文档内容
专题03 二次根式的加减 重难点题型专训（10大题型+15道拓展培优）
【题型目录】
题型一 同类二次根式
题型二 二次根式的加减运算
题型三 二次根式的混合运算
题型四 分母有理化
题型五 已知字母的值，化简求值
题型六 已知条件式，化简求值
题型七 比较二次根式的大小
题型八 二次根式的实际应用
题型九 二次根式的新定义问题
题型十 二次根式的阅读理解类问题
【知识梳理】
知识点1： 同类二次根式
1. 同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。
2. 合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并
m√a+n√a=(m+n)√a(a≥0)
的依据式乘法分配律，如
知识点2： 二次根式的加减
1. 二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进
行合并。
2. 二次根式加减运算的步骤：
①化：将各个二次根式化成最简二次根式；
②找：找出化简后被开方数相同的二次根式；
③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方
数保持不变。
知识点3：二次根式的混合运算
二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括
号里面的（或先去掉括号）【经典例题一 同类二次根式】
【例1】（2024上·河北石家庄·八年级校考期末）若最简二次根式 可以与 合并，则 的值可以是
（ ）
A．5 B．4 C．2 D．1
【答案】C
【分析】本题考查合并同类二次根式，涉及同类二次根式、最简二次根式、合并同类二次根式等知识，由
题意，将 化为最简二次根式 ，从而得到 ，解方程即可得到答案，熟记最简二次根式及同
类二次根式的定义是解决问题的关键．
【详解】解： ， 是最简二次根式，且 可以与 合并，
，解得 ，
故选：C．
【变式训练】
1．（2020上·上海杨浦·七年级校考阶段练习）在根式中，同类二次根式有（ ）组
① 和 ；② 和 ；③ 和 ；④ 和 ；⑤ 和
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据同类二次根式的定义，把各个二次根式化简为最简二次根式，找出被开方数相同的一组即可
得求解．
【详解】① ， ，不是同类二次根式；
② 是最简二次根式， ，是同类二次根式；③ 和 ，不是同类二次根式；
④ ， ，是同类二次根式；
⑤ ， ，是同类二次根式；
同类二次根式有三组，
故选：C．
【点睛】本题考查同类二次根式的定义，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，
就把这几个二次根式叫做同类二次根式．把二次根式正确化简为最简二次根式是解题关键．
2．（2023下·湖北恩施·八年级校考期中）若最简二次根式 和 可以合并，则 的平方根
是 ．
【答案】
【分析】根据最简二次根式的定义得出关于 、 的值，代入计算结果后再求平方根即可得出答案．
【详解】 最简二次根式 和 可以合并，
，
，
的平方根是
故答案为： ．
【点睛】此题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的性质是解题的关键．
3．（2023下·江苏扬州·八年级统考期末）已知二次根式 ．
(1)求使得该二次根式有意义的 的取值范围；
(2)已知 是最简二次根式，且与 可以合并，
求 的值；求 与 的乘积．
【答案】(1) ；
(2) ； ．
【分析】（1）根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于 进行求解即可；
（2） 根据最简根式和同类二次根式的定义可得 ，解方程即可得到答案；
根据 所求利用二次根式的乘法计算法则求解即可．
【详解】（1）（1）∵二次根式 有意义，
∴ ，
解得： ，
（2） ，
∵ 与 可以合并，
∴ ，
解得： ；
由 得： ，
，
．
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，最简二次根式和同类二次根式的定义，二次根式的乘法
等等，熟知二次根式的相关知识是解题的关键．
【经典例题二 二次根式的加减运算】
【例2】（2023上·甘肃酒泉·八年级校考期末）下列计算正确的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次根式的加法运算法则，二次根式的除法运算法则，二次根式的乘法运算法则，
分母有理化等知识点，灵活运用相关运算法则是解题的关键．
根据二次根式的加法运算法则、二次根式的除法运算法则、二次根式的乘法运算法则、分母有理化逐项判
断即可解答．
【详解】解：A.由 与 不能合并，则A选项错误；
B.由 ，故B选项符合题意；
C. 由 ，故C选项不符合题意；
D.由 ，故D项不符合题意．
故选B．
【变式训练】
1．（2023上·山东济南·八年级统考期中）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查二次根式混合运算，涉及二次根式性质化简、同类二次根式、二次根式加减乘法运算等
知识，熟记二次根式性质及相关运算法则逐项判断是解决问题的关键．
【详解】解：A、根据合并二次根式运算法则， ，该选项正确，符合题意；
B、 与 不是同类二次根式，不能合并， 计算错误，不符合题意；
C、根据二次根式乘法运算法则， ，该选项错误，不符合题意；
D、根据二次根式性质， ，该选项错误，不符合题意；故选：A．
2．（2023下·山东聊城·八年级统考期中）计算 的结果是 ．
【答案】0
【分析】直接化简二次根式，再利用二次根式的加减运算法则计算得出答案．
【详解】解：原式
．
故答案为： ．
【点睛】此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．
3．（2023上·陕西西安·八年级校考阶段练习）化简：
(1) ；
(2) ；
(3)
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) .
【分析】（1）本题考查二次根式的加减混合运算，先化简二次根式，再合并同类二次根式即可得到答案；
（2）本题考查二次根式的加减乘除混合运算，先计算乘除并化简为最简二次根式，再合并同类二次根式
即可得到答案；
（3）本题考查0指数幂，负指数幂，绝对值及二次根式化简，根据 ， ，及绝对值的性质、
二次根式的性质求解即可得到答案；【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
．
【经典例题三 二次根式的混合运算】
【例3】（2024上·重庆北碚·九年级西南大学附中校考期末）估算 的值应在（ ）
A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间
【答案】A
【分析】本题考查二次根式的运算及无理数的估算，将原式计算后估算其大小即可．
【详解】解：原式 ，
，
，
，
即原式的值在1到2之间，
故选：A．
【变式训练】
1．（2023上·辽宁丹东·八年级校考期中）设 的整数部分是m，小数部分是n，则n的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键．先
根据二次根式的运算法则计算得出结果 ，然后估算 取值范围即可得出其整数部分和小数部
分．
【详解】解： ，
∵ ，
即 ，
∴ ，
又∵
∴ ，
∴ 的整数部分是 ，小数部分是 ，
故选：D．
2．（2024上·北京房山·八年级统考期末）计算 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的性质和运算法则，平方差公式分别运算，最后
相减即可得到结果，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键．
【详解】解：原式 ，
故答案为： ．
3．（2024上·北京平谷·八年级统考期末）计算：
(1) ；(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则与运算顺序是解题的关键．
（1）先把二次根式化为最简二次根式，并运算平方差公式计算，再合并同类二次根式即可；
（2）先把二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘法运算，然后合并同类二次根式即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【经典例题四 分母有理化】
【例4】（2022上·湖北武汉·八年级校考阶段练习）若 ，则式子 的值为（ ）
A． B． C． D．4
【答案】A
【分析】先利用分母有理化求得 的值，得到 的值，据此求解即可．【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握分母有理化的法则是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023上·山东青岛·八年级青岛超银中学校考自主招生）化简：
的结果是
（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】先将每个分式进行分母有理化，再计算加减即可得出答案．
【详解】解：
同理可得 ….故选B．
【点睛】本题考查了分母有理化及二次根式的加减运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
2．（2022上·广东揭阳·八年级统考期中）已知：对于正整数n，有 ，若某
个正整数k满足 ，则k＝ ．
【答案】8
【分析】解答此题的关键是读懂题意，总结规律答题．读懂规律，按所得规律把左边所有的加数写成
的形式，把互为相反数的项结合，可使运算简便．
【详解】解： ，
，
即 ，
，
解得 ．
故答案为：8
3．（2024上·河北石家庄·八年级校考期中）阅读下面的材料，解答后面给出的问题：
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，
例如 与 与 ．这样，化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘分母的
有理化因式的方法就可以了，例如：．
(1)请仿照上面给出的方法，化简： ；
(2)计算： ．
【答案】(1)
(2)9
【分析】本题主要考查了二次根式的分母有理化、二次根式的运算等知识点，掌握分母有理化的定义是解
题的关键．
（1）给分子、分母同乘以分母的有理化因式，然后再进行运算即可解答；
（2）先对每个分式分母有理化，然后再进行加减运算即可解答.
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．【经典例题五 已知字母的值，化简求值】
【例5】（2023下·山东淄博·八年级统考期中）已知 ，则代数式 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】把 代入计算解题即可．
【详解】解：
，
故选D．
【点睛】本题考查已知未知数的值，求代数式的值，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023下·河北承德·八年级统考期末）若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将原式变形为 ，然后将 的值代入计算即可．
【详解】解： ，．
故选： ．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，代数式求值，解答本题的关键是熟练掌握完全平方公式和二
次根式的性质．
2．（2023上·四川巴中·九年级四川省巴中中学校考阶段练习）已知 ，求代数式
【答案】0
【分析】对所求式提公因式、配方整理成 ，再代入求解即可．
【详解】解：
，
∵ ，
∴原式
，
故答案为：0．
【点睛】本题主要考查了代数式求值以及二次根式混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．3．（2023上·陕西榆林·八年级校联考期末）我们知道 ，因此将 分子、分
母同时乘“ ”，分母就变成了1，原式可以化简为 ，所以有 ．
请仿照上面的方法，解决下列各题．
(1)化简： ， ；
(2)若 ， ，求 的值；
(3)根据以上规律计算下列式子的值： ．
【答案】(1) ，
(2)31
(3)
【分析】本题考查二次根式的混合运算、分母有理化、数字类规律探究，熟练掌握分母有理化是解答的关
键．
（1）利用分母有理化的计算方法求解即可；
（2）先利用分母有理化化简x、y，再代值求解即可；
（3）利用分母有理化得出的结论化简各项，进而求解即可．
【详解】（1）解： ，
，
故答案为： ， ；（2）解：∵ ，
，
∴ ， ，
∴
；
（3）解：∵
∴
．
【经典例题六 已知条件式，化简求值】
【例6】（2023上·福建泉州·九年级校联考期中）已知 ，则 的值为（ ）
A． B． C．2025 D．2020
【答案】A
【分析】本题考查了二次根式的求值，分式的求值．根据已知，利用完全平方公式计算得到 ，去
分母得到 ，再整体代入计算即可求解．【详解】解：∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
故选：A．
【变式训练】
1．（2023·湖北武汉·模拟预测）若三个实数 ， ， 满足 ，且 ，则有：
，则 的值（ ）
A． B． C．2023 D．
【答案】B
【分析】结合所给的条件，把所求的式子进行化简，再求值即可．
【详解】解： 三个实数 ， ， 满足 ，且 ，
．故选：B．
【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值，数字的变化规律，分式的加减法，解答的关键是理解清楚所
给的条件．
2．（2023上·四川达州·八年级校联考期中）如果 ，那么 ．
【答案】
【分析】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．先求出 ，再由
得出答案．
【详解】解： ，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为： ．
3．（2023上·陕西西安·八年级西安市第三中学校考期中）已知 ，求 的值．小明是这
样分析与解答的：
∴ ，
∴ ．
∴ ，即 ．
∴ ，∴ ．
青你根据小明的分析过程，解决下列问题：
(1)化简： _________；
(2)计算： ；
(3)若 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）直接分母有理化得出答案；
（2）直接分母有理化得出答案；
（3）根据题意得出 的值，再得出 ，然后把原式变形得出答案即可．
【详解】（1）解： ．
故答案为： ；
（2）原式
；
（3）∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，∴ ，
∴ ．
【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算、二次根式化简求值、运用平方差公式和完全平方公式进行
运算等知识，正确完成二次根式的化简是解题关键．
【经典例题七 比较二次根式的大小】
【例7】（2023上·福建泉州·八年级统考期末）若
，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分别将a、b、c平方，利用完全平方公式和二次根式的性质化简后对平方进行比较得出结论．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
，
∵ ，即 ，
∵a、b、c都是大于0的实数，
∴ ，
故选：A．
【点睛】本题考查了完全平方公式、二次根式大小的比较等知识点，利用完全平方公式计算出值，是解决
本题的关键．
【变式训练】
1．（2023下·重庆渝北·八年级礼嘉中学校考阶段练习）二次根式除法可以这样做：如果．像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或者把根号
中的分母化去，叫做分母有理化．有下列结论：
①将式子 进行分母有理化，可以对其分子、分母同时乘以 ；
②若a是 的小数部分，则 的值为 ；
③比较两个二次根式的大小： ；
④计算 ；
⑤若 ， ，且 ，则整数 ．
以上结论正确的是（ ）
A．①③④ B．①②④⑤ C．①③⑤ D．①③④⑤
【答案】D
【分析】①类比示例，利用分式的基本性质进行分母有理化；
②估计无理数的整数部分，求出小数部分 ，进而分母有理化进行化简；
③通过分母有理化，比较两个二次根式的大小；
④通过分母有理化找到题中无理式求和的运算规律，从而化简求出值；
⑤ 与y可以利用分母有理化化简，可得出x与y互为倒数，故 ，然后观察方程特点，求得n的值．
【详解】解： ，故将式子 进行分母有理化，可以对其分子、分母同
时乘以 ，故①正确；
∵a是 的小数部分，
∴ ，∴ ，故②错误；
∵ ， ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故③正确；
∵
，故④正确；
⑤∵ ，
∴ ，∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
，
，
，
，
∵ ，
∴ ，
即 ，
解得 ，故⑤正确．
故选：D．
【点睛】本题考查利用分式的基本性质、平方差公式进行分母有理化，解决二次根式的化简、比较大小和
运算的问题，熟练掌握知识点是解题的关键．
2．（2023上·宁夏银川·八年级银川唐徕回民中学校考期中）比较下列各数大小：
① ；② ；③
【答案】
【分析】本题主要考查了实数的比较大小、比较二次根式的大小，熟练掌握比较方法是解此题的关键．
（1）首先比较 与 的大小，根据负数绝对值大的反而小，即可得解；
（2）通过比较 与1的大小即可求解；（3） ， ，比较被开方数的大小即可；
【详解】解：① ，
；
故答案为： ；
② ；
；
故答案为： ；
③ ， ，且 ；
；
故答案为： ；
3．（2023上·四川宜宾·八年级四川省宜宾市第二中学校校考期中）观察下列一组等式，然后解答后面的问
题．
， ， ， ，……
(1)观察上面的规律，计算下面的式子：
(2)利用上面的规律，试比较 与 的大小．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的分母有理化，熟练掌握公式，正确进行分母有理化是解题的关键．
（1）根据给出式子的规律，进行分母有理化，后计算即可 ．
（2）根据给出式子的规律，进行分母有理化，后计算即可 ．
【详解】（1）∵ ， ， ，，
∴
．
（2）∵ , ,
∴ ,
,
∵ ,
∴ ,
∴ ．
【经典例题八 二次根式的实际应用】
【例8】（2023上·广东深圳·八年级校考期中）已知三角形的三边长分别为a、b、c，求其面积．
对此问题，中外数学家曾经进行过深入研究．
古希腊几何学家海伦（Heron，约公元50年），给出了求其面积的海伦公式：
，其中 ①
我国南宋时期数学家秦九韶（约1202~1261），给出了著名的秦九韶公式：
．②若一个三角形的三边长依次为 ， ， ，请选用适当的公式求出这个三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由分析可得，代入公式②中比较容易计算，把 分别代入进行计算解答．
【详解】解：∵ ， ， 不是同类二次根式，无法合并，代入公式①中计算不方便，
∴可代入公式②进行计算，
∵ ，
∴ ；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的运算法则．
【变式训练】
1．（2023下·河北保定·八年级统考期中）要用栅栏围成如图所示的两个正方形鸡圈，它们的面积分别为
， ，则所需栅栏的总长度最少为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据正方形面积公式求出两个相邻的正方形鸡圈的边长，再根据平移和长方形周长公式可求需
要的栅栏的总长度．
【详解】解：∵两个相邻的正方形鸡圈的面积分别为 ， ，∴两个相邻的正方形鸡圈的边长是 ， ，
∴需要的栅栏的总长度是 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的应用，关键是求出两个相邻的正方形鸡圈的边长．
2．（2023上·福建漳州·八年级福建省长泰县第一中学校考期中）在一个正方形 的内部按照如图方式
放置大小不同的两个小正方形，其中较大的正方形 面积为20，两个小正方形重叠部分的面积为
5，空白部分的面积总和为 ，则较小的正方形 面积为 ．
【答案】
【分析】根据面积可求得大正方形和阴影部分的边长，从而求得空白部分的长；观察可知两块空白部分全
等，则可得到一块空白的面积；通过长方形面积公式渴求空白部分的宽，最后求出小正方形的边长即可求
出面积．
【详解】∵观察可知，两个空白部分的长相等，宽也相等，
∴重叠部分也为正方形，
∵空白部分的面积为 ，
∴一个空白长方形面积= ，
∵较大的正方形 面积为20，两个小正方形重叠部分的面积为5，
∴正方形 边长= ，重叠部分边长= ，
∴空白部分的长= ，设空白部分宽为 ，
∴小正方形 的边长=空白部分的宽+阴影部分边长= ，
∴小正方形 面积= ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，观察图形得到各个正方形边长之间的关系是解题的关键．
3．（2024上·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记 ，
那么三角形的面积为 .
古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年），在数学史上以解决几何测量问题而闻名.在他的著作《度
量》一书中，给出了公式 和它的证明，这一公式称为海伦公式.
我国南宋时期数学家秦九韶（约1202-1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式
.
(1)在 中， ， ， ，利用上面公式 求 的面积；
(2)求证： .
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题考查了二次根式的应用，三角形面积的计算，熟练掌握海伦公式和秦九韵公式是解题的关键．
（1）根据海伦公式计算三角形的面积即可；
（2）根据海伦公式和秦九韵公式即可得到结果．
【详解】（1）解： ， ， ，
，的面积 ；
故答案为： ；
（2）证明： ，
．
【经典例题九 二次根式的新定义问题】
【例9】（2023春·贵州黔西·八年级校考阶段练习）我们规定用(a，b)表示数对，给出如下定义：记
1
m= ，n=❑√b（a>0，b>0），将(m，n)与(n，m)称为数对(a，b)的一对“对称数对”．例如：
❑√a
(1 ) ( 1)
(4，1)的一对“对称数对”为 ，1 与 1， ．
2 2
(1)数对(25，4)的一对“对称数对”是______和______；
(2)若数对(3，y)的一对“对称数对”的两个数对相同，求y的值；
(3)若数对(x，2)的一对“对称数对”的其中一个数对是(❑√2，1)，求x的值．
1 1
【答案】(1)( ，2)和(2， )
5 51
(2)y=
3
(3)x=1
1
【分析】（1）根据题意将a=25，b=4代入m= ，n=❑√b即可；
❑√a
1
（2）(3，y)）的一对“对称数对”的两个数对相同说明 =❑√y相等，求出y即可；
❑√3
❑√x
（3）将数对(x，2)的一对“对称数对”求出来，即得出 =1，解出x即可．
x
1 1
【详解】（1）∵ = ，❑√4=2，
❑√25 5
1 1
∴数对(25，4)的一对“对称数对”是( ，2)和(2， )．
5 5
1 1
故答案为：( ，2)和(2， )；
5 5
（2）∵数对(3，y)的一对“对称数对”的两个数对相同，
1
∴ =❑√y，
❑√3
1
解得：y= ；
3
1 ❑√x
（3）∵ = ，
❑√x x
❑√x ❑√x
∴数对(x，2)的“对称数对”分别为( ，❑√2)和(❑√2， )．
x x
∵数对(x，2)的一对“对称数对”的其中一个数对是(❑√2，1)，
❑√x
∴只可能为 =1，
x
解得：x=1．
【点睛】本题考查新定义题型，严格按照新定义要求，结合学过的相关知识根据题意列方程求解是解决问
题的关键．
【变式训练】
1、（2023春·全国·八年级专题练习）定义：若两个二次根式a，b满足a⋅b=c，且c是有理数，则称a与
b是关于c的共轭二次根式．(1)若a与❑√2是关于4的共轭二次根式，求a的值；
(2)若2+❑√3与4+❑√3m是关于2的共轭二次根式，求m的值．
【答案】(1)2❑√2
(2)-2
【分析】（1）根据共轭二次根式的定义建立等式，即可得到答案；
（2）根据共轭二次根式的定义建立等式，即可得到答案．
【详解】（1）∵a与❑√2是关于4的共轭二次根式，
∴❑√2a=4．
4
∴a= =2❑√2．
❑√2
（2）∵2+❑√3与4+❑√3m是关于2的共轭二次根式，
∴(2+❑√3)⋅(4+❑√3m)=2．
2 2(2−❑√3)
∴4+❑√3m= = =4−2❑√3．
2+❑√3 (2+❑√3)(2−❑√3)
∴m=−2．
【点睛】此题主要考查了新定义共轭二次根式的理解和应用，并会利用二次根式的性质进行计算．
2、（2023春·重庆涪陵·八年级统考期末）对于任意实数m，n，若定义新运算m⊗n=
{❑√m−❑√n(m≥n),)
❑√m+❑√n(m2，
∴18⊗2=❑√18−❑√2=3❑√2−❑√2=2❑√2，
所以①正确；1 1 1 1
+ + +⋅⋅⋅+
1⊗2 2⊗3 3⊗4 99⊗100
1 1 1 1
= + + +⋯+
1+❑√2 ❑√2+❑√3 ❑√3+❑√4 ❑√99+❑√100
=❑√2−1+❑√3−❑√2+⋯+❑√100−❑√99
=❑√100−❑√1
=100⊗1
所以②正确；
当a≥b时，(a⊗b)⋅(b⊗a)=(❑√a−❑√b)(❑√b+❑√a)=a−b=|a−b)，
当a0)
，则称
−y(x<0)
点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点（3，2）的“横负纵变点”为（3，2），点（﹣2，5）的“横负
纵变点”为（﹣2，﹣5）．
请选择合适的材料解决下面的问题：
(1)点(❑√2,−❑√3)的“横负纵变点”为______，点(−3❑√3,−2)的“横负纵变点”为______；
(2)化简：❑√7+2❑√10；
1
(3)已知a为常数（1≤a≤2），点M（−❑√2，m）且m= (❑√a+2❑√a−1+❑√a−2❑√a−1)，点M′是点M
❑√2
的“横负纵变点”，求点M′'的坐标．【答案】(1)（❑√2，−❑√3）；（−3❑√3，2）
(2)❑√5+❑√2
(3)（﹣❑√2，﹣❑√2）
【分析】（1）根据“横负纵变点”的定义，y′={
y(x>0)
，即可；
−y(x<0)
（2）根据材料一，双重二次根式的化简，将❑√7+2❑√10化为(❑√5) 2+2❑√10+(❑√2) 2，再根据
a2±2ab+b2=(a±b) 2，即可化简；
1
（3）根据1≤a≤2，得❑√a−1−1≤0；将m= (❑√a+2❑√a−1+❑√a−2❑√a−1)化简得
❑√2
1
m= ( ❑√ (❑√a−1+1) 2+❑√ (❑√a−1−1) 2 ；根据❑√a2±2ab+b2=|a±b|，得
❑√2
1
m= (|❑√a−1+1|+|❑√a−1−1|，求出m的值，求出M的坐标，根据横负纵变点”的定义，
❑√2
y′={
y(x>0)
，即可求出M′的坐标．
−y(x<0)
【详解】（1）∵❑√2>0
∴点（❑√2，−❑√3）的“横负纵变点”为（❑√2，−❑√3）
∵−3❑√3<0
∴点（−3❑√3，−2）的“横负纵变点”为（−3❑√3，2）
故答案为：（❑√2，−❑√3）；（−3❑√3，2）．
（2）❑√7+2❑√10
=❑√ (❑√5) 2+2❑√10+(❑√2) 2
=❑√ (❑√5+❑√2) 2
=❑√5+❑√2
∴❑√7+2❑√10化简得：❑√5+❑√2．
（3）∵1≤a≤2
∴0≤a−1≤2−1
∴0≤a−1≤1∴0≤❑√a−1≤1
∴❑√a−1−1≤0
1
∵m= (❑√a+2❑√a−1+❑√a−2❑√a−1)
❑√2
1
= ( ❑√ (❑√a−1) 2+2❑√a−1×1+12+❑√(❑√a−1)2−2❑√a−1×1+12 )
❑√2
1
= ( ❑√ (❑√a−1+1) 2+❑√ (❑√a−1−1) 2
❑√2
1
= (|❑√a−1+1|+|❑√a−1−1|)
❑√2
1
∴m= (❑√a−1+1+1−❑√a−1)
❑√2
1
∴m= ×2=❑√2
❑√2
∴点M（−❑√2，❑√2）
∵−❑√2<0
∴M′（−❑√2，−❑√2）
故M′的坐标为：（−❑√2，−❑√2）．
【点睛】本题考查了二次根式的加减，新定义等知识，解题的关键是理解新定义公式，化简最简二次根
式．
【经典例题十 二次根式的阅读理解类问题】
【例10】（2023春·江苏·八年级期末）阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2❑√2=(1+❑√2) 2 ．善于
思考的小明进行了以下探索：
设a+b❑√2=(m+n❑√2) 2 （其中a、b、m、n均为整数），则有a+b❑√2=m2+2n2+2mn❑√2．
∴a=m2+2n2，b=2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b❑√2的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)当a、b、m、n均为正整数时，若a+b❑√3=(m+n❑√3) 2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a=
，b= ；(2)利用所探索的结论，请找一组正整数a、b、m、n填空：
+❑√3=(+❑√3) 2 ；
(3)若a−6❑√5=(m−n❑√5) 2且a、m、n均为正整数，求a的值．
【答案】(1)m2+3n2，2mn
(2)13，4，1，2
(3)14或46
【分析】（1）根据上面的例子，将(m+n❑√3) 2，按完全平方展开，可得出答案；
（2）由（1）可写出一组答案，不唯一；
（3）将(m−n❑√5) 2展开得出m2−2❑√5mn+5n2，由题意得mn=3，m2+5n2=a，再由a、m、n均为正整
数，可得出答案．
【详解】（1）解：∵a+b❑√3=(m+n❑√3) 2，
∴a+b❑√3=m2+3n2+2mn❑√3，
∴a=m2+3n2，b=2mn；
故答案为：m2+3n2，2mn．
（2）由（1）可得a=13，b=4，m=1，n=2；
故答案为：13，4，1，2．
（3）∵a−6❑√5=(m−n❑√5) 2，
∴a+b❑√5=m2+5n2+2mn❑√5，
∴mn=3，m2+5n2=a，
∵a、m、n均为正整数，
∴m=3，n=1，a=14或m=1，n=3，a=46；
故答案为：14或46．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，分析所给的材料进行解答是解题的关键．
【变式训练】
1、（2023春·江西赣州·八年级统考期中）阅读材料并解决问题：1 = ❑√3−❑√2 = ❑√3−❑√2 =❑√3−❑√2 ，像上述解题过程中， ❑√3+❑√2 与 ❑√3−❑√2 相乘
❑√3+❑√2 (❑√3+❑√2)(❑√3−❑√2) (❑√3) 2 −(❑√2) 2
的积不含二次根式，我们可以将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化．
解答下面的问题：
1 1 1
(1)计算： = ___________， = ___________；若n为正整数，请你猜想 =
❑√2+❑√1 ❑√4+❑√3 ❑√n+1+❑√n
___________．
( 1 1 1 )
(2)计算： + +⋅⋅⋅+ ×(❑√2022+1)；
❑√2+1 ❑√3+❑√2 ❑√2022+❑√2021
( 2 2 2 )
(3)计算： + +⋅⋅⋅+ ×(❑√2024+1)．
❑√3+1 ❑√5+❑√3 ❑√2024+❑√2022
【答案】(1)❑√2−1；❑√4−❑√3（或2−❑√3)；❑√n+1−❑√n
(2)2021
(3)2023
【分析】（1）分子分母同时乘以有理化因式，再化简整理即可；
（2）将括号内每一项都进行分母有理化，再相消，整理之后利用平方差公式求解即可；
（3）先进行分母有理化，然后再进行计算即可解答．
1 ❑√2−❑√1 ❑√2−❑√1
【详解】（1）解： = = =❑√2−❑√1=❑√2−1；
❑√2+❑√1 (❑√2+❑√1)(❑√2−❑√1) 2−1
1 ❑√4−❑√3 ❑√4−❑√3
= = =❑√4−❑√3（或2−❑√3)；
❑√4+❑√3 (❑√4+❑√3)(❑√4−❑√3) 4−3
1 ❑√n+1−❑√n ❑√n+1−❑√n
= = =❑√n+1−❑√n；
❑√n+1+❑√n (❑√n+1+❑√n)(❑√n+1−❑√n) n+1−n
( 1 1 1 )
（2）解： + +…+ (❑√2022+1)
❑√2+❑√1 ❑√3+❑√2 ❑√2022+❑√2021
=(❑√2−❑√1+❑√3−❑√2+…+❑√2022−❑√2021)(❑√2022+1)
=(❑√2022−1)(❑√2022+1)=2022−1
=2021．
( 2 2 2 )
（3）解： + +⋅⋅⋅+ ×(❑√2024+1)
❑√3+1 ❑√5+❑√3 ❑√2024+❑√2022
[ 2(❑√3−1) 2(❑√5−❑√3) 2(❑√2024−❑√2022) )
= + +⋅⋅⋅+ ×(❑√2024+1)
(❑√3+1)(❑√3−1) (❑√5+❑√3)(❑√5−❑√3) (❑√2024+❑√2022)(❑√2024−❑√2022)
=(❑√3−1+❑√5−❑√3+⋅⋅⋅+❑√2024−❑√2022)(❑√2024+1)
=(❑√2024−1)(❑√2024+1)
=2023．
【点睛】本题主要考查分母有理化，二次根式混合运算，解题的关键是理解材料中分母有理化的方法并应
用方法解决问题．
2、（2023春·八年级单元测试）阅读下述材料：
我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，
与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式，比如：
(❑√7−❑√6)(❑√7+❑√6) 1
❑√7−❑√6= = ，
❑√7+❑√6 ❑√7+❑√6
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：
比较❑√7−❑√6和❑√6−❑√5的大小．可以先将它们分子有理化如下：
1 1
❑√7−❑√6= ， ❑√6−❑√5= ，
❑√7+❑√6 ❑√6+❑√5
因为❑√7+❑√6>❑√6+❑√5，所以❑√7−❑√6<❑√6−❑√5．
再例如：求y=❑√x+2−❑√x−2的最大值．做法如下：
4
解：由x+2≥0,x−2≥0可知x≥2，而y=❑√x+2−❑√x−2= ，
❑√x+2+❑√x−2
当x=2时，分母❑√x+2+❑√x−2有最小值2，所以y的最大值是2．
解决下述问题：
（1）比较3❑√2−4和2❑√3−❑√10的大小；
（2）求y=❑√1−x+❑√1+x−❑√x的最大值和最小值．
【答案】（1）3❑√2−4<2❑√3−❑√10；（2）y的最大值为2，最小值为❑√2−1．2 2
【分析】（1）利用分子有理化得到3❑√2−4= ，2❑√3−❑√10= ，然后比较3❑√2+4和
3❑√2+4 2❑√3+❑√10
2❑√3+❑√10的大小即可得到3❑√2−4与2❑√3−❑√10的大小；
1
（2）利用二次根式有意义的条件得到0⩽x⩽1，而y=❑√1−x+ ，利用当x=0时，
❑√1+x+❑√x
1 1
有最大值1，❑√1−x有最大值1得到所以y的最大值；利用当x=1时， 有最小值
❑√1+x+❑√x ❑√1+x+❑√x
❑√2−1，❑√1−x有最小值0得到y的最小值．
(3❑√2+4)(3❑√2−4) 2
【详解】解：（1）3❑√2−4= = ，
3❑√2+4 3❑√2+4
(2❑√3+❑√10)(2❑√3−❑√10) 2
2❑√3−❑√10= = ，
2❑√3+❑√10 2❑√3+❑√10
而3❑√2>2❑√3，4>❑√10，
∴3❑√2+4>2❑√3+❑√10，
∴3❑√2−4<2❑√3−❑√10；
（2）由1−x⩾0，1+x⩾0，x⩾0得0⩽x⩽1，
1
y=❑√1−x+❑√1+x−❑√x=❑√1−x+ ，
❑√1+x+❑√x
1
∴当x=0时，❑√1+x+❑√x有最小值，则 有最大值1，此时❑√1−x有最大值1，所以y的最大值
❑√1+x+❑√x
为2；
1
当x=1时，❑√1+x+❑√x有最大值，则 有最小值❑√2−1，此时❑√1−x有最小值0，所以y的最小
❑√1+x+❑√x
值为❑√2−1．
【点睛】本题考查了非常重要的一种数学思想：类比思想．解决本题关键是要读懂例题，然后根据例题提
供的知识点和方法解决问题．同时要注意所解决的问题在方法上类似，但在细节上有所区别．
3、（2023春·广东惠州·八年级阶段练习）阅读材料：
①我们知道：式子|x+1)的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数−1的点之间的距离，且
|x+1)＝❑√(x+1) 2；
②把根式 进行化简，若能找到两个数m、n，是 且 ，则把x±2 变成
❑√x±2❑√y m2+n2=x mn=❑√y ❑√y开方，从而使得 化简．如： ＝ ＝
m2+n2±2mn=(m±n) 2 ❑√x±2❑√y ❑√3+2❑√2 ❑√1+2❑√2+2
＝ ＝ ；
❑√(❑√1) 2+2×1×❑√2+(❑√2) 2 ❑√(1+❑√2) 2 |1+❑√2)=1+❑√2
(1)化简：❑√5+2❑√6．
1 1 1 1
+ + +
(2)计算：
❑√3+2❑√2 ❑√5+2❑√6 ❑√7+2❑√12 ❑√9+4❑√5
(3)直接写出代数式❑√x2+2x+5+❑√x2−22x+130的最小值为 ．
【答案】(1)❑√2+❑√3
(2)❑√5−1
(3)5
【分析】（1）先将根号下的数变形为完全平方公式格式，再化简即可；
（2）先将各个分母化为完全平方公式格式，再分母有理化，最后合并即可得出答案；
（3）先根据完全平方公式化简，再根据非负数的性质得出(x+1) 2+4≥4，(x−11) 2+9≥9，即可求出最
小值．
【详解】（1）❑√5+2❑√6
=❑√2+2❑√6+❑√3
=❑√(❑√2) 2+2×❑√2×❑√3+(❑√3) 2
=❑√(❑√2+❑√3) 2
=|❑√2+❑√3)
=❑√2+❑√3
1 1 1 1
+ + +
（2）
❑√3+2❑√2 ❑√5+2❑√6 ❑√7+2❑√12 ❑√9+4❑√5
1 1 1 1
= + + +
❑√1+2❑√2+2 ❑√2+2❑√6+3 ❑√3+2❑√12+4 ❑√4+2❑√20+5
1 1 1 1
= + + +
1+❑√2 ❑√2+❑√3 ❑√3+❑√4 ❑√4+❑√5❑√2−1 ❑√3−❑√2 ❑√4−❑√3 ❑√5−❑√4
= + + +
(❑√2+1)(❑√2−1) (❑√3+❑√2)(❑√3−❑√2) (❑√4+❑√3)(❑√4−❑√3) (❑√5+❑√4)(❑√5−❑√4)
=❑√2−1+❑√3−❑√2+❑√4−❑√3+❑√5−❑√4
=❑√5−1
（3）❑√x2+2x+5+❑√x2−22x+130
=❑√x2+2x+1+4+❑√x2−22x+121+9
=❑√(x+1) 2+4+❑√(x−11) 2+9
∵(x+1) 2≥0，(x−11) 2≥0
∴(x+1) 2+4≥4，(x−11) 2+9≥9
∴原式的最小值为❑√4+❑√9=2+3=5
【点睛】本题考查了二次根式的性质、分母有理化、二次根式的加减以及完全平方公式，熟练掌握公式及
性质是解题的关键．
【拓展培优】
1．（2024上·河北唐山·八年级统考期末）下列二次根式中，可与 进行合并的二次根式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了同类二次根式的定义，根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据同类二次根式
的定义判断即可，掌握二次根式的性质是解题的关键．
【详解】 、由 ，则 与 可以进行合并，符合题意；
、由 ，则 与 不可以进行合并，不符合题意；
、由 ， ，则 与 不可以进行合并，不符合题意；
、由 ， ，则 与 不可以进行合并，不符合题意；故选： ．
2．（2024上·河北承德·八年级统考期末）下列说法正确的是（ ）
A． 是最简二次根式 B．在数轴上找不到
C．1的立方根与1的平方根相等 D． 和 是同类二次根式
【答案】A
【分析】本题考查了最简二次根式，数轴与点，平方根与立方根，同类二次根式，根据性质判断解答即可．
【详解】A. 是最简二次根式，正确，符合题意；
B. 在数轴上能找到 ，错误，不符合题意；
C. 1的立方根是1，1的平方根是 ，错误，不符合题意；
D. ， ，不是同类二次根式，错误，不符合题意；
故选A．
3．（2024上·重庆沙坪坝·九年级重庆一中校考期末）估计 的值应在（ ）
A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间
【答案】C
【分析】先计算可得原式 ，再估算出 的大小，即可求解．本题主要考查估算无理数的大小，
二次根式的混合运算，解题的关键在于求出无理数的范围．
【详解】解：
∵ ，
∴ ，
即
∴ 的值应在2和3之间．故选：C
4．（2023上·河南南阳·九年级统考期中）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的运算，根据二次根式的性质及运算法则分别运算即可判断求解，掌握二次
根式的性质及运算法则是解题的关键．
【详解】解： 、 ，故该选项错误，不合题意；
、 ，故该选项错误，不合题意；
、 ，故该选项正确，符合题意；
、 ，故该选项错误，不合题意；
故选： ．
5．（2023上·河北张家口·八年级统考期末）二次根式除法可以这样做：如
．像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或者把根号
中的分母化去，叫做分母有理化．有下列结论：
①将式子 进行分母有理化，可以对其分子、分母同时乘以 ；
②若 是 的小数部分，则 的值为 ；
③比较两个二次根式的大小： ；
④计算 ．
以上结论正确的是（ ）
A．①③④ B．①④ C．①②③ D．①③【答案】D
【分析】本题考查利用分式的基本性质、平方差公式进行分母有理化．
①类比示例，利用分式的基本性质进行分母有理化；
②估计无理数的整数部分，求出小数部分 ，进而分母有理化进行化简；
③通过分母有理化，比较两个二次根式的大小；
④通过分母有理化找到题中无理式求和的运算规律，从而化简求出值．
【详解】解：① ，故将式子 进行分母有理化，可以对其分子、分母
同时乘以 ，故①正确；
②∵a是 的小数部分，
∴ ，
∴ ，故②错误；
③∵ ， ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故③正确；
④∵，故④错误；
综上，①③正确．
故选：D．
6．（2024上·上海浦东新·八年级上海市民办新竹园中学校考期末）已知函数 ，那么
．
【答案】
【分析】本题考查了求函数值，根据定义，代入计算即可．
【详解】∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
7．（2023上·四川成都·八年级校考期中）已知 ，则 化简的结果为
．
【答案】 /
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，偶次方和算术平方根的非负性，二次根式有意义的条件，分母
有理化，根据二次根式有意义的条件得出 ，从而得到 ，根据非负数的性质得出
， ，最后代入式子中进行计算，即可解答，准确熟练地进行计算是解题的关键．
【详解】解：由题意得： ， ，解得： ， ，
，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
8．（2023上·江苏苏州·八年级苏州市立达中学校校考期中）我国南宋著名的数学家秦九韶，曾提出利用三
角形的三边求面积的“秦九临公式”：如果一个三角形的三边长分别为 ，则三角形的面积
．依据上述公式，若一个三角形的三边长分别是5，6，7，则这个三角形的
面积等于 ．
【答案】
【分析】本题考查了代数式求值，二次根式的应用，理解题意将边长代入正确求值是解答本题的关键．根
据题中给出的“秦九临公式”，把三边长直接带入进行求解即可．
【详解】解：根据 ， 的三边长分别为5，6，7，
，
故答案为： ．
9．（2023上·河北衡水·八年级校联考阶段练习）已知 是实数，且满足 ．
（1） ；（2） ．
【答案】 /
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、二次根式的加减，熟练掌握二次根式的被开方数大于等于零、
二次根式的加减的运算法则是解此题的关键．
（1）根据二次根式有意义的条件得出 ， ，从而得出 ，即可得解；
（2）将 代入式子，求出 的值，再将 的值代入计算即可．
【详解】解：（1）由题意得： ， ，
解得： ，
故答案为： ；
（2）由（1）得： ，
，
，
故答案为： ．
10．（2023上·河北秦皇岛·八年级校考阶段练习）阅读下面问题：
；
；……
计算：（1） ； ；
（2） ； ．
【答案】 / /
【分析】（1）利用平方差公式进行分母有理化即可得到答案；（2）把 变形为 ，利用平方差公式计算即可得到答案，把
变形为 ，逆用积的乘方法则和平方差公式即可得到
答案．
此考查了二次根式的分母有理化、积的乘方、平方差公式等知识，熟练掌握分母有理化是解题的关键．
【详解】解：（1） ，
，
故答案为： ，
（2） ，
故答案为： ，
11．（2024上·陕西咸阳·八年级统考期末）计算： ．
【答案】【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的性质化简，先利用二次根式的乘法法则运算，
然后把各二次根式化为最简二次根式后合并即可．
【详解】解：
．
12．（2024上·河北承德·八年级统考期末）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)6
(2)
【分析】本题考查了二次根式的运算，解题关键是熟练运用二次根式运算法则和乘法公式进行计算．
（1）利用平方差公式计算即可；
（2）先化简二次根式，再计算二次根式乘法；最后合并即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
13．（湖南省常德市初中教学联盟校2023-2024学年八年级上学期期末数学试题）【阅读材料】小明在学
习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：；
．
【类比归纳】
（1）小华仿照小明的方法将 化成了 ，则 ______， ______．
（2）请运用小明的方法化简 ．
【拓展提升】
（3）计算
．
【答案】（1）3， ；（2） ；（3）
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方式，探索规律，
（1）根据题意利用完全平方公式计算即可得出答案；
（2）先将 写成完全平方式，根据 化简即可；
（3）将每一个式子写成完全平方式，根据 化简，再根据规律计算即可得出答案．
掌握 是解题的关键．
【详解】（1）
故答案为：3， ；（2）
（3）原式
14．（2024上·湖南怀化·八年级校考期末）将边长分别为 ， ， ， 的正方形的面
积记作 ， ， ， ．
(1)计算： ， ， ；
(2)把边长为 的正方形的面积记作 ，其中n是正整数，从（1）的计算结果，你能猜出 等
于多少吗？证明你的结论．
【答案】(1) ， ，(2)猜想 ，证明见解析
【分析】本题主要考查了二次根式的应用：
（1）根据正方形面积公式得到 ，再利用平方差公式计算求解，同理可得
， 的值；
（2）根据（1）所求猜想 ，再利用平方差公式求出 的
结果即可得到答案．
【详解】（1）解；
；
；；
（2）解；猜想 ，证明如下：
．
15．（2023上·江西南昌·八年级校考期末）请阅读下列材料：
问题：已知 ，求代数式 的值．
小敏的做法是：根据 得 ，
∴ ，得： .
把 作为整体代入：得
即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题．请你用上述方法解决下面问题：
(1)己知 ，求代数式 的值；
(2)已知 ，求代数式 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用、二次根式的乘法、整体思想等知识点，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．
（1）根据完全平方公式求出 ，然后代入计算即可；掌握整体思想是解题的关键；
（2）根据完全平方公式计算可得 ，然后利用 整体代入计算
即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（2）解：∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴
．
