文档内容
专题03 勾股定理的应用重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优）
题型一 梯子滑落高度问题
题型二 旗杆高度问题
题型三 小鸟飞行距离问题
题型四 大树折断前高度问题
题型五 水杯中筷子问题
题型六 航海距离问题
题型七 河宽问题
题型八 台阶上地毯长度问题
题型九 汽车是否超速问题
题型十 是否受台风影响问题
题型十一 选址问题
题型十二 最短路径问题
知识点一：勾股定理的应用
勾股定理的作用
1、已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；
2、用于解决带有平方关系的证明问题；
3． 与勾股定理有关的面积计算；
4．勾股定理在实际生活中的应用．
【经典例题一 梯子滑落高度问题】
【例1】（23-24七年级上·山东泰安·期中）如图，一架梯子若靠墙直立时比窗户的下沿高 ．若斜靠在墙
上，当梯子的下端离墙 时，梯子的上端恰好与窗户的下沿对齐，则梯子的长度为（ ）A． B． C． D．
1．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）如图，一架10米长的梯子 ，斜靠在竖直的墙上，这时梯子
底端离墙 米．
(1)此时梯子顶端A离地面多少米？
(2)设梯子顶端到水平地面的距离为m米，底端到垂直墙面的距离为n米．若 ，根据经验，可知当
时，梯子最稳定，使用时最安全．若梯子顶端A下滑3米到C处，请问这时使用是否安全？
2．（24-25八年级上·河南郑州·期中）与危险相伴，与烈火为伍，致敬和平年代的英雄，最美的逆行者
——中国消防员．云梯消防车是常见的消防器械，云梯最多能伸长到30米，消防车高3米，如图，某栋楼
发生火灾，在这栋楼的 处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置
与楼房的距离为24米．
(1)求 处与地面的距离．
(2)完成 处的救援后，消防员发现在 处的上方6米的 处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小
孩，则消防车从 处向着火的楼房靠近的距离 为多少米?
3．（24-25七年级上·山东泰安·期中）综合与实践
问题情境：某消防队在一次应急演练中，消防员架起一架长 的云梯 ，如图，云梯斜靠在一面墙上，
这时云梯底端距墙脚的距离 ， ．独立思考：
（1）这架云梯顶端距地面的距离 有多高？
深入探究：
（2）消防员接到命令，按要求将云梯从顶端A下滑到 位置上（云梯长度不改变）， ，云梯的
底部B在水平方向滑动到 的距离 也是 吗？若是，请说明理由；若不是，请求出 的长度．
问题解决：
（3）在演练中，高 的墙头有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员．经验表明，云梯靠墙摆放
时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的 ，则云梯和消防员相对安全．在相对安全的前提下，云
梯的顶端能否到达 高的墙头进行救援？
【经典例题二 旗杆高度问题】
【例2】（23-24八年级下·广东珠海·期中）如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到
地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆 处，发现此时绳子末端距离地面 ，则旗杆的高度为（滑轮上方
的部分忽略不计）（ ） ．
A．17 B．16 C．15 D．14
4．（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）春秋季节筑城广场放风筝已经成为贵阳市的一道靓丽风景线，某校
八年级的两位同学学习了“勾股定理”之后，想要测得风筝的垂直高度 ，他们进行了如下操作：①测得水平距离 的长为5米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线 的长为13米；③牵线放风筝的小
明的身高为1.5米．
(1)求风筝的垂直高度 ；
(2)如果小明想让风筝沿 方向下降2米，则他应该往回收线多少米？
5．（24-25八年级上·江苏镇江·期末）如图，一辆臂长 ，底座高 的曲臂高空作业车沿着平行于墙面
的直线方向行驶到点 处，对离地面高 的点 处（ ）进行作业， ， ，作
业后，还要到点 正上方 高的 处（ ）继续作业，若要保持臂长不变，即 ，那么
作业车水平行驶的距离（即 的长）为多少米？（图 是这辆车两次作业时的主视图）
6．（24-25八年级上·重庆万州·期末）放风筝是清明节的节日习俗，寓意将烦恼和疾病随着风筝一起放飞，
此外，放风筝还是一项娱乐性运动，无论是与家人还是朋友一起放风筝，都能增进彼此之间的关系．某校
八年级几名同学在学习了“勾股定理”之后，想用此定理来测量风筝的垂直高度．如图，牵线放风筝的同
学站在 处，风筝在 处，先测得他抓线的地方与地面的距离 为1.5米，然后测得他抓线的地方与风筝
的水平距离 为15米，最后根据手中剩余线的长度计算出风筝线 的长为17米．(1)求此时风筝的垂直高度 的长；
(2)若放风筝的同学站在点 不动，风筝沿 的方向继续上升到 处，风筝线又放出了8米，请求出风筝
沿 方向上升的高度 的长．
【经典例题三 小鸟飞行距离问题】
【例3】（23-24八年级下·山西阳泉·期中）如图，有一只喜鹊在一棵 高的小树 上觅食，它的巢筑在
与该树水平距离（ ）为 的一棵 高的大树 上，喜鹊的巢位于树顶下方 的 处，当它听到巢
中幼鸟的叫声，立即飞过去，如果它飞行的速度为 ，那么它要飞回巢中所需的时间至少是( )
A． B． C． D．
7．（2025八年级下·全国·专题练习）在“欢乐周末•非遗市集”活动现场，诸多非遗项目集中亮相，让过
往游客市民看花了眼、“迷”住了心．小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设
计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离 为 ；根据手中余线长度，计算出 的长度为
；牵线放风筝的手到地面的距离 为 ．已知点A，B，C，D在同一平面内．(1)求风筝离地面的垂直高度 ；
(2)在余线仅剩 的情况下，若想要风筝沿射线 方向再上升 ，请问能否成功？请运用数学知识说
明．
8．（23-24八年级下·新疆喀什·期中）如图，一只小鸟旋停在空中 点， 点到地面的高度 米，
点到地面 点（ ， 两点处于同一水平面）的距离 米．
(1)求出 的长度；
(2)若小鸟竖直下降到达 点（ 点在线段 上），此时小鸟到地面 点的距离与下降的距离相同，求小
鸟下降的距离．
9．（24-25八年级上·江苏·周测）如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地的高度AB为
米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高 米的学生CD正对门，缓
慢走到离门 米的地方时（ 米），感应门自动打开， 为多少米？
【经典例题四 大树折断前高度问题】
【例4】（23-24八年级下·湖北黄冈·期中）我国秦汉时期，数学成就十分显著．当时流传这样一个数学题：
今有竹高十二尺，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？类似的问题被写入《九章算术》．它的意思是：
一根竹子原本高12尺，从 处折断，竹梢触地处 离竹根 的距离 尺，试问折断处与地面的距离
（ ）尺．A． B． C．4 D．
10．（23-24八年级上·陕西咸阳·期中）如图，一根垂直于地面的旗杆高 ，因刮大风旗杆从点 处折
断，顶部 着地且离旗杆底部的距离 ．
(1)求旗杆折断处点 距离地面的高度 ；
(2)工人在修复的过程中，发现在折断处 的下方1.4m的点 处，有一明显裂痕，若下次大风将修复好的
旗杆从点 处吹断，旗杆的顶部落在水平地面上的 处，形成一个 ，请求出 的长．
11．（23-24八年级上·河北保定·期中）如图，一根直立的旗杆高 ，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部
B着地且离旗杆底部A的距离为 ．
(1)求旗杆在距地面多高处折断（即求 的长度）．
(2)工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方 的点D处，有一条明显的裂痕，将旗杆C处修复后，
若下次大风将旗杆从点D处吹断，则距离旗杆底部 米处是否有被砸伤的风险？
12．（23-24八年级上·福建三明·期中）如图1，小旭放风筝时，风筝线断了，风筝挂在了树上．他想知道
风筝距地面的高度，于是他先拉住风筝线垂直到地面上，发现风筝线多出1米，然后将风筝线沿直线向后
拉开5米，发现风筝线末端刚好接触地面．示意图如图2．(1)请你帮小旭求出风筝距离地面的高度AB．
(2)在AC上求作点D，使得 （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．
【经典例题五 水杯中筷子问题】
【例5】（23-24八年级下·内蒙古赤峰·期中）如图，一根长为 的牙刷置于底面直径为 、高为
的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为 ，则h的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
13．（24-25八年级上·福建宁德·阶段练习）有一个水池，水面是一个边长为 尺的正方形．在水池正中央
有一根新生的芦苇，它高出水面 尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．请
问这个水池的深度和这根芦苇的长度各为多少？
14．（24-25八年级上·江苏淮安·期末）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人着
迷．
(1)应用场景1——在数轴上画出表示无理数的点．如图1，在数轴上找出表示2的点A，过点A作直线l垂
直于OA，在l上取点B，使 ，以原点O为圆心， 为半径作弧，则弧与数轴负半轴的交点C表示
的数是_________；
(2)应用场景2——解决实际问题．如图2，有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹
竿竖放就比门高出2尺，斜放就恰好等于门的对角线（ ），已知门宽6尺，求竹竿长．
15．（24-25八年级下·福建福州·期中）《九章算术》中“勾股”一章有记载：今有池方一丈，葭生其中央，
出水一尺．引葭赴岸，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它的顶端恰好到达池
边的水面，求芦苇的长度．（1丈＝10尺）
解决下列问题：
（1）示意图中，线段AF的长为 尺，线段EF的长为 尺；
（2）求芦苇的长度．
【经典例题六 航海距离问题】
【例6】（23-24八年级下·湖北武汉·期中）已知一轮船以18海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，
同时另有一轮船以12海里/时的速度也从港口A出发向东南方向航行，都离开港口2小时后，两船相距多
少海里？（ ）A． B． C． D．
16．（24-25八年级上·四川达州·期末）如图，在海平面上有 ， ， 三个标记点，其中 在 的北偏西
方向上，与 的距漓是40海里， 在 的南偏西 方向上，与 的距离是30海里．
(1)求点 与点 之间的距离；
(2)若在点 处有一灯塔，灯塔的信号有效覆盖半径为25海里，此时在点 处有一艘轮船准备沿直线向点
处航行，轮船航行的速度为每小时20海里．轮船在驶向 处的过程中，有多少小时可以接收到信号？
17．（24-25八年级上·重庆丰都·阶段练习）上午8时，一条渔船从港口A出发，以每小时15海里的速度
向正北方向 航行，上午10时到达海岛B处．从 望海岛C，测得 （如图
所示）．
(1)求海岛B到海岛C的距离；
(2)这条船继续向正北航行，问什么时间小船与灯塔C的距离最短？
(3)渔船从海岛B按原来的方向继续航行30海里（记为点D处）出现了故障，它向海岛B和海岛C都发出
了求救信号．接到求救信号后，海岛B派出的救援队立即以每小时20海里的速度前往，海岛C派出的救
援队晚出发10分钟，速度为每小时25海里，通过计算说明两支救援队谁先到达渔船处？18．（2024·贵州贵阳·一模）如图，一艘船由A岛沿北偏东 方向航行 至B岛，然后再沿北偏西
方向航行 至C岛．
(1)求A，C两岛之间的距离；
(2)确定C岛在A岛的什么方向？
【经典例题七 河宽问题】
【例7】（23-24八年级下·天津河西·期中）如图，池塘边有两点A、B，点 是与 方向成直角的 方
向上一点，测得 ， ，则A，B两点间的距离是（ ） .
A． B． C．30 D．70
19．（24-25八年级下·安徽·期中）如图，沿AC方向开山修路．为了加快施工进度，要在小山的另一边同
时施工，从AC上的一点B取∠ABD＝120°，BD＝400米，∠D＝30°．那么另一边开挖点E离D多远正好
使A、C、E三点在一直线上（ ≈1．732，结果精确到1米）？20．（24-25八年级上·山西·期末）如图，为了测量湖泊两侧点A和点B间的距离，数学活动小组的同学过
点A作了一条 的垂线，并在这条垂线的点C处设立了一根标杆（即 ）．量得 ，
，求点A和点B间的距离．
21．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）学习了“勾股定理”后，某校数学兴趣小组的同学把“测量某
水潭的宽度”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实地测量，并形成了如下的活动报告．
活动课题 测量某水潭的宽度
测量工具 测角仪、测距仪等
如图，出于安全考虑，水潭两侧的A、B周围均被围栏所围，因此A、B处均无法到达，测
量小组在与 垂直的直线l上取点C（ 于点A），用测距仪测得 、 的长
测量过程
及示意图
测量数据 米， 米
…… ……
请你根据活动报告中的内容，计算水潭的宽度 ．【经典例题八 台阶上地毯长度问题】
【例8】（23-24八年级上·江苏苏州·期中）如图，在一个高是3m，长是5 m的楼梯表面铺地毯，则地毯长
度是( )
A．5 m B．7 m C．8 m D．9 m
22．（24-25八年级上·广东梅州·阶段练习）如图，要修建一个育苗棚，棚高 ，棚宽 ，棚的
长为 ，现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜？
23．（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图是一个三级台阶，每级台阶都是长、宽和高分别等于90cm，
25cm和15cm的长方体，A和B是这个台阶的两个相对的端点．在A点处有一只蚂蚁，想到B点去吃可口
的食物，请你算一算，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短路程是多少？
24．（24-25八年级下·广西百色·期中）如图所示是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别等于
7cm、6cm、2cm，A和B是这两个台阶的两个相对的端点，则一只蚂蚁从点A出发经过台阶爬到点B的最
短路线有多长？【经典例题九 汽车是否超速问题】
【例9】（23-24八年级上·广东茂名·期中）如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好
行驶到路对面车速检测仪 处的正前方 的 处，过了 后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为 ，
则这辆小汽车的速度是 ．
25．（24-25八年级上·四川遂宁·期末）为了积极响应国家新农村建设，某镇政府采用了移动宣讲的广播形
式进行宣传．如图，笔直公路 的一侧有一报亭A，报亭A到公路 的距离 为600米，且宣讲车P
周围1 000米以内能听到广播宣传，宣讲车P在公路 上沿 方向行驶．
(1)请问报亭的人能否听到广播宣传，并说明理由；
(2)如果能听到广播宣传，已知宣讲车的速度是200米/分，那么报亭的人总共能听到多长时间的广播宣传？
26．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）《中华人民共和国道路交通安全法》规定：小汽车在高速道路
上行驶速度不得超过 高速路边也会安装车速检测仪对过往车辆进行限速检测，如图所示， 点
装有一车速检测仪，它到公路边的距离 米，小汽车行驶过检测仪监控区域，到达 点时开始计时，
离开 点时停止计时，依此计算车速，已知 米．(1)若一辆汽车以 时速匀速通过监控区域，共用时几秒
(2)若另一辆车通过监控区域共用时 秒，该车是否超速 请说明理由．
27．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）校车安全是近几年社会关注的热点问题之一，安全隐患主要是超速
和超载，某中学八年级数学活动小组进行了测试汽车速度的实验．如图所示，现在笔直的公路 旁取一点
，在公路 上确定点 ， ，使得 ， ，再在 上确定点 ，使得 ，测得
米，已知本路段对校车限速是 千米/时，若测得某校车从 到 匀速行驶用时 秒．（参考数据：
）
(1)求点D到线段AB的距离（结果保留整数）；
(2)利用（1）中的结果，请通过计算判断这辆车在本路段是否超速？
【经典例题十 是否受台风影响问题】
【例10】（23-24八年级下·河北邢台·阶段练习）若有一列长为 的火车，沿铁路AB以 的速
度从点A行驶到点B，点C为一所学校， ， ， ，已知距离火车 以内
会受到噪音的影响．
（1）学校C到铁路AB的距离是 ．
（2）火车在AB路段行驶时，学校C受到火车噪音影响的时间是 ．（3）如果火车在下课时间穿过该路段，并确保学校受到火车噪音影响的时间控制在10分钟以内（
），那么其行驶速度至少应增加到 ．
28．（24-25八年级上·广东茂名·阶段练习）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范
围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向 由点A向点B移动，已知点C
为一海港，且点C与直线 上两点A、B的距离分别为 和 ，又 ，以台风中心为
圆心周围 以内为受影响区域．
(1)海港C会受台风影响吗？为什么？
(2)若台风的速度为 ，台风影响该海港持续的时间有多长？
29．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，经过 村和 村（将 村看成直线 上的点）的笔直公
路 旁有一块山地正在开发，现需要在 处进行爆破．已知 处与 村的距离为300米， 处与 村的距离
为400米，且 ．
(1)求 两村之间的距离；
(2)为了安全起见，爆破点 周围半径250米范围内不得进入，在进行爆破时，公路 段是否有危险而需
要封锁？如果需要，请计算需要封锁的路段长度；如果不需要，请说明理由．
30．（24-25八年级上·山东济南·期中）如图，某沿海城市 接到台风预警，在该市正南方向 的 处
有一台风中心，沿 方向以 的速度移动，已知城市 到 的距离 为 ．(1)台风中心经过多长时间从 点移到 点？
(2)如果在距台风中心 的 的圆形区域内都将受到台风的影响，那么 市受到台风影响的时间持续多
少小时？
【经典例题十一 选址问题】
【例11】（23-24七年级上·山东泰安·期中）如图，高速公路上有A，B两点相距 ，C，D为两村庄，
已知 ， ． 于A， 于B，现要在 上建一个服务站E，使得C，D两
村庄到E站的距离相等，则 的长是 ．
31．（24-25八年级上·宁夏银川·期末）如图，铁路上A，B两点相距 ，C，D为两村庄， 于
点A， 于点B，已知 ，现在要在铁路 旁建一个货运站E，使得C，D两
村到E站距离相等，问E站应建在离A地多远的地方？32．（24-25八年级下·湖北咸宁·期中）如图甲，笔直的公路上 ， 两点相距20 ， ， 为两村庄，
于点 ， 于点 ，已知 ， ，现在计划在公路的 段上建一个土特
产品收购站 ．
(1)若规划 ， 两村到收购站 的距离相等，则收购站 应建在离 点多远处？
(2)若规划 ， 两村到收购站 的距离的和最短，请在图乙中通过作图画出收购站 的位置，计算得到距
离的和最短值为 ．
33．（23-24八年级上·山东青岛·期中） “三农”问题是关系国计民生的根本问题，实施乡村振兴战略是
建设美丽中国的关键举措．如图，公路上A、B两点相距 ，C、D为两村庄， 于A，
于B，已知 ，现在要在公路 上建一个土特产品市场E，使得C、D两
村庄到市场E的距离相等．
(1)求市场E应建在距A多少千米处？
(2)此时 的形状是 三角形，请直接写出答案，无需证明．
【经典例题十二 最短路径问题】
【例12】（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为 ，底面周长为 ，在杯内壁离杯底 的点 处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿 ，且与蜂蜜相
对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁 处所走的最短路程为 ．（杯壁厚度不计，
结果保留根号）
34．（23-24九年级上·吉林长春·期末）（1）问题情境一：如图①，一只蚂蚁在一个长为100cm，宽为
50cm的长方形地毯上爬行，请在图①中画出蚂蚁从点 处到达点 处需要走的最短路径，依据是 ．
（2）问题情境二：如图②，在情境一中的地毯上堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且等于地毯
的宽 ，木块从正面看是一个边长为10cm的等边三角形，求这只蚂蚁从点 处出发，翻越木块后到达点
处需要走的最短路程．
35．（23-24八年级上·江西九江·阶段练习）课本再现
如图1，有一个圆柱，它的高为 ，底面圆的周长为 ．在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想
吃到上底面与点A相对的点B处的食物，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？
方法探究
（1）对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定A，B两点的位置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点A，B对应
的位置如图所示，利用勾股定理求出蚂蚁爬行的最短路程是______ ．
方法应用
（2）如图3，直四棱柱的上下底面是正方形，底面边长为 ，高为 ．在其侧面从点A开始，绕侧
面两周，嵌入装饰彩条至点B停止．求彩条的最短长度．
（3）如图4，圆柱形玻璃杯底面周长为 ，高为 ，杯底厚 ．在玻璃杯外壁距杯口 的点A
处有一只蚂蚁，蚂蚁相对面的内壁底部B处有一滴蜂蜜，蚂蚁沿杯口爬入内壁去吃蜂蜜，求蚂蚁爬行的最
短路径长．（玻璃杯的壁厚忽略不计）
36．（23-24八年级上·四川成都·期中）（1）如图 ，长方体的长为 ，宽为 ，高为 ，
，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 爬到点 ，需要爬行的最短路程是 ；
（2）如图 ，小明家住 楼，一天他与爸爸去买了一根长 的钢管，如果电梯的长、宽、高分别是 ，
， ，在不损坏钢管的前提下请你帮小明计算一下这根钢管能否放进电梯内？1．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，是一个盖子圆心处插有吸管的圆柱形水杯，水杯底面直径为
，高度为 ，吸管长为 （底端在杯子底上），露在水杯外面的吸管长度为 ，则a最小为
（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
2．（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）九章算术中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵
地，去本三尺，问折者高几何？题意是：一根竹子原高1丈（1丈 尺），中部有一处折断，竹稍触地
面处离竹根4尺，试问折断处离地面多高？则折断处离地面的高度为（ ）
A．4.55尺 B．5.45尺 C．4.2尺 D．5.8尺
在 中，由勾股定理得： ，
，
解得： ，
即折断处离地面的高度为4.2尺，
3．（24-25七年级上·山东泰安·期中）如图，四边形 是长方形地面，长 ，宽 ，中
间竖有一堵砖墙高 ，一只蚂蚱从点A爬到点C，则它至少要走（ ）A． B． C． D．
将图展开，图形长度增加 ，
原图长度增加2米，则 ，
如图：连接 ，
∵四边形 是长方形， ，宽 ，
∴ ，
4．（24-25八年级上·云南昭通·期末）足球是世界上最受欢迎的运动项目之一，如图，球员A 向边线
传球，传球落点在边线 上任何位置都能被边线球员接住球，而边线球员不运球直接传给球员B，图中
四边形 为直角梯形， ， ， ， 则两次传球中皮球飞过的最短路径为
（ ）
A．15 B． C．20 D．
5．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，边长为 的等边 中， 是 上中线，点 在 上，
连接 ，在 的右侧作等边 ，连接 ，则 周长的最小值是 （ ）A． B． C． D．3
6．（24-25八年级上·四川成都·期末）一彩旗为长是80cm，宽是60cm的长方形，现将其插在地面上，为
使旗面不着地，则旗杆长至少应为 cm．
7．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，铁路 和公路 在点O处相交，公路 上距离O点
的点A到 的直线距离为 ．如果火车行驶时，周围 以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路
上沿 方向以 的速度行驶时，点A处受噪音影响的时间为 ．
8．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图是一个长，宽，高分别为 ， ， 的长方体木块，一只蚂蚁要
从长方体木块的一个顶点 处，沿着长方体的表面到顶点 处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是
．
9．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，圆柱形杯子的高为 ，底面周长为 ，在杯内壁（杯
子的厚度忽略不计）离杯底 的点 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 与蜂蜜
相对的点 处，则蚂蚁从外壁 处到达内壁 处的最短距离为 ．（假设蜂蜜不会下滑）10．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在 中， ， ， ， 、
为 边的点， ，点 为 上一动点，连接 、 ，则 的最小值为
．
11．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）某宾馆装修，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶
完全盖住．楼梯台阶剖面图如图，已知 ， ， ．
(1)求BC的长；
(2)若已知楼梯宽 ，需要购买________ 的地毯才能铺满所有台阶．
12．（24-25八年级上·宁夏银川·期中）如图，一辆小汽车在一条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到
路对面车速检测仪 处的正前方120米的 处，过了8秒，小汽车到达 处，此时测得小汽车与车速检测
仪间的距离为200米．
(1)求 的长；
(2)“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，这辆小
汽车在 段是否超速行驶？请说明理由（参考数据： ）
13．（24-25八年级上·河北承德·期末）【问题背景】
著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为 ，较小的直角边长都为 ，斜边长
都为 ，大正方形的面积可以表示为 ，也可以表示为 ，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为 ， ，斜边长为 ，则 .
【探索求证】
古今中外，勾股定理有很多证证明方法，如图②， 与 按如图所示位置放置，连接CD，其
中 ，请你利用图②推导勾股定理.
【问题解决】
如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄 ，河边原有两个取水点 ， ，其中 ，由于某种
原因，由 到 的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点 （ 、 、 在同
一条直线上），并新修一条路CH，且 .测得 千米， 千米，求新路CH比原路CA
少多少千米？
【延伸扩展】
在第（2）向中若 时， ， ， ， ，设 ，求 的值.
14．（24-25七年级上·山东威海·期末）【问题情境】
数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，
和 是一个台阶两个相对的端点．
【探究实践】
老师让同学们探究：如图①，若 点处有一只蚂蚁要到 点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到 点
的最短路程是多少？
（1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20．宽为15
的长方形，连接 ，经过计算得到 长度为___________，就是最短路程．
【变式探究】
（2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是 ，高是 ，若蚂蚁从点 出发沿着玻
璃杯的侧面到点 ，则蚂蚁爬行的最短距离为___________．-【拓展应用】
（3）如图④，圆柱形玻璃杯的高 ，底面周长为 ，在杯内壁离杯底 的点 处有一滴蜂蜜，此
时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿 ，且与蜂蜜相对的点 处，则蚂蚁从外壁 处到内壁 处所爬
行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计）（画出示意图并进行计算）
15．（24-25八年级上·河南郑州·期中）勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基
石”．世界上几个文明古国都已发现并且进行了广泛深入的研究，其中一个有趣的证法如下：把两个全等
的直角三角形 （如图1放置， ， 点 在边 上，现设
两直角边长分别为 、 ，斜边长为 ，请用 、 、 分别表示出梯形 、
四边形 、 的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理，
(1)请根据上述图形的面积关系证明勾股定理；
(2)如图2，铁路上 、 两点（看作直线上的两点）相距16千米， 为两个村庄（看作直线上的两点），
， ，垂足分别为 、 ， 千米， 千米，则两个村庄的距离为_____千米．
(3)在（2）的背景下，若 千米， 千米， 千米，要在 上建造一个供应站 ，使得
，请在图2中作出 点的位置并求出 的距离．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．
