2026届高中毕业班适应性练习数学答案_2024-2026高三（6-6月题库）_2026年04月高三试卷_260410福建省2026届高中毕业班适应性练习（省质检）_福建省2026届高中毕业班适应性练习（宁德）数学

2026 届高中毕业班适应性练习题库 数学参考答案及评分细则 评分说明： 1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内 容比照评分标准制定相应的评分细则。 2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度， 可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解 答有较严重的错误，就不再给分。 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 4．只给整数分数。选择题和填空题不给中间分。 一、单项选择题 题号 T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 答案 A C B D B C B D 二、多项选择题 题号 9 10 11 答案 ABD AD ABD 三、填空题 π 3 12． 13．30 14．32n1n 3 2 四、解答题 15.本小题主要考查正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式、三角恒等变换等基础知识，考查运算求解 能力、直观想象能力等，考查函数与方程思想、数形结合思想等，考查数学运算、直观想象等核心 素养，体现基础性.满分13分. 解：（1）设AC x，由余弦定理，得BC2  AB2  AC2 2ABACcosA，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙1分 1 即21x2 21x ，x2 x10，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2分 2 1 5 1 5 51 求得x= 或 （不合，舍去）， 即AC  ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3分 2 2 2 1 所以S  ABACsinA ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4分 △ABC 2 1 51 3  1  2 2 2 15 3  ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分 8 （2）因为ADCD，E为AC中点， 数学参考答案及评分细则 第1页（共 12页） 学科网（北京）股份有限公司DE 3 所以AC DE，ADCD  ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8分 sinC 3sinC AB AD 在△ABD中，由正弦定理，得  ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9分 sinADB sinB 1 3 即  ， sin2C 3sinCsin（A）C  1 3 所以3sin( C)2 3cosC，3( sinC cosC)2 3cosC，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10分 3 2 2 3 1 所以 sinC cosC 0， 2 2 3 所以tanC  ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙11分 3 因为C0,π，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分 π 所以C  ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙13分 6 16.本小题主要考查导数的几何意义、导数的应用等基础知识，考查逻辑推理能力、运算求解能力等，考 查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想等，考查逻辑推理、数学运算等核心素养， 体 现基础性．满分15分． a 解法一：（1）函数 f(x)的定义域为(0,)， f(x)x ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2分 x 2 当a2时，因为 f(x)x ，所以 f(1)1，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3分 x 1 又 f(1) ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4分 2 1 所以曲线y f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为y (x1)， 2 即2x2y30．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7分 1 1 1 1 1 2 （2）(i)当a0时， f(ea) (ea)2 alnea  ea 10不符合题意，舍去；∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9分 2 2 1 (ii)当a0时， f(x) x2 0显然成立；∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙11分 2 (iii)当a0时，令 f(x)0，得0x a ，令 f(x)0，得x a； 所以 f(x)在(0, a)单调递减，在( a,)单调递增．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙13分 1 f(x)  f( a) aaln a 0 所以 min 2 ，解得0ae．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙14分 综上所述，a的取值范围为[0,e)．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙15分 解法二：（1）同解法一．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7分 数学参考答案及评分细则 第2页（共 12页） 学科网（北京）股份有限公司1 （2）由已知，得 x2 alnx0． 2 x2 (i)当0x1时，可得a ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8分 2lnx x2 因为0x1，所以 0，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9分 2lnx x2 又因为x0时， 0， 2lnx 所以a…0；∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10分 1 x2 alnx0 (ii)当x1时，2 恒成立，所以aR；∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙11分 x2 a (iii)当x1时，可得 2lnx ． 1 2xlnxx2 x2 x x(2lnx1) 令g(x) (x1)，g(x)  ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分 2lnx 2(lnx)2 2(lnx)2 1 当1xe2时，g(x)0，g(x)单调递减； 1 当xe2时，g(x)0，g(x)单调递增；∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙13分 1 所以g(x) g(e2)e，所以ae．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙14分 min 综上所述，a的取值范围为 [0,e) ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙15分 17.本小题主要考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力等，考查函 数与方程思想、数形结合思想等，考查数学运算、直观想象等核心素养，体现基础性.满分15分. 2b2，  解：（1）依题意，得 a2 b2 2 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3分   ，  a 2 a 2， 解得 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5分  b1. x2  y2 1 所以E的方程为 2 ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分  3    3  （2）因为AB CD，所以AB∥CD，且 AB  CD .∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8分 4 4 设A(x,y )，B(x ,y )，C(x ,y )，D(x ,y )， 1 1 2 2 3 3 4 4 显然直线AB的斜率不为零，可设直线AB的方程为xmy1，直线CD的方程为xmy.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9分 数学参考答案及评分细则 第3页（共 12页） 学科网（北京）股份有限公司xmy1,  由x2 得(m2 2)y2 2my10，可得0，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10分   y2 1  2  2m y  y  ,   1 2 m2 2 2 2 1m2 所以 所以 y  y  (y  y )2 4y y  .∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙11分 1 1 2 1 2 1 2 m2 2  y y  ,  1 2 m2 2  xmy,  2 2 由x2 得(m2 2)y2 2，所以 y  y  .∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分   y2 1 3 4 m2 2  2  AB y  y 1m2  3  则   1 2  ，又因为 AB  CD ， CD y  y m2 2 4 3 4 1m2 3 14 所以  ，解得m ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙14分 m2 2 4 7 所以直线AB的方程为7x 14y70.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙15分 18.本小题主要考查随机变量的分布列、数学期望、条件概率与全概率公式等基础知识，考查数学建模能 力、运算求解能力等，考查分类与整合思想、概率与统计思想等，考查数学运算、逻辑推理、数据 分 析、数学建模等核心素养等.体现基础性，应用性.满分17分. k(1)2 kk k(1)1 解：（1）由题可知， ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙1分 1 k  化简可得 2 23 ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2分 1 4  k  当 2时， 9 ， 16 E(X)k2k 3k(1)k(52) 则 9 ， 16 即顾客一次性购买文创盲盒数量的平均值为 9 .∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4分 （2）（i）设事件 A i  “一次性购买i个文创盲盒”（i0,1,2,3），事件B“顾客为幸运客户”， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5分 P(A )（k 1）2 P(A)k P(A )k P(A )k(1) 则 0 ， 1 ， 2 ， 3 . 1 P(B|A) 依题意，得 P(B|A 0 )0 ， 1 3，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分 因为每个盲盒是否为封面款相互独立， 1 1 1 2 1 7 P(B|A )( )2  P(B|A )( )3 C1 ( )2  所以 2 3 9， 3 3 3 3 3 27，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8分 数学参考答案及评分细则 第4页（共 12页） 学科网（北京）股份有限公司B A BABA BA B A B,AB,A B,A B 又由题意知， 0 1 2 3 ，且 0 1 2 3 两两互斥，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9分 3 3 1 1 7 2k(5) PBPAB[PAPB|A]0 k k k(1) 所以 i0 i i0 i i 3 9 27 27 ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙11分 2(5) 1 k  P(B) 由（1）得， 2 23，代入化简可得 27(2 23) ， 2(5) f() 所以 27(2 23)， (0，1) .∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分 （ii）设事件C “一次性购买的文创盲盒全部是封面款”， 1 P(C|A)( )i,i1,2,3 依题意，得 i 3 ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙13分 C  ACACAC AC,AC,AC 且 1 2 3 ， 1 2 3 两两互斥， 3 3 4k(12) PCPAC[PAPC|A] 所以 i1 i i1 i i 27 ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙14分 2k(5) PB 由（i）得， 27 ， 所以幸运客户中，一次性购买的文创盲盒全部是封面款的概率为 P(BC) P(C) 2(12) P(C|B)   P(B) P(B) 5 ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙16分 1 2(12) 1 1 P(C|B)„ „ „ 由题意 2 ，可得 5 2，解得 7， 1 (0, ] 又因为01，所以 7 .∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙17分 19.本小题主要考查空间点、线、面位置关系，直线与平面所成角，二面角，平面轨迹方程等基础知识； 考查运算求解能力，直观想象能力，逻辑推理能力等；考查函数与方程思想，数形结合思想，化归与转化 思想等；考查数学运算，逻辑推理，直观想象等核心素养．体现综合性和创新性．满分17分． 解法一：（1） 因为PA平面  ， AB,AD ,所以PA AB，PA AD．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙1分 不妨设ABa,ADb,APc，且a≤b≤ c， 因为AB AD，所以BD2 a2 b2，PB2 a2 c2，PD2 b2 c2， 所以BD≤P≤B PD，所以PBD为△PBD的最大内角．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2分 PB2 BD2 PD2 a2 cosPBD  0 由余弦定理，得 2PBBD PBBD ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3分 π PBD(0, ) 所以 2 ，所以△PBD是锐角三角形．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4分 （2）（i）因为PA  ， Q 在CP上，且 CQBCQD ， 数学参考答案及评分细则 第5页（共 12页） 学科网（北京）股份有限公司由对称性知B,D在同一个轨迹上，且轨迹关于AC对称，   故以A为原点，AC,AP分别为x轴和z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz ． z P y Q D x A C γ B 设 Bx 1 ,y 1 ,0 ， Dx 2 ,y 2 ,0 ，因为AP AC3，所以 P0,0,3，C3,0,0 ． 因为 Q 是线段CP上靠近C的三等分点，  2 1 AQ AC AP2,0,1 Q2,0,1 故 3 3 ，即 ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5分   QC1,0,1 QBx 2,y ,1 故 ， 1 1 ，   QCQB x 1 cosCQB    1 QC QB 2 x 22  y2 1 1 1 ， x 1 1 1  依题意得 2 x 1 22  y 1 2 1 2 ，化简得 x 1 2 y 1 2 3 ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分 且 x 1 10 ，即 x 1 1 ，故 x 1 ≥ 3 ，又点B不在直线AC上，故 x 1  3 ， 同理， x 2 2 y 2 2 3 ，且 x 2  3 ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7分 故在坐标平面 xAy 中，B,D是双曲线 x2 y2 3 右支上的动点，且B,D在x轴的两侧，如图． y D A x B π 因为 x2 y2 3 的两条渐近线分别为 yx 和 yx ，它们的夹角为 2 ， π 0BAD 所以 2．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8分 数学参考答案及评分细则 第6页（共 12页） 学科网（北京）股份有限公司因为平面PAB平面PADPA，PA AB，PA AD， 所以BAD是二面角BAPD的平面角，所以二面角BAPD为锐角．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9分 （ii）因为△PBD不是任何一个长方体的截面，所以△PBD是直角三角形或钝角三角形．∙∙∙∙∙∙∙∙∙10分 证明如下： 若△PBD为锐角三角形，有PB2 PD2 BD2 0，PB2 BD2 PD2 0，BD2 PD2 PB2 0， PB2 BD2 PD2 PD2 BD2 PB2 PB2 PD2 BD2 a b c 可令 2 ， 2 ， 2 ， 则存在以 ABa,ADb,APc 为共点棱的长方体，△PBD为该长方体的截面． 由（1）知，若△PBD是长方体的截面，则△PBD是锐角三角形， 所以△PBD不是任何一个长方体的截面等价于△PBD是直角三角形或钝角三角形．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙11分 π 0BAD   由（i）知， 2，所以ABAD0，又因为PA AB，PA AD，          π PBPD  PAAB    PAAD  PA 2 ABAD0 0BPD 所以 ，故 2．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分 因为PA，所以PBA,PDA分别是直线PB,PD与所成的角， 即 PBA=,PDA= ， PA2 9 tan2  不妨设AB≤AD，则 ≥ ，且PB≤PD，所以， AB2 x 1 2  y 1 2 ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙13分 π PBD≥ PDB 且 2 ． 作 QM BD 于M ，因为平面 QBD，平面 QBDBD ， QM  平面 QBD ， 所以 QM ，又PA，所以 PA∥QM ． 因为 Q 是线段CP上靠近C的三等分点，所以M 是线段AC上靠近C的三等分点， M2,0,0 M2,0,0 所以 ，即直线BD过 ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙14分 PBDPBM≥ π   所以 2 ，所以 BM BP(2x 1 ,y 1 ,0)(x 1 ,y 1 ,3)x 1 2 2x 1  y 1 2≤0 ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙15分 xAy B(x,y ),D(x ,y ) x2 y2 3 这样，问题等价于在平面直角坐标系 中， 1 1 2 2 在双曲线 的右支上，直线 9 tan2 BD过点 M(2,0) ，AB AD， x 1 2 2x 1  y 1 2≤0 ，求 x 1 2  y 1 2 的最小值． 数学参考答案及评分细则 第7页（共 12页） 学科网（北京）股份有限公司y D M A x B 如图，不妨设点B在第四象限，则 y 1 0 ， x 1 2 ．因为B,D都在双曲线的右支，故 y k k  1 1 BD BM 2x 1 ， y 2x 0 y2 （2）x 2 x2 2x  y2≤0 x2 y2 3 即 1 1 ，所以 1 1 ，又 1 1 1 ， 1 1 ，  7 x  ，   1 4    x 1 2 3（2）x 1 2,  1 7 ≤x≤ 1+ 7 , 7 x≤ 1 7 故 x 1 2 2x 1 x 1 2 3≤0, 解得  2 1 2 即4 1 2 ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙16分 9 9 9 3 7 3 tan2 ≥≥  所以 x 1 2  y 1 2 2x 1 1 7 2 ， 1 7 π x  PBD 当 1 2 ，即 2 时，等号成立． 3 73 故tan2的最小值为 2 ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙17分 解法二：（1）因为PA平面  ， AB,AD ，所以PA AB，PA AD．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙1分    又因为AB AD，故可以A为原点，AB,AD,AP分别为x轴， y 轴和z轴的正方向，建立如图所示的 空间直角坐标系 Axyz ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2分 z P Q y D A C x γ B 设ABa,ADb,APc，所以 Ba,0,0,D0,b,0,P0,0,c ，在△PBD中，   BDBP(a,b,0)(a,0,c)a2 0 ，所以PBD为锐角， 数学参考答案及评分细则 第8页（共 12页） 学科网（北京）股份有限公司  DBDP(a,b,0)(0,b,c)b2 0 ，所以PDB为锐角，   PBPD(a,0,c)(0,b,c)c2 0 ，所以BPD为锐角， 所以△PBD是锐角三角形．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4分 （2）（i）同解法一．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9分 （ii）因为△PBD不是任何一个长方体的截面，所以△PBD是直角三角形或钝角三角形．∙∙∙∙∙∙∙∙∙10分 证明如下： 若△PBD为锐角三角形，有PB2 PD2 BD2 0，PB2 BD2 PD2 0，BD2 PD2 PB2 0， PB2 BD2 PD2 PD2 BD2 PB2 PB2 PD2 BD2 a b c 可令 2 ， 2 ， 2 ， 则存在以 ABa,ADb,APc 为共点棱的长方体，△PBD为该长方体的截面． 由（1）知，若△PBD是长方体的截面，则△PBD是锐角三角形， 所以△PBD不是任何一个长方体的截面等价于△PBD是直角三角形或钝角三角形．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙11分 z P y Q D M x A C γ B 作 QM BD 于M ，因为平面 QBD，平面 QBDBD ， QM  平面 QBD ， 所以 QM ，又PA，所以 PA∥QM ． 因为 Q 是线段CP上靠近C的三等分点，所以M 是线段AC上靠近C的三等分点， M2,0,0 M2,0,0 所以 ，即直线BD过 ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分 在平面直角坐标系 xAy 中，设直线BD的方程为 xty2 ， x2  y2 3, 联立  xty2 得  t2 1  y2 4ty10 ，  4t y  y  , t2 10,   1 2 t2 1   依题意，有    4t2 4  t2 1  0, 且   y 1 y 2  t2 1 1 . 因为 y 1 y 2 0 ，所以t2 1．    PBx ,y ,3,PDx ,y ,3,BDx x ,y y ,0 因为 1 1 2 2 2 1 2 1 ，   PBAPDx x  y y 9ty 2ty 2 y y 9 所以 1 2 1 2 1 2 1 2 数学参考答案及评分细则 第9页（共 12页） 学科网（北京）股份有限公司6  t2 2    t2 1  y y 2ty  y 13 0 1 2 1 2 t2 1 ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙13分   BPABDx x x  y y y x2  y2 x x  y y  1 1 2 1 1 2 1 1 1 2 1 2 ，   DPADBx2  y2 x x  y y  同理 2 2 1 2 1 2 ，   x2  y2≤x2  y2 BPABDx2  y2 x x  y y ≤0 不妨设 1 1 2 2，则必有 1 1 1 2 1 2 ． 3t2 3 6 x2  y2 (x x  y y )x2  y2 [(t2 1)y y 2t(y  y )4]x2  y2  2x2  因为 1 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 1 t2 1 1 t2 1， x 2 t 1 x ty 2 y 0 y 因为 1 1 且 1 ，所以 1 ，代入上式得到 6 6 x2  y2 x x  y y 2x2  2x2  1 1 1 2 1 2 1 t2 1 1 x 2 2  1  1  y 1  2x2  6y 1 2 2x2  6  x 1 2 3  1 x 22  y2 1 x 22   x2 3  1 1 1 1 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙14分  1 7  1 7  2  4x3 10x2 9  22x 1 3   x 1  2     x 1  2   1 1      4x 7 4x 7 1 1 ，  1 7  1 7  22x 3 x  x   1  1 2  1 2     ≤0 4x 7 所以 1 ， 7 1 7 x  ,  又因为 x 1  3 ，所以 1   4 2  ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙15分 因为PA，所以PBA,PDA分别是直线PB,PD与所成的角，即 PBA,PDA ， 因为 x 1 2  y 1 2≤x 2 2  y 2 2 ，所以AB≤AD，所以 ≥ ，所以，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙16分 PA2 9 9 3 73 tan2tan2   ≥ AB2 x2  y2 2x2 3 2 1 1 1 ， 1 7 π x = PBD 当 1 2 ，即 2 时，等号成立． 3 73 故tan2的最小值为 2 ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙17分 解法三：（1）因为PA平面  ， AB,AD ，所以PA AB，PA AD．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙1分 又因为AB AD，所以在△PBD中，           2 BPBD BAAP  BAAD BA 0 ，所以PBD为锐角，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2分           2 DBDP DAAB  DAAP DA 0 ，所以PDB为锐角，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3分 数学参考答案及评分细则 第10页（共 12页） 学科网（北京）股份有限公司          2 PBPD PAAB  PAAD PA 0 ，所以BPD为锐角， 所以△PBD是锐角三角形．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4分 （2）（i）同解法一．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9分 （ii）因为△PBD不是任何一个长方体的截面，所以△PBD是直角三角形或钝角三角形．∙∙∙∙∙∙∙∙∙10分 证明如下： 若△PBD为锐角三角形，有PB2 PD2 BD2 0，PB2 BD2 PD2 0，BD2 PD2 PB2 0， PB2 BD2 PD2 PD2 BD2 PB2 PB2 PD2 BD2 a b c 可令 2 ， 2 ， 2 ， 则存在以 ABa,ADb,APc 为共点棱的长方体，△PBD为该长方体的截面． 由（1）知，若△PBD是长方体的截面，则△PBD是锐角三角形， 所以△PBD不是任何一个长方体的截面等价于△PBD是直角三角形或钝角三角形．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙11分 π 0BAD   由（i）知， 2，所以ABAD0，又因为PA AB，PA AD，          π PBPD  PAAB    PAAD  PA 2 ABAD0 0BPD 所以 ，故 2．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分 因为PA，所以PBA,PDA分别是直线PB,PD与所成的角，即 PBA,PDA ， PA2 9 tan2  不妨设AB≤AD，则 ≥ ，且PB≤PD，所以， AB2 x 1 2  y 1 2 ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙13分 π PBD≥ PDB 且 2 ． z P y Q D M x A C γ B 作 QM BD 于M ，因为平面 QBD，平面 QBDBD ， QM  平面 QBD ， 所以 QM ，又PA，所以 PA∥QM ． 因为 Q 是线段CP上靠近C的三等分点，所以M 是线段AC上靠近C的三等分点， M2,0,0 M2,0,0 所以 ，即直线BD过 ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙14分 π        PBDPBM≥ BABM   BPPA  BM BPBM≤0 所以 2 ，所以 ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙15分 xAy B(x,y ),D(x ,y ) x2 y2 3 这样，问题等价于在平面直角坐标系 中， 1 1 2 2 在双曲线 的右支上，直线 数学参考答案及评分细则 第11页（共 12页） 学科网（北京）股份有限公司9   tan2 BD过点 M(2,0) ，BABM≤0，求 x 1 2  y 1 2 的最小值． y D 0 A N M x B 0   如图，不妨设点B在第四象限，因为BABM≤0，所以点B在以AM 为直径的圆N内（含边界），记 圆N与双曲线在第四象限的交点为 B 0，则 AB≤ AB 0 ． AB yx k 1 k k 1 k 1 B M 因为 0在渐近线 的上方，故 AB 0 ，而 AB 0 B 0 M ，故 B 0 M ，即直线 0 与双曲 线右支有两个交点 B 0 ,D 0，符合条件．所以当点B位于点 B 0时， AB 最大，则tan2最小．∙∙∙∙∙∙∙16分  (x1)2  y2 1,  1 7 1 7 联立 x2  y2 3 ，得2x2 2x30，解得 x 2 或 x 2 （舍去）， 1 7 π 9 3 7 3 x  PBD  故当 1 2 ，即 2 时，tan2的最小值为 1 7 2 ． 3 73 故tan2的最小值为 2 ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙17分 数学参考答案及评分细则 第12页（共 12页） 学科网（北京）股份有限公司