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专题 06 二次根式易错必刷题型专训（63 题 21 个考点）
【易错必刷一 二次根式的基本概念】
1．（24-25九年级上·海南海口·期末）下列式子一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次根式的定义，一般地，形如 的式子叫做二次根式，据此可得答案．
【详解】解：A、 是开三次方，不是二次根式，不符合题意；
B、 是二次根式，符合题意；
C、当 时， 不是二次根式，不符合题意；
D、 不是二次根式，不符合题意；
故选：B．
2．（2024八年级上·全国·专题练习）在式子① ，② ，③ ，④ ，⑤
，⑥ 中，是二次根式的有 （填写序号）．
【答案】③④⑥
【分析】本题考查了二次根式的识别，形如 这样的式子称为二次根式，根据这个定义去判断即可．
【详解】解： ， 中被开方数是负数，不是二次根式， 是立方根，也不是二次根式，其余均是
二次根式；
故答案为：③④⑥．
3．（24-25八年级下·全国·假期作业）判断下列式子，哪些是二次根式？(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6) ．
【答案】(1)是
(2)不是
(3)是
(4)不是
(5)是
(6)不是
【分析】根据二次根式的定义直接判断即可以得出答案．
【详解】（1）解：∵二次根式需要具备两个条件:一是形式如“ ”；二是所含被开方数是非负数，
>0，
∴ 是二次根式；
（2）解：∵二次根式需要具备两个条件:一是形式如“ ”；二是所含被开方数是非负数，∵-3<0；
∴ 不是二次根式．
（3）解：∵x2≥0，
∴x2+1>0，
又∵二次根式需要具备两个条件:一是形式如“ ”；二是所含被开方数是非负数，∴ 是二次根式．
（4）解：∵二次根式需要具备两个条件:一是形式如“ ”；二是所含被开方数是非负数， 的根指数
是3，
∴不是二次根式．
（5）解：∵二次根式需要具备两个条件:一是形式如“ ”；二是所含被开方数是非负数， ，
∴ 是二次根式
（6）解：∵当x>2时，2-x<0，二次根式需要具备两个条件:一是形式如“ ”；二是所含被开方数是非
负数，
∴ 不是二次根式．
【点睛】此题的主要考查了二次根式的知识，解题的关键就是理解二次根式的意义，二次根式需要具备两
个条件:一是形式如“ ”；二是所含被开方数是非负数．
【易错必刷二 求二次根式的值】
1．（24-25八年级下·湖北十堰·期中）已知二次根式 ，当 时，此二次根式的值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】A
【分析】把 代入 进行计算即可．
【详解】解：当 时， ，
故选A．
【点睛】本题考查的是二次根式的值，熟练代入并求值是解本题的关键．
2．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）当 时，二次根式 的值是 ．【答案】
【分析】本题主要考查了化简二次根式，把 代入二次根式中利用二次根式的性质化简即可．
【详解】解：当 时， ，
故答案为： ．
3．（24-25八年级·全国·假期作业）当x分别取下列值时，求二次根式 的值．
(1)x＝0．
(2)x＝2．
(3)x＝﹣ ．
【答案】(1) ；
(2)3；
(3)2；
【分析】（1）把x的值代入，计算求值即可；
（2）把x的值代入，计算求值即可；
（3）把x的值代入，计算求值即可．
【详解】（1）解：把x＝0，代入二次根式得：
＝ ；
（2）解：把x＝2，代入二次根式得：
＝ ＝ ＝3；
（3）解：把x＝﹣ ，代入二次根式得：
＝ ＝2；
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质 是解题关键．【易错必刷三 求二次根式中的参数】
1．（24-25七年级下·广东汕头·期末）已知 是整数，则自然数m的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．8 D．11
【答案】B
【分析】先根据二次根式求出m的取值范围，再根据 是整数对m的值进行分析讨论．
【详解】解：由题意得： ，解得 ，
又因为 是整数，
∴ 是完全平方数，
当 时，即 ，
当 时，即 ，
当 时，即 ，
当 时，即 ，
综上所述，自然数m的值可以是3、8、11、12，所以m的最小值是3，
故答案选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的化简及自然数的定义，掌握二次根式的化简法则及自然数是指大于等于0
的整数是解答本题的关键．
2．（24-25七年级下·福建南平·期中）已知 是正整数，则实数n的最小值是 ．
【答案】
【分析】根据二次根式的性质进行分析求值．
【详解】解：∵ 是正整数，且最小的正整数是1，
∴当 ，此时 ，
∴ 的最小值为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是二次根式的定义和二次根式的化简，属于常考题型，熟练掌握二次根式的基本知识是解题的关键．
3．（24-25八年级·全国·假期作业）（1）已知 是整数，求自然数 所有可能的值；
（2）已知 是整数，求正整数 的最小值．
【答案】（1）自然数 的值为 ， ， ， ， ；（2）正整数 的最小值为 ．
【分析】（1）根据二次根式结果为整数，确定出自然数n的值即可；
（2）根据二次根式结果为整数，确定出正整数n的最小值即可．
【详解】（1）∵ 是整数，
∴ ， ， ， ， ，
解得： ， ， ， ， ，
则自然数 的值为2，9，14，17，18；
（2）∵ 是整数， 为正整数，
∴正整数 的最小值为 ．
【点睛】本题考查了二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解本题的关键．
【易错必刷四 二次根式有意义的条件】
1．（24-25八年级下·湖北·课后作业）将 根号外的因式移到根号内，结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次根式的性质，解题的关键是根据题意得出 ．根据二次根式的性质进
行化简即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴；
故选：B．
2．（24-25八年级上·河北沧州·期末）已知 ，则 的立方根为 ．
【答案】2
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，求不等式组的解集，立方根的意义，先根据二次根式有意义
的条件求出x，y的值，然后根据立方根的意义求解即可．
【详解】解：由题意，得
，
解得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的立方根为 ．
故答案为：2．
3（23-24八年级下·全国·单元测试）已知实数m，n满足 ，求 的立方根．
【答案】5
【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件是被开
方数大于等于0是解题的关键．
先根据二次根式有意义的条件求出n的值，进而求出m的值，再求出 的值，即可求出对应的立方根．
【详解】解：∵ 要有意义，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵125的立方根是5，
∴ 的立方根是5．
【易错必刷五 利用二次根式的性质化简】
1．（24-25八年级上·云南昆明·期末）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的化简，根据 ，得到 ，再利用 化简即
可．
【详解】解： ，
，
，
故选：D．
2．（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）当 时，化简 的结果是 ．
【答案】
【分析】先配方，把二次根式转化为绝对值，化简解答即可．
本题考查了二次根式的化简，熟练掌握完全平方公式，绝对值的化简是解题的关键．【详解】解：
，
∵ ，
∴
．
故答案为： ．
3．（23-24九年级上·全国·课后作业）计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题主要考查了二次根式的性质．
（1）根据二次根式的性质求解即可；
（2）根据二次根式的性质求解即可；
（3）根据二次根式的性质求解即可；
（4）根据二次根式的性质求解即可．【详解】（1）解： ；
（2）解： ；
（3）解：
；
（4）解：
．
【易错必刷六 根据二次根式的性质化简数轴问题】
1．（24-25八年级上·内蒙古包头·阶段练习）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简 的结
果是（ ）
A． B． C． D．b
【答案】C
【分析】本题考查了实数与数轴，二次根式的性质，根据数轴可得 ，进而化简二次根式，即可求
解．
【详解】解：根据数轴可得 ，
，
∴ ，
故选：C．
2．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）已知a，b对应的点在数轴上的位置如图所示，化简的结果等于 ．
【答案】
【分析】根据数轴判断 、 、 与0的大小关系，然后根据二次根式的性质以及绝对值的性质即
可求出答案．本题考查实数与数轴，化简绝对值，二次根式的性质，解题的关键是熟练运用二次根式的性
质，本题属于基础题型．
【详解】
解：由数轴可知： ， ， ，
∴
．
故答案为： ．
3．（2024七年级上·浙江·专题练习）实数a、b、c在数轴上的位置如图，化简
【答案】b
【分析】本题考查了考查了实数与数轴，正确判断出各式的符号是解题关键．
【详解】解：如图所示： ，
原式
．
【易错必刷七 复合二次根式的化简】1．（24-25八年级上·上海宝山·期中）下列各式中，与化简 所得结果相同的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二次根式的性质化简即可求解．
【详解】解：∵ 有意义，
∴
∴ ，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解题的关
键．
2．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）形如 的根式叫做复合二次根式， 把
变成 叫做复合二次根式的化简，请将复合二次根式
化简为 ．
【答案】 /
【分析】先把10拆成 与 的平方和，则 可写成完全平方式，然后利用二次根式的性质化简即
可．
【详解】解：
；
故答案为： ．【点睛】本题考查了二次根式的性质： ．也考查了完全平方公式的运用．
3．（23-24八年级下·湖南湘西·阶段练习）有这样一类题目：将 化简，如果你能找到两个数 、
，使 且 ，则将 将变成 ，即变成 开方，从而使得
化简．
例如， ，
请仿照上例解下列问题：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的化简、运算，
（1）结合题干思路方法作答即可；
（2）结合题干思路方法作答即可．
【详解】（1）解： ，
；
（2）解： ，
．
【易错必刷八 二次根式的乘法计算】1．（24-25八年级上·上海·期中）计算：
【答案】
【分析】本题主要考查了二次根式的乘法计算，二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方
数大于等于0，据此可求出 ，再根据二次根式乘法计算法则求解即可．
【详解】解：∵ 有意义，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
．
2．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）计算： ．
【答案】
【分析】本题考查二次根式的乘法，根据二次根式的乘法法则，进行计算即可．
【详解】解： ．
3．（23-24八年级上·全国·单元测试）计算：(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了二次根式的乘法，掌握相关运算法则是解题关键．
（1）根据二次根式的乘法运算法则计算，再化简即可；
（2）根据二次根式的乘法运算法则计算，再化简即可
（3）根据二次根式的乘法运算法则计算，再化简即可；
（4）根据二次根式的乘法运算法则计算，再化简即可．
【详解】（1）解： ；
（2）解： ；
（3）解： ；
（4）解： ．
【易错必刷九 二次根式的除法计算】
1．（24-25八年级上·全国·课后作业）化简：
(1) ；(2) ．
【答案】(1)
(2)2
【分析】本题考查了二次根式的除法．
（1）先利用二次根式的性质化简，再约分即可求解；
（2）根据二次根式的除法法则计算即可求解．
【详解】（1）解： ；
（2）解： ．
2．（23-24八年级下·全国·课后作业）化简：
(1) ；
(2) ；
(3) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了二次根式乘的除法及二次根式的化简．
（1）直接利用二次根式的除法运算法则计算得出答案；
（2）直接利用二次根式的乘除运算法则计算得出答案；
（3）直接利用二次根式的除法运算法则计算得出答案．【详解】（1）解：原式 ；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
．
3．（23-24八年级下·全国·课后作业）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查二次根式的除法计算，熟知二次根式的除法法则是解题的关键．
（1）根据二次根式的除法法则可解决问题．
（2）根据二次根式的除法法则可解决问题．
【详解】（1）
（2）【易错必刷十 二次根式的乘除法混合运算】
1．（24-25八年级上·上海普陀·期中）计算： ．
【答案】
【分析】本题考查的是二次根式的乘除混合运算，直接利用二次根式的乘法，除法运算法则计算即可．
【详解】解：
．
2、（23-24八年级下·全国·单元测试）计算： ；
【答案】
【分析】本题主要考查了二次根式的乘除法混合计算，直接根据二次根式的乘除混合计算法则求解即可．
【详解】解：．
3．（23-24八年级下·全国·假期作业）计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算
（1）根据二次根式乘除法法则计算即可；
（2）根据二次根式乘除法法则计算即可；
（3）根据二次根式乘除法法则计算即可；
（4）根据二次根式乘除法法则计算即可．
【详解】（1）解：原式
（2）原式
；
（3）原式 ；（4）原式 ．
【易错必刷十一 最简二次根式相关概念】
1．（24-25九年级上·河南南阳·期末）下列各式① ；② ；③ ；④ ；⑤ ．其中一定是最
简二次根式的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【分析】此题考查最简二次根式，熟记最简二次根式满足的条件即可正确解题．
根据最简二次根式满足的两个条件进行判断即可．
【详解】解：① ；② = ；③ = ；④ 是最简二次根式；⑤ 是最简二次根式．
故选：C．
2．（23-24八年级下·湖北黄冈·期中）将 化为最简二次根式是 ．
【答案】 /
【分析】此题考查了化简二次根式．根据二次根式的化简方法，被开方数中的分子分母同时乘以3求解即
可．
【详解】解： ，
故答案为： ．
3．（24-25八年级上·全国·课后作业）下列各式，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式
的式子进行化简．(1) ；
(2) ；
(3) ．
【答案】(1)不是， ；
(2)是；
(3)不是， ．
【分析】本题考查最简二次根式的定义．解决此题的关键，是掌握最简二次根式的定义，最简二次根式必
须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
（1）含有开得尽方的因数，不是最简二次根式，然后化简即可；
（2）根据定义判断是最简二次根式；
（3）被开方数中含有分母，不是最简二次根式，化简即可．
【详解】（1） ，含有开得尽方的因数，因此不是最简二次根式， ；
（2） ，被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式，因此它是最简二次根式．
（3） ，被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式，
．
【易错必刷十二 已知最简二次根式求参数】
1．（24-25八年级上·全国·课后作业）最简二次根式 与2 可以合并，则m的值是（ ）A．3 B．1 C．﹣1 D．4
【答案】B
【分析】根据同类二次根式的定义判断即可；
【详解】由题意得：3m﹣1=2，
解得：m=1，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了同类二次根式的定义，准确计算是解题的关键．
2．（2024八年级上·全国·专题练习）若二次根式 为最简二次根式，则最小的正整数 为
．
【答案】2
3．（24-25八年级·全国·假期作业）已知最简二次根式 与 是同类二次根式，求 的值．
【答案】1
【分析】根据最简二次根式和同类二次根式的定义求得a，b的值，再代入计算即可；
【详解】解：∵最简二次根式 与 是同类二次根式，
∴ ，
解得： ，
∴（a+b）a＝（0+2）0＝1；
【点睛】本题考查了最简二次根式的定义： 被开方数的因数是整数，字母因式是整式， 被开方数不含能
开得尽方的因数或因式；还考查了二元一次方程组和零指数幂；掌握最简二次根式的定义是解题关键．
【易错必刷十三 同类二次根式】
1．（23-24八年级上·上海·期末）下列二次根式，如果与 是同类二次根式，那么这个根式是（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【分析】本题考查的是同类二次根式，“把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，
就把这几个二次根式叫做同类二次根式”．先把各个二次根式化简，根据同类二次根式的概念判断即可．
【详解】解：A、 与 不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
B、 与 不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
C、 与 不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
D、 与 是同类二次根式，故本选项符合题意；
故选：D．
2．（24-25九年级上·海南海口·期末）如果最简二次根式 与 是同类二次根式，那么 ．
【答案】3
【分析】本题考查的是同类二次根式的含义，掌握“同类二次根式的定义”是解本题的关键．
把二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，则二次根式为同类二次根式，据此列方程求解即可．
【详解】解：∵最简二次根式 与 是同类二次根式，
∴ ，解得： ．
故答案为：3．
3．（23-24八年级上·全国·单元测试）如果最简二次根式 与 是同类二次根式，求 的值．
【答案】 ．
【分析】本题考查同类二次根式，根据两个最简二次根式的被开方数相同，则这两个最简二次根式为同类
二次根式，列出方程进行求解即可．
【详解】解：由题意，得： ，
解得： ．
【易错必刷十四 二次根式的加减运算】
1．（2025八年级下·全国·专题练习）计算与化简：(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，利用二次根式性质化简，解题的关键是熟练掌握运算法则，
准确计算．
（1）根据二次根式性质进行化简，然后根据二次根式加减混合运算法则进行计算即可；
（2）根据平方差公式和完全平方公式，结合二次根式混合运算法则进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
2．（24-25八年级上·河南郑州·期末）计算：
(1) ；
(2)
【答案】(1)
(2)【分析】本题考查的是二次根式的加减运算，二次根式的混合运算；
（1）先化简各二次根式，再合并同类二次根式即可；
（2）先计算二次根式的除法运算，乘法运算，再合并即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
3．（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）计算：
(1) ．
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握运算法则．
（1）先将每个二次根式化简，再作加减法；
（2）先化简二次根式和利用完全平方公式将式子展开，再算加减法．
【详解】（1）解：
（2）【易错必刷十五 二次根式的混合运算】
1．（2025八年级下·全国·专题练习）计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查二次根式的混合运算：
（1）先化简各数，再合并同类二次根式即可；
（2）利用混合运算法则进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）
2．（24-25八年级上·山西晋中·期末）计算：(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解答的关键．
（1）先根据二次根式的性质化简各数，再加减运算即可；
（2）先利用完全平方公式和平方差公式去括号，再加减运算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
3．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键．
（1）运用二次根式的混合运算法则计算即可；
（2）运用乘法公式，二次根式的混合法则计算即可．
【详解】（1）解：
=1；
（2）解：
．
【易错必刷十六 分母有理化】
1．（2024八年级上·全国·专题练习）化简 的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的性质，分母有理化，二次根式的乘法，先根据二次根式的性质化简，然后
分母有理化即可求解，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】解： ，故选： ．
2．（24-25八年级上·上海·期末）化简： ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的分母有理化，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．分母分子同乘以
，计算二次根式的乘法即可得．
【详解】解：原式
，
故答案为： ．
3．（24-25八年级上·四川雅安·期中）阅读材料：像 ，……这种两
个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运
算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号，请你根据上述材料，解决如下问题：
(1)化简： _____；
(2) 的有理化因式是______， ______；
(3)比较大小： ______ （填 ， ， ， 或 中的一种）；
(4)若 ，求 的值．
【答案】(1)(2) ，
(3)
(4)9
【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，理解题目中所给的有理化因式的定义，熟知二次根式的运
算法则是解答关键．
（1）利用二次根式的运算法则进行化简求解；
（2）利用有理化因式的定义和二次根式的运算法则进行化简求解；
（3）根据题意得到所给的两个二次根式都是正数，再结合有理化因式的定义比较它们倒数的大小来求解；
（4）先利用有理化因式的定义求出 ，再将所求值的代数式进行配方得到
，再将 代入求解．
【详解】（1）解： ．
故答案为： ．
（2）解： 的有理化因式是 ．
．
故答案为： ，
（3）解：因为 ， ，
而 ，
．
和 都是大于 的数，．
故答案为： ．
（4）解： ，
，
，
．
【易错必刷十七 已知字母的值化简求值】
1．（23-24八年级下·黑龙江牡丹江·阶段练习）已知 ，则代数式 的值是（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
【答案】D
【分析】本题考查已知字母的值，化简求值．将代数式转化为 ，代值计算即可．
【详解】解：∵ ，
∴
；
故选D．
2．（23-24八年级下·全国·单元测试）已知 ，则 的值为 ．【答案】
【分析】本题考查了利用完全平方公式和平方差公式进行分式的化简求值，以及二次根式的计算的应用，
利用完全平方公式和平方差公式进行分式的化简可得 ，将已知的值代入结合二次根式的计算即可．
【详解】解：
当 时，
原式 ．
故答案为 ．
3．（24-25八年级上·北京通州·期末）已知： ，求 的值．
【答案】
【分析】本题主要考查了代数式求值，完全平方公式的应用，
先将 整理为 ，再将待求式配方，然后整体代入求值．
【详解】解：∵ ，
∴ ．
∴ ，
，
，，
．
【易错必刷十八 已知条件式化简求值】
1．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）已知 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据已知条件得出x、y同号，并且x、y都是负数，求出x=-1，y=-4或x=-4，y=-1，再求出答案
即可．
【详解】解： ， ，
、 同号，并且 、 都是负数，
解得： ， 或 ， ，
当 ， 时，
；
当 ， 时，
，
则 的值是 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的化简与求值，能选择适当的方法求解是解此题的关键．
2．（24-25八年级上·全国·期末）已知 ，则代数式 的值为 ．
【答案】11
【分析】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是运用代入法和合并同类项的方法进行计算．将原式进行变形，再将 代入式子中，进行计算，整理；再将 代入式子中进行计算即可．
【详解】
．
故答案为： 11．
3．（23-24八年级下·吉林·阶段练习）已知 ， ，求代数式 的值．
【答案】
【分析】本题考查的是完全平方公式，二次根式的混合运算，先计算 ， ，再把原式化为
，再整体代入计算即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ．
【易错必刷十八 比较二次根式的大小】
1．（24-25八年级上·广东河源·单元测试）2 、 、15三个数的大小关系是（ ）
A．2 ＜15＜ B． ＜15＜2C．2 ＜ ＜15 D． ＜2 ＜15
【答案】A
【分析】将 分别化成 ，再进行比较即可．
【详解】 且
即
故选：A．
【点睛】本题考查了实数的比较大小，比较被开方数，是常用的比较实数大小的方法．
2．（23-24八年级下·河北邢台·期末）比较大小： ．（填“＞”“＜”或
“＝”）
【答案】=
【分析】本题考查分母有理化，二次根式的大小比较，掌握相应的法则是解题的关键．
把 分母有理化即可得到答案．
【详解】解：
，
故答案为： ．
3．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期末）已知 ， ．
(1)比较a，b的大小，并写出比较过程；
(2)求代数式 的值．【答案】(1) ；
(2)
【分析】（1）利用平方法和不等式的性质即可比较出大小；
（2）代入 和b的值，利用二次根式的混合运算即可求解．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ， ，
∵
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ， ，
∴
．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算的法则是解题的关键．
【易错必刷二十 二次根式的应用】
1．（24-25九年级上·河南周口·阶段练习）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空
抛物下落的时间 （单位： ）和高度 （单位： ）近似满足公式 （不考虑风速的影响）．记从
高空抛物到落地所需时间为 ，从 高空抛物到落地所需时间为 ，则 的值为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次根式的应用，根据题意求出 、 ，再计算 与 的比值即可得解，正确进行计
算是解此题的关键．
【详解】解：由题意得： ， ，
∴ ，
故选：A．
2．（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）有一块长方形木板，木工采用如图沿虚线在木板上截出两个
面积分别为 和 的正方形木板．原来长方形的面积是 ．
【答案】
【分析】本题考查的是二次根式的应用，利用二次根式的性质和正方形面积计算公式求出两个小正方形的
边长，进而求出长方形木板的长和宽，再根据长方形面积计算公式求解即可．
【详解】解：面积为 和 的正方形木板边长分别为 ，
∴原来长方形的长为 ，宽为 ，
∴原来长方形的面积为 ，
故答案为： ．
3．（24-25八年级上·北京·期中）某居民小区有块矩形 绿地，矩形绿地的长 为 米，宽 为
米，现要在矩形绿地中间修建一个小矩形花坛（阴影部分），小矩形花坛的长为 米，宽米，除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，求通道的面积（结果化为最简二次根式）．
【答案】通道的面积为 平方米
【分析】本题考查的是二次根式的加法与二次根式的乘法及混合运算的应用，熟练的进行二次根式的化简
与运算是解本题的关键．分别求出矩形绿地和小矩形花坛的面积，再相减求通道面积即可．
【详解】解： 矩形绿地的长 为 米，宽 为 米，
平方米，
小矩形花坛的长为 米，宽 米，
小矩形花坛的面积为 平方米，
通道的面积为 平方米．
【易错必刷二十一 二次根式的新定义计算】
1．（23-24八年级下·青海海东·阶段练习）对于任意的整数 ， ，定义运算“☆”为：
．
求： 的值．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，正确理解新运算法则是解题的关键．
先根据新运算法则计算 与 ，再计算乘法即可．
【详解】解： ，，
所以
．
故答案为：2．
2．（23-24八年级下·吉林·阶段练习）定义：若两个二次根式a、b满足 ，且c是有理数，则称a与
b是关于c的共轭二次根式．
(1)若a与 是关于10的共轭二次根式，则 ；
(2)若 与 是关于12的共轭二次根式，求m的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查二次根式的运算，掌握共轭二次根式的定义，是解题的关键．
（1）根据共轭二次根式的定义，进行计算即可；
（2）根据共轭二次根式的定义，进行计算即可．
【详解】（1）解：由题意，得： ，
∴ ；
故答案为： ；
（2）由题意，得： ，
∴ 且 ，
∴ ．
3．（23-24七年级下·河南商丘·阶段练习）阅读下面文字，然后回答问题．
给出定义：一个实数的整数部分是不大于这个数的最大整数，这个实数的小数部分为这个数与它的整数部
分的差的绝对值．例如： 的整数部分为2，小数部分为 ； 的整数部分为1，小数部分可用 表示；再如， 的整数部分为 ，小数部分为 ．由此我们得到一个真命题：
如果 ，其中x是整数，且 ，那么 ．
(1)如果 ，其中a是整数，且 ，那么 ______， ______；
(2)如果 其中c是整数，且 ，那么 ______， ______；
(3)已知 ，其中m是整数，且 ，求 的值；
(4)在上述条件下，求 的立方根．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3)
(4)3
【分析】此题考查了估算无理数的大小，代数式求值，解题关键是确定无理数的整数部分．
（1）估算出 ，即可确定 ， 的值；
（2）估算出 ，可得 ，即可确定 ， 的值；
（3）根据题意确定出 ， 的值，代入求值即可；
（4）由（1）（2）（3）的结果，直接代入所求式子即可．
【详解】（1）解： ，其中a是整数，且 ，
又 ，
， ，
故答案为： ， ；
（2）解： ，其中 是整数，且 ，又 ，
， ，
故答案为： ， ；
（3）解： ，
∴ ，
，其中 是整数，且 ，
， ，
；
（4）解：
，
的立方根为： ．
