B的水平距离为5米，则旗杆的高度为（ ）
A．5米 B．12米 C．13米 D．17米
【答案】B
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用．设旗杆 的长为 ，根据 ， ， ，运用勾股定理得到 ，解方程即得．
【详解】解：设旗杆 的长为 ．
根据题意，得 ， ， ．
在 中，
．
∴ ．
解方程，得 ．
答：旗杆 的长为12米．
故选：B．
【变式训练】
1．（2023上·广东佛山·八年级校考期中）学过《勾股定理》后，老师和“几何小分队”的队员们到操场上
测量旗杆 高度，得到如下信息：
①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长2米（如图）
②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离 为1米，到旗杆的距离 为9米（如图2）．
根据以上信息，则旗杆 的高度为（ ）
A．10米 B．13米 C．15米 D．17米
【答案】B
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，设旗杆 的高度为x米，则绳子的长为 米，然后
表示出 ，利用勾股定理建立方程 ，解方程即可得到答案．【详解】解：设旗杆 的高度为x米，则绳子的长为 米，
由题意得， ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
解得 ，
∴旗杆 的高度为13米，
故选B．
2．（2024上·山西太原·八年级校考阶段练习）如图，小华将升旗的绳子拉紧到旗杆底端点B，绳子末端刚
好接触到地面，然后拉紧绳子使其末端到点D处，点D到地面的距离 长为 ，点D到旗杆 的水平
距离为 ，若设旗杆的高度 长为 ，则根据题意所列的方程是 ．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，作 ，根据 即可列出方程．
【详解】解：作 ，如图所示：
，
∵
∴故答案为：
3．（2024上·山东烟台·七年级统考期末）如图是某俱乐部新打造的—款儿童游戏项目，工作人员告诉小明，
该项目 段和 段均由不锈钢管材打造，总长度为26米，长方形 和长方形 均为木质平台
的横截面，点G在 上，点C在 上，点D在 上，经过现场测量得知 米， 米．
(1)小明猜想立柱 的长为10米，请判断小明的猜想是否正确？如果正确，写出理由；如果错误，请求出
立柱 的正确长度；
(2)为加强游戏的安全性，俱乐部打算再焊接一段钢索 ，经测量 米，请你求出要焊接的钢索 的
长的平方．
【答案】(1)错误，9米
(2)388
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理、求出 的长是解题的关键．
（1）先根据题意推出 ，在 中，利用勾股定理列方程，求出 ，结合
即可得出结论；
（2）由题意得 米，则 米，在 中，由勾股定理求出 的长即可．
【详解】（1）解：解：小明的猜想是不正确的；理由如下：
由题意可知： ， ， ，
，
在 中，由勾股定理得： ，
即 ，
解得： ，
，
小明的猜想不正确，立柱 的正确长度为10米；
（2）解：由题意可知： ，
∴ ，在 中，由勾股定理得：
即：
所以焊接的钢索 的长的平方为388
【经典例题三 求小鸟飞行距离问题】
【例3】（2024上·湖南张家界·九年级统考期末）如图，一段与水平面成30°角的斜坡上有两棵树，两棵树
水平距离为 ，树的高度都是4m．一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞 ．
( )
A． B．8 C．11 D．12
【答案】D
【分析】本题主要考查含 角的直角三角形的性质，理解题意，掌握含 角的直角三角形的性质是解题
的关键．
【详解】解：根据题意， ， ， ，
∴ ， ，
∴ m，
∴ m，
∴小鸟至少要飞 ，
故选： ．
【变式训练】1．（2023下·山西阳泉·八年级校联考期中）如图，有一只喜鹊在一棵 高的小树 上觅食，它的巢筑
在与该树水平距离（ ）为 的一棵 高的大树 上，喜鹊的巢位于树顶下方 的 处，当它听到
巢中幼鸟的叫声，立即飞过去，如果它飞行的速度为 ，那么它要飞回巢中所需的时间至少是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过 作 于 ，如图所示，由勾股定理求出最短路径长即可得到答案．
【详解】解：过 作 于 ，如图所示：
由题意可知， ，
根据两点之间线段最短，则它要飞回巢中所飞的最短路径为 ，由勾股定理可得
，
它要飞回巢中所需的时间至少是 （ ），
故选：C．
【点睛】本题考查勾股定理解实际问题，读懂题意，作出图形，数形结合求出最短路径长度是解决问题的
关键．
2．（2024上·黑龙江绥化·八年级统考期末）有一只鸟在一棵高 米的小树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树
米，高 米的一棵大树的树梢上发出友好的叫声，它立刻以 米 秒的速度飞向大树树梢，那么这只鸟
至少 秒才能到达大树和伙伴在一起．
【答案】
【分析】此题主要是勾股定理的运用．解题时应注意：时间 路程 速度．根据题意画出图形，只需求得
的长．根据已知条件，得 ， ，再根据勾股定理就可求解．【详解】解：如图所示，根据题意，得
， ．
根据勾股定理，得 ．
则小鸟所用的时间是 ．
故答案为： ．
3．（2022上·陕西汉中·八年级统考期末）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．
【知识运用】
(1)如图，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），
， ，垂足分别为A、B， 千米， 千米，则两个村庄的距离为 米．
(2)在（1）的背景下，若 千米， 千米， 千米，现要在 上建造一个供应站P，使
得 ，请用尺规作图在图中作出P点的位置并求出 的距离．
(3)【知识迁移】借助上面的思考过程与几何模型，则代数式 （其中 ）最小
值为 ．
【答案】(1) ；
(2)P点的位置见解析， 的距离为16千米；
(3)15．
【分析】（1）连接 ，作 于点E，根据 ， 得到 ， ，由平
行线间的距离处处相等可得 千米， 千米，求出 ，然后利用勾股定理求得CD两地之间的距离；
（2）连接 ，作 的垂直平分线交 于P，根据线段垂直平分线的性质可得 ，点P即为所求；
设 千米，则 千米，分别在 和 中，利用勾股定理表示出 和 ，
然后根据 建立方程，解方程即可；
（3）如图3， ， ， ， ， ，设 ，
则 ，然后根据轴对称求最短路线的方法求解即可．
【详解】（1）解：如图1，连接 ，作 于点E，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ 千米， 千米，
∴ 千米，
∴ （千米），
即两个村庄的距离为 千米，
故答案为： ；
（2）解：如图2，连接 ，作 的垂直平分线交 于P，点P即为所求，
设 千米，则 千米，
在 中， ，
在 中， ，∵ ，
∴ ，
解得 ，
即 的距离为16千米；
（3）解：如图3， ， ， ， ， ，设 ，
则 ，
作点C关于 的对称点F，连接 ，过点F作 于E，
则 是 的最小值，即代数式 的最小值，
∵ ， ， ，
∴代数式 最小值为： ，
故答案为：15．
【点睛】此题考查了勾股定理的应用，线段垂直平分线的性质，轴对称—最短路线问题等知识，（3）中
构造出 是解本题的难点．
【经典例题四 求大树折断前的高度】
【例4】（2023上·贵州贵阳·八年级贵阳市第十七中学校考期中）我国秦汉时期，数学成就十分显著．当
时流传这样一个数学题：今有竹高十二尺，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？它的意思是：一根竹子
原本高12尺，从某处折断，竹梢触地处离竹根3尺，试问折断处距离地面（ ）尺A．4.55 B．5.625 C．4 D．6.375
【答案】B
【分析】本题考查古代数学问题，涉及勾股定理的应用，读懂题意，构造直角三角形，根据勾股定理列出
方程求解即可，理解古代数学问题的题意，构造直角三角形灵活运用勾股定理求解是解决问题的关键．
【详解】解：如图所示：
在 中， ， ，设 ，则 ，
由勾股定理知 ，
∴ ，
解得： ，
故选：B．
【变式训练】
1．（2023下·广东云浮·八年级统考期中）海洋热浪对全球生态带来了严重影响，全球变暖导致华南地区汛
期更长、降水强度更大，使得登录广东的台风减少，但是北上的台风增多．如图，一棵大树在一次强台风
中距地面 处折断，倒下后树顶端着地点A距树底端B的距离为 ，这棵大树在折断前的高度为
（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【分析】如图，勾股定理求出 的长，利用 求解即可．
【详解】解：如图，由题意，得： ， ，
∴ ，
∴这棵大树在折断前的高度为 ；
故选C．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
2．（2024上·四川乐山·八年级统考期末）《九章算术》中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高九尺，末
折抵地，去本三尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高9尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为3尺，
问折处高几尺？即：如图， 尺， 尺，则 尺．
【答案】4
【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是掌握直角三角形两直角边平方和等于斜边平方．
设 尺，则 尺，根据勾股定理可得： ，列出方程求解即可．
【详解】解：设 尺，则 尺，
根据勾股定理可得： ，
即 ，
解得： ，
∴ 尺，
故答案为：4．
3．（2023上·河北保定·八年级校考期中）如图，一根直立的旗杆高 ，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A的距离为 ．
(1)求旗杆在距地面多高处折断（即求 的长度）．
(2)工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方 的点D处，有一条明显的裂痕，将旗杆C处修复后，
若下次大风将旗杆从点D处吹断，则距离旗杆底部 米处是否有被砸伤的风险？
【答案】(1)
(2)有危险，见解析
【分析】本题考查了勾股定理的应用，
（1）根据题意， ，结合 ，代入计算即可．
（2）根据 ， ，得到 ，求得 ，根据勾股定理求出 的长，比较后判断
即可．
【详解】（1）根据题意， ， ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
故 的长度为3米．
（2）根据(1)得 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，且 ，
∴ ，
故有危险．
【经典例题五 解决水杯中筷子问题】
【例5】（2023上·山东青岛·八年级校考期中）《九章算术》是古代东方数学代表作，汇集了我国历代学
者的劳动和智慧，被誉为人类科学史上应用数学的“算经之首”．其中记录了这样一个问题，如图，这个
问题的大意是：有一个水池，水面是一边长为 尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面 尺．
如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面．则这根芦苇的长度为( )
A．10尺 B．12尺 C．13尺 D．14尺
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理的应用，设这根芦苇的长度为 尺，在 中，由勾股定理得出方程求
解即可得出结果．
【详解】解：设这根芦苇的长度为 尺，
由题意知， 尺， 尺， 尺，
在 中，由勾股定理得，
，
即 ，
解得 ，
这根芦苇的长度为 尺，故选：C．
【变式训练】
1．（2023上·河南郑州·八年级统考期中）如图，是一种筷子的收纳盒，长、宽、高分别为 ， ，
，现有一把长为 的筷子插入到收纳盒的底部，则筷子露在盒外的部分 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理的运用，首先要考虑吸管放进杯里垂直于底面时露在杯口外的最长长度；最
短时与底面对角线和高正好组成直角三角形，用勾股定理解答，进而求出露在杯口外的最短长度．解答此
题的关键是要找出露在杯外面吸管最长和最短时，吸管在杯中所处的位置．
【详解】解：当吸管放进杯里垂直于底面时露在杯口外的长度最长，最长为 ；
当露出部分最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形，
底面对角线长 ，高为 ，
由勾股定理可得：杯里面管长 ，
则露在杯口外的长度最短为 ，
．
故选：C．
2．（2023上·浙江·八年级专题练习）葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．
（1丈=10尺）大意是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高
出水面1尺.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度与这根芦苇的
长度分别是多少？将这个实际问题转化为数学问题，根据题意画出图形（如图所示），其中水面宽
尺，线段 ， 表示芦苇， 于点E．图中 尺；水的深度是 尺；这根
芦苇的长度是 尺．【答案】 1 12 13
【分析】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是善于观察题目的信息，找到解题需要的 ，设水
深为x尺，表示斜边的长，根据勾股定理计算即可．
【详解】解：由题意可得： 尺，
设水深为x尺，芦苇 尺， 尺
中，由勾股定理： ，
解得： ，
所以 ，
答：水深12尺，芦苇的长度是13尺．
故答案为：1，12，13．
3．（2023上·广东深圳·八年级南山实验教育麒麟中学校考开学考试）如图，一个无盖长方体小杯子放置在
桌面上， ， ；
(1)一只蚂蚁从A点出发，沿小杯子外表面爬到D点，求蚂蚁怎样走最短，最短路程是多少？
(2)为了怕杯子落入灰尘又方便使用，现在需要给杯子盖上盖子，并把一双筷子放进杯子里，请问，筷子的
最大长度是多少？
【答案】(1)最短路程是20cm
(2)筷子的最大长度是 cm
【分析】（1）利用勾股定理求解即可；
（2）求得长方体盒子的体对角线即可求解。【详解】（1）解：如图1所示：
图1
由题意得： ， ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得 ；
∴最短路程是20cm；
（2）将筷子斜着放，
∵ ， ，
∴
∴ ，
即筷子的最大长度是 cm．
【点睛】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，灵活利用勾股定理进行求解。
【经典例题六 航海问题】
【例6】（2023上·辽宁沈阳·九年级统考期末）如图，岛P位于岛Q的正西方，P、Q两岛间的距离为海里，由岛P、Q分别测得船R位于南偏东 和南偏西 方向上，则船R到岛P的距离为
（ ）
A． 海里 B． 海里 C． 海里 D．80海里
【答案】D
【分析】本题考查方向角、含 的直角三角形和等腰直角三角形性质，本题通过作 于点 ，构
造直角三角形，利用勾股定理解得此题．
【详解】解：作 于点 ，如图所示．
，
，
，
，
，
，
．
设 ，则 ， ， ，
，
，
，解得 ，则 ．故选：D．
【变式训练】
1．（2023上·山西太原·九年级山西实验中学校考阶段练习）如图，东西方向上有 两地相距10千米，
甲以16千米/时的速度从 地出发向正东方向前进，乙以12千米/时的速度从 地出发向正南方向前进，甲、
乙两人相距6千米时，最短用时是（ ）
A． 小时 B． 小时 C． 小时 D． 小时
【答案】A
【分析】根据题意表示出 ， 的长，进而利用勾股定理求出答案
【详解】解：设最快经过x小时，甲、乙两人相距6千米，根据题意可得：
千米， 千米，
∵ ，
则 ，
解得： ．
即最短用时0.4小时，甲、乙两人相距6千米．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，利用勾股定理列出方程是解题的关键．
2．（2023上·辽宁沈阳·八年级校联考阶段练习）如图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号、
“海天”号轮船同时离开港口，“远航”号以每小时12 n mile的速度沿北偏东 方向航行，“海天”号
以每小时16 n mile的速度沿北偏西 方向航行．2小时后，“远航”号、“海天”号分别位于M，N处，
则此时“远航”号与“海天”号的距离为 n mile．【答案】40
【分析】根据题意可得： 海里， 海里， ，从而可得
，然后在 中，利用勾股定理进行计算即可解答．
【详解】解：如图：
由题意得： 海里， 海里， ，
，
在 中，
，
∴此时“远航”号与“海天”号的距离为40n mile,
故答案为：40．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键．
3．（2023上·陕西宝鸡·八年级统考期中）如图，我军巡逻艇正在 处巡逻，突然发现在南偏东 方向距
离 海里的 处有一艘走私船，以 海里 小时的速度沿南偏西 方向行驶，我军巡逻艇立刻沿直线追
赶，半小时后在点 处将其追上．求我军巡逻艇的航行速度是多少？【答案】我军巡逻艇的航行速度是 海里 小时
【分析】本题考查了勾股定理的应用；根据方向角的定义得到 ，得出
，在 中，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：如图所示，由题意得，
，
，
，
，
巡逻艇沿直线追赶，半小时后在点 处追上走私船，
海里，
在 中， ， 海里， 海里，
海里，
我军巡逻艇的航行速度是 海里 小时．
答：我军巡逻艇的航行速度是 海里 小时．
【经典例题七 求河宽】
【例7】（2021下·重庆梁平·八年级统考期末）如图所示，公路 ， 互相垂直，点 为公路 的中
点，为测量湖泊两侧 、 两点间的距离，工人师傅测得 ， ，则 ， 两点间的距离
为（ ） ．A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质得出CM= AB，再求出答案即可．
【详解】∵公路AC，BC互相垂直，
∴∠ACB=90°，
∵M为AB的中点，
∴CM= AB，
∵AC=3km，BC=4km，∠ACB=90°，
∴AB=5km，
∴CM=2.5（km），
即M，C两点间的距离为2.5km，
故选：A．
【点睛】考查了勾股定理的应用，解题关键是掌握直角三角形斜边上的中线的性质掌：直角三角形斜边上
的中线等于斜边的一半．
【变式训练】
1．（2021上·山西长治·八年级统考期末）如图，原来从A村到B村，需要沿路A→C→B（ ）绕
过两地间的一片湖，在A， B间建好桥后，就可直接从A村到B村．已知 ， ，那么，
建好桥后从 A村到B村比原来减少的路程为（ ）A．2km B．4km C．10 km D．14 km
【答案】B
【分析】直接利用勾股定理得出 的长，进而得出答案．
【详解】解：由题意可得：
则打通隧道后从A村到B村比原来减少的路程为： （km）．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出 的长是解题关键．
2．（2024下·全国·七年级假期作业）《九章算术》是古代数学著作，书中记载：“今有开门去阃（读
kǔn，门槛）一尺，不合二寸，问：门广几何？”题目大意是如图①、图②（图②为图①的俯视示意图），
今推开双门，门框上点 和点 到门槛 的距离 为1尺（1尺 寸），双门间的缝隙 为2寸，
则门宽 的长是 寸．
【答案】101
3．（2024上·陕西西安·八年级校考开学考试）如图，明明在距离河面高度为 的岸边C处，用长为
的绳子拉点B处的船靠岸，若明明收绳 后，船到达D处，则船向岸A移动了多少米？
【答案】向岸A移动了9米
【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意得到 ，分别根据勾股定理求出 ，
，即可求出 ．
【详解】解：由题意得 ，
在 中， ，在 中， ，
∴ ．
答：船向岸A移动了9米．
【经典例题八 求台阶上地毯长度】
【例8】（2020·福建莆田·福建省莆田市中山中学校考二模）如图，一个底面圆周长为 ，高为 的圆
柱体，一只蚂蚁沿侧表面从点 到点 所经过的最短路线长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将圆柱的侧面展开，得到一个长方形，再利用两点之间线段最短解答．
【详解】解：将圆柱体的侧面展开，连接AB．如图所示：
由于圆柱体的底面周长为24m，
则AD=24× =12（m）．
又因为AC=5m，
所以AB= =13（m）．
即蚂蚁沿侧表面从点A到点B所经过的最短路线长为13m．
故选：C．
【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，解决此类问题，一般方法是先根据题意把立体图形展开成平
面图形，再确定两点之间的最短路径．通常情况是根据两点之间，线段最短的性质．本题将圆柱的侧面展
开，构造出直角三角形是解题的关键．【变式训练】
1．（2021下·安徽安庆·八年级统考期末）如图是楼梯的一部分，若 ， ， ，一只蚂蚁
在A处发现C处有一块糖，则这只蚂蚁吃到糖所走的最短路程为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】D
【分析】此类题目只需要将其展开便可直观的得出解题思路．将台阶展开得到的是一个矩形，蚂蚁要从A
点到C点的最短距离，便是矩形的对角线，利用勾股定理即可解出答案．
【详解】解：将台阶展开，如图，
因为DC=AE+BE=3+1=4，AD=2，
所以AC2=DC2+AD2=20，
所以AC= ，
故选：D．
【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，用到台阶的平面展开图，根据题意判断出长方形的长和宽是
解题的关键．
2．（2023下·安徽宣城·八年级校考期中）为庆祝“党的二十大”胜利召开，市活动中心组建合唱团进行合
唱表演，欲在如图所示的阶梯形站台上铺设红色地毯，已知这种地毯每平方米售价为30元，站台宽为 ，
则购买这种地毯至少需要 元．【答案】2100
【分析】利用勾股定理求出水平的直角边长，然后求出需要地毯的总长度，进而可得需要地毯的总面积，
然后可得答案．
【详解】解：由勾股定理得，水平的直角边 ，
所以地毯水平部分的和是水平边的长，竖直部分的和是竖直边的长，
所以需要地毯的总长度为 ，
所以需要地毯的总面积为 ，
所以购买这种地毯至少需要 元，
故答案为：2100．
【点睛】本题考查了勾股定理，平移的应用，解题的关键是结合图形分析得出地毯水平部分的和是水平边
的长，竖直部分的和是竖直边的长．
3．（2022下·广西百色·八年级统考期中）如图所示是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别等于
7cm、6cm、2cm，A和B是这两个台阶的两个相对的端点，则一只蚂蚁从点A出发经过台阶爬到点B的最
短路线有多长？
【答案】25cm
【分析】展开后得到直角三角形ACB，根据题意求出AC、BC，根据勾股定理求出AB即可．
【详解】解：如图，将台阶展开，由题意得；AC＝6×3+2×3＝24，BC＝7，．
所以由勾股定理得：AB2＝AC2+BC2＝625，
即AB＝25（cm），
答：蚂蚁爬行的最短线路为25cm．
【点睛】本题主要考查对勾股定理，平面展开——最短路径问题等知识点的理解和掌握，能理解题意知道
是求出直角三角形ABC的斜边AB的长是解此题的关键．
【经典例题九 判断是否受台风影响】
【例9】（2022上·江西九江·八年级统考期中）如图，铁路 和公路 在点 处交会，公路 上点
距离点 是 ，与 这条铁路的距离是 ．如果火车行驶时，周围 以内会受到噪音的影响，
那么火车在铁路 上沿 方向以 的速度行驶时，点 处受噪音影响的时间是（ ）
A．15秒 B．13.5秒 C．12.5秒 D．10秒
【答案】A
【分析】过点A作 ，设在点B处开始受噪音影响，在点D处开始不受噪音影响，则
， ，根据勾股定理求出求出 的长，进而得到 的长，即可得出居民楼受噪
音影响的时间．
【详解】解：如图：过点A作 ，设在点B处开始受噪音影响，在点D处开始不受噪音影响，则
， ，∵公路 上点 距离点 是 ，与 这条铁路的距离是 ，
∴ ，
∵ ，
∴由勾股定理得： ， ，
∴ ，
∵ ，
∴A处受噪音影响的时间为： ．
故选：A
【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，根据题意构建直角三角形是解题的关键．
【变式训练】
1．（2020下·湖北武汉·八年级校考阶段练习）M 城气象中心测得台风中心在 M 城正北方向 240km 的 P
处，以每小时 45km 的速度向南偏东 30°的 PB 方向移动，距台风中心 150km 的范围内是受台风影响的
区域，则 M 城 受台风影响的时间为（ ）小时．
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【分析】如图，过点M作ME⊥PB，在BP上取点F，H，设MF=MH=150km，求出FH，然后利用时间=路
程÷速度，计算即可解决问题．
【详解】解：如图，过点M作ME⊥PB，在BP上取点F，H，设MF=MH=150km在Rt△PME中，∵∠MEP=90°，PM=240km，∠MPB=30°，
∴ME= PM=120km，
∴EF=EH= =90（km），
∴FH=180km，
∴受台风影响的时间有180÷45=4（小时）．
故选：A
【点睛】本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线根据直
角三角形解决问题，属于中考常考题型．
2．（2023上·吉林长春·八年级校考期末）．如图，有一台救火飞机沿东西方向 ，由点A飞向点B，已
知点C为其中一个着火点，已知 ， ， ，飞机中心周围 以内可以受
到洒水影响，若该飞机的速度为 ，则着火点C受到洒水影响 秒．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，等腰三角形的性质，过点C作 ，垂足
为D，勾股定理的逆定理证明是直角三角形，进而等面积法求得 长度，以点C为圆心， 为半径作
圆，交 于点E、F，勾股定理求得 ，进而求得 的长，根据飞机的速度 求得到飞行时间即可
解决问题．
【详解】过点C作 ，垂足为D，
∵ ， ， ，且
∴ ，
∵ ，
∴以点C为圆心， 为半径作圆，交 于点E、F，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴着火点C受到洒水影响时间为 ．
3．（2023上·四川成都·八年级校考阶段练习）2023年7月五号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受
到严重影响．据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径 （即以台风中心为圆心，
为半径的圆形区域都会受台风影响）．如图，线段 是台风中心从C市移动到B市的大致路线，
A是某个大型农场，且 ．若A，C之间相距 ，A，B之间相距 ．
(1)判断农场A是否会受到台风的影响，请说明理由；
(2)若台风中心的移动速度为 ，则台风影响该农场持续时间有多长？
【答案】(1)农场A会受到台风的影响；理由见解析．
(2)7小时．
【分析】本题考查勾股定理，三角形的面积，关键是由以上知识点求出AH的长，求出台风从开始影响农
场，到结束影响农场，所移动的距离．
（1）过A作 于H，由勾股定理得 ，由三角形面积公式得到 ，由
，判断农场A会受到台风的影响；（2）台风从点M开始影响该农场，到点N以后结束影响，连接 ， ，得到 ，由
勾股定理求出 ，得到 ，即可求出台风响该农场持续时间．
【详解】（1）解：农场A会受到台风的影响，理由如下：
过A作 于H，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 的面积
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴农场A会受到台风的影响；
（2）如图，台风从点M开始影响该农场，到点N以后结束影响，连接 ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
由勾股定理得 ，
∴ ，
∵台风中心的移动速度为 ，
∴台风影响该农场持续时间是 （小时）．【经典例题十 选址使到两地距离相等】
【例10】（2022上·陕西·八年级交大附中分校校考期末）如图，城南大道 的同一侧有A、B两个社区，
于C， 于D，C、D两点相距 ，已知 ．现要在CD上建一个社区
服务站E，使得A、B两社区到E站的距离相等，则 的长是（ ） ．
A．2 B．3.3 C．2.5 D．2.8
【答案】B
【分析】设 ，则 ，再根据勾股定理分别可得 ，然后根据 建立
方程，解方程即可得．
【详解】解：由题意，设 ，则 ，
，
，
、 两社区到 站的距离相等，
，
，即 ，
解得 ，
即 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用、一元一次方程的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．
【变式训练】
1．（2020上·陕西西安·八年级校考阶段练习）如图，高速公路上有 、 两点相距 ， 、 为两村
庄，已知 ， ， 于 ， 于 ，现要在 上建一个服务站 ，使得 、
两村庄到 站的距离相等，则 的长是（ ） ．A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意设出 的长为 ，再由勾股定理列出方程求解即可．
【详解】解：设 ，则 ，
由勾股定理得：
在 中，
，
在 中，
，
由题意可知： ，
所以： ，
解得： ．
所以， 应建在距 点 处．
故选： ．
【点睛】本题考查正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
2．（2023上·山东泰安·七年级统考期中）如图，高速公路上有A，B两点相距 ，C，D为两村庄，已
知 ， ． 于A， 于B，现要在 上建一个服务站E，使得C，D两村
庄到E站的距离相等，则 的长是 ．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据 于A， 于B， ，列式
，解出 的值，即可作答．【详解】解：由题意知， ， ， ，
设 ，则 ，
因为 于A， 于B，
所以在 与 中，
由勾股定理得， ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
故答案为： ．
3．（2023上·山东淄博·七年级统考期中）为推进乡村振兴，把家乡建设成为生态宜居、交通便利的美丽家
园，某地大力修建崭新的公路如图所示，现从A地分别向C、D、B三地修了三条笔直的公路 和
，C地、D地、B地在同一笔直公路上，公路 和公路 互相垂直，又从D地修了一条笔直的公路
与公路 在H处连接，且公路 和公路 互相垂直，已知 千米， 千米， 千
米．
(1)求公路 的长度；
(2)若修公路 每千米的费用是200万元，请求出修建公路 的总费用．
【答案】(1) 千米
(2)600万元
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
（1）根据勾股定理得出 千米，再求出 千米即可得出答案；
（2）根据面积相等得出 ，求出 即可得出答案．
【详解】（1）解：∵ ， 千米， 千米，
∴ 千米，∵ 千米，
∴ 千米；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ 千米
∴修建公路 的费用为 （万元）．
【经典例题十一 最短路径问题】
【例11】（2024上·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考期末）如图，长方体的长为 ，宽为 ，
高为 ，点 离点 的距离是 ，一只蚂蚁如果沿着长方体的表面从点 爬到点 ，需要爬行的最短
路程是（ ）
A． B．20 C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是平面展开—最短路径问题，勾股定理，如图，分三种情况把长方体剪开，分别根据
勾股定理求出 的长即可．
【详解】解：如图1，把长方体剪开，使其右面和正面组成一个长方形，
∵长方体的宽为 ，高为 ，点B离点C的距离是 ，
∴ ， ，在 中，根据勾股定理得： ；
如图2，把长方体剪开，使其右面和上面组成一个长方形，
∵长方体的宽为 ，高为 ，点B离点C的距离是 ，
∴ ， ，
在 中，根据勾股定理得： ；
如图3，把长方体剪开，使其正面和下面组成一个长方形，
∵长方体的宽为 ，高为 ，点B离点C的距离是 ，
∴ ，
在 中，根据勾股定理得： ；
∵ ， ，
∴ ，
∴蚂蚁需要爬行的最短路程是 ，
故选：C．
【变式训练】
1．（2024上·山东淄博·七年级统考期末）如图，四边形 是长方形地面，长 ，宽 ，
中间竖有一堵砖墙高 ，一只蚂蚱从点 爬到点 ，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了几何体平面展开最短路线问题，勾股定理的应用；把中间墙在平面内展开，则原长方
形的长增加 ，宽不变，连接 ，由勾股定理即可求得 长，从而问题求解．
【详解】解：如图，将墙展开，长方形长度增加 ，则 ，连接 ，
∵四边形 是长方形，
∴ ，
∴ ，
，
∴蚂蚱从点 爬到点 ，它必须翻过中间那堵墙，它至少要走 ．
故选：A．
2．（2024上·陕西西安·八年级统考期末）如图，圆柱底面圆的周长为6cm，CD、AB分别是上、下底面的
直径，高 ，用一条无弹性的丝带从A至C按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为
cm．
【答案】
【分析】本题考查了平面展开-最短路线问题和勾股定理的应用，把立体图形展开成平面图形，依题意，从A到C缠绕了一圈半，则 ， ，根据两点之间线段最短求出 长即可解决问题．
【详解】解：如图所示，
∵无弹性的丝带从A至C，绕了1.5圈，
∴展开后 ， ，
由勾股定理得：
故答案为： ．
3．（2024上·广东佛山·八年级校考期末）综合与实践
【问题】在圆柱表面，蚂蚁怎么爬行路径最短?（计算过程中的 取3）
素材1 如图1，圆柱形纸盒的高 为12厘米，底面直径 为6厘米，在圆柱下底圆周上的A点有一只
蚂蚁，它想吃到上底面圆周上与A点对应的B点处的食物.
（1）若蚂蚁沿图1中的折线A→C→B爬行的最短路径记为“路线一”，此时最短路程是 厘米.将
圆柱沿着 将侧面展开得到图2，请在图2中画出蚂蚁爬行的最短路径（此路径记为“路线二”），此时
最短路程是_______厘米；比较可知：蚂蚁爬行的最短路径是路线______（用“一”或“二”填空）
素材2 如图3所示的实践活动器材包括：底面直径为6厘米，高为10厘米的木质圆柱、橡皮筋、细线
（借助细线来反映爬行的路线）、直尺，通过调节橡皮筋的位置达到改变圆柱的高度的目的，（1）中两
种路线路程的长度如下表所示（单位：厘米）：
圆柱高度 沿路线一路程x 沿路线二路程y 比较x与y的大小
5 11 10.3
4 10 9.85
3 a 9.49 b（2）填空：表格中a的值是________；表格中b表示的大小关系是_________；
（3）经历上述探究后，请你思考：若圆柱的半径为r，圆柱的高为h.在r不变的情况下，当圆柱半径为r
与圆柱的高度h存在怎样的数量关系时，蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等?
【答案】（1）作图见解析， ，二 （2） ， （3）
【分析】此题主要考查了平面展开图的最短路径问题，利用分类讨论得出是解题关键．
（1）根据勾股定理以及线段长度得出即可；
（2）利用圆柱形木块的高为 ，底面半径为6，即可得出沿 爬行的路程长并比较大小；
（3）构造方程 即可得到结论．
【详解】（1）图2中画出蚂蚁爬行的最短路径为：
展开后，半圆长为 ，
此时最短路程是 厘米，
∵
比较可知：蚂蚁爬行的最短路径是路线二，
故答案为： ，二；
（2）解： ，
∵ ，
∴表格中b表示的大小关系是 ，
故答案为： ， ；
（3）解：根据题意可得 ，
即 ，
∴ ，
故当 时，蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等．【拓展培优】
1．（2024上·四川乐山·八年级统考期末）如图，正方体盒子的棱长为2，M为 的中点，则一只蚂蚁从
M点沿盒子的表面爬行到A点的最短距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了两点之间线段最短、正方体的展开图、勾股定理等知识，先利用展开图确定最短路径，
再由勾股定理求解即可，牢记相关概念和灵活应用是解题的关键．
【详解】解：如图，蚂蚁沿路线 爬行路程最短，
， 为 的中点，
，
．
故选： ．
2．（2024上·山东青岛·八年级统考期末） 世纪，印度一位著名数学家婆什迦罗在他的名著《丽罗娃
提》中记载了一个有趣的问题：“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边；
渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？”
这首诗的大意是：在平静的湖面上，有一朵荷花高出水面半尺，忽然一阵强风吹来把荷花垂直拉到水里且荷花恰好落在水面．此时，捕鱼的人发现，花在水平方向上离开原来的位置 尺远，由此可知湖水的深度
是（ ）
A． 尺 B． 尺 C． 尺 D． 尺
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理的应用，设湖水的深度 尺，根据题意，运用勾股定理，列方程解答即可，
运用勾股定理列出方程是解题的关键．
【详解】解：设湖水的深度 尺，则荷花的长为 尺，
在直角三角形中，根据勾股定理得， ，
解得 ，
故选： ．
3．（2023上·江苏泰州·八年级统考期中）如图，正方形 的边长为1，E为与点D点不重合的动点，
以 为一边作正方形 ．设 ，点F，G与点C的距离分别为 ， ，则 的最小值
为（ ）
A． B．1 C．2 D．
【答案】D
【分析】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，最短路线问题，正确作出
辅助线是解本题的关键，
连接 、 、 、 ，证 得， ，则故当A、E、F、C四点共线有最小值，最小值为线段 长，求
解即可求出答案．
【详解】连接 、 、 、 ，
在正方形 和正方形 中，
， ， ，
，
，
在 和 中
，
，
，
当点A、E、F、C在同一直线上时 (此时点F与点C重合)，
最小，最小值为线段 长，
在 中
，
的最小值为：
故选：D
4．（2023上·陕西西安·八年级统考期中）如图，在一个长为 ，宽为 的长方形草地上放着一根长
方体木块，已知该木块的较长边和场地宽 平行，横截面是边长为 的正方形，若点A处有一只蚂蚁，
它从点A处爬过木块到达点C处去吃面包碎，则它需要走的最短路程是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查平面展开 最短路径问题，两点之间线段最短，有一定的难度，要注意培养空间想
象能力，将木块展开，然后根据两点之间线段最短解答，解题的关键是能将侧面展开成长方形，从而用勾
股定理求解．
【详解】解：由题意可知，将木块展开，相当于是 个正方形的边长，
∴长为 米；宽为 米．
于是最短路径为： 米．
故选：B．
5．（2022·湖北武汉·校考模拟预测）如图， 为线段 上一动点，分别过 、 作 ， ，
连接 、 ，已知 ， ， ，设 ．线段 的长可表示为
，当 、 、 三点共线时， 的值最小，根据上述方法，求代数式
的最小值为（ ）A．11 B．13 C． D．
【答案】B
【分析】依题意， ，令 ，则转化为求
，进而根据题意构造直角三角形，勾股定理，即可求解．
【详解】解： ，令 ，
原式
如图， 为线段 上一动点，分别过 、 作 ， ，连接 、 ，
已知 ， ， ，设 ，线段 的长可表示为
当 、 、 三点共线时， 的值最小；过点 作 交 的延长线于点 ，得矩形 ，
， ，
，
所以 ，
即 的最小值为 ，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了轴对称求最短路线以及勾股定理等知识，本题利用了数形结合的思想，通过构造
直角三角形，利用勾股定理求解．
6．（2024上·吉林长春·八年级统考期末）某医院入口的正上方A处装有红外线激光测温仪（如图所示），
测温仪离地面的距离 米，当（身高 ）人体进入感应范围内时（即 米），测温仪自动
显示体温，则人头顶离测温仪的距离 的长为 米．
【答案】2
【分析】本题考查了勾股定理的应用，作出辅助线、构造直角三角形、利用勾股定理求得线段 的长度
是解题的关键．
如图：过点D作 于点E，构造 ，再利用勾股定理求得 的长度即可．
【详解】解：如图：过点D作 于点E，则 米，
∵ 米，
∴ （米），在 中，由勾股定理得到： （米），
故答案为：2．
7．（2024·全国·八年级竞赛）如图，一个长方体建筑物的长、宽、高分别为3米、1米和6米，为了美观，
现要在该建筑物上缠绕灯线以便安装小彩灯，灯线的绕法是从下底面的顶点 开始经过四个侧面绕到上底
面的顶点 ，如果缠绕的圈数是 ，那么用在该建筑物上的灯线最短需要 米．
【答案】
【分析】本题主要考查最短路径问题，画出展开图，运用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，
米， 米，
由勾股定理得， （米）；
故答案为： ．
8．（2024上·广东河源·八年级统考期末）如图，在一棵树的10米高的 处有两只猴子为抢吃池塘边水果，
一只猴子爬下树跑到 处（离树20米）的池塘边，另一只爬到树顶 后直接跃到 处，距离以直线计算，
若两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高 米．【答案】15
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，理解题意，构造直角三角形是解题关键．设 米，则
米，结合两只猴子所经过的距离相等，可得 米，然后在 中，利用勾股
定理列式并求解，即可获得答案．
【详解】解：根据题意， 米， 米，
设 米，则 米，
∵两只猴子所经过的距离相等，
∴ ，即 ，
∴ 米，
在 中，可有 ，
即 ，
解得 ，
∴ 米，
即这棵树高15米．
故答案为：15．
9．（2023上·山东烟台·七年级统考期中）如图，牧童在A处放牛，牧童家在B处，A，B处距河岸 的
距离 的长分别为 和 ，且C，D点的距离为 ，天黑前牧童从A处将牛牵到河边饮水
再回家，那么牧童最少要走的距离为 ．
【答案】3.4
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，轴对称最短路径问题，作A点关于河岸的对称点 ，过
作 交 延长线于 ，设饮水点为P，连接 ，则当 三点共线时， 最小，
即 最小，最小值为 ，由平行线间间距相等可得 ，则
，利用勾股定理求出 的长即可得到答案．【详解】解：作A点关于河岸的对称点 ，过 作 交 延长线于 ，设饮水点为P，连接
，
由轴对称的性质可得 ，
∴ ，
∴当 三点共线时， 最小，即 最小，最小值为 ，
由平行线间间距相等可得 ，
∴ ，
∴ ，
∴牧童最少要走的距离为
故答案为： ．
10．（2023上·四川成都·八年级校联考期中）数形结合是数学的重要思想和解题方法，如：“当
时，求代数式 的最小值”，其中 可看作两直角边分别为x和2的 的
斜边长， 可看作两直角边分别是 和3的 的斜边长．于是将问题转化为求
的最小值，如图所示，当 与 共线时， 为最小．请你解决问题：当 时，则代
数式 的最小值是 ．
【答案】5【分析】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，灵活应用勾股定理是解题的关
键．仿照例题， 可以可看作两直角边分别是x和1的 的斜边长， ，可以可看作
两直角边分别是 和2的 的斜边长，问题转化为求 的最小值，利用两点之间线段最短
解答即可．
【详解】解：依题意如图， 可以可看作两直角边分别是x和1的 的斜边长， ，
可以可看作两直角边分别是 和2的 的斜边长，
故问题转化为求 的最小值，连接 ，则 的最小值为 的长，
∴ ， ， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
代数式 的最小值是5．
故答案为：5．
11．（2024上·河南周口·八年级校联考期末）如图是人们喜爱的秋千，已知秋千 静止的时候，踏板 离
地高 为 ，将它往前推进 到 （即 的长为 ，且 ），此时踏板离地的高 为
．求秋千绳索 的长度．
【答案】秋千绳索 的长度为 米【分析】本题考查了勾股定理的运用，由题意易得 ，设 ，在 中，
由勾股定理建立方程 ，即可作答．理解题意，利用勾股定理建立方程是解决问题的关键．
【详解】解：∵踏板A离地高 为 ， 为 ，
∴ ，
∵ 的长为 ，
设 ， ，
∴在 中， ，即
解得 ，
故秋千绳索 的长度为 米．
12．（2024上·福建三明·八年级统考期末）综合与实践：【问题情境】某消防队在一次应急演练中，消防
员架起一架长25m的云梯AB，如图，云梯斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙脚的距离 ，
．
（1）【深入探究】消防员接到命令，按要求将云梯从底部B沿水平方向向前滑动到 位置上（云梯长度
不改变），则顶端A上滑到 ，若 ，求 的长度．
（2）【问题解决】在演练中，高24m的窗口有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员．经验表明，
云梯靠墙摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的 ，则云梯和消防员相对安全．在相对安全
的前提下，云梯的顶端能否到达24m高的窗口去救援被困人员？
【答案】（1） ；（2）能够到达
【分析】本题考查了勾股定理的应用．
（1）根据勾股定理求出 ，再求出 ，根据勾股定理求出 ，即可求出
；
（2）当云梯的顶端到达24m高的窗口时，根据勾股定理得云梯的底端距离墙的距离为 ，根据 ，即可得到在相对安全的前提下，云梯的顶端能到达24m高的窗口去救援被困人员．
【详解】解：（1）在 中， ，
∵ ， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ；
（2）当云梯的顶端到达24m高的窗口时，根据勾股定理得云梯的底端距离墙的距离为 ，
∵ ， ，
∴在相对安全的前提下，云梯的顶端能到达24m高的窗口去救援被困人员．
13．（2024上·山西临汾·八年级校考期末）2023年7月5号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到严
重影响．据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径 （即以台风中心为圆心，
为半径的圆形区域都会受台风影响）．如图，台风中心沿监测点 与监测点 所在的直线由西向东
运动，已知点 为一大型农场，在 处测得农场 在北偏东 方向上，且 ， 相距 ，在 处测得
农场 在北偏西 方向上，且 ， 相距 ．
(1)求监测点 与监测点 之间的距离．
(2)农场 会受此次台风的影响吗？说明理由．
【答案】(1)监测点A与监测点B之间的距离为 ．
(2)农场 会受此次台风的影响．理由见解析
【分析】本题主要考查勾股定理和三角形面积：
（1）证明 是直角三角形，由勾股定理可求解；
（2）过点 作 于点 ，运用等积法可求出 的长，再与风力影响半径比较即可得出结论．
【详解】（1）解： ， ，，
在 中，
∴ ，
答：监测点A与监测点B之间的距离为 ．
（2）解：过点 作 于点 ，
∵ ，
又
∴ ，
解得： ．
因此，农场 会受此次台风的影响．
14．（2024上·福建漳州·八年级统考期末）如表：
任务：某校八年级同学想测量旗杆的高度h（m），发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一
段，但这条绳子长度未知，如图1．
工具：一把皮尺（测量长度略小于绳子长）．
小明利用皮尺测量，求出了旗杆BC的高度h（m），其测量及求解过程如下：
测量过程：
测量出绳子垂直落地后还剩余a（m），把绳子拉直，绳子末端A点在地面上离旗杆底部C点b（m），即
（m），如图2．
求解过程：
由测量得： ， ， ，
在 中， ，
∴ ，即 ．
∴ ________（m）．阅读下列材料，回答问题．
(1)直接写出小明求得旗杆高度h（m）的值；
(2)小明求得h所用到的几何知识是________；
(3)小明仅用皮尺，通过2次测量，求得h（m），请你利用皮尺另外设计一个测量方案，并利用直角三角
形的知识求旗杆的高度h（m），写出你的测量及求解过程．（测量得到的长度用字母m，n表示）
【答案】(1)
(2)勾股定理
(3)见详解
【分析】本题考查了勾股定理的应用，
（1）根据 求解，即可求解；
（2）根据求解过程可得是勾股定理，即可求解；
（3）找到绳子到旗杆底端 绳的位置，将其拉直，放在头顶，使得 米，用皮尺量出小明的身
高 米，量出小明到旗杆距离 米，在旗杆位置量出小明的身高找到 ，用勾股定理即可求解；
理解勾股定理，根据题意构建直角三角形是解题的关键．
【详解】（1）解：
解得： ；
故小明求得旗杆高度h（m）的值为 ；
（2）解：勾股定理；
故答案：勾股定理；
（3）解：如图，找到绳子到旗杆底端 绳的位置，将其拉直，放在头顶，使得 米，用皮尺量
出小明的身高 米，量出小明到旗杆距离 米，在旗杆位置量出小明的身高找到 ，则有 ， ，
，
，
，
解得： ．
15．（2024上·广东深圳·八年级深圳实验学校校考期末）如图是盼盼家新装修的房子，其中三个房间甲、
乙、丙，他将一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距离地面的垂直距离记作 ，如果梯子的底端 不动，顶
端靠在对面墙上，此时梯子的顶端距离地面的垂直距离记作 ．
(1)当盼盼在甲房间时，梯子靠在对面墙上，顶端刚好落在对面墙角 处，若 米， 米，则
甲房间的宽度 ＝______米．
(2)当他在乙房间时，测得 米， 米，且 ，求乙房间的宽 ；
(3)当他在丙房间时，测得 米，且 ， ．求丙房间的宽 ．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3)丙房间的宽 是 米．
【分析】此题考查了勾股定理的应用，全等三角形的应用，解直角三角形的应用，根据 以及
的度数得到 为等边三角形是解题的关键．
（1）根据勾股定理即可得到结论；
（2）证明 ，从而得到 米， 米， 即可求出 ；（3） 根据 以及 的度数得到 为等边三角形利用相应的三角函数表示出 ，
的长，可得到房间宽 和 长相等．
【详解】（1）解：在 中，
∵ ， 米， 米，
∴ ，
∵ ，
∴甲房间的宽度 米，
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 米．
（3）解：过 点作 垂线，垂足点 ，连接 ，
设 ，且 ．
∵梯子的倾斜角 为 ，
∴ 为等腰直角三角形， 为等边三角形 ，梯子长度相同， ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∵ 为等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 米，即丙房间的宽 是 米．
