文档内容
人教版初中数学七年级下册
5.3.3 命题、定理与证明 教学设计
一、教学目标：
1.理解命题、定理及证明的概念，会区分命题的题设和结论；
2.会判断真假命题，知道证明的意义及必要性，了解反例的作用.
二、教学重、难点：
重点：1.理解命题的概念，能区分命题的条件和结论，并把命题写成“如果……那么……”
的形式；2.证明的步骤和格式.
难点：了解真命题和假命题的概念，能判断一个命题的真假性，并会对命题举反例.
三、教学过程：
问题引入
描述与判断
我们日常讲话中，有些话是对某件事情作出判断的，有些话只是对事物进行描述的，如：
(1)中华人民共和国的首都是北京.……( )
(2)我们班的同学多么聪明!……………( )
(3)浪费是可耻的.………………………( )
(4)春天到了，花儿开了.………………( )
在数学学习中，同样有判断和描述这两类语言，如：
(1)画线段AB=3厘米.……………………( )
(2)两条直线相交，只有一个交点.……( )
知识精讲
观察下列语句，它们有什么共同点？
(1)如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；
(2)两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补；
(3)对顶角相等；
(4)等式两边加同一个数，结果仍是等式.
像上面这样，判断一件事情的语句，叫做命题.
命题的组成
一般地，命题由题设和结论两部分组成.题设：是已知事项；
结论：是由已知事项推出的事项.
数学中的命题常可以写成“如果……，那么……”的形式，这时“如果”后接的部分是_____，
“那么”后接的部分是_____.例如，命题(1)中，“两条直线都与第三条直线平行”是_____，
“这两条直线也互相平行”是_____.
(1)如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；
有些命题的题设和结论不明显，要经过分析才能找出题设和结论，从而将它写成“如果……，
那么……”的形式.例如，命题(3)“对顶角相等”可以写成“如果两个角是对顶角，那么这
两个角相等”.
(2)两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补；
______________________________________________________________________________
(4)等式两边加同一个数，结果仍是等式.
______________________________________________________________________________
真假命题
真命题：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题；
假命题：命题中题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题.
(1)如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；
(2)两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补；
(3)对顶角相等；
(4)等式两边加同一个数，结果仍是等式.
判断一个命题是假命题，只要举出一个例子(反例)，它符合命题的题设，但不满足结论就可
以了.
典例解析
例1.指出下列命题的题设和结论，并把(3)写成“如果……，那么……”的形式.
(1)如果AB⊥CD，垂足为O，那么∠AOC=90°；
(2)如果∠1=∠2，2=∠3，那么∠1=∠3；
(3)两直线平行，同位角相等.
解：(1)题设：AB⊥CD，垂足为O，结论：∠AOC=90°；
(2)题设：∠1=∠2，2=∠3，结论：∠1=∠3；
(3)题设：两条平行线被第三条直线所截，结论：同位角相等.如果两条平行线被第三条直线所截，那么同位角相等.
例2.判断下列命题是真命题还是假命题.
(1)如果两个角互补，那么它们是邻补角；
(2)如果一个数能被2整除，那么它也能被4整除；
(3)相等的角是对顶角.
解：(1)假命题，反例：如图∠1=60°，∠2=120°，∠1与∠2互补，但它们不是邻补角.
(2)假命题，反例：6能被2整除，但它不能被4整除.
(3)假命题，反例：如图，OC是∠AOB的平分线，∠1=∠2，但它们不是对顶角.
【针对练习】命题“同位角相等”是真命题吗？如果是，说出理由；如果不是，请举出反例.
解：命题“同位角相等”是假命题.
反例：如图，直线AB，CD被直线EF所截，∠1与∠2是同位角，且∠1=90°，∠2=110°，
但它们不相等.
知识精讲
定理、证明
如何证实一个命题是真命题呢？我们学过的一些图形的性质，都是真命题.其中有些命题是基本事实(公理)，如“两点确定一
条直线”“经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”等.还有一些命题，如“对顶
角相等”“内错角相等，两直线平行”等，它们的正确性是经过推理证实的，这样得到的真
命题叫做定理.定理也可以作为继续推理的依据.
在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明.
典例解析
在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条.
例3.如图，已知直线b∥c，a⊥b. 求证a⊥c.
证明：∵ a⊥b (已知)
∴ ∠1=90°(垂直的定义)
又 b∥c (已知)
∴ ∠1=∠2 (两直线平行，同位角相等)
∴ ∠2=∠1=90°(等量代换)
∴ a⊥c (垂直的定义)
例4.如图，直线AB和直线CD，直线BE和直线CF都被直线BC所截. 在下面四个式子中,请你
选择其中三个作为题设，剩下的一个作为结论，组成一个真命题并证明.①AB⊥BC;
②CD⊥BC; ③BE//CF; ④∠1=∠2.
题设(已知):________________.
结论(求证):________________.①②③→④
证明:∵AB⊥BC,CD⊥BC (已知)
∴∠ABC=∠DCB=90°(垂直定义)
∵BE//CF(已知)
∴∠EBC=∠FCB (两直线平行，内错角相等)
∵∠1+∠EBC=∠ABC=90°∠2+∠FCB=∠DCB=90° (已知)
∴∠1=∠2(等角的余角相等)
①②④→③
证明:AB⊥BC，CD⊥BC (已知)
∴∠ABC=∠DCB=90° (垂直定义)
∵∠1=∠2(已知)
∴∠ABC-∠1=∠DCB-∠2 (等式的性质)
即∠EBC=∠FCB
∴BE//CF (内错角相等，两直线平行)
②③④→①
证明:BE//CF(已知)
∴∠EBC=∠FCB (两直线平行，内错角相等)
∵∠1=∠2(已知)
∴∠EBC+∠1=∠FCB+∠2 (等式的性质)即∠ABC=∠DCB
∵CD⊥BC (已知)，∴∠DCB=90° (垂直定义)
∴∠ABC=90°(等量代换) ,即AB⊥BC (垂直定义)
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
【设计意图】培养学生概括的能力。使知识形成体系，并渗透数学思想方法。
达标检测1.下列句子中哪些是命题?
(1)猴子是动物的一种;…………………( )
(2)玫瑰花是动物;………………………( )
(3)美丽的天空;…………………………( )
(4)同位角相等，两直线平行;…………( )
(5)负数都小于零;………………………( )
(6)你的作业做完了吗?…………………( )
(7)所有的质数都是奇数;………………( )
(8)过直线l外一点作l的平行线;……… ( )
(9)如果a>b, a>c,那么b=c.……………( )
2.下列叙述错误的是( )
A.所有命题都有题设和结论 B.所有命题都是定理
C.所有定理都是真命题 D.所有定理都是命题
3.有下列语句:①画∠AOB的平分线;②直角都相等;③同旁内角互补吗?④两点确定一条直线.
其中命题的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
4.对于同一平面内的三条直线 a, b, c,给出下列 5 个论断:① a//b; ② b//c; ③ a⊥b;
④a//c; ⑤a⊥c.以其中两个论断作为题设，一个论断作为结论，组成一个你认为不正确的
命题是( )
A.已知①②,则④ B.已知③⑤,则②
C.已知②④,则① D.已知①②，则⑤
5.指出下列命题的题设和结论.
(1)两条平行线被第三条直线所截，内错角相等;
(2)内错角相等，两直线平行.
(3)两点之间，线段最短.
6.将下列命题写成“如果……，那么……”的形式.
(1)同旁内角互补,两直线平行;
(2)同角的补角相等;
(3)在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线互相平行.
7.已知，如图AB//CD，∠1=∠2，∠3=∠4， 求证：AD//BE.证明:∵AB//CD (已知)
∴∠4=∠_______(_____________________)
∵∠3=∠4 (已知)
∴∠3=∠_______(_________)
∵∠1=∠2 (已知)
∴∠1+∠CAF=∠2+∠CAF (___________)
即_________=__________
∴∠3=∠_______(_________)
∴AD//BE(_______________________)
8.已知，如图，M，N,T和P,Q,R分别在同一直线上,且∠1=∠2，∠P=∠T，
求证:∠M=∠R.
【参考答案】
1.(1)√；(2)√；(3)×；(4)√；(5)√；(6)×；(7)√；(8)×；(9)√.
2.B
3.B
4.D
5. 解: (1) 题设:两条平行线被第三条直线所截;结论:内错角相等.
(2)题设:两条直线被第三条直线所截的内错角相等;结论:这两条直线平行.
(3)题设:在所有连接两点的线中;结论:线段最短.
6.解: (1)两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补,那么这两条直线平行;(2)如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等;
(3)在同一平面内,如果两条直线垂直于同一条直线,那么这两条直线互相平行.
7.BAE, 两直线平行,同位角相等; BAE,等量代换；等式的性质；∠BAE，∠CAD；CAD，等量代
换；内错角相等，两直线平行.
8. 证明: ∵∠1=∠2 (已知)
∠1=∠3 (对顶角相等)
∴ ∠2=∠3 (等量代换)
∴ PN//QT (同位角相等，两直线平行)
∴ ∠PNT+∠T=180° (两直线平行，同旁内角互补)
∵ ∠P=∠T (已知)
∴ ∠PNT+∠P=180° (等量代换)
∴ PR//MT (同旁内角互补，两直线平行)
∴ ∠M=∠R (两直线平行,内错角相等)
四、教学反思：
本节课通过命题及其证明的学习，让学生感受到要说明一个定理成立，应当证明；要说明一
个命题是假命题，可以举反例.同时让学生感受到数学的严谨，初步养成学生言之有理、落笔
有据的推理习惯，发展初步的演绎推理能力.
