文档内容
期末押题重难点检测卷（提高卷）
（满分120分，考试时间120分钟，共26题）
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号
填写在答题卡上；
2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦
干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效；
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效；
4.测试范围：人教版八下全部内容；
5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第I卷（选择题）
一、选择题（10小题，每小题3分，共30分）
1．（24-25·八年级下·四川德阳·阶段练习）下列计算不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是二次根式的加减运算，二次根式的乘除运算，分母有理化，正确计算是解本题的关
键．根据二次根式的乘法法则对A进行判断；根据二次根式的性质化简对B进行判断；根据二次根式的加
法对C进行判断；根据分母有理化对D进行判断．
【详解】解：A、 ，原计算正确，故不符合题意；
B、 ，原计算错误，故符合题意；
C、 ，原计算正确，故不符合题意；
D、 ，原计算正确，故不符合题意．
故选：B．2．（24-25·八年级下·安徽安庆·阶段练习）矩形具有而一般平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A．两组对边分别相等 B．两条对角线互相平分
C．两条对角线互相垂直 D．两条对角线相等
【答案】D
【分析】本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而
一般平行四边形不具备的性质．如，矩形的对角线相等．根据平行四边形和矩形的性质容易得出结论．
【详解】解：A、两组对边分别相等，矩形和平行四边形都具有，故不合题意；
B、两条对角线互相平分，矩形和平行四边形都具有，故不合题意；
C、两条对角线互相垂直，矩形和平行四边形都不一定具有，故不合题意；
D、两条对角线相等，矩形具有而平行四边形不一定具有，符合题意．
故选：D．
3．（24-25·八年级下·江苏苏州·阶段练习）某校开展了红色故事演讲比赛，其中8名同学的成绩（单位：
分）分别为：85，81，86，82，82，83，92，89．关于这组数据，下列说法中正确的是（ ）
A．众数是92 B．中位数是82 C．平均数是84 D．极差是11
【答案】D
【分析】此题考查了极差，算术平均数，中位数，以及众数，熟练掌握各自的计算方法是解本题的关键．
找出这组数据中出现次数最多的即为众数，这组数据排列后找出最中间的两个数求出平均数即为中位数，
求出这组数据的平均数，利用极差的定义求出极差，判断即可．
【详解】解：从小到大排列得： ，
出现次数最多是82，即众数为82，故选项A说法错误，不符合题意；
最中间的两个数为83和85，即中位数为84，故选项B说法错误，不符合题意；
，即平均数为85，故选项C说法错误，不符合题意；
即极差为11．
故选项D说法正确，符合题意，
故选：D．
4．（24-25·八年级下·浙江宁波·阶段练习）某航空公司规定，旅客乘机所携带行李的质量 （单位： ）
与其托运费用 （单位：元）的关系如图所示的一次函数图象确定，那么旅客可免费携带行李的最大质量
为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是用一次函数解决实际问题，关键是理解一次函数图象的意义以及与实际问题的结合．
根据图中数据，用待定系数法求出直线解析式，然后求 时，x对应的值即可．
【详解】解：设y与x的函数关系式为 ，把点 ， 分别代入得，
由题意可知 ，
解得
所以y与x的函数关系式为 ，
当 时， ，
解得 ．
即旅客可免费携带行李的最大质量为 ，
故选：A．
5．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）“赵爽弦图”是我国古代数学的伟大成就，它巧妙的利用面积关系
证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（如图1）拼成的一个大正方形
（如图2）．设直角三角形的较长的直角边为 ，较短的直角边为 ，若图 中大正方形的面积为 ，线
段 的长为 ，则图1中的直角三角形面积为（ ）A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理的证明，勾股定理的应用，正确得出大正方形的面积是解题的关键．由图形
2可知，中间四边形的边长为 的小正方形，由大正方形的面积由四个全等的直角三角形加中间小正
方形的面积得出 ，再结合 即可得出 ，进而求得 ，即可求解．
【详解】解：由图形2可知，中间四边形的边长为 的小正方形，
∵大正方形的面积为 ，
∴ ，
∵ ，
∴图2中小正方形的边长为3，
∴
又∵大正方形的面积由四个全等的直角三角形加中间小正方形的面积，
∴ ，
∴ ，
∴
∴图1中的直角三角形面积为
故选：C．
6．（24-25八年级下·重庆长寿·期中）已知实数 ， 在数轴上的对应点如图，则化简为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了数轴，二次根式的性质与化简，利用数轴上点的位置确定 ， ，a的符号是解
题的关键．
利用数轴上点的位置确定 ， ， ，再利用二次根式的性质 解答即可．
【详解】解：根据数轴可得， ， ， ，
∴ ， ，
∴原式
．
故选：A．
7．（24-25·八年级下·湖北襄阳·阶段练习）如图，已知 中，点 是 边上一动点，过点 作
交边 于点 ，且 平分 ．在 边上取点 ，使 ，若 ， ，
则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了角平分线定义，平行线的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，掌握知识点的
应用是解题的关键．
过 作 于点 ，则 ，得出 ，所以 ，根据角平分线定义和平行线的性质得到 ，故有 ，由等腰三角形性质得 ，则
，最后通过勾股定理即可求解．
【详解】解：过 作 于点 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选： ．
8．（24-25·八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图（1），在 中，点 是 边上一点，点 从点 出
发，沿 运动到点 ， 设点 运动的路程为 ，点 到点 的距离为 ，在点 运动过程中，
随 变化的关系图象如图（2）所示，其中点 为第一段函数图象的最低点，则 的周长为（ ）A．12 B．18 C．3＋12 D．12
【答案】D
【分析】本题考查了函数图象与几何综合，包括勾股定理，等腰三角形的判定，等边三角形三角形的判定
和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
作 于点 ，由图象得，当点 运动到点 时， ， ，
求出 ，得到 ，推出 ，得到 是等边三角形，根
据函数图象得 ，推出 ，得到 ，求出 ，得到
，求出 ，得到
，即可得到答案．
【详解】解：如图，作 于点 ，
由图象得，当点 运动到点 时， ， ，
当点 运动到点 时， ，
，
，，
，
是等边三角形；
当点P运动到点D时，y的值是a，
根据函数图象，结合点P的运动路线，得 ，
，
，
，
，
，
，
的周长为 ，
故选：D．
9．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）如图，已知平行四边形 的顶点A、 C分别在直线 和
上，O是坐标原点，则对角线 长的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】D
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质是解
题的关键．过点 作 直线 ，过点 作 轴，证明 ，当 最小时，对角线
取得最小值，即可得到答案．
【详解】解：过点 作 直线 ，过点 作 轴，直线 与 交于点 ，与 轴交于点 ，
直线 与 交于点 ，
平行四边形 ，，
直线 和 均垂直于 轴，
，
四边形 是平行四边形，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
，
由于 的长不变，故当 最小时，即 点在 轴上时，对角线 取得最小值，
最小值为 ，
故选D．
10．（22-23八年级下·北京海淀·期中）如图，点 是菱形 内一点， 轴， 轴， ，
， ，若一次函数 的图象经过 、 两点，则 的值为（ ）A． B． C．3 D．
【答案】B
【分析】过点 作 轴于点 ，延长 交 于点 ，可证明 ，则
，由 ，可得 ，由 ，可知 ，所以
，所以点 的纵坐标为 ，再求出 ，利用勾股定理求出 的长，再利用勾股定理求出
的长，从而求出 、 的坐标，利用待定系数法求出 ， 的值即可．
【详解】解∶过点 作 轴于点 ，延长 交 于点 ，
∵四边形 为菱形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 轴， 轴，
∴ 轴，
∴ ， ，
∴ ，
在 和 中，∴ ，
∴ ， ，
∵ 轴，
∴ 轴，
∵ 轴，
∴ ，
又∵ 轴， 轴，
∴四边形 为矩形，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∴ ，
在 中，由勾股定理得， ，
∵四边形 是菱形，
∴ ，
在 中，由勾股定理得， ，
∴点 的坐标为 ，
∴ ，
∴点 的坐标为 ，∵一次函数 的图象经过 、 两点，则
解得 ．
故选∶ B．
【点睛】本题主要考查一次函数函数与几何的综合问题，涉及到菱形的性质，三角形全等的判定与性质，
勾股定理等知识点，求出关键点C、D的坐标是解题的关键．
第II 卷（非选择题）
二、填空题（8小题，每小题3分，共24分）
11．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期中）已知三角形三边长分别为1，3， ，则这个三角形的面积为
．
【答案】 /
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形的面积，能求出三角形是直角三角形是解此题的关键．
根据勾股定理的逆定理得出三角形是直角三角形，再根据直角三角形的面积公式求出面积即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴以1，3， ，为三角形三边的三角形是直角三角形，
∴这个三角形的面积为 ，
故答案为： ．
12．（24-25·八年级下·安徽合肥·阶段练习）二次根式 中 的取值范围为 ．
【答案】
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据被开方数为非负数，进行求解即可．【详解】解：由题意，得： ，解得： ；
故答案为：
13．（24-25·八年级下·福建漳州·阶段练习）4月23日是世界读书日，某校举行以“书与远方”为主题的演
讲比赛．小吴同学的“演讲内容”得96分，“语言表达”得85分，“仪表形象”得90分．若按照图中所
示的百分比计算，则她的最后得分是 分．
【答案】91
【分析】本题考查了加权平均数．熟练掌握加权平均数是解题的关键．
根据加权平均数的计算方法直接计算即可解答．
【详解】解：由题意知，她的最后得分是 （分），
故答案为：91．
14．（2025·四川成都·二模）关于 的一次函数 ，若 随 的增大而减小，且图象与
轴的交点在原点上方，则实数 的取值范围是 ．
【答案】 /
【分析】本题考查一次函数的性质；由一次函数性质得， ， ，求解即可．
【详解】解：∵y随x的增大而减小，
∴ ．
∴ ．
当 时， ，
∵图象与y轴的交点在原点上方，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
故答案为： ．
15．（24-25八年级下·河南南阳·期中）如图，长方形 的两条边 ， 分别落在x轴、y轴上，A点坐标为 ，B点坐标为 ，点D在线段 上，沿直线 将长方形折叠，使点C与y轴上的点E
重合，则点D的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了平面直角坐标系、勾股定理与折叠问题，根据折叠的性质和勾股定理求出线段长度是
解题的关键．根据长方形的性质得到 ， ， ，利用折叠的性质得到
， ，再利用勾股定理求出 的长，进而得到 的长，设 ，在 利用
勾股定理建立方程，解出 的值即可解答．
【详解】解： ， ，
， ，
长方形 ，
， ， ，
由折叠的性质得， ， ，
，
，
设 ，则 ，
在 中， ，
，
解得： ，
点D的坐标为 ．故答案为： ．
16．（24-25八年级下·福建福州·期中）直线 与直线 （ 是常数， 且 ）交
于点 ，当 的值发生变化时，点 到直线 的距离总是一个定值，则 的值是 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，平行线的判定，得出点A的轨迹，利用方程的思
想解决问题是解本题的关键．先求得交点A的坐标，即可求出点A的轨迹，进而判断出直线直线
与直线 平行，即可求出m的值．
【详解】解：∵直线 与直线 （ 是常数， 且 ）交于点A，
解析式联立
解得， ，
∴
∴ ，
当m为一个的确定的值时， 是 的正比例函数，
即：点A在直线 上，
∵点A到直线 的距离总是一个定值，
∴直线 与直线 平行，
∴ ，∴
故答案为： ．
17．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，在 中， ， ，点N在直线
上运动，以 为边向 的右侧作菱形 ，且 ，M为 中点，连接 ，则点N在运
动过程中， 的最小值为 ．
【答案】 /
【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质以及
垂线段最短问题．设Q是 的中点，连接 ，先证得 ，得出 ，根据点到直线
的距离可知当 时， 最小，然后根据直角三角形的性质求解即可．
【详解】解：设Q是 的中点，连接 ，
∵四边形 是菱形，且 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵ ，M为 中点，Q是 的中点，
∴ ，在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∵点N在直线 上运动，
∴当 时， 最小，
∵ 是等腰三角形， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴线段 的最小值是为 ．
故答案为： ．
18．（24-25九年级上·重庆·期中）如图，在四边形 中， ， ，连接 ，
，过 A 作 交 于 D．若 ，则 ．
【答案】 /
【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，过点D分别作 的垂线，垂足分别为H、M，过点E作 于N，可证
明 ，得到 ；再证明 ， ，得到 ，导角得到
，得到 ， ，证明 是等腰直角三角形，得到 ，则
，可得 ．
【详解】解：如图所示，过点D分别作 的垂线，垂足分别为H、M，过点E作 于N，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ；
在 中， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为； ．
三、解答题（8小题，共66分）
19．（24-25八年级下·浙江舟山·期中）计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是关键．
（1）利用二次根式的乘法和性质进行计算即可；
（2）利用平方差公式和二次根式的性质进行计算即可．
【详解】（1）解：
（2）
20．（24-25八年级下·广东广州·期中）先化简，再求值： ，其中： ．【答案】 ，
【分析】本题考查了二次根式的化简求值．先算乘法，再合并同类项，最后代入求出答案即可．
【详解】解：
，
当 时，原式 ．
21．（24-25八年级下·湖南长沙·期中）已知直线 和直线 的图象如图所示，
(1)求点A，B的坐标；
(2)已知直线 和直线 相交于点C，求 的面积．
【答案】(1) ，
(2)12
【分析】本题考查了一次函数的几何综合，与坐标轴的交点坐标，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）观察图象，把 代入 ，得出 ，把 代入 ，得 ，即可作答．
（2）建立方程组，算出点C的坐标，再结合三角形面积公式列式计算，即可作答．
【详解】（1）解：∵
∴当 时， ，
解得 ，
∴ ，
当 时， ，
∴ ．（2）解：依题意， ，
解得： ，
∴ ，
∴ ．
22．（24-25·八年级下·安徽合肥·阶段练习）综合与实践
【项目背景】加强青少年航天航空教育是关乎未来航天航空人才的培养，提升青少年的科学素养和安全意
识都有重要的意义．为此中央电视台多次开设了天空课堂对青少年进行航天航空教育．今年以“海上生明
月，九天揽星河”为主题的中国航天日在上海举行，某中学以此为契机开展航天航空知识竞赛（满分100
分）．
【数据的收集与整理】从七、八年级随机各抽取50名学生的竞赛成绩（分数用x表示），将这些学生的竞
赛成绩分成5个等级：
等级 A B C D E
分数x
对这100名学生的成绩进行收集、整理得到如下信息．
信息1 摘录七年级学生的成绩（从小到大顺序排列）：
．．．．，76，77，77，78，78，79，80，80，81，82，84，84，84，85，87，88，88，90，91，．．．
摘录完后，发现抽取七年级同学竞赛成绩的众数在D等级中；
信息2 绘制了抽取七、八年级同学竞赛成绩的条形统计图：
信息3 绘制了抽取的八年级同学竞赛成绩的扇形统计图：信息4 两个年级抽取同学的竞赛成绩达到E等级占总人数的 ．
【数据的分析和应用】
(1)抽取的七年级同学竞赛成绩的中位数是______，众数是______；
(2)抽取的八年级同学成绩的等级D部分的圆心角是______ ，并补全条形统计图；
(3)七、八年级的人数之比为 ，求七、八年级达到80分及80分以上的人数比．
【答案】(1)77，84
(2)115.2，图见解析
(3)
【分析】本题考查求中位数和众数，条形图和扇形图的综合应用，从统计图中有效的获取信息，是解题的
关键：
（1）求出七年级 等级的人数，根据中位数和众数的确定方法进行求解即可；
（2）用360度乘以 等级人数所占的比例求出圆心角的度数，求出七年级 等级的人数，补全条形图
即可；
（3）设七、八年级的人数分别为 ，利用样本估计总体的思想进行求解即可．
【详解】（1）解：∵两个年级抽取同学的竞赛成绩达到E等级占总人数的 ，
∴七年级E等级人数为： ，
七年级的将数据排序后，排在第25个和第26个的数据均为77，
∴中位数为77，
由题意，七年级 等级中出现次数最多的数据为84，
∴众数为84；
（2） ；
故答案为： ；七年级 等级的人数为：11，由（1）知，E等级人数为10，
∴ 等级的人数为 ；
补全条形图如图：
（3）由题意，设七、八年级的人数分别为 ，
则：七、八年级达到80分及80分以上的人数比 ．
23．（24-25八年级下·广东深圳·期中）根据项目素材，探索解决问题．
项目主
如何剪出直角三角形的完美线？
题
项目背 新课标（2022版）要求学校教育要坚持“立德树人”，实施“跨学科学习、
景 项目式学习”在学习完三角形的证明后，某校组织了该次项目式学习．
在直角三角形中，过直角顶点剪一刀，剪痕将直角分成两个锐角，若这两个锐
项目素
角分别等于此直角三角形中的另外两个内角，则称这条剪痕为直角三角形的
材
“完美线”．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
问题解决
如图，有一张直角三角形纸片， ， ，图1中的 是完美
项目一 线，请在图2中画出与图1不相同的“完美线”剪法，并标出两个锐角的度
数．如图，在直角三角形纸片中， ，过点C剪一刀，剪痕与 交于
点 D．你发现 满足什么条件时， 是直角三角形的“完美线”，请说明
理由．
项目二
在 中， ， °， ， 的“完美线”与
项目三
交于点D，将 沿“完美线”翻折得到 ，求 的长度．
【答案】项目一：见详解；项目二：当 为 斜边上的高时，或 为 斜边上的中线时，
为 的“完美线”；项目三： 或 ．
【分析】项目一：根据完美线的定义作图即可；
项目二：根据完美线的定义，结合直角三角形的性质分两种情况，当 为 斜边上的高时，当
为 斜边上的中线时，分别画出图形，进行解答即可；
项目三：分两种情况，当 为 斜边上的高时，当 为 斜边上的中线时，分别画出图
形，进行解答即可．
【详解】项目一：如图，过点 作 ，
，
， ，为 的“完美线”；
项目二：当 为 斜边上的高时，如图所示：
，
， ，
，
同理可得： ，
为 的“完美线”；
当 为 斜边上的中线时，如图所示：
为 斜边上的中线，
，
， ，
为 的“完美线”；
综上所述，当 为 斜边上的高或 为 斜边上的中线时， 为 的“完美
线”；
项目三： 在 中， ， ， ，
， ， ，
当 为 斜边上的高时，如图所示：
，
， ，
根据折叠可知， ， ，
，三点共线，
；
当 为 斜边上的中线时，如图所示：
为 斜边上的中线， ， ,
，
，
根据折叠可知， ， ，
, 为等边三角形， ，且 与 互相平分，
；
综上所述， 或 ．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，
解题的关键是作出图形，注意进行分类讨论．
24．（24-25·八年级下·广东深圳·阶段练习）如图，在平行四边形 中，对角线 ， 交于点O，
过点A作 于点E，延长 到点F，使 ，连接 ．
(1)求证：四边形 是矩形；
(2)连接 ，若 ， ， ，求 的长度．
【答案】(1)见解析
(2)【分析】（1）由平行四边形性质得到 且 ，由平行线的性质得到 ，根据
三角形的判定可证得 ，由全等三角形的性质得到 ， ，可
得 ，根据矩形的判定即可得到结论；
（2）由矩形的性质得到 ，进而求得 ， ，由勾股定理可求得 ，
，由平行四边形性质得 ，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵在平行四边形 中，
∴ 且 ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴四边形 是矩形；
（2）解：由（1）知：四边形 是矩形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴在 中 ，
∵四边形 是平行四边形，∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质等
知识；正确的识别图形是解题的关键．
25．（24-25·八年级下·山东德州·阶段练习）【发现问题】数学活动课上，刘老师提出了如下问题：如图
1，在 中， ，求 边上的中线 的取值范围．
【探究方法】“智慧”小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：
①延长 到E，使得 ；
②连接 ，通过三角形全等把 转化在 中；
③利用三角形的三边关系可得 的取值范围为 ，从而得到 的取值范围．
方法总结：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形，把分散的
已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【问题解决】
（1）如图1，直接写出 边上的中线 的取值范围．
（2）如图2，在等腰三角形 和等腰三角形 中， ，连接
和 ，E是 的中点，求证： ．
【问题拓展】
（3）如图3，在 中， 于点D， 是 边上的中线，过点E作 ，交 于点
M，连接 ，判断 之间的关系并证明．
【答案】（1）
（2）详见解析
（3） ，证明见解析
【分析】本题考查了倍长中线，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
（1）由题意知， ，则 ， ， ，由 ，
可得 ，求解作答即可；
（2）延长 至点H，使得 ，连接 ，证 得 ， ，
进而再证 即可；
（3）结论： ．证明 ，在 中， ，由此可得结论．
【详解】解：（1）延长 到E，使得 ；连接 ，
∵ 点为 的中点，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
故答案为： ；
（2）证明：延长 至点H，使得 ，连接 ，如图2：
则 ，
由题意得： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）结论： ．
理由：延长 到G使 ，连接 ．
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，在 中， ，
∴ ．
26．（24-25·八年级下·浙江杭州·阶段练习）【模型建立】
如图1，三个直角三角形的直角顶点都在同一条直线上，这一模型叫作“一线三垂直”型．这种模型是证
明三角形全等的常见模型，在数学解题中被广泛使用．如图，一次函数 的图象与 轴、 轴分
别交于 两点．
【模型探索】
（1）如图2，求证： 是等腰直角三角形．
（2）如图3， 是直线 上的两动点，连接 ．若 ，求 的长的最小值．
【模型应用】
（3）如图4，经过点 的直线 与 轴交于点 ， 为线段 上的一点，作射线 ．若
，求直线 的函数解析式．
【答案】（1）见解析；（2） 的长的最小值为8；（3）
【分析】本题是一次函数综合题，考查一次函数的应用，涉及待定系数法求函数解析式、垂线段最短、坐
标与图形、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，理解题中新定义方法，添加合适辅助线构造
“一线三直角”是解答的关键．
（1）对于 ，当 时， ，当 时， ，即可求解；
（2）由“一线三垂直”模型知， ，则 ，即可求解；
（3）由“一线三垂直”模型知， ，设点 ，则 ， ，即 且
，解得： ，即点 ，进而求解．【详解】（1）证明：对于 ，
当 时， ，当 时， ，
即点 、 的坐标分别为： 、 ，
，
为直角，
是等腰直角三角形；
（2）解：如图，当 时， 最小，
，
，
，
，
，
在 中， ， ，
，
即 的长的最小值为8；
（3）解：如图，过点 作 于点 ，过点 作 轴交于点 ，交过点 和 轴的平行线于点
，
，
为等腰直角三角形， ，同（2）中原理可得， ，
，
四边形 为矩形，
，
当 时， ，
，即 ，
设 ，
， ，
根据 ， ，
可得 ，
解得： ，即点 ，
设直线 的解析式为
把 代入可得 ，
解得 ，
所以直线 的解析式为 ．
