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期末重难点特训之压轴满分题型（110题19个考点）专练
【精选最新考试题型专训】
压轴满分题一、二次根式的分母有理化问题
1．（24-25八年级下·云南大理·期中）阅读与思考
把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫作分母有理化，通常把分子、分母同时乘一个不等
于0的数，以达到化去分母中根号的目的．
例如：化简 ．
解： ．
(1)化简 ；
(2)请根据你的猜想，归纳，运用规律计算： ．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查了分母有理化，涉及平方差公式的运用．
（1）原式各项仿照题中分母有理化的方法计算即可得到结果；
（2）先把原式各项进行分母有理化，再计算，即可得到结果．
【详解】（1）解： ；
（2）解：．
2．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·阶段练习）【发现】
我们将 称为一对“对偶式”，因为 ，所以
构造“对偶式”再将其相乘可以有效的将 和 中的“ ”去掉，于是二次根式除法可以
这样解：如 ，像这样，通过分子，分母同乘以一
个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．
【应用】
(1) 的对偶式是 ， 分母有理化得 ．
(2)①计算：
②已知： ，求 的值．
【答案】(1) ，
(2)① ；②
【分析】此题主要考查了二次根式的有理化因式，分母有理化，二次根式的混合运算，代数式求值等，解
决问题的关键是熟练掌握阅读材料中二次根式的有理化因式的定义，分母有理化的定义及计算，二次根式
的加减计算，完全平方公式，整体代入法求代数式的值．
（1）根根据材料中的方法即可求解；
（2）①原式各分母有理化，合并即可得到结果．
②将x与y分母有理化求得 和 的值，把 化为 ，再整体代入计算即可得到结果．【详解】（1）解： 的对偶式是 ， 分母有理化得： ；
故答案为： ， ；
（2）解：①
；
②∵ ，
∴ ，
，
．
3．（24-25八年级下·福建厦门·期中）在解决问题“已知 ，求 的值”时，小明是这样
分析与解答的：
，
， ， ，
， ．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
(1)比较大小： 与 ；(2)若 ，且 ，求a的值；
(3)若 ， ，求 的值．
【答案】(1)
(2) 或
(3)
【分析】本题考查了二次根式的化简求值，平方差公式、完全平方公式，解题的关键是理解题意，理清分
母有理化的过程．
（1）根据题中分母有理化的方法将两个式子分别化简，再比较即可；
（2）先分母有理化得到 ，再将 开平方得到 ，代入 ，
即可求解；
（3）先分母有理化得： ， ，再将 整理为
，再代入值求解即可．
【详解】（1）解： ，
，
，
，
即 ；
（2） ， ，或 ；
（3） ， ，
．
4．（24-25八年级下·北京·期中）阅读下述材料：
我们在学习二次根式时，学习了分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”；与
分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式，比如：
，
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：
比较 和 的大小．可以先将它们分子有理化如下：
， ，
因为 ， ．
再例如：求 的最大值．做法如下：
解：由 ， 可知 ，而 ，当 时，分母 有最小值 ，所以 的最大值是 ．
解决下述问题：
(1) ________；
(2)比较 和 的大小；
(3)求 的最大值．
【答案】(1) ， ，
(2)
(3)
【分析】本题考查了分母有理化：分母有理化是指把分母中的根号化去．也考查了平方差公式．
（1）利用分母有理化得到 ，即可解答；
（2）将 变形为 ， 变形为 ，利
用 即看判断；
（3）根据二次根式有意义的条件得到由 ，则 ，利用分母有理化得到
，由于 时， 有最小值3，从而得到y的最大值．
【详解】（1）解： ；
（2）解： ，，
∵ ，
∴ ；
∴ ；
（3）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 时， 有最小值 ，
∴ 的最大值为 ．
5．（24-25八年级下·广东惠州·期中）阅读理解：
[材料一]两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理
化因式，例如： ， ，我们称 的一个有理化因式是 ，
的一个有理化因式是 ．如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘
分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．例如： ，
．
[材料二]小明在学习了上述材料后，结合所学知识，灵活解决问题：已知 ，求 的值，他是这样分析与解答的：∵ ，∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ，∴ ．
请你根据材料中的方法，探索并解决下列问题：
(1) 的一个有理化因式是 ，分母有理化： ；
(2)计算： ；
(3)若 ，求 的值．
【答案】(1) ，
(2)44
(3)11
【分析】本题考查了有理化因式，分母有理化，以及二次根式的混合运算，熟练掌握解题方法是解题的关
键．
（1）根据有理化因式的定义去解答即可；
（2）利用分母有理化的方法计算即可；
（3）仿照提示的解题方法解答即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ 的一个有理化因式是 ，
∵ ，
故答案为： ， ．
（2）=
（3）∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
压轴满分题二、二次根式运算的规律性问题
6．（24-25八年级下·全国·课后作业）观察下列各式：
，即 ：
，即 ：
，即 ．
(1)根据你发现的规律填空：
_____________ _____________，即 _____________；
(2)猜想 （ ，n为自然数）等于什么，并验证你的猜想．【答案】(1)
(2) ，见解析
【分析】本题考查的是与二次根式相关的运算规律的探究；
（1）用二次根式的相关运算法则计算即可得到本题两空的答案；
（2）观察、分析前面四个式子的计算结果可知：当 为不小于2的自然数时，总有：
，由二次根式的运算法则把左边的式子化简变形可得右边的式子．
【详解】（1）解： ；
即 ；
（2）解：观察、分析前面四个式子可知：
当 为不小于2的自然数时： ，理由如下：
．
故当 为不小于2的自然数时： ．
7．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）观察下列各式及验证过程
验证：
，验证： ；，验证： …．．
(1)按照上述三个等式及其验证过程的基本思路，猜想 ____________；
(2)针对上述各式反映的规律，写出用第 个（ 的自然数）表示的等式，并进行验证；
(3)直接写出： ____________．
【答案】(1)
(2) ，验证见解析
(3)
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，数式规律，弄清题中的规律是解本题的关键．
（1）按照所给等式的验证过程求解即可；
（2）根据所给等式总结归纳得出第n个等式规律即可．
（3）根据 ，然后根据（2）的规律求解即可．
【详解】（1）解：
故答案为：
（2）解：∵第1个等式：
第2个等式：第3个等式：
……
∴第n个等式： ．
验证：
．
（3）解：
故答案为： ．
8．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）嘉嘉根据学习“数与式”积累的活动经验，想通过“特殊到一般”
的方法探究二次根式的运算规律．下面是嘉嘉的探究过程：
等式①： ；等式②： ；
等式③： ；等式④：______________；……(1)【特例探究】将题目中的横线处补充完整；
(2)【归纳猜想】若 为正整数，用含 的代数式表示上述运算规律，并证明此规律成立；
(3)【应用规律】嘉嘉写出一个等式 （ 均为正整数），若该等式符合上述规律，则
的值为______．
【答案】(1)
(2) ，证明见解析
(3)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，数字的变化规律，解答的关键是由所给的式子总结出存在的规
律．
（1）根据前 个的规律即可得出答案；
（2）根据特例中数字的变化规律分析求解即可，对等式的坐标进行整理，即可求证；
（3）利用（2）中的规律进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意得：等式④： ；
（2）解：若 为正整数，用含 的代数式表示上述运算规律为 ，
证明如下：等式左边 右边；
（3）解：∵ （ 均为正整数），
∴ ， ，
∴．
9．（24-25八年级下·安徽淮北·阶段练习）【观察思考】
第1个等式： ；
第2个等式： ；
第3个等式： ；
第4个等式： ；
……
【规律发现】
（1）①直接写出第4个等式： ；
②如果 为正整数，用含 的式子表示上述的运算规律： ．
【规律证明】
（2）证明②中的运算规律．
【规律应用】
（3）根据上述规律，化简： ．
【答案】（1）① ；② ；（2）见解析；（3）
【分析】本题考查了二次根式的混合运算、数字类规律探索，正确得出规律是解此题的关键．
（1）①根据已知的三个等式中的各数字与序号数的关系写出第 个等式即可；
②利用前面规律写出第 个等式，
（2）根据二次根式的性质证明即可；
（3）根据（2）中的等式的规律，结合二次根式的乘法法则计算即可得出答案．【详解】解：（1）①
故答案为： ．
②
故答案为： ．
（2）证明：等式左边
又 ，
右边，
等式成立
（3）原式
10．（23-24八年级下·河北·期中）数学活动课上，同学们根据学习“二次根式”及“乘法公式”积累的经
验，通过“由特殊到一般”的方法，探究“当 ， 时， 与 的大小关系”．
下面是探究过程．
①具体运算，发现规律：
当 ， 时，
特例1：若 ，则 ；
特例2：若 ，则 ；
特例3：若 ，则 ；②观察、归纳，得出猜想：
当 ， 时， ．
③证明猜想：
当 ， 时，
，
，
当且仅当 时， ．
请你利用发现的规律，解答以下问题．
(1)当 时， 的最小值为 ．
(2)当 时， 的最小值为 ．
(3)当 时， 的最大值为 ．
【答案】(1)2
(2)
(3)
【分析】本题考查不等式的性质，熟练掌握二次根式的性质，完全平方公式的特点，能够准确地将所求的
式子变形是解题的关键．
（1）根据阅读材料直接可得 ；
（2）根据 的取值范围，将所求的式子变形为 ，再结合阅读材料求解即可；
（3）先变量分离已知式子，再由 的取值范围，将所求式子变形为 ，结合（2）求解即可．
【详解】（1）解： ，，
的最小值为2，
故答案为：2；
（2）解： ，
，
，
∴ 的最小值为 ，
故答案为： ；
（3）解： ，
，
∴
，
的最大值为 ．
压轴满分题三、平行四边形的翻折问题
11．（2024八年级下·浙江·专题练习）如图， 中，把 沿 翻折得到 ， 、 相
交于点F．
(1)求证： ；(2)连接 交 于点O，连接 ，在不添加辅助线的条件下请直接写出图中所有等腰三角形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了翻折变换，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，等腰三角形的性质，熟练
运用这些性质解决问题是本题的关键．
（1）由平行四边形的性质和折叠的性质可得 ， ，由“ ”可证 ，
可得 ， ，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求 ，可得结论；
（2）由全等三角形的性质可得 ， ，则 ， 是等腰三角形，由“ ”可证
，可得 ，可证结论．
【详解】（1）证明： ∵四边形 是平行四边形，
， ，
∵把 沿 翻折得到 ，
， ，
， ，
在 和 中，
，
， ，
， ，
又 ，
，
；
（2）解： ， ，
， 是等腰三角形，
∵四边形 是平行四边形，
， ， ，
，
∵把 沿 翻折得到 ，
， ，， ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形．
12．（23-24八年级上·重庆九龙坡·期末）已知，在平行四边形ABCD中，BD＝BC，E为AD边的中点，连
接BE；
（1）如图1，若AD⊥BD， ，求平行四边形ABCD的面积；
（2）如图2，连接AC，将△ABC沿BC翻折得到△FBC，延长EB与FC交于点G，求证：∠BGC＝
∠ADB．
【答案】（1）4；（2）证明见解析．
【分析】（1）先推出∠ADB＝90°，设AE＝DE＝a，则BD＝AD＝2a，根据勾股定理得出a2+4a2＝5，解
出a＝1或﹣1（舍弃），可得AD＝DB＝2，即可求出S ；
平行四边形ABCD
（2）延长BE到M，使得EM＝BE，连接AM，先证明四边形ABDM是平行四边形，然后证明
△BDM≌△CBF，得出∠DBM＝∠BCF，根据AD∥BC，得出∠GBC＝∠BED，根据∠BGC+∠GCB+∠GBC
＝180°，∠ADB+∠EBD+∠BED＝180°，即可证明∠BGC＝∠ADB．
【详解】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，
∵BD＝BC
∴DA＝DB，
∵AD⊥BD，∴∠ADB＝90°，
设AE＝DE＝a，则BD＝AD＝2a，
∵BE＝ ，
∴a2+4a2＝5，
∴a＝1或﹣1（舍弃），
∴AD＝DB＝2，
∴S ＝AD•BD＝4；
平行四边形ABCD
（2）证明：延长BE到M，使得EM＝BE，连接AM，
∵AE＝DE，EM＝EB，
∴四边形ABDM是平行四边形，
∴DM＝AB，
由翻折的性质可知：BA＝BF，∠ABC＝∠CBF，
∴DM＝BF，
∵CD∥AB，
∴∠ABC+∠DCB＝180°，
∴∠CBF+∠DCB＝180°，
∵BD＝BC，
∴∠DCB＝∠CDB，
∵∠BDM+∠CDB＝180°，
∴∠BDM＝∠CBF，
∴△BDM≌△CBF（SAS），
∴∠DBM＝∠BCF，
∵AD∥BC，
∴∠GBC＝∠BED，
∵∠BGC+∠GCB+∠GBC＝180°，∠ADB+∠EBD+∠BED＝180°，∴∠BGC＝∠ADB．
【点睛】本题考查了求平行四边形的面积，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，翻折的
性质，掌握这些知识点灵活运用是解题关键．
13．（2025八年级下·全国·专题练习）如图1，四边形 是平行四边形，延长 至点 ，使得
，连接 和 ．
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)如图2，将 沿直线 翻拆点 刚好落在线段 的中点 处，延长 与 的延长线相交于点
，并且 和 交于点 ，试求线段 、 、 之间的数量关系；
(3)如图3，将 沿直线 翻折，点 刚好落在线段 上的点 处，若 ， ，且
，求 的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；
（2）根据平行四边形性质可得 ，进而得到 ，再根据四边形 是平行
四边形，和翻折性质可得 ，即可求解
（3）根据平行四边形的性质证明 ，可得 ，过点D作 ，可求 ，
根据 ，可得 ，根据条件证明 ，可得 ，即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，∵延长 至点 ， ，
∴ ， ，
∴四边形 是平行四边形；
（2）解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∵ 是线段 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
由翻折性质可得： ，
由（1）得：四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ；
（3）解：∵四边形 是平行四边形，四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
过点D作 ，如图，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
由翻折性质可得： ，
∴ ，
由（2）可得： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
【点睛】本题考查了几何问题，涉及到平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，灵活运用所
学知识是关键．
14．（24-25八年级上·山东济南·期末）我们知道平行四边形有很多性质，如果我们把平行四边形沿着边的
中点翻折，还会发现新的结论．【实践探究】
（1）在 中，点 为 的中点， 沿着 向上折叠，点 落在 处，连接 并延长交
于点 ．判断四边形 的形状，并说明理由；
【拓展应用】
（2）连接 ，兴趣小组发现 ，若 ， ，求 的长．
【答案】（1）平行四边形，理由见解析；（2）
【分析】（1）四边形 是平行四边形得到 ，由翻折可证明 是 的中位线，则
，即可证明；
（2）过点E作 于点H，则 ， ， ，由
得到 ，则由勾股定理得 ，可得 为等腰直角三角形，则
，继而 ．
【详解】解：（1）四边形 是平行四边形，
理由如下：
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵点 为 中点，
∴ ，
由翻折得： ，
∴ 是 的中位线，
∴ ，即 ，
∴四边形 是平行四边形；
（2）过点E作 于点H，∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
由翻折得： ，
∵ ，
∴ ，
∵点 为 的中点， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，三角形的中位线定理， 角直角三角形的性
质，折叠的性质等知识点，掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
15．（23-24八年级下·广东茂名·期末）综合实践课上，老师让同学们开展了 的折纸活动， 是
边上的一动点， 是 边上的一动点，将 沿直线 折叠，使点 落在 边上的点 处，
点 的对应点为点 ，连接 ．(1)【观察发现】如图1，若 ， ， ，求 的长；
(2)【操作探究】如图2，当点 落在 的延长线上时，求证：四边形 为平行四边形．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）由折叠的性质可得 ，则 ，由三角形外角性质得 ，
所以 ，再利用勾股定理得 ，然后由 ，
求得 ，即可求解．
（2）根据折叠的性质先证 ，再证 即可证明四边形 为平行四边形．
【详解】（1）解：由折叠知 ，
．
．
，
．
．
由勾股定理得， ，
．
．
．
．（2）证明：由折叠知 ， ， ．
，
，
，
，
，
，
∵ ， ，
∴ ，
，
，
，点 在 延长线上，
，
，
．
，
，
四边形 是平行四边形．
【点睛】本题考查平行四边形折叠问题，直角三角形的判定，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，勾
股定理．熟练掌握平行四边形的性质与判定和折叠性质是解题的关键．
压轴满分题四、平行四边形存在性问题
16．（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，在 中 ， ，
(1)求 度数．
(2)点 是 上的动点，将 沿直线 翻折等到 ，则线段 是否存在最小值？存在则求出
最小值，不存在请说明理由．
(3)在（2）的条件之下，点 是线段 上的动点，连接 ， ， 是否存在最小值？存在则求出最小值，不存在请说明理由．
【答案】(1) ；
(2)存在， ；
(3)存在， ．
【分析】（1）取 的中点 ，连接 、 ，则 ，证明 是等边三角形得出
，再由等边对等角结合三角形外角的定义及性质计算即可得解；
（2）得出 的轨迹是以 为圆心，以 为半径的半圆．结合当点 在线段 上时，线段 最小，即
可得解；
（3）作 点关于直线 的对称点 ，连接 交 于 ，连 交 于 ，点 即为所求，当 、
、 共线时， 的值最小，再由勾股定理计算即可得解．
【详解】（1）解：取 的中点 ，连接 、 ，则 ，
， ， ，
是等边三角形
∴ ，
又 ，
∴ ，
．
（2）解：∵ 到点 的距离等于 ，
∴ 的轨迹是以 为圆心，以 为半径的半圆．
当 在线段 上时，线段 最小，
由（1）可得 ，
∴ ，
即线段 长度最小值为
（3）解：存在．
作 点关于直线 的对称点 ，连接 交 于 ，连 交 于 ，点 即为所求．，
则 ，
当 、 、 共线时， 的值最小，
由题意可得： ， ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∵ ，
∴ ，即 ，
∴
∴ ，即 的最小值为 ．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、轴对称的性质、折叠的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定
理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
17．（23-24八年级下·黑龙江佳木斯·期中）如图，在平面直角坐标系中， 是 轴的正半轴上一点，点 、
分别在 轴的负半轴上和正半轴上， 、 、 的长满足 ，过点
作直线 的垂线，交 于点 ．(1)求出点 、 、 的坐标；
(2)求线段 的长；
(3)在平面内是否存在一点 ，使以 、 、 、 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点
的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ， ，
(2)12
(3)存在，点 的坐标为 ， ，
【分析】本题主要考查坐标与图形，非负数的性质，三角形的面积，平等四边形的性质等知识：
（1）根据非负数的性质可求出 的长，从而确定点 、 、 的坐标；
（2）先求出 和 的长，再根据面积关系可求出 ；
（3）分 为对角线， 为对角线， 为对角线三种情况，结合中点坐标公式求解即可
【详解】（1）解：∵ ，且
∴
∴
∵A是y轴的正半轴上一点，点B、C分别在x轴的负半轴上和正半轴上，
∴ ；
（2）解：∵
∴ ,又
∴ ；
（3）解：存在一点 ，使以 、 、 、 为顶点的四边形为平行四边形
设点 ，
当 为对角线时， 的中点与 的中点重合，
∵ ， ， ，
∴ 的中点坐标为 ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
当 为对角线时， 的中点与 的中点重合，
∵ ， ， ，
∴ 的中点坐标为 ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
当 为对角线时， 的中点与 的中点重合，
∵ ， ， ，
∴ 的中点坐标为 ，即 ，
∴ ，∴ ，
∴ ；
综上，存在一点 ，使以 、 、 、 为顶点的四边形为平行四边形，此时点 的坐标为 ，
，
18．（23-24八年级下·山西晋中·期末）综合与探究：如图，在平面直角坐标系 中，四边形 是平
行四边形，已知 ， ．将 先向右平移4个单位后，再向下平移 个单位，得到
．
(1)请你直接写出点 ， 的坐标；
(2)平行四边形 与 的重叠部分的形状是_____，重叠部分的面积是_____；
(3)在平面内是否存在一点D，使得以O， ， ，D为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点D
的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ，
(2)平行四边形；
(3)存在，点D的坐标是 或 或
【分析】（1）由平移的性质即可得出答案．
（2）过点B作 轴于点E，由平行四边形的性质和平移的性质可得 ， ，即可求解．
（3）分三种情况讨论，由平行四边形的性质可求解．
【详解】（1）解： ∵ 先向右平移4个单位后，再向下平移 个单位，得到 ，∴点 ，点 向右平移4个单位后，再向下平移 个单位分别得到 ， ，
∵ ， ，
∴ ， ．
故答案为： ， ．
（2）解：过点B作 轴于点E，
∵四边形 和四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∵ 经平移得到 ，
∴ ，
∴ ，
同理 ，
∴ 与 的重叠部分的形状是平行四边形，
∵点A的坐标为 ，
∴ ，
∵点C的坐标为 ，
∴点B的坐标为 ，
∵ ，
∴点 在线段 上， ， ．∴点 是线段 的中点，
∵ 轴，
∴点G平分线段
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（3）解：存在点D，使以O， ， ，D为顶点的四边形是平行四边形，
如图，当 为平行四边形的边时， ， ， ，
①四边形 为平行四边形，
∵点 向左平移2个单位，再向平移3个单位后得到 ，
∴点O向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到D，
∴
②四边形 为平行四边形，
∵点 向左平移2个单位，再向下平移3个单位后得到 ，
∴点O向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到D，
∴ ；
当 为平行四边形的对角线时，即 为平行四边形的边时，
∵点O向右平移2个单位，再向上平移 个单位后得到 ，∴点 向右平移2个单位，再向上平移 个单位后得到D，
∴ ，
综上所述，点D的坐标是 或 或 ．
【点睛】本题考查了几何变换综合题，考查了平行四边形的性质，平移的性质，利用分类讨论思想是解题
的关键．
19．（23-24八年级下·山东枣庄·期末）在 中， ，点 是 平面内一点，过点 作
交直线 于 ， 交直线 于点 ．
(1)如图①，当点 在边 上时，通过观察，得线段 ， ， 之间的数量关系是 ；
(2)当点 在 的延长线或反向延长线上时，如图②、如图③，此时， ， ， 分别存在怎样的数
量关系？请写出来，并选择一个加以证明．
(3)如图④，当点 是 内一点，过 作 ， 分别交边 ， ， 于点 ， 和
．试猜想线段 ， ， 与 之间的数量关系（请直接写出等式，不需证明）．
(4)当点 在直线 上时，若 ， ，求 的长．
【答案】(1)
(2)图②中： ；图③中， ，理由见解析
(3)
(4) 的长为2或10
【分析】（1）先证明四边形 是平行四边形，得到 ，根据等量代换和等腰三角形的判定可
得 ，等量代换即可求解；
（2）方法同（1），根据平行线的性质和平行四边形的判定与性质即可求解；（3）方法同（1），根据平行线的性质和平行四边形的判定与性质即可求解；
（4）利用图①②③中的结论直接代入计算即可．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即线段 ， ， 之间的数量关系是 ，
故答案为： ；
（2）图②中： ，
证明：∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
图③中， ，
证明：∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）猜想： ，
证明：∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（4）当如图①的情况， ；
当如图②的情况， （舍去）；
当如图③的情况， ．
综上， 的长为2或10．
【点睛】本题考查了平行线的性质、等腰三角形的判定与性质和平行四边形的判定与性质，本题属于中档
题，难度不大，解决该题型题目时，根据平行四边形的判定即性质找出相等的边角关系是关键．
20．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）定义1：只有一组对边平行的四边形是梯形．平行的两边叫做梯形
的底边，较长的一条底边叫下底，较短的一条底边叫上底，另外两边叫腰．
定义2：如果梯形的一条对角线等于上、下底之和，那么这个梯形叫和等梯形，这条对角线叫和等线．
【概念理解】
(1)如图1，在梯形 中， ，四边形 _______（填
“是”或“不是”）和等梯形；(2)如图2，在矩形 中， ，点E在AB上， ，若在 上存在点P使得四边形 是和
等梯形，求 的长；
【探索发现】
(3)如图3，四边形 是以 为和等线的和等梯形， ， 、 交于点O，请判别 的
形状，并说明理由：
【灵活运用】
(4)如图4，点E在平行四边形 的边 上，在边 上找一点P，使得四边形 是以 为和等
线的和等梯形．
要求：借助直尺和圆规用两种方法作出点P，不写作法，保留作图痕迹．
【答案】(1)是
(2)当 或 时，四边形 是和等梯形；
(3) 是等腰三角形，理由见解析
(4)理由见解析
【分析】（1）连接 ， ，由勾股定理求得 ， ，根据定义即可判断；
（2）连接 ， ，设 ，可得 ， ，分两种情况：当
时，当 时，分别求解即可；
（3）延长 使得， ，可知四边形 是平行四边形，可得 ， ，可知，由题意得 ，进而可得 ，可知 ，可得 ，
即 ，即可判断 是等腰三角形；
（4）方法一：由（3）得证明过程可知，当延长 使得 ，再在 上找点 使得 为等腰三
角形，则 ，即可求得点 ；方法二：由（3）的结论可知，在 上取点
使得 时，即 ，由 得， ，则
，则 ，则 ，即可求得点 ；
【详解】（1）解：连接 ， ，
∵ ，
∴ ， ，
，
∴ ，
∴四边形 是和等梯形，
故答案为：是；
（2）连接 ， ，
∵四边形 是矩形， ， ，设 ，
∴ ，
当 时，四边形 是和等梯形，
即 ，解得： ，即： ；
当 时，四边形 是和等梯形，即 ，解得： ，即： ；
综上，当 或 时，四边形 是和等梯形；
（3） 是等腰三角形，理由如下：
延长 使得， ，
∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
又∵四边形 是以 为和等线的和等梯形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形；
（4）方法一：由（3）得证明过程可知，当延长 使得 ，再在 上找点 使得 为等腰三
角形，则 ，即可求得点 ；
即：在 延长线上截取 ，再以点 ，点 为圆心，适当长为半径画弧，交于两点，连接两点，
交于 于一点 ，如图所示，该点即为所求点 ；方法二：由（3）的结论可知，在 上取点 使得 时，即 ，由
得， ，则 ，则 ，则 ，即
可求得点 ；
即：连接 ，在 上截取 ，连接 并延长交 于点 ，如图所示，该点即为所求点 ．
【点睛】本题考查勾股定理，平行四边形的判定及性质，等腰三角形的判定，掌握相关性质定理是解决问
题的关键，还考查了尺规作图——作垂直平分线．
压轴满分题五、平行四边形动点问题
21．（24-25八年级下·河南周口·期中）如图， 中， ， ， ， 是 中
点， ，动点 以每秒 个单位长的速度从点 出发向点 移动，连接 并延长在 交于点 ，
点 移动时间为 秒．
(1)求 与 间的距离；
(2) 为何值时，四边形 为平行四边形；
(3)直接写出 为何值时， ．
【答案】(1)
(2)
(3) 或
【分析】此题考查平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，
熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
（1）根据勾股定理，可得 的长，根据面积的不同表示方法，可得答案；（2）证明 ，得出 ，结合 ，可知只需 时，四边形 便是平
行四边形，即 ，可得答案；
（3）分情况讨论：当 第一次等于 时，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，先证明
，再证明四边形 是平行四边形，即可求解；当 第二次等于 时，过点 作
交 于点 ，过点 作 于点 ，证明四边形 是平行四边形，推出 ，
利用等腰三角形性质得出 ，并求解 ，再求 ，即可求解．
【详解】（1）解：在 中， ， ， ，
∴ ,
如图，过 作 于 ，
则由 ，
得 ，
∵ ，
∴ 与 间的距离为 ；
（2）解：∵ ，
∴ ， ，
∵ 是 中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴只需 时，四边形 便是平行四边形，
∴ ，
∴ ，∴ 时，四边形 为平行四边形；
（3）解：如图，当 第一次等于 时，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ；
如图，当 第二次等于 时，过点 作 交 于点 ，过点 作 于点 ，
∵ ，
∴ ，四边形 是平行四边形，
∴ ， ，又∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
综上， 的值为 或 ．
22．（24-25八年级上·山东威海·期末）综合实践课上，老师让同学们开展了 的折纸活动， 是
边上的一动点， 是 边上的一动点，将 沿直线 折叠，使点 落在 边上的点 处，
点 的对应点为点 ，连接 ．
(1)【观察发现】如图1，若 ， ， ，则 ___________， ___________．
(2)【操作探究】如图2，当点 落在 的延长线上时，求证：四边形 为平行四边形．
【答案】(1) ，
(2)见解析
【分析】（1）根据平行四边形的性质和直角三角形的性质结合勾股定理求得 ，由折叠知，由折叠的性质可得 ，再由平行四边形的性质求得
，据此即可求解．
（2）根据折叠的性质先证 ，再证 即可证明四边形 为平行四边形．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
由折叠知 ，
由折叠知 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
由折叠知 ，
∴ ，
故答案为： ， ；
（2）证明：由折叠知 ， ， ．
，
，
，
，
，
∵ ，
∴ ， ，
，
，
，，点 在 延长线上，
，
，
．
，
，
四边形 是平行四边形．
【点睛】本题考查平行四边形折叠问题，直角三角形的判定，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，勾
股定理．熟练掌握平行四边形的性质与判定和折叠性质是解题的关键．
23．（23-24八年级下·河北邯郸·期末）如图，在平行四边形 中，对角线 ， 相交于点O，M，
N分别为射线 ， 上的两个动点（点M，N始终在平行四边形 的外面），连接 ， ，
， ．
(1)若 ， ，求证：四边形 为平行四边形；
(2)若 ， ，
①四边形 为平行四边形吗？请说明理由；
②当 时， ，直接写出四边形 的面积．
【答案】(1)见解析
(2)①四边形 为平行四边形，理由见解析
②16
【分析】本题是平行四边形综合题，考查了平行四边形的判定和性质，三角形的面积，全等三角形的判定
和性质等知识，掌握平行四边形的对角线互相平分是解题的关键．
（1）由平行四边形的性质可知 、 ，再证 ，即可得出结论；（2）①证
，再根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”即可得出结论；②当 时， ， ，进而可得 ，根据等底等高的三角形面积相等可得
，即 ，再由平行四边形性质可得 ， ，证得
，即 ，即可求得答案．
【详解】（1）证明： 四边形 是平行四边形，
， ．
， ，
，
，即 ，
四边形 为平行四边形．
（2）解：①若 ， ，四边形 为平行四边形，
理由如下：
， ， ．
，
，
即 ，
，
四边形 为平行四边形；
②当 时， ， ，
，
，
∴ ，
∴ ，
四边形 为平行四边形，
， ，
，
∴ ，
∴ ，
．
24．（23-24八年级下·河南平顶山·期末）（1）如图1，在四边形 中， ， ，
，若动点P从A点出发，以每秒1cm的速度沿线段 向点D运动；点Q从C点出发以每秒2cm的速度沿 方向运动，当Q点到达B点时，动点P、Q同时停止运动，设点P、Q同时出发，并运动
了x秒（x>0），求当x为多少秒时，四边形 变为平行四边形．
（2）如图2，若四边形 变为平行四边形 ， ，动点P从A点出发．以每秒1cm
的速度沿线段 向D点运动；动点Q从C点出发以每秒2cm的速度在 间往返运动，当P点到达D点
时，动点P、Q同时停止运动，设P、Q两点同时出发．并运动了t秒（t>0）．求当t为多少秒时，以P、
D、Q、B四点组成的四边形是平行四边形．
【答案】（1） 时，四边形 变为平行四边形；（2） 时，以P，D，Q，B四点组成的四边
形是平行四边形
【分析】（1）四边形 为平行四边形时，则 ，列出方程即可求出答案．
（2）由题意知， ，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形时， ，列出方程即
可求出答案．
【详解】解：（1）当四边形 为平行四边形时，则 ，
，解得 ，
时，四边形 变为平行四边形；
（2）由题意知， ，
，
当以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形时， ，
当 时， ，
解得 舍去；
当 时． ，
，解得 ；
综上所述： 时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形．【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，掌握动点的运动轨迹是解题的关键．
25．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）问题提出：（1）如图 ，等腰 中， ，
， 是 的中点， 是 边上的高， 是 上的一动点，则 的最小值为______；
问题探究：（2）如图2，在平行四边形 中， ， ， ， ， 是 边上的
动点，且 ，则 的最小值是多少？
问题解决：（3）如图 是夹角为 的港湾（ ）， 岸上有一个码头 ，湾内有个小岛 ，
，小岛 与 的距离为 ，与 的距离为 ．现拟在 ， 岸上设置 ， ，
三处游客接驳点，点 在 上，点 ， 在 上，且为了游客方便及安全， ， 之间的距离为
，客船从码头 出发，沿 前行，最终到达小岛 ，请问，根据两岸接驳点的
安排，是否存在最短的运输路线？若存在，请求出最短运输路线长；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） ；（2） 的最小值是 ；（3）存在最短的运输路线，最短运输路线长
【分析】本题考查线段和差的最值问题，涉及对称的性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识点；
（1）连接 ，得到 ，当 三点共线时， 最小，在
中利用勾股定理求解即可；
（2）如图，作点 关于 的对称点 ， 交 延长线于 ，在线段 上取一点 ，使 ，
连接 ， ， ，先证明四边形 是平行四边形，得到 ，根据点 关于 的对称点 ，
得到 ， ，则 ，当 、 、 三点共线时， 最小，
中利用勾股定理求解即可；
（3）过 作 ， ，连接 ，得到四边形 是平行四边形， ，作点
关于 的对称点 ，点 关于 的对称点 ，连接 、 ，则 ， ，得到
，当 、 、 、 四点共
线时， 最小， 中利用勾股定理求解即可．【详解】解：（1）如图，连接 ，
∵等腰 中， ， ，，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴当 三点共线时， 最小，
∵ 是 的中点，
∴ ，
中， ，
∴ 的最小值为 ，
故答案为： ；
（2）如图，作点 关于 的对称点 ， 交 延长线于 ，在线段 上取一点 ，使 ，
连接 ， ， ，
∵在平行四边形 中， ，
∴ ， ，
∴四边形 是平行四边形， ， ，
∴ ，
∵点 关于 的对称点 ，
∴ 垂直平分 ，
∴ ， ，
∴ ，∴当 、 、 三点共线时， 最小，
中， ， ，则 ，
∴ ， ，
中， ， ，
∴ ，
∴ 的最小值是 ；
（3）存在最短的运输路线；
过 作 ， ，连接 ，如图
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
如图，作点 关于 的对称点 ，点 关于 的对称点 ，连接 、 ，则 ， ，
∴ ，
∴当 、 、 、 四点共线时， 最小，
过 作 于 ， 于 ， 交 于 ，过 作 于 ， 于 ，则四边形
、 都是矩形，
∴ ， ， ， ，
∵小岛 与 的距离为 ，与 的距离为 ，∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即 在 上，
∵ ，点 关于 的对称点 ，
∴ ， ， ，
∴ 是等边三角形，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
中， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 中， ， ，
∴ ，
∴ 最小值为 ，
即最短运输路线长为 .
压轴满分题六、二次根式的综合应用
26．（24-25八年级下·安徽六安·阶段练习）设一个三角形的三边长分别为a，b，c， ，则
有海伦公式： ，秦九韶公式： ．
(1)若一个三角形的三边长依次为5，6，7，求这个三角形的面积．小明利用海伦公式很快就可以求出这个三角形的面积．以下是他的部分求解过程，请你把它补充完整．
解：∵三角形的三边长依次为5，6，7，即 ．
_______， _______；
(2)请你运用秦九韶公式计算：若一个三角形的三边长依次是 ， ，3，求这个三角形的面积．
【答案】(1)9，
(2)
【分析】本题主要考查三角形面积的计算方法，二次根式的运算，理解材料提示的计算方法，掌握实数的
计算，二次根式的运算法则是解题的关键．
（1）代数然后根据二次根式的运算法则即可求解；
（2）根据材料提示，代数然后运用二次根式的性质化简即可求解．
【详解】（1）解： ，
，
故答案为：9， ．
（2）解： ， ， ，
， ， ．．
27．（24-25八年级上·北京顺义·期中）阅读：古希腊的几何家海伦，在数学史上以解决几何测量问题而闻
名，在他的著作《度量》一书中，给出了一个公式，如果一个三角形的三边长分别为 ，记
，则三角形的面积 ，此公式称为“海伦公式”．
思考运用，已知李大爷有一块三角形的菜地，如图，测得 ，你能求出李大爷这
块菜地的面积吗？试试看．
【答案】李大爷这块菜地的面积为
【分析】本题考查了二次根式的应用，将题目中的已知量代入到海伦公式里面进行计算即可．解题的关键
是正确的代入公式并进行计算．
【详解】解： ，
．
．
李大爷这块菜地的面积为
28．（24-25八年级下·山东临沂·期中）（1）请用：“ ”、“ ”、“ ”填空：
① ______ ；② ______ ；③ ______ ．
（2）由（1）中各式猜想 与 （ ， ）的大小关系，并说明理由．（3）学以致用：某园林设计师要用篱笆围成一个矩形的花圃．如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体
（墙体足够长），为了围成面积为 的花圃，所用的篱笆至少是多少米？
【答案】（1）① ；② ；③ ；（2）猜想 ，理由见解析；（3）
【分析】本题主要考查了二次根式的应用，体现了由特殊到一般的思想方法，解题的关键是联想到完全平
方公式，利用平方的非负性求证．
（1）分别进行出对应小题中两个式子的结果，再比较大小即可；
（2）根据第（1）问填大于号或等于号，所以猜想 ；根据 ，可由完全平方公
式得到 ，据此可证明结论；
（3）设花圃的长为a米，宽为b米，需要篱笆的长度为 米，利用第（2）问的公式即可求得最小值．
【详解】解：（1）① ， ，
∵ ，
∴ ；
② ， ，
∵ ，
∴ ；
③ ，
∴ ；（2）猜想 ，理由如下：
当 ， 时，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）设花圃的长为a米，宽为b米，则 ，
∴ ，
根据（2）的结论可得： ．
∴篱笆至少需要32米．
29．（24-25八年级下·山西吕梁·阶段练习）综合与实践
问题情境：学校计划利用长和宽分别为 和 的长方形铁片裁剪焊接成两个无盖的长方体铁箱用于
存储备用实验材料，欣欣和畅畅设计了两种不同的裁剪焊接方案．
欣欣的方案：如图1，先将铁片分为左右两个全等的正方形，分得的每一块都在其四个直角处剪掉四个小
正方形，再分别沿虚线折起来，得到两个同样大小、且底面为正方形的无盖长方体铁箱．
畅畅的方案：如图2，先将铁片在中间剪掉一块正方形②，再在四个直角处剪掉四个小正方形，最后分别
沿着虚线折起来，得到两个同样大小、且底面为长方形的无盖长方体铁箱．
(1)若欣欣的方案中剪掉的小正方形的边长为 ，求裁剪焊接成的铁箱的底面正方形①的面积．
(2)若畅畅的方案中正方形②的边长为 ，求裁剪焊接成的一个无盖长方体铁箱的体积．
(3)若这两种方案所制作的无盖长方体铁箱的高都是 ，则___________的方案中制作的无盖长方体铁箱
的体积更大．（填“欣欣”或“畅畅”）【答案】(1)
(2)
(3)欣欣
【分析】本题考查了二次根式的应用，几何体的展开图，数形结合是解题的关键；
（1）根据图1，根据正方形的面积公式进行计算即可求解；
（2）根据图2，得出盖长方体铁箱的宽为 ，长为 ，进而求得体积；
（3）分别求得两个方案中长方体铁箱的体积，比较大小，即可求解．
【详解】（1）解：依题意，
裁剪焊接成的铁箱的底面正方形①的面积为
（2）解：四个直角处的小正方形边长为
无盖长方体铁箱的宽为 ，长为
裁剪焊接成的一个无盖长方体铁箱的体积为
（3）这两种方案所制作的无盖长方体铁箱的高都是
欣欣的方案中制作的无盖长方体铁箱的高为 ，则底面正方形①的边长是 ，
底面积是：
体积为：畅畅的方案中正方形②的边长为 ，则制作的无盖长方体铁箱的宽为：
底面积为，
体积为
∵
∴欣欣的方案中制作的无盖长方体铁箱的体积更大．
故答案为：欣欣．
30．（23-24八年级下·广西百色·期中）【综合与实践】
摆钟的“滴答”声提醒着我们时光易逝，我们要珍惜当下，抓住每一秒，努力前行．某学习兴趣小组通过
观察实验室的摆钟发现：摆钟的摆球的摆动快慢与秒针的走动，摆钟的“滴答”声，摆长都有关系．于是
他们通过查阅资料知道：摆钟的摆球来回摆动一次的时间叫做一个周期．它的计算公式是： ，
其中T表示周期(单位：s)，l表示摆线长(单位：m)， ，π是圆周率．(π取3.14，摆线长精确到
0.01米，周期精确到0.01s，参考数据： ， )
【思考填空】
（1）通过上面的计算公式我们知道了：摆球的快慢只与摆线的长短有关，摆线越长，周期越______(填
“长”或“短”)，摆得越______；(填“快”或“慢”)
【实践与计算】
（2）若一个摆钟的摆线长为 ，它每摆动一个周期发出一次“滴答”声，学习兴趣小组的2名同学数该摆钟1分钟发出“滴答”声的次数，其余成员计算摆钟1分钟发出“滴答”声次数，再对照是否一致．
请你也计算该摆钟1分钟发出多少次“滴答”声；
（3）对于一个确定的摆钟，其内部的机械结构决定了它每来回摆动一次记录的时间是一定的，如一个准
确的摆钟的摆球的摆动周期为1s，它每摆动一个周期发出一次“滴答”声，秒针就会走1格，显示的时间
1s，求该摆钟的摆线长．
【答案】（1）长，慢；（2）该摆钟1分钟发出43次“滴答”声；（3）该摆钟的摆长为0.25米
【分析】本题考查二次根式的化简和利用二次根式的性质求解，审清题意并根据题意正确列式和方程是解
题的关键．
（1）根据 即可判断；
（2）将 代入 计算求出T，即可得解；
（3）令 求出l即可．
【详解】解：（1）令 ，
∵g>0，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴摆线越长，周期越长，摆得越慢，
故答案为：长，慢；
（2）将 代入 得： ，∴该摆钟1分钟发出“滴答”声的次数约为： (次)，
答：该摆钟1分钟发出43次“滴答”声；
（3）令 ，即 ，
解得： ．
答：该摆钟的摆长为0.25米．
压轴满分题七、菱形的性质和判定综合应用
31．（24-25八年级下·广东东莞·阶段练习）在四边形 中，对角线 相交于点 ，E，F，G，
H分别是 的中点．
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)若 ，求证：四边形 是菱形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了菱形的判定，平行四边形的判定，三角形中位线定理，熟知菱形和平行四边形的
判定定理是解题的关键．
（1）根据三角形中位线定理可得 ，则可证明
，据此可证明结论；
（2）同理可得 ，则可证明 ，据此可证明结论．
【详解】（1）解：∵E，F，G，H分别是 的中点，
∴ 分别是 的中位线，
∴ ，∴ ，
∴四边形 是平行四边形；
（2）解：同理可得 ，
∵ ，
∴ ，
∴平行四边形 是菱形．
32．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，这是一个 的正方形网格，每个小正方形的边长均为
1个单位长度，小正方形的顶点叫做格点．点A，B均在格点上，请仅用无刻度的直尺，在给定的网格中，
按下列要求作图．
(1)在图1中，以 为边作菱形 （除正方形之外）．
(2)在图2中，以 为对角线作平行四边形 ，且其面积为3．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查正方形的性质，菱形的性质，平行四边形的性质，熟练掌握以上性质是解题的关键．
（1）作出四条边相等的四边形即可；
（2）确定另一条对角线即可确定四个顶点解题．
【详解】（1）解：如图，菱形 即为所求；
（2）解：如图，平行四边形 即为所求．33．（24-25八年级下·辽宁鞍山·期中）已知，如图，在 中， ，D是 的中点，
，
(1)求证：四边形 是菱形；
(2)连接 交 于G，连接 交 于H，连接 ，求证： ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的
一半，三角形中位线的性质，熟练运用上述性质是解题的关键．
（1）先证明四边形 是平行四边形，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得 ，
即可证明；
（2）画出图形，证明 是平行四边形，可得 是 的中位线，即可解答．
【详解】（1）证明： ， ．
四边形 是平行四边形，
，D是 的中点，
， ，
，
四边形 是平行四边形，
四边形 是菱形；
（2）证明：如图，由（1）得四边形 是菱形
，
，
，且 ，
四边形 是平行四边形
，
，
．
34．（24-25八年级下·北京·期中）下面是小明设计的“在一个平行四边形内作菱形”的尺规作图过程．
求作：菱形 （点E在 上，点F在 上）．
作法：①以A为圆心， 长为半径作弧，交 于点F；
②以B为圆心， 长为半径作弧，交 于点E；
③连接 ．
所以四边形 为所求作的菱形．
根据小明的做法完成下面的证明；
证明： ， ， ______＝______．
在 中， ，即 ，
四边形 为______（____________）（填推理的依据），
， 四边形 为______（____________）（填推理的依据）．
【答案】 ； ；平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；菱形；一组邻边相等的平
行四边形是菱形【分析】本题考查作图 复杂作图，平行四边形的判定和性质，菱形的判定等知识．根据一组对边相等且
平行的四边形是平行四边形，邻边相等的平行四边形是菱形即可证明结论成立．
【详解】证明： ， ，
，
在 中， ．
即 ．
四边形 为平行四边形（一组对边相等且平行的四边形是平行四边形）．
，
四边形 为菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形．
故答案为： ； ；平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；菱形；一组邻边相等的
平行四边形是菱形．
35．（24-25八年级下·重庆·期中）在学习了菱形的相关知识后，小花进一步研究发现：菱形 中，对
角线 ， 交于点O，若 ， 的平分线分别交 于点E，F，连接 ， ，则四边形
是菱形．可利用菱形的性质以及三角形全等的知识来证明这个结论．根据她的想法与思路，完成以
下作图和填空：
(1)用尺规完成以下基本作图：如图，已知 平分 ，作 的平分线交 于点F，连接 ，
．（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，为了证明四边形 是菱形，小花的想法为：先证明 ，再利用对
角线互相垂直的平行四边形是菱形得到结论，请根据小花的想法完成下面的填空．
证明： 四边形 为菱形，
， ， ，
，
平分 ， 平分 ，
， ，
① ，
在 与 中，，② ， ，
，
③ ，
，
四边形 是平行四边形，
又 ，
四边形 是菱形，
进一步探究发现：如果四边形 是平行四边形，那么四边形 是④ ．
【答案】(1)作图见解析
(2) ， ， ，平行四边形
【分析】此题考查了角平分线的作图和定义、菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握以
上知识点是解题的关键．
（1）根据角平分线的作图步骤作图即可；
（2）根据菱形的性质，得到菱形 两条对角线互相垂直且平分， ，先证明 ，
得出 ，从而通过对角线互相平分的四边形是平行四边形，得出四边形 是平行四边形，再利
用对角线互相垂直的平行四边形是菱形得到结论；进一步探究发现中，根据平行四边形的性质，得到平行
四边形 两条对角线互相平分， ，先证明 ，得出 ，从而通过对角线
互相平分的四边形是平行四边形，即可得到结论．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）证明： 四边形 为菱形，
， ， ，
，
平分 ， 平分 ，
， ，
，在 与 中，
， ， ，
，
，
，
四边形 是平行四边形，
又 ，
四边形 是菱形．
进一步探究发现：如果四边形 是平行四边形，那么四边形 是平行四边形．
理由如下：
四边形 为平行四边形，
， ，
，
平分 ， 平分 ，
， ，
，
在 与 中，
， ， ，
，
，
，
四边形 是平行四边形．
故答案为： ， ， ，平行四边形．
压轴满分题八、正方形的性质和判定综合应用
36．（24-25八年级下·陕西延安·期中）如图，在正方形 中， 是对角线 上一点，连接 ，
延长 交 于点 ．若 ，求 的度数．【答案】
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，正方形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．根据
题意得到 ，证明 ，求出 ，即可得到答案．
【详解】解： 四边形 是正方形， 是对角线 上一点，
．
又 ，
．
．
．
37．（24-25八年级下·山东威海·期中）点P在四边形 的对角线 上，连接 ， ，点E在边
的延长线上，且 ．
(1)如图Ⅰ，若四边形 是正方形，求证： ；
(2)如图Ⅱ，若四边形 是菱形， ，求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了正方形和菱形的性质、全等三角形的判定与性质以及三角形内角和相关知识。解题关
键是利用图形性质证明三角形全等，通过角的等量代换得出所求角与已知角的关系。
（1）利用正方形性质证 ，得 ，由 得 ，通过角的
等量代换推出 ，再依据正方形内角为 得出 ，从而证明 。（2）借助菱形性质证明 ，得到 ，由 推出 ，经角
的等量代换得到 ，根据菱形对角相等及邻角互补求出 度数，进而得出 的度
数。
【详解】（1）解：如图Ⅰ，
∵四边形 是正方形
∴ ， ，
又∵
．
∴ ．
∵ ，
∴
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵四边形 是正方形，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
（2）如图Ⅱ，
∵四边形 是菱形，∴ ， ，
又∵
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵四边形 是菱形， ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
38．（24-25八年级下·重庆长寿·期中）在正方形 中，E是 边上一点（点E不与点B，C重合），
，垂足为点E， 与正方形的外角 的平分线交于点F．
(1)如图1，若点E是 的中点，猜想 与 的数量关系是________．证明此猜想时，可取 的中点
P，连接 ．根据此图形易证 ．则判断 的依据是______
(2)点E在 边上运动．
①如图2，（1）中的猜想是否仍然成立？请说明理由．
②如图3，连接 ，若正方形 的边长为4，求 周长的取值范围
【答案】(1) ，
(2)①成立，理由见解析②周长c的取值范围是
【分析】（1）取 的中点P，连接 ．先证 ，再证 ， ，然后由
证 ，即可得出结论；
（2）①在 上取一点P，使 ，连接 ，证 ，即可得出结论；②过D作 交 于点H，连接 ，证 是等腰直角三角形，则点H与D关于 对
称，得 ，当A、F、H三点共线时， 即 最短，此时
，再由勾股定理得 ，此时 ；当
与 相等时，即A、D、F三点共线，此时 ，则
；即可得出结论．
【详解】（1）解：（1）如图1，取 的中点P，连接 ．
则 ，
∵点E是 的中点，
∴ ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ， ；
（2）解：①成立，理由如下：
如图2，在 上取一点P，使 ，连接 ，
则 ，
由（1）得： ，
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ；
②如图3，过D作 交 于点H，连接 ，∵ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴点H与D关于 对称，
∴ ，
∴ ，
当A、F、H三点共线时， 即 最短，
此时 ， ，
在 中，由勾股定理得： ，
此时 ；
当 与 相等时，即A、D、F三点共线，
此时 ，
则 ；
∴ 的周长c的取值范围是 ．
【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的判定与性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与
性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及勾股定理等知识，本题综合性强，熟练掌握
正方形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
39．（24-25八年级下·广东珠海·期中）如图，已知四边形 为正方形．E为对角线 上一动点（不
与点A，C重合），连接 ，过点E作 ，交 于点F，以 为邻边作矩形 ，连接
．(1)如图1，求证：矩形 是正方形；
(2)如图2，已知正方形 的边长为2，当 时，
①求 的长；
②记 的面积为 ， 的面积为 ，则 ________．
【答案】(1)见解析
(2)① ；②
【分析】（1）过E作 于M点，过E作 于N点，即可得到 ，然后判断
，得到 ，求得 ，即可证明矩形 是正方形；
（2）①证明 ，求得 ， ，推出 是等腰
直角三角形，设 ，利用直角三角形的性质结合勾股定理求解即可；
②同①求得 ，分别求得 和 的值，据此即可求解．
【详解】（1）证明：过E作 于M点，过E作 于N点，如图所示：
∵四边形 是正方形， ，
∴ ，
∴四边形 为矩形，∵ ，
∴ ，
∴四边形 为正方形，
∴ ，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ；
∴矩形 是正方形；
（2）解：①作 于点 ，
∵四边形 和四边形 都是正方形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ 是等腰直角三角形，
设 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∴ ；
②作 于点 ，过E作 于M点，过E作 于N点，
由（1）知四边形 为正方形，
同理可证 ，
∴ ， ，
同理可证 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，三角形的全等的性质和判
定，勾股定理的综合运用，二次根式的混合运算．解本题的关键是作出辅助线，构造三角形全等，利用全等三角形的对应边相等得出结论．
40．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）综合与实践课上，同学们以“折纸中的角”为主题开展数学活动．
【操作判断】
（1）如图①，将边长为 的正方形 对折，使点D与点B重合，得到折痕 ．打开后，再将正
方形 折叠，使点D落在边 上的点P处，得到折痕 ，折痕 与折痕 交于点Q．打开铺平，
连接 ．若点P的位置恰好使得 ．
① ；
②求 的长；
【探究提炼】
（2）如图②，若（1）中的P是 上任意一点，求 的度数；
【理解应用】
（3）如图③，某广场上有一块边长为 的菱形草坪 ，其中 ．现打算在草坪中修建步
道 和 ，使得点M在 上，点N在 上，且 ．请问：步道
所围成的 （步道宽度忽略不计）的面积是否存在最小值？若存在，请直接写出最小值；若不存在，
说明理由．
【答案】（1）① ；② （2） （3）存在，最小值为
【分析】（1）①由 可得 ，由折叠可知： ，可得 ，由三角
形外角性质即可求出 ，②由 是 垂直平分线可得 ，进而可得
，由折叠性质求出 ，由此即可证明 ，即可得 ；
（2）过点 作 ，垂足为 ，过点 作 ，垂足为 ，证明 即可
得 ，从而证明 ，由等腰三角形性质即可得出 ，
（3）过点 作 ，垂足为 ，过点 作 ，垂足为 ，同理（2）可得 是以 为
底，顶角为 等腰三角形，当 最小时三角形面积最小，利用 直角三角形性质解三角形即可得出
结论．
【详解】解：（1）①∵四边形 是正方形，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ， ，
由折叠可知： ，
∴ ，
∵
∴
②由折叠可知： ， ， ，
∴ ，
如图1，连接 ，
∵ ， ，即 是 垂直平分线，
∴ ，
∴
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）如图2；过点 作 ，垂足为 ，过点 作 ，垂足为 ，
∴ ，
∵ 是 的角平分线，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
∴
（3）存在，过程如下：
如图3；过点 作 ，垂足为 ，过点 作 ，垂足为 ，∵ ，
∴ ，
∵在菱形 中， 是 的角平分线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
过点 作 ，垂足为 ，设 ，
则 ， ，
∵ ，即
∴
∴ ，
∴当 最小时， 面积最小，
∴当 时， 面积最小，
如图4：
∵ ， ，∴ ，
∴
∴ ，
即 ，
∴ 最小值为
【点睛】本题主要考查了正方形、菱形性质、折叠的性质，等腰三角形性质和判断，勾股定理，全等三角
形的判定与性质，利用角平分线构造全等三角形是解题关键．
压轴满分题九、矩形的性质和判定综合应用
41．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，长方形 的周长为40， 和 都是等腰直角三
角形，且每个面积都是16，连接AF、DE、EC、FB．那么形成的阴影部分的面积是多少？
【答案】16
【分析】本题主要考查了矩形的性质、三角形面积，解题时要熟练掌握并能灵活运用时关键．
依据题意，连接 并两端延长交 、 于点G、H，可得 ，在得 ， ，
可以设 ，得 ，最后 和 都是面积为16，可以得阴影部分的面积．
【详解】
解：连接 并两端延长交 、 于点G、H．
∵等腰 的面积为16，∴ ，
∴ ，
∴
∴
∴
设 ， ，
∴
又长方形ABCD的面积为： ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴阴影部分的面积为： ．
故答案为：16．
42．（24-25八年级下·山东烟台·期中）如图，矩形 的对角线 ， 相交于点 ，点 ， 在
上，且 ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的长
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据矩形的性质得到 ， ，得到 ，根据 ，得到
，证明 ，即可得出结论；（2）过点A作 ，垂足为 ，四边形 是矩形，由勾股定理得 ，进而得
到 ，再根据三角形面积公式求出 ，由勾股定理得 ，进而得到
，在求出 ，即可解答．
【详解】（1）证明：∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：过点A作 ，垂足为 ，
∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
在 中，由勾股定理得： ，
∴ ，
∴ ，
∵ 即 ，∴ ，
在 中，由勾股定理得： ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了矩形性质，三角形全等的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的运用，
熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
43．（24-25八年级下·云南昆明·期中）如图，在四边形 中， ， ，
， ，点 从点 出发，以 / 的速度向点 运动；点 从点 同时出发，以 /
的速度向点 运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为 ．
(1) ____________， ____________（用含 的代数式示）；
(2)在整个运动过程中是否存在 值，使得四边形 是矩形？若存在，请求出 值；若不存在，说明理由．
【答案】(1) ，
(2)存在，
【分析】本题考查列代数式，平行四边形、矩形的性质，关键是熟练掌握矩形的判定．（1）由 运动的速度即可表示长 ， 的长；
（2）根据矩形的判定列方程求解即可．
【详解】（1）解：由题意得： ， ，
∵ ，
∴
故答案为： ， ；
（2）解：存在，
在四边形 中： ，
∴当 时，四边形 是矩形，
∴ ，
解得： ，
∴当 时，四边形 是矩形．
44．（24-25八年级下·江苏镇江·期中）梯形是有一组对边平行，另一组对边不平行的四边形，连接梯形两
腰的中点，得到的线段叫做梯形的中位线．如图①， 就是梯形 的中位线，梯形的中位线具有什
么性质呢？
(1)小明联想到梯形的面积公式与三角形的面积公式，梯形的面积公式是（上底+下底） 高 2，三角形的
面积公式是底 高 2，比较两个公式，如果把梯形的上底加下底转化为三角形的底，问题是否能解决．思
考之后小明给出了如下的证明思路：
如图②，连接 并延长，交 的延长线于点G．
先证 和 全等，再说明 是 的中位线．
…
经过你的分析，请写出梯形的中位线 和两底 之间的关系：________、________；
(2)受小明的启发．小聪联想到梯形的面积公式与矩形的面积公式，梯形的面积公式是（上底+下底） 高，矩形的面积公式是底 高，比较两个公式，如果把梯形的上底与下底的和的一半转化为矩形的底，问
题是否也能解决．如果能，请结合图③给出证明过程，如果不能，请说明理由．
【答案】(1)
(2)能，证明见解析
【分析】本题主要考查了三角形的中位线定理，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，判断出
是 的中位线时解本题的关键．
（1）连接 ，并延长交 的延长线于G，判断出 ，进而判断出 是 的中
位线，即可得出结论；
（2）分别过点 作 ，得 ，得四边形
是矩形，证明 ， 得出 ，得出 ，进而
可得结论．
【详解】（1）解： ．
理由：如图，连接 ，交 的延长线于点G，
∵ ，
∴ ，
∵点F是 的中点，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，∴点F是 的中点，
∵点E是 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
故答案为： ；
（2）解：分别过点 作 ，得
，
∴四边形 是矩形，
∴ ， ， ，
∵点E是 的中点，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
同理可得， ，
∴ ，
∵ ， ,
∴ ，
∵ ，∴四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
45．（24-25八年级上·广东深圳·期末）在研究一类图形的折叠问题时，乐思数学小组发现，可以通过构造
直角三角形，利用勾股定理来解决．
(1)如图1，在矩形 中， ，点E是 边上一点，将 沿 折叠，使点D落在
边上的 处，求 的长；
乐思数学小组的解题思路如下：（请补充填写题中空缺部分）
解：由折叠可知： ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
在 中，设 ，则 ．
由勾股定理可得： ，即（ ） ，
解得 ．(2)如图2，在矩形 中， ，点E是 边上一动点，将 沿 折叠，点D落在
点处，当 为直角三角形时，求 的长；
(3)如图3，在矩形 中， ，点E是直线 上一动点，将 沿 折叠，当点D的
对应点 恰好落到 边的中垂线上时，请直接写出 的长．
【答案】(1) ， ，2，
(2) 或7
(3)2或
【分析】（1）根据推理过程利用勾股定理填空即可；
（2）当 为直角三角形时，分当点 落在矩形内部， 时，当点 落在 边上，
时，两种情况讨论即可；
（3）过点 作 于N， 交 于点M，设 ，则 ，分点 在线段 上；点 在
延长线上；两种情况讨论即可．
【详解】（1）解：由折叠可知： ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
在 中，设 ，则 ．
由勾股定理可得： ，即 ，
解得 ；
（2）解：当 为直角三角形时，有两种情况：
当点 落在矩形内部， 时，如图，∵在矩形 中， ，
∴ ， ，
由折叠的性质得： ， ， ，
∴ ，
∴点 三点共线，
∵ ，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理可得： ，即 ，
解得 ，即 ；
当点 落在 边上， 时，如图，
此时， ，
∵在矩形 中， ，
∴四边形 是矩形，
由折叠的性质得： ，
∴四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ；
综上，当 为直角三角形时， 的长为 或 ；（3）解：过点 作 于N， 交 于点M，
设 ，则 ，
当点 在线段 上时，如图，
∵ 是 边的中垂线，
∴ ， ，
由勾股定理可知： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，则 ，
∴ ；
当点 在 延长线上时，如图，
同理， ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，即 ，
解得： ，
∴ ；
综上知： 的长为 或 ．
【点睛】本题考查了翻转变换、轴对称的性质、矩形的性质以及勾股定理，本题属于中档题，难度不大，
但在做题过程中容易丢失一种情况，解决该题型题目时，结合勾股定理列出方程是关键．
压轴满分题十、平行四边形的性质和判定综合应用
46．（23-24八年级下·广西河池·期末）如图，在平行四边形 中， ，在 取一点E，使得
，连接 ．
(1)用尺规完成以下基本作图：作 的角平分线交 于点F，交 于点O；（保留作图痕迹，不写作
法和结论）
(2)根据 （1）中作图，经过学习小组讨论发现 ，请你证明学习小组发现的结论．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了复杂作图，掌握平行四边形和平行线的性质是解题的关键．
（1）根据作角平分线的基本作图画图；
（2）根据平行四边形的性质及平行线的性质证明．
【详解】（1）解：所作图形，如图：
；
（2）证明：∵ ，
∴ ，
∵四边形 为平行四边形，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵四边形 为平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
即 ．
∵在 中， ．
∴ ．
47．（24-25八年级下·吉林长春·期中）图①、图②、图③均是 的正方形网格，每个小正方形的顶点称
为格点，小正方形的边长为1，点 、 均在格点上．只用没有刻度的直尺按下列要求画图，所画图形的
顶点均在格点上，不要求写画法，保留必要的作图痕迹．
(1)在图①中以 、 为顶点画一个面积为4的平行四边形；
(2)在图②中以 、 为顶点画一个面积为6的平行四边形；
(3)在图③中以 、 为顶点画一个面积为10的平行四边形．（正方形除外）
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查作图-应用与设计作图．
（1）利用网格和平行四边形的判定作图即可；
（2）利用网格和平行四边形的判定作图即可；
（3）利用网格和平行四边形的判定作图即可；．【详解】（1）解：如图： 即为所求；
（2）解：如图： 即为所求（答案不唯一）；
（3）解：如图： 即为所求．
48．（2025·福建莆田·二模）问题探究
（1）如图1，在四边形 中，点 在直线 上，且 ，求作 ，使得点 ， 在直线 上，
边 ， ， 分别经过点 ， ， （要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并直接写出
的值；
问题解决
（2）如图2，某市郊野公园现有一块四边形 草坪，顶点 ， ， ， 处均有一棵荔枝古树，点
处有一座八角观景亭，园林管理部门准备扩建草坪，想使草坪面积扩大一倍，又想保持 棵荔枝古树、八
角观景亭在草坪边不动，并要求扩建后的草坪成平行四边形的形状．请问能否实现这一设想？若能，请你
设计出所要画的图形；若不能，请说明理由．【答案】（1）图见解析， ；（2）能，图见解析．
【分析】本题考查了作图——基本作图，平行四边形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识．
（1）连接 ，过点 作 的平行线，再过点 、点 分别作 的平行线，四条线的交点为 、 、
、 ，则四边形 即为所求，根据平行四边形的性质可得出 的值；
（2）连接 ，过点 和 分别作 的平行线，再连接 分别交过点 、过点 的直线于点 、 ，
最后过点 作 的平行线分别交过点 、过点 的直线于点 、 ，则四边形 即为所求．
【详解】解（1）如图， 即为所求，
， ，
四边形 和四边形 均是平行四边形，
，
直线 与 间的距离处处相等， 与 间的距离处处相等，
， ，
，
；
（2）能实现这一设想，如图，连接 ，过点 和 分别作 的平行线，再连接 分别交过点 、过点 的直线于点 、 ，最后过点 作 的平行线分别交过点 、过点 的直线于点 、 ，则四边形
即为所求，
理由如下：
， ，
四边形 、四边形 和四边形 均是平行四边形，
，
直线 与 间的距离处处相等， 与 间的距离处处相等，
， ，
，
．
49．（24-25八年级上·广东汕头·期末）【追本溯源】：
题（1）来自于八年级数学上册课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）．
（1）如图1， 平分 ．求证： ；
【方法应用】：
（2）如图2，在四边形 中， ， 平分 ，交边 于点E，过点A作
交 于点G，交 的延长线于点F．
①图中一定是等腰三角形的有 ；
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
②已知 ，求 的长．【答案】（1）见解析；（2）①B；②4
【分析】本题是四边形综合题，考查了等腰三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，角平分线的
定义，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
（1）由角平分线的定义得出 ．由平行线的性质得出 ，证出 ，
则可得出结论；
（2）①由等腰三角形的判定可得出结论；
②由（1）可知， ，进一步则可得出答案．
【详解】（1）证明：∵ 平分 ．
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：①共有四个等腰三角形．分别是： ，
理由如下：由（1）知： ，
∴ 是等腰三角形；
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形；
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形；
∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形；
故答案为：B；
②∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
由（1）可知， ，
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴∠EAG＝∠AGB，
∴ ，
∴ ，
∵ .
50．（2025八年级下·全国·专题练习）图1是某校篮球架实物图，图2是篮球架的侧面示意图，篮板边侧
垂直于地面．八年级的“综合与实践”兴趣组将分成两个小组开展测量篮球架篮板AB高度的实践活动．
在不便于直接测量的情况下，两个小组设计了如下测量方案：
课
测量篮球架篮板 高度
题
组
第一组 第二组
名
成 组长：小明 组员：小亮，小丽，小
组长：小红 组员：小玲，小文，小海
员 辉
工
竹竿，皮尺，测角仪 竹竿，皮尺
具
测
量
示
意
图
测
将竹竿 垂直固定在地面 上， 将一根竹竿靠在篮板 上，竹竿的一端与
量
小明从竹竿上的 点处观察篮板底部 篮板顶部 点重合，竹竿另一端点落在地
方
点，用测角仪测量视线 与竹竿 面 点正前方的点 处，并在地面上标注
法的夹角 的度数，接着将观
点的位置，接着将竹竿与 点重合的一
察点沿着竹竿向上移动到 点，使得
端沿着篮板下滑，直到该端点与篮板底部
从 点观察篮板顶部 点的视线
点重合，此时，另一端点落在地面 点
与竹竿 的夹角 的度数恰好
正前方的点 处，并在地面上标注 点的
等于 的度数时，在竹竿上标注
位置，测量 和 的长度
点的位置，测量 的长度．
测量项目 数值 测量项目 数值
测 ∠HFB的度数 竹竿的长度
量
数
的度数 的长度
据
的长度 米 的长度
(1)小明说：“ 的长度就是篮板 的高”，你认为小明的说法是否正确，并说明理由；
(2)第二小组记录的测量数据中“竹竿长度”的数值不小心被墨水污染后看不清楚，请你结合两个小组记录
的测量数据计算第二小组使用的竹竿长度．
【答案】(1)我认为小明的说法正确，理由见解答；
(2)第二小组使用的竹竿长度为 米．
【分析】本题主要考查了勾股定理，平行四边形的性质，平行线的判定，熟练掌握平行四边形的性质，平
行线的判定是解题的关键，
（1）先证明四边形 是平行四边形，再利用平行四边形的性质即可得解；
（2）由题意得： ， 米，设 米，则 米，进而根据勾股定理构
造方程即可得解。
【详解】（1）解：我认为小明的说法正确，
理由：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴四边形 是平行四边形，
∴ 米，
∴ 的长度就是篮板 的高；
（2）解：由题意得： ， 米，
设 米，
∴ 米，
在 中， 米，
∴ ，
在 中， 米，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴ 或 舍去 ，
∴第二小组使用的竹竿长度为 米．
压轴满分题十一、勾股定理与折叠问题
51．（24-25八年级下·天津宝坻·阶段练习）如图所示，有一块直角三角形纸片，
，将斜边 翻折，使点B落在直角边 的延长线上的点E处，折痕为
，则 的长．
【答案】
【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，正确利用勾股定理结合方程的思想求解是解题的关键．先利用勾股定理求出 ，根据折叠的性质可知： ， ，进一步求出 ，
设 ，则 ，由勾股定理得 ，解方程即可求解．
【详解】解： ，
，
根据翻折可得 ，
，
设 ，则 ．
在直角三角形 中，由勾股定理得：
解得： ，
∴ ．
52．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，直角三角形 中， ， ， 是 的上的一
点，若将 沿 折叠，点 恰好落在 所在直线上点 处．
(1)求边 的长；
(2)求 的长；
(3)在 所在直线上找一点 ，使得以点 、 、 为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出 的长．
【答案】(1)10
(2)
(3) 或 或 或
【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，等腰三角形的性质：
（1）直接利用勾股定理进行求解即可；
（2）折叠的性质，得到 ， ，设 ，在 中利用勾股定理，进行求解即可；
（3）分 ，三种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：直角三角形 中， ， ，
∴ ；
（2）∵折叠，
∴ ， ，
∴ ，
设 ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
解得： ；
∴ ；
（3）由（2）可知： ；
当点 、 、 为顶点的三角形是等腰三角形时：
①当 时：
则： ；
②当 时：则： ，或
③当 时：
设 ，则： ，
在 中，由勾股定理，得： ，
∴ ，
∴ ；
综上： 或 或 或 ．
53．（24-25八年级下·天津东丽·阶段练习）学完了勾股定理相关知识，王老师带领大家研究长方形纸片的
折叠问题：
请你运用所学知识，解决下面的问题：
(1)如图1，长方形纸片 中， ， ，将纸片折叠，使 落在对角线 上，折痕为
（点 在边 上），点 落在点 处，求 的长度；
(2)如图2，有一张长方形纸片 ， ， ， 为 边上一点， ， 为 上一点．
将纸片折叠，折痕为 ，使点 恰好落在线段 上的点 处，点 落在点 处．求线段 的长度．
【答案】(1)
(2)5
【分析】本题主要考查了长方形的性质，勾股定理与折叠的问题，等角对等边等知识．
（1）由长方体形的性质可知 ， ，由勾股定理得出 ，由折叠的性质可得出， ， ，进一步可得出 ，
，再利用勾股定理可得出 ，代入求解即可得出 ．
（2）由长方体形的性质可知 ， ， ， ，
，进而可得出 ，由折叠得 ， ，等量代
换可得出 ，由等角对等边可得出 ，由勾股定理可得出 ，进一步可得出 ，
最后根据线段的和差即可得出答案．
【详解】（1）解：∵四边形 是长方形， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
由折叠得 ， ， ，
∴ ， ，
在 中，由勾股定理得 ，
即
解得：
∴ 的长是 ．
（2）解：∵四边形 是长方形， ， ， ，
∴ ， ， ， ， ，
∴ ，
由折叠得 ， ，
∴ ，
∴ ，
在 中，
∴ ，
∴ ，
∴ 的长是5．
54．（23-24八年级下·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图、 为一块直角三角形纸片， ．【问题初探】：直角三角形纸片的对折问题，可以通过全等变换把所求线段转化成直角三角形的边，进而
通过勾股定理来解决，体现数学中的转化思想．
（1）如图1，现将纸片沿直线 折叠，使直角边 落在斜边 上， 的对应点为 ，若
，求 的长．
【学以致用】
（2）如图2，若将直角 沿 折叠，点 与 中点 重合，点 分别在 ， 上，则
之间有怎样的数量关系？并证明你的结论．
【答案】（1） ，（2） ， 理由见解析．
【分析】本题考查了翻折的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，掌握相关性质是解题的关键．
（1）先求出 ，由由翻折的性质可得 ， ，再进一步得到 即可求解．
（2）过点 作 交 延长线于点 ，连接 ，先证明 ，得到
，进一步即可得到 ．
【详解】（1）解：在 中，
，
由翻折的性质可知： ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ．（2） ， 理由如下：
过点 作 交 延长线于点 ，连接 ，如图：
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
55．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探
究．
【初步感知】(1)如图1，在三角形纸片 中， ， ，将 沿 折叠，使点A与点B重合，折痕和
交于点E， ，求 的长；
【深入探究】
(2)如图2，将长方形纸片 沿着对角线 折叠，使点C落在 处， 交 于E，若 ，
，求 的长(注：长方形的对边平行且相等)；
【拓展延伸】
(3)如图3，在长方形纸片 中， ， ，点E为射线 上一个动点，把 沿直线 折
叠，当点A的对应点F刚好落在线段 的垂直平分线上时，求 的长(注：长方形的对边平行且相等)．
【答案】(1 ；(2 ；(3) 的长为 或10
【分析】（1）求出 ，再由折叠的性质得 ，然后由勾股定理求出 的长即
可；
（2）由长方形的性质得 ， ， ，再证 ，得 ，设
，则 ，然后在 中，由勾股定理得出方程，解方程即可；
（3）分两种情况，①当点 在长方形内部时，由折叠的性质得 ， ，再由勾股定理得
，设 ，则 ，然后在 中，由勾股定理得出方程，解方程即可；
②当点 在长方形外部时，折叠的性质得 ， ，同①得 ，设 ，则
，然后在 中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【详解】解：（1） ， ，
，
由折叠的性质得： ，
在 中，由勾股定理得： ，
即 的长为 ；
（2） 四边形 是长方形，
， ， ，
，
由折叠的性质得： ，
，
，
设 ，则 ，在 中，由勾股定理得： ，
即 ，
解得： ，
即 的长为 ；
（3）解： 四边形 是长方形，
， ，
设线段 的垂直平分线交 于点 ，交 于点 ，
则 ，
分两种情况：
①如图 ，当点 在长方形内部时，
点 在线段 的垂直平分线 上，
， ，
由折叠的性质得： ， ，
在 中，由勾股定理得： ，
，
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得： ，
即 ，
解得： ，
即 的长为 ；
②如图 ，当点 在长方形外部时，由折叠的性质得： ， ，
同①得： ，
，
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得： ，
即 ，
解得： ，
即 的长为 ；
5
综上所述，点 刚好落在线段 的垂直平分线上时， 的长为 或 ．
2
【点评】本题是四边形综合题，考查了长方形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、线段
垂直平分线的性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握长方形的性质、折叠的性质和勾股定理
是解题的关键，属于中考常考题型．
压轴满分题十二、勾股定理逆定理的实际应用
56．（24-25八年级下·重庆渝北·期中）周末，小斌在父母的陪伴下坐车外出游玩．在一段笔直的公路
段外有一个景点C，由于视线遮挡原因．只有在离景点C250m以内的区域才能欣赏景点 已知 ，
， ．
(1)请通过计算说明小斌一家在公路AB段行驶时能否欣赏到景点C？
(2)已知在公路AB段欣赏景点C的足够时间为18s，小斌家汽车在AB段以 的速度匀速行驶．请你通过计算判断小斌家在公路AB段欣赏景点C的时间足够吗？
【答案】(1)能欣赏到
(2)时间足够
【分析】此题考查了勾股定理逆定理及其逆定理的应用．
（1）证明 ，根据面积法求出 ，进行解答即可；
（2）求出 ，根据 即可得到结论．
【详解】（1）解：由题意， ， ， ，
根据面积法可得，C到 的距离
如图．
以C为圆心，250m长为半径，交 于点G、H，
小斌一家在公路 段行驶时能欣赏到景点
（2）由题意，结合（1）图可得， ，且 关于 对称，
，
故小斌家在公路 段欣赏景点C的时间足够．
57．（24-25八年级下·广西柳州·期中）如图，A，B两村庄相距150米，C为供气站， 米，
米，为了方便供气，现有两种方案铺设管道．方案一：从供气站C直接铺设管道分别到A村和B村；
方案二：过点C作 的垂线，垂足为点H，先从C站铺设管道到点H处，再从点H处分别向A村、B两
村铺设．
(1)试判断 的形状，并说明理由；
(2)两种方案中，哪一种方案铺设管道较短？请通过计算说明．
【答案】(1) 是直角三角形，理由见解析
(2)方案一所修的管道较短，说明见解析
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、三角形面积的计算，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是
解题的关键．
（1）由勾股定理的逆定理即可得出 是直角三角形；
（2）由 的面积求出 ，得出 ，即可得出结果．
【详解】（1）解： 是直角三角形．理由如下：；
， ，
，
是直角三角形；
（2）解： 的面积 ，
（米）；
（米），
（米），
米 米，
方案一所修的管道较短．
58．（24-25八年级下·江西上饶·阶段练习）吊车在行驶过程中会产生较大的噪声．如图，有一台吊车沿公
路 由点 向点 行驶，已知点 处为一所学校，点 与直线 上两点 ， 的距离分别为 和
， ，吊车周围 以内为受噪声影响区域．(1)求 的度数；
(2)学校 会受噪声影响吗？为什么？
(3)若吊车的行驶速度为每分钟 ，则噪声影响该学校持续的时间为多少分钟？
【答案】(1)
(2)会受噪声影响，理由见解析
(3)2.4分钟
【分析】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用
勾股定理解答．
（1）依据勾股定理判定 是直角三角形，然后得到 度数；
（2）利用三角形面积得出 的长，进而得出学校C是否会受噪声影响；
（3）利用勾股定理得出 以及 的长，进而得出吊车噪声影响该学校持续的时间．
【详解】（1）解： ，
，
是直角三角形，且 ；
（2）解：学校 会受噪声影响．理由如下：
如图，过点 作 于点 ．
，．
吊车周围 以内为受噪声影响区域，且 ，
学校 会受噪声影响；
（3）解：如图，在 上取一点 ，使 ，连接 ，
，
当吊车在线段 上时产生的噪声会影响学校．
，
在Rt 中， ，
（分钟）．
答：吊车产生的噪声影响该学校持续的时间为2.4分钟．
59．（24-25八年级上·山东济南·期中）阅读与思考∶请仔细阅读下面的内容，并完成相应任务．
比较 与 的大小
“善思小组”的思路：将 ， 两个式子分别平方后，再进行比较．
“智慧小组”的思路：以 ， ， 为三边构造一个 ，再利用三角形的三边
关系进行比较．
任务：
(1)填空： ；
(2)①判断 的形状，并说明理由；
②直接判断 与 的大小；
(3)延伸拓展：直接判断 与 的大小．
【答案】(1)
(2)① 为直角三角形，见解析，②
(3)
【分析】（1）利用完全平方公式求解即可；（2）①根据勾股定理的逆定理进行判断即可；
②根据三角形三边关系进行判断即可．
（3）将 ， 两个式子分别平方后，再进行比较．
【详解】（1）解： ，
故答案为： ；
（2）解：① 是直角三角形，理由如下：
， ， ，
，
是直角三角形；
② 三角形任意两边之和大于第三边，
．
（3）解： ， ，
∵ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了二次根式混合运算，勾股定理的逆定理，三角形三边关系的应用，实数的大小比
较，解题的关键是熟练掌握二次根式性质和混合运算法则．
60．（24-25八年级上·陕西汉中·期末）为向西安游客更好地宣扬西安特色，某中学数学兴趣小组提出一个
创意想法：在公交站台的附近设置一个信号发射装置，在公交车上设置信号接收器，当公交车经过站台，
车上的信号装置接收到信号源时，就会持续播报该站台附近的西安特色美食与景色，当接收装置接收不到
信号源信号时就会立即停止播报．如图是小组同学做出来的模型示意图， ，信号源点E与点C
距离为 ，点E与点D距离为 ，公交车可以看作长方形 ，公交车在离信号源点E最近的车
道从左往右行驶，即从点C到点D，车上接收信号装置 长为 ，且 上每一处都能接收到信号．信
号源的影响范围为 试判断信号源设置在E处是否会让经过的公交车接收到信号？并说明理由．【答案】不能收到，理由见详解
【分析】本题考查了勾股定理逆定理的应用，过 作 交于 ，由勾股定理的逆定理得 是
直角三角形，由三角形的面积求出 的长度，根据实际意义，即可求解；理解实际意义，能勾股定理逆
定理解决问题是解题的关键．
【详解】解：不能收到，理由如下：
过 作 交于 ，
，
，
是直角三角形，
，
，
解得： ，
，
信号源设置在E处时，经过的公交车接不能收到信号．
压轴满分题十三、勾股定理的实际综合应用
61．（23-24八年级下·山东济宁·阶段练习）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一道问题，大意是：
如图，有一个水池，水面是一边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把
这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请求出这根芦苇的长度．【答案】芦苇长13尺
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决
实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的
思想的应用．
首先设水池的深度为 尺，则这根芦苇的长度为 尺，根据勾股定理可得方程 ，再解即
可．
【详解】解：设水池的深度为 尺，
由题意得：
解得： ，
则 ，
答：芦苇长13尺．
62．（23-24八年级下·广西贺州·期中）姑婆山国家森林公园古窑冲猴趣园，调皮可爱的猴子随处可见．如
图：有两只猴子爬到—棵树 上的点B处，且 ，突然发现远方A处有好吃的东西，其中一只猴
子沿树爬下走到离树 处的池塘A处，另一只猴子先爬到树顶D处后再沿缆绳线段 滑到A处，已知两
只猴子所经过的路程相等，设 为 ．
(1)请用含有x的整式表示线段 的长为 m；
(2)求这棵树高有多少米？【答案】(1)
(2)这棵树高3.2米
【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，考查了直角三角形的构建，本题中正确的找出
的等量关系，并根据 求 的长是解题的关键．
（1）根据 ，计算即可；
（2）在 中，由勾股定理，列出方程求解即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ．
（2）解：由题意知 ，则在 中，
有 ，
∴ ，
解得： ，
∴ ．
答：这棵树高有3.2米
63．（24-25八年级下·山东德州·阶段练习）如图，经过A村和B村（将A，B村看成直线l上的点）的笔
直公路1旁有一块山地正在开发，现需要在C处进行爆破．已知C处与A村的距离为 米，C处与B村
的距离为 米，且 ．
(1)求A，B两村之间的距离．
(2)求点C到直线l的距离．
(3)为了安全起见，爆破点C周围半径 米范围内不得进入，在进行爆破时，公路 段是否有危险而需
要封锁？如果需要，请计算需要封锁的路段长度；如果不需要，请说明理由．
【答案】(1)A，B两村之间的距离为 米(2)720米
(3)公路 有危险而需要封锁，需要封锁的路段长度为 米
【分析】此题考查了勾股定理的应用，等腰三角形的判定和性质等知识．
（1）由勾股定理即可求解；
（2）过C作 于D．先用等积法求出 ；
（3）比较得到结论： 段公路需要封锁．以点C为圆心， 米为半径画弧，交 于点E，F，连接
， ，利用勾股定理和等腰三角形的性质即可求出需要封锁的路段长度．
【详解】（1）解：在 中， 米， 米，
（米）．
答：A，B两村之间的距离为 米；
（2）如图，过C作 于D．
，
（米）．
（3）公路 有危险而需要封锁．理由如下：
由于 米 米，故有危险，
因此 段公路需要封锁．
以点C为圆心， 米为半径画弧，交 于点E，F，连接 ， ，
米，
（米）， 是等腰三角形，
（米），
则需要封锁的路段长度为 米．
64．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图1，一个梯子 长为5米，顶端A靠在墙 上，这时梯
子下端B与墙角C之间的距离是4米．(1)求梯子的顶端与墙角C之间的距离．
(2)如图2，将梯子的底端B向C方向挪动1米，若在墙 的上方点E处须悬挂一个广告牌，点E与C之
间的距离是4.2米，试判断：此时的梯子的摆放位置能否够到点E处？
【答案】(1)3米
(2)不能
【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理求边长；
（1）根据勾股定理求边长即可；
（2）先求出底端B向C方向挪动1米后底端到墙角C的距离，再由勾股定理求解梯子的顶端到达的高度，
再与E的高度进行比较即可；
【详解】（1）解：由题意知 米， ，
在 中， 米，
梯子的顶端与墙角C之间的距离是3米；
（2）不能，理由如下：
设B向C方向挪动1米到 ，此时A向上挪动到 ，则 米， 米， 米，
米，
米，在 中， 米，
，
，
梯子的摆放位置不能够到点E处；
65．（24-25八年级上·河北承德·期末）【问题背景】
著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为 ，较小的直角边长都为 ，斜边长
都为 ，大正方形的面积可以表示为 ，也可以表示为 ，由此推导出重要的勾股定理：如
果直角三角形两条直角边长为 ， ，斜边长为 ，则 .
【探索求证】
古今中外，勾股定理有很多证证明方法，如图②， 与 按如图所示位置放置，连接CD，其
中 ，请你利用图②推导勾股定理.
【问题解决】
如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄 ，河边原有两个取水点 ， ，其中 ，由于某种
原因，由 到 的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点 （ 、 、 在同
一条直线上），并新修一条路CH，且 .测得 千米， 千米，求新路CH比原路CA
少多少千米？
【延伸扩展】
在第（2）向中若 时， ， ， ， ，设 ，求 的值.
【答案】探索求证：见解析；问题解决： 千米；延伸扩展：
【分析】此题主要考查了勾股定理的证明与应用：
（1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等
列出关系式，化简即可得证；（2）设 千米，则 千米，根据勾股定理列方程，解得即可得到结果；
（3）在 和 中，由勾股定理得求出 ，列出方程求解即可得到
结果．
【详解】解：（1） ，
，
∴ ，
即 ；
（2）设 千米，则 千米，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
解得 ，
即 千米，
∴ （千米），
∴新路 比原路 少 千米；
（3）设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得 ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
即 ，
解得： ．
压轴满分题十四、勾股定理的应用一一求最短路径问题
66．（24-25八年级下·河南三门峡·阶段练习）如图，A，B个村在河 的同侧，且 ， A，B
两村到河的距离分别为 ， ．现要在河边 上建一水厂分别向A，B两村输送自来水，铺设水管的工程费每千米需3000元．请你在河岸 上选择水厂位置O，使铺设水管的费用最省，并求出
铺设水管的总费用W（元）．
【答案】水厂位置见解析，铺设水管的总费用为15000元
【分析】本题考查的是轴对称的性质，勾股定理的应用，如图，作点A关于 的对称点 ，连接 交
于O，点O即为水厂的位置．过点 作 交 的延长线于点E，过点A作 于点F，
再进一步解答即可．
【详解】解：如图，作点A关于 的对称点 ，
连接 交 于O，
∴ ，
∴点O即为水厂的位置．
过点 作 交 的延长线于点E，过点A作 于点F，
则 ， ， ．
∴ ．
在 中， ，
∴ ．
∴ ．
在 中， ，
由勾股定理得 ．∴ （元）．
故铺设水管的总费用为15000元．
67．（23-24八年级上·山东青岛·阶段练习）如图，长方体盒子（无盖）的长、宽、高分别是 ， ，
，在 中点C处有一滴蜜糖，一只小虫从D处爬到C处去吃，有无数种走法，则最短路程是多少？
【答案】
【分析】本题主要考查了长方体表面展开图．熟练掌握长方体表面展开图，两点之间线段最短，勾股定理，
是解答本题的关键．
先将长方体的表面展开，再根据两点之间线段最短的性质结合勾股定理计算即可．
【详解】解：如图1展开，连接 ，则 的长就是从D处爬到C处的最短路程，
在 中， ， ，
由勾股定理得： ，
即从D处爬到C处的最短路程是 ．
68．（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）如图：某小区有两个喷泉A，B，两个喷泉的距离长为 ，现
要为喷泉铺设供水管道 和 ，供水点M在小路 上，供水点 M 到 的距离 的长为 ，
的长为 ．(1)求供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长；
(2)求喷泉B到小路 的最短距离．
【答案】(1)供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长为
(2)喷泉B到小路 的最短距离为
【分析】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理．
（1）首先根据勾股定理求出 ，进而求解即可；
（2）过点B作 ，利用等面积法求解即可．
【详解】（1）∵在 中， ， ，
∴
在 中，
∴ ，
答：供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长为 ；
（2）如图所示，过点B作 ，．
答：喷泉B到小路 的最短距离为 ．
69．（24-25八年级上·广东佛山·期中）综合与实践
【问题情境】
数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为 、 、 ，
和 是一个台阶两个相对的端点．
【探究实践】
老师让同学们探究：如图①，若 点处有一只蚂蚁要到 点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到 点
的最短路程是多少？
（1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，连接 ，经过计算得到
长度即为最短路程，则 ；（直接写出答案）
【变式探究】
（2）如图③，一只圆柱体玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是 厘米，高是 厘米，一只蚂蚁从点 出发
沿着玻璃杯的侧面到点 ，求该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？【拓展应用】
（3）如图④，若圆柱体玻璃杯的高 厘米，底面周长为 厘米，在杯内壁离杯底 厘米的点 处有一滴
蜂蜜．此时，一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿 厘米，且与蜂蜜相对的点 处，则蚂蚁从外壁 处到内壁
处所爬行的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计）
【答案】（1） ；（2）该蚂蚁爬行的最短路程是 厘米；（3）蚂蚁从外壁 处到内壁 处所爬行的最
短路程是 厘米
【分析】本题考查了平面展开——最短路径问题，勾股定理，轴对称的性质，将图形展开，利用轴对称的
性质和勾股定理进行计算是解题的关键．
（1）直接利用勾股定理进行求解即可；
（2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可；
（3）将玻璃杯侧面展开，将玻璃杯侧面展开，作 关于 的对称点 ，作 ，交 延长线于点
，连接 ，根据两点之间线段最短可知 的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得．
【详解】解：（1）由题意得： ， ，
，
故答案为： ；
（2）将圆柱体侧面展开，如下图：由题意得： ， ，
，
该蚂蚁爬行的最短路程 厘米；
（3）如下图，将玻璃杯侧面展开，作 关于 的对称点 ，作 ，交 延长线于点 ，连接
，
由题意得： ， ，
，
底面周长为 ，
，
，
由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁 处到内壁 处所爬行的最短路程是 厘米．
70．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）项目主题：监控器最优布设方式
项目背景：台风袭来，汛期将至，某地水利部门计划新购置一批监控器，监控河岸和水流情况，以预防河
流决堤，危害当地居民的生命财产安全．
已知监控器有效监测距离 ，最大旋转角度 ；如图 所示，村落位于河流南侧，与河流邻接长度
；监控布设线 距离河流 ，任意两个监控器布设点之间的距离相等．项目方案1：如图2所示，从河流南岸与村落边缘 点处起，使 ， ，即 为监控器
监测范围；从 点处起，使 ， ，即 为监控器 监测范围．
（1）若按方案1进行布设，该水利部门至少需要布设多少监控器？
项目方案2：为了充分利用监控器的监测范围，设计了如图 所示的方案， 为监控器 监测范围，
为监控器 监测范围， ， ，此时 ；
（2）若按方案2进行布设，该水利部门至少需要布设多少监控器？
项目方案3：如图4所示，此时 ， ，且 ， ，则监控器 监
测范围 的距离为 ．
反思提升：我认为方案_________是最优化方案，原因是__________．
【答案】（1）该水利部门至少需要布设 个监控器；（2）该水利部门至少需要布设 个监控器；项目方
案3： ；反思提升：2；理由见解析
【分析】本题考查了勾股定理的应用；
（1）勾股定理求得 的长，进而根据河流长度除以 的长得出监控器的个数，即可求解；
（2）过点 作 于点 ，依题意 ，进而勾股定理求得 ，设 ，则
，在 ， 中，勾股定理求得 ，同（1）求得监控器的个数；
项目方案3：根据题意得出 是等腰直角三角形，即可求解；
反思提升：结合三个方案，得出监控器布置少的方案，即可求解．
【详解】解：（1）在 中，
∴ ，∵村落与河流邻接长度 ； ，
∴该水利部门至少需要布设 个监控器；
答：该水利部门至少需要布设 个监控器；
（2）解：如图所示，过点 作 于点 ，依题意 ，
在 中， ，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中， ，
在 中，
∴
解得： ，
∴ ，
在 中， ，
∵监控器有效监测距离 ，
∴符合题意，
∴
∵村落与河流邻接长度 ； ，
∴该水利部门至少需要布设 个监控器；
答：该水利部门至少需要布设 个监控器；
项目方案3：
∵ ，且 ，∴ 是等腰直角三角形，
如图所示，过点 作 于点 ，
∴
即监控器 监测范围 的距离为
反思提升：我认为方案二是最优化方案，原因是监控器 监测范围 的距离最大，则水利部门布设监控
器个数少．
压轴满分题十五、一次函数的规律探究问题
71．（23-24八年级下·甘肃白银·期末）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度 与所挂物体的质
量 有下面关系：
0 1 2 3 4 5
1 1
12.5 13.5 14 14.5
2 3
(1)写出弹簧总长 ）与所挂物体质量 之间的关系式；
(2)按照上表所示的规律，弹簧总长为17cm时，所挂物体的质量是多少？
【答案】(1)
(2)所挂物体的质量是
【分析】本题考查了函数的关系式及函数值，关键在于根据图表信息列出等式，然后变形为函数的形式．
（1）由上表可知 ，0.5为
常量，12也为常量．故可求出弹簧总长 与所挂重物 之间的函数关系式．（2）令 时，求出x的值即可．
【详解】（1）解：由表可知：常量为0.5，12，
所以，弹簧总长 与所挂重物 之间的函数关系式为 ，
（2）解：当 时，代入 ，
解得
答：所挂物体的质量是
72．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）正方形 、 、 的边长分别为 ，
按如图的方式依次放置，点 、 、 在 轴上，点 、 、 在直线 上．
(1)求直线 的函数表达式；
(2)直接写出点 、 的坐标；
(3)猜想点 的坐标为______．
【答案】(1)
(2) ，
(3)
【分析】本题考查一次函数图象上的点的坐标特征、正方形的性质．
（1）根据已知条件先求出 、 的坐标，设直线 的解析式为 ，代入求解即可；
（2）根据已知条件先求出 、 ，同理可得出 、 的坐标；
（3）总结（2）中的规律可得出 的坐标．【详解】（1）解：∵正方形 、 的边长分别为 ，
∴ ， ，
设直线 的解析式为 ，
∵点 、 在直线 上，
∴ ，
解得： ，
∴直线 的函数表达式为： ；
（2）解：∵ 的边长为1，
∴ ，
，
在直线 上，
，
，
同理可得 ，
∴ ， ；
（3）解：由（2）中规律可得： ，
故答案为： ．
73．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）图1是1个纸杯和4个叠放在一起的纸杯的示意图，为了建立一个
函数探究叠在一起的杯子的总高度y（cm）随着杯子数量x（个）的变化规律，设杯子底部到杯沿底边高为h（cm），杯沿高为a（cm）．
(1)杯子底部到杯沿底边高h为______（填“常量”或“变量”），杯沿高a为______（填“常量”或“变
量”）；
(2)杯子的总高度y是杯子数量x的函数，可建立函数表示它们的关系为 ______（用x，a，h表示）．
(3)①某型号的1个纸杯总高度为9.1cm，4个叠在一起的纸杯总高度为10.9cm，求h和a的值．
②图2是某品牌饮水机的示意图，储藏柜的高度是40cm．若要将该型号纸杯叠放后竖直（杯口向上）放入
储藏柜，最多能将多少个纸杯叠放在一起？
【答案】(1)常量，常量
(2)
(3)① 的值为 ， 的值为 ；②最多能将52个纸杯叠放在一起．
【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
（1）杯子底部到杯沿底边高 为常量，杯沿高 为常量；
（2）用杯子底部到杯沿底边高加上 个杯沿高度即可列出函数关系式；
（3）①根据1个纸杯总高度为9.1cm，4个叠在一起的纸杯总高度为10.9cm，列方程组可解得答案；
②根据题意得： ，解出 的范围即可得到答案．
【详解】（1）解：杯子底部到杯沿底边高 为常量，杯沿高 为常量；
故答案为：常量；常量；
（2）解：根据题意得： ；
故答案为： ；
（3）解：① 个纸杯总高度为9.1cm，4个叠在一起的纸杯总高度为10.9cm，
，
解得 ，的值为 ， 的值为 ；
②根据题意得： ，
解得 ，
为整数，
最大取52，
最多能将52个纸杯叠放在一起．
74．（23-24八年级下·山东淄博·期中）（1）如图，已知直线 经过点 ， ，与直线
交于点 ，且直线 交 轴于点 ．
①求直线 的函数表达式；
②求点 的坐标；
③求 的面积．
（2）观察下列算式，完成问题：
① ；
② ；
③ ；
④
……
①按照以上算式的规律，请写出算式⑤
②上述算式用文字表述为：“任意两个连续偶数的平方差都是4的奇数倍”．若设两个连续偶数分别为2n
和 （ 为整数），请证明上述命题成立；③命题“任意两个连续奇数的平方差都是4的奇数倍”是否成立?若成立，请证明；若不成立，请举出反例．
【答案】（1）① ；② ；③ 面积为3；（2）① ；②任意两个连
续偶数的平方差都是4的奇数倍，成立，理由见解析；③任意两个连续奇数的平方差都是4的奇数倍，不
成立，理由见解析
【分析】本题考查了一次函数的应用；因式分解—平方差公式的应用，有理数的混合运算；
（1）①待定系数法求解析式，即可求解；
②联立 可得 点坐标；
③ 点纵坐标为 的高， ，直线 当 时， 点横坐标 点横坐标 ，进而根据三
角形的面积公式，即可求解；
（2）①根据题意写出算式⑤，即可；
②利用平方差公式进行因式分解，即可；
③设两个连续奇数分别为 和 （ 为整数），利用平方差公式进行因式分解，即可．
【详解】解：（1）①设直线 的函数表达式 代入点A，B坐标得，
，
解得： ，
所以， ；
②联立 可得 点坐标，
， ，
代入 得， ，
，
；
③ 点纵坐标为 的高， ，直线 当 时， ，
由于 点横坐标 点横坐标 ，
，
即 面积为3．
（2）①根据题意，可得算式⑤：
故答案为： ；
②由题意可得，
，
能被4整除，且 为奇数，
任意两个连续偶数的平方差都是4的奇数倍，成立；
③设两个连续奇数为 和 ．
，
是偶数，
任意两个连续奇数的平方差都是4的奇数倍，不成立．
例如： ，即 是4的6倍，6是偶数，不是奇数．
75．（2024·山西晋城·一模）阅读与思考
下面是小宇同学的数学小论文（部分），请仔细阅读并完成相应的任务
用函数研究数轴上动点到定点（两个）距离和的变化规律
数轴是初中数学的一个重要工具，研究数轴我们可以发现许多重要的规律．例如：若数轴上点 ，点 表
示的数分别为 ， ，则 ， 两点之间的距离 ，线段 的中点表示的数为 ．学习函数知
识后，我们可以用函数方法研究数轴上动点到定点（两个）距离和的变化规律．
特例研究：
例：如图1，在数轴上点 ，点 表示的数分别为 ，3，动点 表示的数为 ，求点 到点 ， 的距
离和为 ，并直接写出 的最小值.用函数方法，我们可以用含 的式子表示
，
画出函数图象如图2，观察图象，可以直观看出： 的最小值为5．
拓广探索：
若数轴上点 ，点 表示的数分别为常数 ， ，且 ，动点 表示的数为 ，点 到点 ， 的距离
和为 ，并直接写出 的最小值，.……
任务：
(1)上面小论文中的分析过程，主要运用的数学思想是______（从下面选项中选出两个即可）；
A．转化思想 B．数形结合思想 C．统计思想 D．分类讨论思想
(2)请直接写出“拓广探索”中， 关于 的函数表达式．
(3)在“拓广探索”中， 的最小值为______；当 时， 随 的增大而______．
(4)如果你写“拓广探索”部分的内容，请直接写出一个你发现的结论．
【答案】(1) （或 或 ）
(2)
(3) ；减小
(4)当 时， 随 的增大而增大；当 时， 有最小值； 没有最大值；等等（答案不唯一）
【分析】本题考查了一次函数的应用，求函数解析式，画函数图像，一次函数的性质；
（1）从小论文中可知，主要运用的数学思想有转化思想、数形结合思想、分类讨论思想，故任选两个即
可；（2）对 ，分 三种情况计算即可；
（3）根据（2）的函数画出函数图像，由图象及一次函数的性质即可完成解答；
（4）根据函数表达式及一次函数的性质即可解答．
【详解】（1）解：小论文主要运用的数学思想有转化思想、数形结合思想、分类讨论思想，
故选： （或 或 ）；
（2）解：由题意知 ，
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
∴
（3）解：画出 的图像如下：
由图像知，函数的最小值为 ，当 时， 随 的增大而减小；
故答案为： ；减小；
（4）解：由图像知，当 时， 随 的增大而增大；当 时， 有最小值； 没有最大值；等等（答
案不唯一）
压轴满分题十六、一次函数最值问题
76．（24-25八年级上·上海·期中）已知 ，且 是关于 的正比例函数．(1)求 与 的函数关系式；
(2)若 ，求函数 的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，求正比例函数值，正比例函数的增减性：
（1）一般地，形如 （k是常数，且 ）的函数叫做正比例函数，据此可得 ，解之即可
得到答案；
（2）根据（1）所求，先求出当 时， ，再根据解析式可得y随x增大而减小，则当
，函数 的最小值为 ．
【详解】（1）解：∵ ，且 是关于 的正比例函数，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：在 中，当 时， ，
∵在 中， ，
∴y随x增大而减小，
∴当 ，函数 的最小值为 ．
77．（2024八年级下·天津·专题练习）已知某一函数的图象如图所示，根据图象回答下列问题：
(1)当 时，对应的函数值为_______；(2)当 的值在_______（用不等式表示）时， 随 的增大而增大；
(3)当 _______时， 的最大值是_______；
(4)当 的值在_______（用不等式表示）时， ．
【答案】(1)2；
(2) ；
(3) ， ；
(4) ．
【分析】本题考查了函数图象，观察函数图象的变化趋势获得有效信息是解题关键．
（1）根据自变量的值与函数值的对应关系，可得相应的函数值；
（2）根据函数图象的横坐标，可得函数的增区间；
（3）根据函数图象的最高点，可得相应自变量的值和函数值；
（4）根据函数图象在 轴下方的部分函数值小于零，可得答案．
【详解】（1）解：当 时，对应的函数值为2；
故答案为：2；
（2）解：当 的值在 时， 随 的增大而增大；
故答案为： ；
（3）解：当 时， 的最大值是 ；
故答案为： ， ；
（4）解：当 的值在 时， ．
故答案为： ．
78．（23-24八年级下·陕西西安·期末）如图，直线 与 轴， 轴分别交于点 ， ，点
的坐标为 ，点 的坐标为 ，点 是线段 上的一个动点．
(1)求 的值；
(2)求点 在运动过程中 的面积 与 的函数关系式，并写出自变量 的取值范围；
(3)求 面积的最大值．【答案】(1)
(2)
(3)最大值为
【分析】（1）将点 坐标代入解析式可求 的值；
（2）由点 在直线 上可得点 坐标，由三角形面积公式可求 与 的函数关系式；
（3）根据（2）中 解析式，点 的横坐标取值范围即可求 面积的最大值．
【详解】（1）解： 直线 过点 ，
，
；
（2）解：∵点 的坐标为 ，
∴ ，
点 在直线 上，
点 ，
，
，
点 在线段 上的一个动点，
；
（3）解： 点 是线段 上的一个动点， ，且 ，
∴y随x的增大而增大，
∴当 时， 有最大值，最大值为 ．
【点睛】本题考查了一次函数图象点的坐标特征，待定系数法求函数解析式，利用点在直线上得出点的坐标 ，利用三角形的面积公式是求函数关系式的关键．
79．（23-24八年级上·河南郑州·期中）问题：探究函数 的图象与性质．
数学兴趣小组根据学习一次函数的经验，对函数 的图象与性质进行了探究．
(1)在函数 中，自变量x可以是任意实数，下表是y与x的几组对应值．
x … 0 1 2 3 4 …
y … 0 1 2 3 4 3 2 1 a …
①表格中a的值为_________；
②若 与 为该函数图象上不同的两点，则 ________．
(2)在平面直角坐标系中，描出上表中的各点，画出该函数的图象．
(3)结合图象回答下列问题：
①函数的最大值为_________；
②写出该函数的一条性质：_____________________
【答案】(1)①0；② ；
(2)画图见解析
(3)①4，②关于y轴对称（答案不唯一）
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，一次函数图象上的点的坐标特点，利用数形结合思想，正确
画出函数图象是解题的关键．
（1）①代入x的值即可求出a；②把 代入求值，即可得出答案；
（2）描点，连线即可；（3）①根据函数图象可知最大值；②根据图象得出函数性质即可．
【详解】（1）解：①把 代入 ，得 ，
故答案为：0；
②把 代入 ，得 ，
解得 或10，
∵ 与 为该函数图象上不同的两点，
∴ ，
故答案为：
（2）描点，画出函数图象如图所示：
（3）根据函数图象可知：
①函数最大值为4；
故答案为：4；
②由图象可知该函数的一条性质：函数 的图象关于y轴对称（答案不唯一）；
故答案为：函数 的图象关于y轴对称（答案不唯一）．
80．（23-24八年级上·广东深圳·期中）小明根据学习一次函数的经验，对函数 的图象与性质
进行了探究．小明的探究过程如下：
列表：
x … 0 1 2 3 4 …
y … 4 3 2 1 2 3 4 5 m …(1)求m和k的值；
(2)以自变量x的值为横坐标，相应的函数值y为纵坐标，建立平面直角坐标系，请描出表格中的点，并连
线；
(3)根据表格及函数图象，探究函数性质：
①该函数的最小值为__________；
②当 时，函数值y随自变量x的增大而__________（填“增大”或“减小”）；
③若关于x的方程 有两个不同的解，则b的取值范围为__________．
【答案】(1) ，
(2)见解析
(3)①1；②增大；③
【分析】（1）将 代入 即可求出k的值，得到 ，然后将 代入即可求出m
的值；
（2）根据表格中的坐标描点，然后连线画图即可；
（3）根据（2）中的图象求解即可．
【详解】（1）将 代入 得： ，
解得： ，
∴ ，当 时， ，
∴ ．
（2）根据表格中的对应值在直角坐标系中描点、连线，如图为所求．（3）根据图象可得，
①该函数的最小值为1；
②当 时，函数值y随自变量x的增大而增大；
③∵关于x的方程 有两个不同的解，
∴由图象可得，b的取值范围为 ．
故答案为：1；增大； ．
【点睛】本题主要考查了求一次函数的函数值和自变量，画一次函数图象，一次函数的性质等等，熟知一
次函数的相关知识是解题的关键．
压轴满分题十七、一次函数与方程、不等式的综合应用
81．（24-25八年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，已知直线l： 与x相交于点A，与y轴相
交于点B，直线 与直线l互相垂直于点C．
(1)当 时，求点C的坐标；
(2)当 时，①求直线l的解析式；
②直接写出不等式 的解集：______．【答案】(1)
(2)① ，②
【分析】（1）当 时，则直线l的解析式为 ，直线 的解析式为 ，再建立方程组
解题即可；
（2）①如图，过 作 轴于 ，由 ，可得 ，结合 ，可得
， ，可得 ，再解方程即可；②由①可得 ，
再结合图象可得解集.
【详解】（1）解：当 时，则直线l的解析式为 ，直线 的解析式为 ，
联立 ，解得 ，
∴ ；
（2）解：①如图，过 作 轴于 ，
∵ ，
解得： ，即 ，∴ ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
解得： ，经检验符合题意；
∴直线l的解析式为 ；
②∵ ，
∴ ，
∴不等式 的解集为 .
【点睛】本题考查的是求解一次函数的交点坐标，分式与二次根式的运算，勾股定理的应用，利用函数图
象解不等式，选择合适的方法解题是关键.
82．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）已知：如图一次函数 与 的图象相交于点A．
(1)求点A的坐标；
(2)若一次函数 与 的图象与x轴分别相交于点B、C，求 的面积；
(3)结合图象，直接写出 时x的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式之间的关系，两直线交点坐标的求法和三角形面积的求法，
求出点A、B、C的坐标是解题的关键．
（1）将两个函数表达式联立得到方程组 ，解此方程组即可求出点A的坐标；
（2）先根据两个函数表达式求出点B、C的坐标，从而得到 的长，再利用三角形的面积公式可得结果；
（3）根据函数图象和点A的坐标即可得到结果．
【详解】（1）解：联立 ，解得 ，
∴点A坐标为 ．
（2）解：当 时， ，即 ，则B点坐标为 ；
当 时， ，即 ，则C点坐标为 ；
，
的面积为： ．
（3）解：根据图象可知， 时，x的取值范围是 ．
83．（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图：
(1)【探究发现】
某数学小组的同学在学习完一次函数后，掌握了函数的探究路径，即：定义—图象—性质—应用，他们尝
试沿着此路径探究下列问题：已知 ，下表是y与x的几组对应值：
x … 0 1 2 3 4 …
y … 6 4 2 0 a 2 …
① ．
②描点连线：请在平面直角坐标系中描点，并用光滑的曲线依次连接，根据函数图象写出该函数的一条性
质： ．
(2)【拓展应用】
①若点 ， 均在该函数图象上，请写出m，n满足的数量关系： ．
②结合函数 的图象，请写出不等式 的解集： ．
【答案】(1)①0；②见解析；该函数图象是轴对称图形，对称轴为直线 （答案不唯一）
(2)① ；② 或
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式、一次函数的图象和性质．
（1）①根据函数 ，计算出当 对应的函数值，从而可以求得a的值；
②根据表格的数据，可以画出相应的函数图象，根据函数图象写出该函数的一条性质即可；
（2）①根据图象得出结论；
②观察函数图象，可以得到不等式 的解集．
【详解】（1）解：①当 时，代入 ，可得 ，
∴ ，
故答案为：0；
②利用表格中的x，y的对应值作为点的横纵坐标，描出各点，用平滑的线连接各点得：观察函数图象发现：该函数图象是轴对称图形，对称轴为直线 ，
故答案为：该函数图象是轴对称图形，对称轴为直线 ；（答案不唯一）
（2）解：①若点 ， 均在该函数图象上，则m，n满足的数量关系是： ，
故答案为： ；
②观察图象，不等式 的解集是 或 ，
故答案为： 或 ．
84．（24-25八年级下·广东深圳·期中）问题探究：同学们在学习了函数、方程与不等式的关系后，某学习
小组同学想要研究不等式组 的解集，请按照该组同学的探究思路完成以下问题：首先令
，再通过列表、描点、连线的方法作出函数的图象，并对其性质探究：
(1)完成如下列表，在坐标系中描点、连线，画出该函数的图象；(2)结合你所画的函数图象，写出函数 的两条性质：
①___________；
②___________
(3)当 时，自变量 的取值范围是___________；
(4)一次函数 图象与函数 的图象只有一个交点，那么 的取值范围是
___________．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3) 或
(4) 或
【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键．
（1）利用函数关系式求出函数值，补全表格，再作出函数图象即可；
（2）根据增减性以及最小值写出两条性质，即可求解；
（3）根据图象即可得到答案；
（4）画出函数 和过点 的图象，根据图象即可得到答案．
【详解】（1）解：当 时，
当 时，如图
（2）根据函数图象，函数 的两条性质：
①当 时， 随 的增大而减小，当 时 随 的增大而增大，
②当 时，函数有最小值，最小值为
（3）解：当 时，
当 时，
当 或 时，
根据函数图象，当 时，自变量 的取值范围是 或
故答案为： 或 ．
（4）解：如图所示，当 时，
当 与 平行时，即 时， 与 的图象只有一个交点，
当 过点 时
，
解得： ，
∴ 与 的图象只有一个交点，
∴由图象可知，当 或 时，一次函数 图象与函数 的图象只有一个
交点
故答案为： 或 ．
85．（24-25八年级下·河南郑州·期中）我们曾探究过“函数 的图象上点的坐标的特征”，了解
了一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系．
发现：一元一次不等式 的解集是 图象在x轴上方的点的横坐标的集合．
结论：一元一次不等式： （或 ）的解集，是函数 图象在x轴上方（或x轴下
方）部分的点的横坐标的集合．
根据以上信息回答问题(1)如图1，观察图象，一次函数 的图象经过点 ，则不等式 的解集是
________．
(2)如图2，观察图象，两条直线的交点坐标为________，不等式 的解集是________．
(3)如图3，一次函数 和 的图象相交于点A，分别与x轴相交于点B和C点．
①结合图象，直接写出关于x的不等式组 的解集是________．
②若x轴上有一动点 ，使得 为直角三角形，请直接出P点坐标：________．
【答案】(1)
(2) ，
(3) 或
【分析】本题考查一次函数的图象及性质，两点距离计算公式，熟练掌握一次函数的图象及性质，等腰三
角形的性质，分类讨论，数形结合是解题的关键．
（1）结合图象即可求解；
（2）通过观察图象求解即可；
（3）①根据函数图象上点的特征，求函数与坐标轴的交点坐标，通过观察图象求解即可；
②分别求出 ， ， ，当 时，由勾股定理建立方程求解；
当 时，则 ，据此可得答案．
【详解】（1）解：∵ 的图象经过点 ，
∴观察图象，不等式 的解集是 ，故答案为： ；
（2）解：通过观察图象，可得两条直线的交点坐标为 ，
∵ 的解为两直线交点的横坐标，
∴由图象可得，当 时， ，
∴不等式 的解是 ，
故答案为： ， ；
（3）解：①联立方程组 ，
解得 ，
∴ ，
当 时， ，
∴ ，
∴ ；
由 的图象可知，当 时， ，
当 时， ，
∴关于x的不等式组 的解集为 ，
故答案为： ；
②令 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ， ，当 时，则 ，
解得 ，
∴P点坐标为 ；
当 时，则 ，
∴P点坐标为 ；
综上所述：P点坐标为 或 ．
压轴满分题十八、一次函数中翻折问题
86．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）将 的图象记作 ，
(1)图象 与 轴交点坐标为___________，与 轴交点坐标为___________；
(2)若点 、 均在图象 上，求 、 的值：
(3)将图象 上 （ 为常数）的部分沿 轴翻折，翻折后的图象记作 ，将 的部分记作 和
合起来记作图象 ．直接写出 对应的函数表达式，并写出自变量的取值范围：
(4)已知点 、 ，连结 ，在（3）的条件下，图象 与线段 有一个交点时，直接写出
的取值范围．
【答案】(1) ，
(2) ， ；
(3) ；
(4) ．
【分析】本题考查了一次函数的图象和性质．
（1）分别令 和 ，求得 和 ，据此求解即可；（2）分别将点 、 代入 ，求解即可；
（3）分情况讨论，求解即可；
（4）先求得线段 与 的交点 的坐标，与 的交点 的坐标，再根据四个特殊点
、 、 和 ，画出图形，根据图象即可求解．
【详解】（1）解：令 ，则 ，令 ，则 ，
∴图象 与 轴交点坐标为 ，与 轴交点坐标为 ；
故答案为： ， ；
（2）解：将点 代入 ，得
；
将点 代入 ，得
，
解得 ；
（3）解：当 时，图象 对应的函数表达式为 ，
当 时，图象 对应的函数表达式为 ，
综上，图象 对应的函数表达式为 ；
（4）解：设线段 与 交于点 ，与 交于点 ，
令 ，则 ，解得 ，
则 ；
令 ，则 ，解得 ，则 ；
①若图象 过点 ；图象 与线段 有一个交点 ，此时 ；
②若图象 过点 ；图象 与线段 有一个交点 ，此时 ；
综上， 时，图象 与线段 有一个交点；
③若图象 过点 ，此时 ；
如下两个图知当 时，图象 与线段 没有交点；④如图 时，图象 与线段 没有交点；
综上，图象 与线段 有一个交点时， 的取值范围为 ．
87．（23-24八年级下·云南临沧·期末）如图，已知直线 ： 与直线 ： 交于点 ，直
线 与x轴交于点 ，与y轴交于点C．
(1)求直线 的解析式；
(2)将线段 沿直线 折叠，点A恰好落在点 处，求a的值．【提示：已知 ， ，则线段 的中点坐标为 ．】
【答案】(1)直线的解析式为 ：
(2)1或
【分析】（1）利用待定系数法即可求出直线 的解析式；
（2）连接 交折痕所在的直线于点P，连接 ，由折叠的性质可知： ，点P为 的中点，由
可求出m的值，进而可得出点F，P的坐标，再利用待定系数法即可求出k值．
【详解】（1）解： ： 过点 ， ，
，
解得 ，
直线的解析式为 ： ．
（2）解：连接 交折痕所在的直线于点P，连接 ．
由折叠的性质，可知： ．
，
， ，
，
解得： ．
当 时，点F的坐标为 ，点P的坐标为 ，点 在直线 上，
，
解得： ；
当 时，点F的坐标为 ，点P的坐标为 ，
点 在直线 上，
，
解得： ．
综上可知：a的值为1或 ．
【点睛】本题是两条直线相交或平行问题，考查一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解
析式、折叠的性质以及勾股定理的应用等，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
88．（24-25八年级下·福建福州·期中）把一次函数 （ 为常数， ）在 轴下方的图象沿
轴向上翻折，与原来在 轴上方的图象组合，得到一个新的图象，这个新的图象即为函数 的图象．
例如：如图1就是函数 的图象．
(1)请在图2中画出函数 的图象，并直接写出该图象与 轴交点 的坐标是_____；
(2)在（1）的条件下，若直线 与函数 的图象相交于 两点，求 的面积；(3)函数 （ 为常数）的图象经过 两点，且 ，直接写出 的取值范围．
【答案】(1)见解析，
(2)2
(3) 或
【分析】本题考查了一次函数的应用、函数的增减性与对称性等知识，熟练掌握函数图象法是解题关键．
（1）利用描点法画出函数图象即可得，再求出当 时， 的值即可得点 的坐标；
（2）分两种情况： 和 ，求出点 的坐标，再利用割补法求出面积即可得；
（3）先求出函数 经过定点 、与 轴的交点为 ，对称轴为直线 ，再
分两种情况： 和 ，结合函数图象求解即可得．
【详解】（1）解：对于函数 ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
则在图2中画出函数 的图象如下：
则该图象与 轴交点 的坐标是 ，
故答案为： ．（2）解：如图，由（1）可知， ，
当 时，设两个函数图象的交点为点 ，
联立 ，解得 ，即 ，符合题设；
当 时，设两个函数图象的交点为点 ，
联立 ，解得 ，即 ，符合题设；
则 的面积为 ．
（3）解：由题意可知， 为常数，且 ，
将 代入函数 得： ，
∴函数 经过定点 ，
当 时， ，解得 ，
∴这个函数与 轴的交点为 ，对称轴为直线 ，
∴当 时， 随 的增大而减小；当 时， 随 的增大而增大．
①如图，当 时，∵函数 （ 为常数）的图象经过 两点，且 ，
∴由函数图象可知，点 离对称轴更远，
∴ ，整理得 ，
∴ ，
∴ 或 ，
解得 或 （不符合题设，舍去）；
②当 时，这个函数的对称轴为直线 ，
∵函数 （ 为常数）的图象经过 两点，且 ，
∴由函数的增减性可知，此时始终有 ；
综上， 的取值范围为 或 ．
89．（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）如图1，将矩形 放在直角坐标系中， 为原点，点 在
轴上，点 在 轴上， 的长 满足 ，把矩形 沿对角线 所在直
线翻折，点 落到点 处， 交 于点 ．(1)直接写出直线 的函数解析式：______；
(2)如图2，过点 作 ，交 于点 ，交 于点 ，连接 ，判断四边形 的形状，并说
明理由；
(3)在（2）的条件下，点 是 轴上一点，直线 上是否存在一点 ，使以 为顶点的四边
形是平行四边形？若存在，请求出点 坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)四边形 是菱形，理由见详解
(3) 或
【分析】（1）由题意易得 ，即 ，则有 ，然后问题可求解；
（2）四边形 是菱形，根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可．
（3）有3种情形，画出图形分别求解即可．
【详解】（1）解：∵ ，且 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设直线 的函数解析式为 ，则有 ，
解得： ，∴直线 的函数解析式为 ；
（2）解：如图2中，四边形 是菱形．
∵ ，
，
由翻折的性质可知， ， ，
，
，
∵ ，
四边形 是平行四边形，
，
四边形 是菱形．
（3）解：直线 上存在一点 ，使以 为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
四边形 是矩形，
， ，
，
由翻折可知， ，
，
，设 ，则 ，
在 中， ，
，
，
，， ，
∴ ，
当点 与 重合，点 与 重合，四边形 是平行四边形，
∴ ，
，
，
， ，
∵点N在直线 ： 上，
∴ ，
当四边形 是平行四边形时， ，
当四边形 是平行四边形时，则有 ，
∴点D和点 到y轴的距离相等，即为 ，
∴ ，综上所述： 或
90．（23-24八年级下·河南驻马店·期末）综合与实践：图形的等分．
如图1，将一张矩形纸片顺着中缝翻折，其折痕，也就是一组对边中点的连线所在的直线 ，将这个矩形
一分为二，两部分的形状与大小完全一样，我们现在探究的图形的等分，着眼于面积的等分，那么是否还
存在其他直线，也能将这个矩形分成面积相等的两部分吗？当然有！比如对角线所在的直线 也可以，
如图2．
(1)我们知道，矩形是特殊的平行四边形．那么一共有____________条直线可以将平行四边形分成面积相等
的两部分．
A．1 B．2 C．4 D．无数
(2)图3是两个矩形放在一起的图形，你可以找到一条直线将这个图形分成面积相等的两部分吗？若可以，
请直接在图3的图形上作出这样的直线．
(3)如图4，平面直角坐标系中放着5个边长为1个单位的小正方形，经过原点O的直线恰好将5个正方形
分成面积相等的两部分，则该直线的表达式为________________________．【答案】(1)D
(2)可以，见解析
(3)
【分析】（1）根据矩形的性质，即可得到结论；
（2）根据题意把原本图形分成左右两个矩形，这两个矩形的对称中心所在直线是该 图形的面积平分线；
（3）设直线 和五个正方形的最上面交点为 ，过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，
易知 ，利用三角形的面积公式和已知条件求出 的坐标，再利用待定系数法可求出该直线 的解析
式．
【详解】（1）解：我们知道，矩形是特殊的平行四边形，那么一共有无数条条直线可以将平行四边形分
成面积相等的两部分，
故答案为：D．
（2）解：根据题意把原本图形分成左右两个矩形，这两个矩形的对称中心所在直线是该 图形的面积平分
线；
（3）解：设直线 和五个正方形的最上面交点为 ，过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点
，如图所示．正方形的边长为1，
．
经过原点的一条直线 将这五个正方形分成面积相等的两部分，
两边的面积分别是2.5，
面积是3.5，
，
，
，
点 的坐标为 ．
设直线 的解析式为 ，
点 在直线 上，
，
解得： ，
直线 解析式为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一次函数综合题，矩形的性质，待定系数法求一次函数解析式、正方形的性质以及三
角形的面积，解题的关键是利用三角形的面积公式和已知条件求出 的坐标．
压轴满分题十九、一次函数的实际综合应用
91．（24-25八年级下·吉林长春·期中）端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日．某超市为了满足人们的需求，计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售，甲、乙两种粽子的进价和售价如表所示．
该超市计划购进这两种粽子共200个（两种都有），其中甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍．设
购进甲种粽子 个，两种粽子全部售完时获得的利润为 元．
进价（元／个） 售价（元／个）
甲种粽子
乙种粽子
(1)求 与 的函数关系式，并求出 的取值范围；
(2)超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？
【答案】(1) ( 且 为正整数)；
(2)购进甲粽子 个，乙粽子 个才能获得最大利润，最大利润为 元．
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是找出数量关系，正确列出
一元一次不等式和一次函数解析式；
（1）设购进甲粽子 个，则乙粽子 个，由题意得 ，再由甲种粽子的个数不低于乙
种粽子个数的 倍，得 ；
（2）由一次函数的性质即可得出结论．
【详解】（1）解：设购进甲粽子m个，则乙粽子 个，利润为 元，
由题意得： ，
∵甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，
∴ ，
解得： ，
又∵ 为正整数，且两种粽子共 个（两种都有），
且 为正整数
与 的函数关系式为 且 为正整数 ；
（2） ，则 随 的增大而减小， ，即 的最小整数为 ，
当 时， 最大，最大值 ，
则 ，答：购进甲粽子 个，乙粽子 个才能获得最大利润，最大利润为 元．
92．（24-25八年级上·江苏连云港·阶段练习）李大爷要围一个长方形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，
用篱笆围成的另外三边总长恰好为24米，要围成的菜园是如图所示的长方形 ，设 边的长为x米，
边的长为y米．
(1)用含有x的代数式表示y，并指出y是x的什么函数；
(2)求自变量x的取值范围；
(3)若长方形的宽为5米时，求长方形的长．
【答案】(1) ，y是x的一次函数；
(2)
(3)长方形的长9.5米或14米．
【分析】本题考查一次函数的应用，根据题意找出等量关系求出函数关系式是解题的关键．
（1）根据长方形三边总长为24米列等式即可；
（2）根据长方形的边长不能超过24米即可确定x的取值范围；
（3）把 代入一次函数 求解即可．
【详解】（1）解：由题意得： ，
，y是x的一次函数；
（2）解：∵ ，即 ，则 ，
∵ ，
∴ ；
（3）解：当 时， ，
当 时， ，
解得 ，答：长方形的长9.5米或14米．
93．（24-25八年级下·吉林长春·期中）“琅琅书声浸校园，悠悠书韵满人生”．为提升学生的文学素养，
培养学生的阅读兴趣，我校启动校园“读书季”，并计划购进 ， 两种图书作为年级竞诵活动的奖品．
经调查，则进 种图书的总费用 元与购进 种图书本数 之间的函数关系如图所示．
(1)①当 时， 与 之间的函数关系式______；
②当 时， 与 之间的函数关系式______；
(2)现学校准备购进 ， 两种图书共100本，已知 种图书每本25元．若购进 种图书不少于50本，且
不超过 种图书本数的1.5倍，购进两种图书的总费用为 元，请求出 与 之间的函数表达式，当 为何
值时能使总费用最少？总费用最少为多少元？
【答案】(1)① ，②
(2)当 为60时能使总费用最少，总费用最少为2450元
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图像和性质的应用，采用分段讨论的思想是
解决本题的关键．
（1）根据函数关系图示，分别求y与x之间的函数关系式即可；
（2）购进 种图书 本，则购进 种图书 本，根据题意列出不等式组，求得 ，然后表
示出总费用 ，根据一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：①当 时，设 ，
将 代入解析式，得 ，
解得 ，
；
②当 时，设 ，将 、 分别代入解析式，
得 ，
解得 ，
；
故答案为：① ，② ．
（2）解： 购进 种图书 本，则购进 种图书 本，
根据题意得， ，
解得 ，
购进两种图书的总费用 ，
，
随 的增大而减小，
当 时， 有最小值 ，
当 为60时能使总费用最少，总费用最少为2450元．
94．（2025·浙江温州·二模）小文和小成两人从同一地点出发跑步前往某风景区游览，小文全程匀速跑，5
分钟后小成才开始出发，第一次与小文相遇时，原地休息片刻，第二段速度比第一段速度提高30米/分钟，
结果小成比小文提前4分钟到达．小文和小成的行程相关信息如表所示；离出发地的距离s（米）与小文、
小成跑步时间t（分）的函数关系如图所示．
时间 行程里程
小 里程分段 （米）
—
文 不分段
5400
第一段（休息
1800
前）
小
—
成
休息第二段（休息
3600
后）
(1)分别求出小文匀速和小成第一段的跑步速度．
(2)求小成中间休息的时间．
(3)在a分钟时两人第二次相遇，求a的值．
【答案】(1)小文匀速速度：90米/分；小成第一段速度：120米/分
(2)12分钟
(3)50
【分析】本题考查了一次函数的应用；
（1）由图象可求出小文匀速速度 米/分，再求出第一次相遇的时间，即可求解；
（2）由（1）可求出小成第二段速度 米/分，由此可求出小成第二段时间 分钟，即可求解；
（3）由小成休息后，在a分钟时两人跑步累计里程相等得 ，即可求解．
理解 、 的实际意义，能从图象中获取正确的信息是解题的关键．
【详解】（1）解：小文匀速速度： （米/分），
小成第一段时间： （分钟），
小成第一段速度： （米/分）；
（2）解：小成第二段速度： （米/分），
小成第二段时间： （分钟），
小成休息时间： （分钟）；
（3）解： 小成休息后，在a分钟时两人跑步累计里程相等，
此时小成在跑第二段，所跑时间为 （分钟），
，
解得 ．
95．（2025八年级下·全国·专题练习）综合与实践
【问题背景】杆秤是我国古代传统的度量衡三大件之一，在学习了杆秤相关知识之后，小红学习小组想利
用一根木棒制作一个简易杆秤．
【制作实验】
（1）如图所示，在木棒上先确定点O 为杆秤提纽，点A处挂托盘，选取的托盘质量 ，秤砣质量 ，测得 ．
（2）先在托盘里加相应质量的物体，调整秤砣位置，使杆秤保持平衡，记录 的长度，获得的实验数据
如表所示：
任务1：杆秤在不挂重物而保持平衡时，其点 B 所处的位置，称为定盘星． 由表可知，定盘星和提纽的
距离是 ．
【建立模型】
任务2：小组讨论认为 长度 与物体质量 的关系可以用一次函数来刻画．请求出 长度 与物体质
量m₁的函数关系式．
【结论应用】
任务3：经测量，发现该木棒在提纽O挂秤砣一侧的长度为 ，根据要求，制作杆秤刻度时需在杆头和
杆尾各预留 长的部分用作杆秤美化，求该杆秤称量重物的最大量程．
物体质量
0 1 2 3 4
长度
1.5 4.5 7.5 10.5 13.5
【答案】任务1∶ ；任务2 ： ；任务3：
【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是：
任务1：直接根据表格信息解答即可；
任务2 ：根据待定系数法求解即可；
任务3：把 代入任务2中解析式求解即可．
【详解】解：任务1：由表格知：当 时， ，即定盘星和提纽的距离是 ，
故答案为： ；任务2 ：设 长度 与物体质量m₁的函数关系式 ，
则 ，
解得
∴ ；
任务3：把 代入 ，
得 ，
解得 ，
∴该杆秤称量重物的最大量程是 ．
1．（23-24八年级下·辽宁营口·期中）下列各式是二次根式的有（ ）
（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【分析】本题主要考查二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．根据形如 的式
子是二次根式，可得答案．
【详解】解：二次根式有（1） ，（3） ，
故选：C．
2．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，把一块含 角的三角板放入 的网格中，三角板三个顶点
均在格点上，直角顶点与数轴上表示 的点重合，则数轴上点A所表示的数为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了数轴上的点与实数一一对应和勾股定理，正确理解题意是解题的关键；
本题需要通过勾股定理求得 ，进而得到 ，然后即可求解；
【详解】解：如图： ，
由题意可知， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴数轴上点A所表示的数为 ，
故选：C；
3．（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）为落实“双减”政策，学校随机调查了部分学生一周平均每天
的睡眠时间，统计结果如表，则这些被调查学生睡眠时间的众数和中位数分别是（ ）
时间/小时
人数
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】C
【分析】本题考查中位数、众数，解题的关键是掌握：一组数据中出现次数最多的那个数据叫众数，一组
数据中，众数可能不止一个；将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是
这组数据的中位数．据此解答即可．
【详解】解：抽查学生的人数为： （人），
∵这 名学生的睡眠时间出现次数最多的是 小时，共出现 次，
∴众数是 小时，
∵将这 名学生的睡眠时间从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为 ，
∴中位数是 小时．
故选：C．
4．（24-25八年级下·重庆·期中）如图，在 中， ， ，点 为边 上一点，
且 ，点 是 的中点，点 以每秒 的速度从点 出发，沿 向点 运动；同时，点 以
每秒 的速度从点 出发，沿 向点 运动，点 运动到 点时停止运动，点 也同时停止运动，当
以 为顶点的四边形是平行四边形时，运动的时间为（ ）
A． B． C． 或 D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、一元一次方程的应用等知识，熟练掌握平行四边形的判定
与性质是解决问题的关键．根据题意求出点P运动到F点的时间为 ，点Q运动到点E的时间为 ，然
后分两种情况讨论：当 时，当 时，根据 列方程即可求解．
【详解】解： 点E是 的中点，
，
，
点P运动到F点的时间为 ，点Q运动到点E的时间为 ，
当 时， ，则 ，
当以P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形时， ，
即 ，
解得： ，
当 时， ，则 ，当以P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形时， ，
即 ，
解得： ，
综上所述，当以P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，运动的时间为 或 ．
故选：C．
5．（24-25八年级下·河北保定·开学考试）如图，在平面直角坐标系 中，过点 的直线 与直线
相交于点 ，与 轴相交于点 ；过动点 且垂直于 轴的直线与 ， 分别交于点
， ，则下列说法：① ；②点 的坐标为 ；③ ；④当点 位于点 下方时，
．其中所有正确的是（ ）
A．①② B．③④ C．①③④ D．①②③
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、一次函数的应用，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关
键．将点 代入直线 可得 ，由此即可判断①正确；根据点 的坐标，利用待定系数
法求出直线 的解析式，再求出 时， 的值，由此即可判断②正确；根据点 的坐标，利用三角形
的面积公式即可判断③正确；当点 位于点 下方时，直线 位于直线 的下方，结合函数图象可得 ，
由此即可判断④错误．
【详解】解：将点 代入直线 得： ，
解得 ，则说法①正确；∴ ，
设直线 的解析式为 ，
将点 ， 代入得： ，解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
将 代入 得： ，
∴点 的坐标为 ，则说法②正确；
∴ ，
又∵ ，
∴ 的 边上的高为3，
∴ ，则说法③正确；
∵过动点 且垂直于 轴的直线与 ， 分别交于点 ， ，点 位于点 下方，
∴直线 位于直线 的下方，
结合函数图象可知， ，则说法④错误；
综上，所有正确的是①②③，
故选：D．
6．（23-2八年级下·福建福州·期中）数据 ， ， ，…， 的方差为 ，则数据 ， ，
，…， 的方差为 ．
【答案】
【分析】本题考查方差，当数据都加上一个数（或减去一个数）时，平均数也加或减这个数，方差不变，
即数据的波动情况不变；当数据都乘以一个数（或除以一个数）时，平均数也乘以或除以这个数，方差变
为这个数的平方倍．先设这组数据 ， ， ， ， 的平均数为 ，方差 ，则另一组新数据， ， ，…， 的平均数为 ，方差为 ，代入公式
计算即可．
【详解】解：∵数据 ， ， ，…， 的方差为 ，
设这组数据 ， ， ，… 的平均数为 ，则另一组新数据 ， ， ，…， 的平均
数为 ，
∵ ，
∴另一组数据的方差为
，
故答案为 ．
7．（24-25八年级下·河北邢台·阶段练习）如图，已知 的两直角边长分别为1，2，以 的
斜边 为一直角边，另一直角边 的长为1，画第2个 ；再以 的斜边 为一直角
边，另一直角边 的长为1，继续画第3个 ；…以此类推，第n个直角三角形的斜边的长是
（用含n的代数式表示）．
【答案】
【分析】此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．在直角三角形中，利用勾股定理求出
各自的斜边，归纳总结得到第 个直角三角形的斜边即可．
【详解】解：在 中， ， ，根据勾股定理得： ，
在 中， ， ，
根据勾股定理得： ，
在 中， ， ，
根据勾股定理得： ，
依此类推，第 个直角三角形的斜边长为 ．
故答案为： ．
8．（23-24八年级下·江西南昌·期末）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形 的两边在坐
标轴上，以它的对角线 为边作正方形 ，再以正方形 的对角线 为边作正方形
…以此类推，则正方形 的顶点 的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查了规律型：点的坐标．根据题意，可以从各个B点到原点的距离变化规律和所在象限的
规律入手．
【详解】解：由图形可知， ，
，
，
,每一个B点到原点的距离依次是前一个B点到原点的距离的 倍，同时，各个B点每次旋转 ，每八次
旋转一周．
∴顶点 到原点的距离 ，
∵ ，
∴顶点 的恰好在x轴的正半轴上，
∴顶点 的恰好在第一象限角平分线上，
∴顶点 的坐标是 ．
故答案为： ．
9．（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在 中，点 、 、 分别在边 、 、 上，
且 ， ．下列四种说法：①四边形 是平行四边形；②如果 ，那么四边形
是矩形；③如果 平分 ，那么四边形 是菱形；④如果 且 ，那么
四边形 是正方形．其中，正确的有 ．（只填序号）
【答案】①②③
【分析】根据平行四边形平行四边形、菱形、矩形的判定，即可求解，
本题主要考查了平行四边形、菱形、矩形的判定，掌握平行四边形、菱形、矩形的判定方法是解题的关键．
【详解】解：①∵ ，
∴四边形 是平行四边形，故①正确；
②若 ，
∴平行四边形 是矩形；故②正确；
③若 平分 ，
∴ ，
又∵ ，∴ ，
∴
∴ ；
∴平行四边形是菱形；故③正确；
④若 ；
∴ 平分 ；
∴结合③可得平行四边形 是菱形；故④错误；
所以正确的结论是①②③，
故答案为：①②③．
10．（23-24八年级下·重庆·期末）如图1，直角坐标系中点 、 、 、 ，过点
的直线 ，与四边形 交于点P，Q（点P和点Q可以重合）．以k的值为点的横坐标，
线段 的长度m为纵坐标，列表、描点、连线，绘制函数图象如图2，则函数m的图象与横轴两交点之
间的距离为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一次函数的图象及一次函数的性质，根据题意得出函数m与横轴两个交点坐标的
纵坐标为0，即 ，再结合图1得出当直线 经过点B和点D时的k值，据此可解决问题．
【详解】解：由题知，
当过点 的直线 经过点B时，，
解得 ，
则此时的函数解析式为 ，
同理可得，
当直线 经过点D时的解析式为 ，
所以函数m经过点 和 ，
所以函数m的图象与横轴两交点之间的距离为： ．
故答案为： ．
11．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)【分析】本题主要考查了二次根式的乘法与加减法，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．
（1）先计算二次根式的乘法，再化简二次根式即可得；
（2）先计算二次根式的乘法，再计算二次根式的加减法即可得；
（3）利用完全平方公式计算二次根式的乘法即可得；
（4）先利用乘法分配律计算二次根式的乘法，再计算二次根式的加减法即可得．
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
（3）解：原式
．
（4）解：原式
．12．（23-24八年级下·云南红河·期末）某校开展安全教育系列活动，为提升学生急救素养，了解学生对急
救知识技能的掌握情况，从该校学生中随机抽取20名学生进行了一次测试，共10道测试题，学生答对1
题得1分．根据测试结果绘制出如下统计图．
(1)求抽取的20名学生测试得分的平均数、中位数、众数；
(2)若该校共有学生2400人，急救知识测试得8分及其以上达到“优秀”等级，请你估计该校达到“优
秀”等级的学生人数．
【答案】(1) ， ，
(2)估计该校达到“优秀”等级的学生人数为 人
【分析】本题考查了条形统计图，样本估计总体，平均数，中位数，众数熟练掌握平均数，中位数，众数
的求法是解题的关键．
（1）根据平均数，中位数，众数的求法，即可求解；
（2）利用样本中测试得8分及其以上的比例乘以 即可．
【详解】（1）解：由条形图可知，第10和第11个数据都是7分，
∴中位数为 ；
平均数为： ；
这组数据中7分出现的次数最多，则众数为 ．
（2）解： （人）
答：估计该校达到“优秀”等级的学生人数为 人．
13．（24-25八年级下·广东广州·期中）周末，数学兴趣小组来到广场做活动课题，并制作如下实践报告：
活
动
风筝离地面垂直高度探究
课
题
问 风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年，相传墨翟以题
背 木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源．
景
假设风筝放飞时风筝线在空中被拉直（线段 ）．勘测组测量了相关数据，并
画出如图的示意图，测得人放风筝的手与风筝的水平距离 的长为15米，风筝
线 的长为25米，牵线放风筝的手到地面的距离为1.7米．
测
量
数
据
数据处理组得到数据以后做了认真分析，请帮助他们完成以下任务：
(1)根据测量所得数据，计算出风筝离地面的垂直高度 ；
(2)如果风筝沿 方向下降了12米， 的长度保持不变，求要回收多少米的风筝线？
【答案】(1)风筝离地面的垂直高度为21.7米
(2)要回收8米的风筝线
【分析】本题考查了用勾股定理解决实际问题，解题的关键是熟练掌握勾股定理．
（1）利用勾股定理求出 的长，再加上 的长度，即可求解；
（2）根据勾股定理计算即可得到结论．
【详解】（1）解：由题意，
在 中， ， ， ，
∴
∴ （米），
答：风筝离地面的垂直高度为21.7米；
（2）解：设此时风筝下降到点 ，由题意得 ，∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ （米），
∴要回收8米的风筝线．
14．（24-25八年级下·上海松江·期中）某公司开发了一款人工智能客户支持系统．该系统总的运行成本与
服务的客户数量之间存在函数关系．已知：系统维护有固定成本（即系统没有客户咨询，仍需要支付的成
本）；另外每服务一个客户，需要一定的运行成本；且当服务人数超过5000人时，超过部分每服务一个客
户的运行成本降低2元，假设系统总的运行成本为 元，客户的数量为 人，请结合函数图像，回答下列
问题：
(1)系统维护的固定成本是________元．
(2)若当客户人数为5000人时，总的运行成本为 元，若当客户人数为10000人时，总的运行成本为 元，
且 ．
①当客户人数不超过5000人时，求每服务一个客户需要的运行成本．
②如果总的运行成本不少于35000元，求该公司至少服务客户多少人？
【答案】(1)2000
(2)①6元；②5750人
【分析】本题考查一次函数解决实际问题，读懂题意是解题的关键．
（1）由图像与y轴的交点的坐标即可解答；
（2）①当客户人数不超过5000人时，设每服务一个客户需要的运行成本n元，得到 ，
，根据 得到方程，求解即可；②先求出当 时， ；当 时， ．判断当 时， ，
因此得到 ，求解即可．
【详解】（1）解：由图像可得，当 时， ，
∴系统维护的固定成本是2000元．
故答案为：2000；
（2）解：①当客户人数不超过5000人时，设每服务一个客户需要的运行成本n元，则当服务人数超过
5000人时，超过部分每服务一个客户的运行成本为 元，
∴ ，
，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴当客户人数不超过5000人时，每服务一个客户需要的运行成本为6元．
②由①可知：当客户人数不超过5000人时，每服务一个客户需要的运行成本为6元；当服务人数超过
5000人时，超过部分每服务一个客户的运行成本为4元．
∴当 时， ；
当 时， ．
∴当 时， ，
∴当 时， ，
∴ ，
解得 ．
∴该公司至少服务客户5750人．
15．（24-25八年级下·广东广州·期中）已知在矩形 中， ， ， 的垂直平分线
分别交 、 于点 、 ，垂足为 ．(1)如图1，连接 、 ，求证：四边形 为菱形；
(2)如图2，动点 、 分别从 、 两点同时出发，沿 和 各边匀速运动一周，即点 自
停止，点 自 停止．在运动过程中，已知点 的速度为每秒 ，点
的速度为每杪 ，运动时间为 秒，当 、 、 、 四点为顶点的四边形是平行四边形时，求 的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，菱形的判定，平行四边形的性
质等等：
（1）由矩形的性质得到 ，则 ， ，再由相等垂直平分线的性质得到
， ，证明 ，得到 ，即可证明四边形 是菱形；
（2）根据矩形性质得出 ，根据垂直平分线的性质得出 ，设 ，则
，在 中，由勾股定理得： ，求出 ，再分情况讨论可知，
当P点在 上、Q点在 上时，才能构成平行四边形，根据平行四边形的性质列出方程求解即可．
【详解】（1）解：四边形 是菱形，理由如下：
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ， ，
∵ 的垂直平分线 分别交 ， 于点E、F，垂足为O，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，∵ ，
∴四边形 是菱形；
（2）∵四边形 是矩形，
∴ ，
∵ 的垂直平分线是 ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴在 中，由勾股定理得
∴ ，
解得 ，
∴ ；
显然当P点在 上时，Q点在 上，此时A、C、P、Q四点不可能构成平行四边形；
同理P点在 上时，Q点在 或 上或P在 ，Q在 时不构成平行四边形，
∴只有当P点在 上、Q点在 上时，才能构成平行四边形，
∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时， ，
∵点P的速度为 ，点Q的速度为 ，
∴ ， ，
∴ ，
解得： ．
∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时， ．
