文档内容
专题 01 二次根式重难点题型专训（11 大题型+15 道提优训练）
题型一 二次根式的基本概念
题型二 求二次根式的值
题型三 根据二次根式有意义的条件求参
题型四 利用二次根式被开方数的非负性求值
题型五 根据二次根式是整数求字母的值
题型六 利用二次根式的性质化简
题型七 已知字母的范围化简二次根式
题型八 数轴与二次根式的化简问题
题型九 根据含隐含条件的参数范围化简二次根式
题型十 复合二次根式的化简
题型十一 二次根式的简单应用
【知识梳理】
知识点一.二次根式的定义
形如 （a≥0）的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号；
判断一个式子是二次根式，需要满足以下条件：（1）根指数必须是2；（2）被开方数为非负数.
知识点二.二次根式有无意义的条件：
（1）如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须
是非负数．
（2）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
知识点三.二次根式的性质：
（1） ， （双重非负性）．
（2） （任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．
应用：在实数范围内分解因式：
（3）（4） = · （a≥0，b≥0）
（5） = （a≥0，b>0）
知识点四.二次根式的化简：
（1）二次根式化简的步骤：
①把被开方数分解因式；
②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；
③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数 2，所得结果为最简二次
根式或整式．
（2）最简二次根式的条件：
被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
【经典例题一 二次根式的基本概念】
【例1】（24-25八年级上·上海·假期作业）下列代数式 ， ， ， ， 中，
二次根式有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】C
【分析】本题主要考查二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键；
形如 的式子叫做二次根式．据此判断给出的式子有多少个二次根式．
【详解】解：形如 的式子叫做二次根式．
在 ， ， ， ， 中，
不含根号， 被开方数小于 ，不符合要求，不是二次根式，其余 个是二次根式，
所以，二次根式有 个．故选：C
1．（2024八年级上·全国·专题练习）下列各式：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥
．其中一定是二次根式的有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式的定义，二次根式的定义：一般地，我们把形如 的式子叫做二次
根式，根据二次根式的定义，分别判断各式即可．
【详解】解：① 符合二次根式的定义，故正确；
② 无意义，故错误；
③ 中的 ，符合二次根式的定义，故正确；
④ 中的 ，符合二次根式的定义，故正确；
⑤ 是开3次方，故错误；
⑥ 中的 ，符合二次根式的定义，故正确．
正确的有①③④⑥，共4个．
故选：B．
2．（24-25八年级上·甘肃张掖·阶段练习）数学课上，同学们探究二次根式的运算规律的过程如下，请补
充完整：特例l： ；特例2： ；特例3： ；观察、归纳，得出猜想：
如果n为正整数，请用含n的式子表示这个运算规律， ．
【答案】
【分析】本题考查二次根式的化简、数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点．根据题目中给出的式子可以发现，根号内的第二个分数的分母是第一个分数的分母的平方，结果的分母和
等号左边根号内的第一个分数的分母相同，而分子是比分母小1的算术平方根，从而可以写出一个符合要
求的等式，再证明即可．
【详解】∵n是正整数，
∴ ．
故答案为： ．
3．（23-24八年级上·全国·单元测试）找出下列二次根式．
(1) ；
(2) ；
(3) ．
【答案】(1) 是二次根式
(2) 是二次根式
(3) 是二次根式
【分析】本题考查了二次根式的意义，熟练掌握二次根式被开放数为非负数是解此题的关键．
（1）根据 结合二次根式的意义判断即可得出答案；
（2）根据 结合二次根式的意义判断即可得出答案；
（3）由题意得出 ，结合二次根式的意义判断即可得出答案．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ 是二次根式；
（2）解：∵ ，∴ 是二次根式；
（3）解：∵ ，
∴ ，
∴ 是二次根式．
【经典例题二 求二次根式的值】
【例2】（24-25八年级上·重庆·期中）已知 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了立方根的性质，相反数的性质，二次根式的求值，由立方根的性质可得 与
互为相反数，即得 ，得到 ，再代入二次根式计算即可求解，由立方根的性质得
到 是解题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴ 与 互为相反数，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选： ．
1．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）当x＝1时，二次根式 的值等于（ ）
A．4 B．0 C． D．2
【答案】C
【分析】把 代入 解题即可【详解】解：把 代入 得，
故选：C．
【点睛】此题考查了二次根式的定义和二次根式的性质，能灵活运用二次根式的性质进行计算是解题的关
键．
2．（24-25八年级下·湖北荆门·阶段练习）已知 ，则 ．
【答案】
【分析】根据二次根式的性质将原式进行化简，注意要结合二次根式有意义的条件进行分情况讨论
【详解】求解．
解：∵ ，
∴ 与 同号，
①当 ， 时，
原式
；
②当 ， 时，
原式
，
故答案为： ．【点睛】此题考查了二次根式的性质，解题的关键是利用二次根式有意义的条件．
3．（23-24八年级下·贵州黔南·期中）若 求 的值．
【答案】
【分析】此题主要考查了非负数性质以及二次根式，正确得出 ， 的值是解题关键．直接利用算术平方
根和偶次方的非负数性质得出 ， 的值，进而得出答案．
【详解】解： ，
，
解得 ，
．
【经典例题三 根据二次根式有意义的条件求参】
【例3】（24-25八年级上·广东河源·期中）若二次根式 在实数范围内有意义，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，由题意得 且 ，据此即可
求解，掌握二次根式和分式有意义的条件是 解题的关键．【详解】解：∵二次根式 在实数范围内有意义，
∴ 且 ，
解得 ，
故选： ．
1．（24-25九年级上·四川宜宾·期中）等式 成立的条件是（ ）
A． B．
C． 且 D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件．根据代数式 有意义的条件是 、
可得关于 的一元一次不等式组，解不等式组求出 的取值范围．
【详解】解： 等式 成立，
，
解不等式 得： ，
解不等式 得： ，
不等式组的解集为 ．
故选：D．
2．（2022·四川成都·模拟预测）已知 ， 均为实数， ，则 的值为 ．
【答案】8
【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出x的值，进而得出y的值，进而得出答案．
【详解】解：∵ ，∴ ，
，
，
，
故答案为：8
【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．
3．（24-25八年级上·四川达州·阶段练习）已知实数 满足等式 ．
(1) 的取值范围是 ；
(2)小明求出 的值为 ，他的答案正确吗？为什么？
【答案】(1)
(2)小明的答案不正确，理由见解析
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，绝对值的非负性，掌握相关知识是解题的关键．
（1）根据二次根式有意义的条件列出不等式，即可求解；
（2）根据绝对值的非负性和二次根式的性质将 化简即可求解．
【详解】（1）解：由题意可得： ，
解得： ，
故答案为： ；
（2）小明的答案不正确，理由如下：
，
，
，
，
，
小明的答案不正确．【经典例题四 利用二次根式被开方数的非负性求值】
【例4】（23-24九年级上·浙江温州·自主招生）已知实数a满足 ，那么
的值是（ ）
A．2023 B． C．2024 D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
根据被开方数大于等于0列式求出 的取值范围，再去掉绝对值号，然后两边平方整理即可得解．
【详解】解：∵ ，
，
，
则 ，
，
，
，
故选：B．
1．（24-25七年级下·重庆江津·期中）已知 ，则
（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】C
【分析】本题考查二次根式的非负性和二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件得到 ，，根据非负性，列出方程组进行求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，解得： ，
∴ ；
故选C．
2．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）已知 ，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，求代数式的值，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关
键．根据二次根式有意义的条件，求 的值，进而求 的值，然后代入 计算即可求解．
【详解】解：依题意得： ，
解得： ，
将 代入 ，
解得： ，
∴ ，
故答案为：
3．（23-24八年级下·全国·单元测试）（1）①若 有意义，则化简 ；
②化简： ；
（2）已知 求 ．【答案】（1）① ，② ；（2）1
【分析】本题考查二次根式的化简求值、二次根式有意义的条件，解答本题的关键是明确它们各自的计算
方法．
（1）①根据 有意义，可以得到x的取值范围，从而可以化简题目中的二次根式；
②根据题目中的式子可以 ，从而可以解答本题；
（2）根据题意目中的式子可以求得m、n的值，从而可以解答本题．
【详解】解：（1）①因为 有意义，
所以 ，得 ，
所以 ，
故答案为： ；
②因为 有意义，
所以 ，
所以 ，
故答案为： ；
（2）因为 ，
所以 ，得 ，
所以原等式为 ，
所以 ，
所以 ， ，解得 ， .
所以 ．【经典例题五 根据二次根式是整数求字母的值】
【例5】（2024八年级·全国·竞赛）已知 是整数，则满足条件的最小正整数 （ ）．
A．5 B．0 C．3 D．75
【答案】C
【分析】此题考查了无理数与有理数的联系，根据二次根式的定义进行解答，解题的关键是正确理解
什么情况下为正整数．
【详解】解：∵ ，
∴ 是一个平方数，
∴正整数 最小是 ，
故选： ．
1．（24-25八年级下·福建莆田·期中）已知n是正整数， 是整数，则n的最小值是( )
A．0 B．2 C．3 D．7
【答案】D
【分析】首先把 进行化简，然后根据 是整数确定n的最小值．
【详解】解：∵ ，且 是整数，
∴ 是个完全平方数，(完全平方数是能表示成一个整式的平方的数)
∴n的最小值是7．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了二次根式的定义，做题的关键是推导“ 是个完全平方数”．
2．（24-25八年级下·辽宁营口·阶段练习） 是一个正整数，则 的最小正整数是 ．
【答案】3【分析】根据二次根式的定义可得 ，解得 ，再根据 是一个正整数，可得 或4
或9，即可得到答案．
【详解】解：由二次根式的定义可得 ，
解得： ，
是一个正整数，
或4或9，
解得： 或8或3，
的最小正整数是3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了二次根式的定义，求得 或4或9是解题的关键．
3．（23-24八年级下·甘肃武威·期中）已知 是整数，求自然数n的值．
【答案】10，9，6，1
【分析】本题考查二次根式的性质，利用二次根式的性质、化简法则及自然数指大于等于0的整数，分析
求解．
【详解】由题意得 ，
又n为自然数，
∴ ，
∵ 是整数 ，
∴ ， ， ， ，
∴自然数n所有可能的值为10，9，6，1．
【经典例题六 利用二次根式的性质化简】
【例6】（24-25八年级上·陕西西安·期中）若二次根式 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】本题考查了二次根式的性质与化简、绝对值，解题的关键是掌握 ．
根据二次根式的性质得到 ，则有 ，根据绝对值的意义得到 ，然后解不
等式即可．
【详解】解： ，
而 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选：C．
1．（24-25八年级上·山东枣庄·期中）已知 ，化简 的结果为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次根式的性质、绝对值的性质，由题意可得 ， ，再由二次根式的性
质和绝对值的性质化简即可得解．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
故选：A．
2．（24-25八年级上·上海·假期作业）已知 ，则代数式 的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查二次根式的化简求值、分母有理化，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
根据 ，可以得到 的值，然后将所求式子变形，再将 的值整体代入计算即可．
【详解】解： ，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
3．（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）【阅读材料】小华根据学习“二次根式”及“乘法公式”积累的经
验，通过“由特殊到一般”的方法，探究“当 时， 与 的大小关系”．
下面是小华的深究过程：
①具体运算，发现规律：当 时，特例1：若 ，则 ；特例2：若 ，则
；特例3：若 ，则 ．
②观察、归纳，得出猜想：当 时， ．
③证明猜想：
当 时，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
当且仅当 时， ．
请你利用小华发现的规律解决以下问题：(1)当 时， 的最小值为 ；
(2)当 时， 的最小值为 ；
(3)当 时，求 的最小值．
【答案】(1)2
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了二次根式的性质，完全平方公式的变形，不等式的性质：
（1）直接由题中规律即可完成；
（2）当 时， ，则可由题中规律完成；
（3）原式 变形为 ，由 ，计算出 的最小值，即可求得 的最小值．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
当且仅当 时，即x=1时取得最小值2.
故答案为：2；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
当且仅当 时，即 时取得最小值 .故答案为： ；
（3）解：
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
当且仅当 时，即 时取得最小值2❑√6.
∴ ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ．
【经典例题七 已知字母的范围化简二次根式】
【例7】（24-25八年级上·上海徐汇·期中）当 时，化简 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式的性质，能够根据二次根式的被开方数中因式的特点正确化简二次根式是本
题的关键．
先利用 的取值范围判断 的正负性，根据二次根式的性质进行化简，最后根据绝对值的性质去绝对值，然后进行计算即可．
【详解】解： ．
．
．
故选：B．
1．（24-25九年级上·河南南阳·阶段练习）已知 ，则化简 的结果是（ ）
A．﹣1 B．1 C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次根式的性质和绝对值的性质，根据 判定 是解答本题
的关键．先根据 判定 ，然后再根据二次根式的性质和绝对值的性质化简，最后合
并同类项即可．
【详解】解：∵
∴
∴
．
故选：C．
2．（24-25九年级上·河南鹤壁·期中）若 ，则 ．
【答案】 /
【分析】本题考查了二次根式化简运算，熟悉掌握运算法则是解题的关键．
根据二次根式的化简运算法则运算求解即可．
【详解】解：∵ ，
又∵ ，
∴ ，∴ ，
故答案为： ．
3．（24-25八年级上·福建三明·期中）若2，5，n为三角形的三边长，化简
【答案】5
【分析】本题考查了三角形的三边关系定理和二次根式的性质，能熟记二次根式的性质是解此题的关键．
根据三角形三边关系定理求出 ，再根据二次根式的性质和绝对值意义化简即可．
【详解】解：∵2，5，n为三角形的三边长，
∴ ，即 ，
∴原式 ．
【经典例题八 数轴与二次根式的化简问题】
【例8】（24-25八年级上·北京石景山·期末）实数m，n在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简
的结果是（ ）
A．n B． C． D．
【答案】B
【分析】由数轴可知： ，则 ，化简所求代数式即可．
本题考查了二次根式的性质与化简、实数与数轴，由数轴得到 是关键．
【详解】解：由数轴可知： ，
，
故选：B
1．（24-25八年级上·湖南永州·期末）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（ ）
A． B．0 C． D．2b
【答案】A
【分析】此题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，以及二次根式的性质，根据实数a和b在数轴上的
位置得出 ， ， ，再利用二次根式的性质和绝对值的性质即可求出答案．
【详解】解：由数轴可知 ， ，
， ， ，
∴
∴
，
故选A．
2．（24-25八年级上·四川成都·期中）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简：
．
【答案】
【分析】本题考查了利用数轴判断式子的正负、二次根式的性质，由数轴可得： ， ，
从而得出 ，再由二次根式的性质化简即可得解．
【详解】解：由数轴可得： ， ，
∴ ，
∴ ，故答案为： ．
3．（24-25八年级上·辽宁铁岭·期中）已知实数 ， ， 在数轴上对应的点如图所示，化简
【答案】
【分析】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，实数与数轴，二次根式的性质化简，完全平方
公式的运用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由数轴得 ，且 ，则 ，
， ，然后化简 ，再进行加减运算，即可作答．
【详解】解：根据实数 ， ， 在数轴上对应点的位置可得： ，且 ，
∴ ， ， ，
∴原式 ．
【经典例题九 根据含隐含条件的参数范围化简二次根式】
【例9】（2023春·八年级课时练习）一次函数y=mx+n的图象如图所示，化简
❑√m2+2mn+n2−|m+1|=_______．
【答案】n−1
【分析】先根据一次函数y=mx+n经过第一、二、三象限，且交于y轴的正半轴，可得m＞0，n＜0，
再由图可知，当x=1时，一次函数的值大于0，即有当x=1时，有y=m+n＞0，据此化简即可．【详解】∵一次函数y=mx+n经过第一、二、三象限，且交于y轴的正半轴，
∴m＞0，n＜0，
由图可知，当x=1时，一次函数的值大于0，
∴将x=1代入y=mx+n中有y=m+n＞0，
即：❑√m2+2mn+n2−|m+1|
=❑√(m+n) 2−(m+1)
=m+n−m−1
=n−1，
故答案为：n−1．
【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，二次根式的化简以及绝对值的化简等知识，根据一次函数的
图象与性质得出m＞0，m+n＞0，是解答本题的关键．
1、（2023春·黑龙江绥化·八年级校考阶段练习）若化简|1−x|−❑√x2−8x+16的结果是2x−5，则x的
取值范围是___________
【答案】1≤x≤4
【分析】根据|1−x)−❑√x2−8x+16=2x−5可以得到|x−1)−|x−4)=2x−5，然后根据x的取值范围去
绝对值即可求解.
【详解】解：由题意可知：|1−x)−❑√x2−8x+16=2x−5
∴|1−x)−❑√(x−4) 2=2x−5
∴|x−1)−|x−4)=2x−5，
∴当x<1时
原式=1−x+x−4=−3不合题意；
∴当x>4时，
原式=x−1−x+4=3不合题意；
∴当1≤x≤4时，
原式=x−1+x−4=2x−5符合题意；∴x的取值范围为：1≤x≤4，
故答案为：1≤x≤4.
【点睛】本题主要考查了绝对值的性质，二次根式的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求
解.
2、（2023春·山东烟台·八年级统考期中）已知m是❑√2的小数部分，则式子❑√(m−1) 2=___________．
【答案】2−❑√2
【分析】首先确定m=❑√2−1，再将其代入❑√(m−1) 2并化简计算即可．
【详解】解：∵m是❑√2的小数部分，
∴m=❑√2−1，
∴❑√(m−1) 2=❑√ (❑√2−1−1) 2=❑√ (❑√2−2) 2=|❑√2−2)=2−❑√2．
故答案为：2−❑√2．
【点睛】本题考查了无理数的估算以及二次根式的性质，解题的关键是求出m=❑√2−1．
3、（2023春·黑龙江绥化·八年级校考阶段练习）已知ab＜0，化简❑√a2b=______
【答案】−a❑√b
【分析】根据二次根式有意义的条件得到a2b⩾0，利用a2≥0，ab<0得a<0，b>0，再根据二次根式的
性质得原式=|a|❑√b，然后去绝对值即可．
【详解】解：∵a2b⩾0，
而a2 ⩾0，ab<0，
∴a<0，b>0，
∴原式=❑√a2·❑√b
=|a|·❑√b
=−a❑√b．
故答案为：−a❑√b．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是掌握❑√a2=|a|．
【经典例题十 复合二次根式的化简】【例10】（24-25八年级下·黑龙江鹤岗·期末）把 中根号前的（m－1）移到根号内得 （
）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先判断出m-1的符号，然后解答即可．
【详解】∵被开方数 ，分母 .
∴ ，∴ .
∴原式 ．
故选D．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简： |a|．也考查了二次根式的成立的条件以及二次根式的
乘法．
1．（24-25八年级上·上海宝山·期中）下列各式中，与化简 所得结果相同的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二次根式的性质化简即可求解．
【详解】解：∵ 有意义，
∴
∴ ，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解题的关
键．
2．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）观察下列各式：，
，……．请运用以上的方法化简
．
【答案】 /
【分析】本题考查了复合二次根式的化简，完全平方公式的应用；按照题中提供的方法进行化简即可．
【详解】解：
；
故答案为： ．
3．（23-24八年级上·四川巴中·阶段练习）阅读材料．
把根式 进行化简，若能找到两个数m、n，是 且 ，则把 变成
开方，从而使得 化简．
如：
解答问题：
(1)填空： ______， ______．
(2)
【答案】(1) ；
(2)
【分析】本题考查了二次根式的性质，将被开方数化为平方的形式是解题的关键．（1）仿照例题，根据 ，即可求解；直接利用完全平方公式将原式变形进而
得出答案．
（2）根据材料提供计算步骤，对 进行化简，进行计算即可．
【详解】（1）解：∵ ，
；
，
；
（2）解：
．
【经典例题十一 二次根式的简单应用】
【例11】（23-24八年级下·重庆江津·期末）通过学习二次根式和乘法公式后，可以发现：
当 ， 时，∵ ，∴ ，
当且仅当 时取等号．请利用上述结论解决以下问题：
①当 时， 的最小值为2；②当 时， 的最小值为5；
③如图，某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成长方形的花圃．如图所示，
花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为 的花圃，所用的篱笆至少需要 ．其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次根式的计算，分别根据 ，依次将①②中的等式进行变形，即可
进行判断，对于③，先设设花圃的宽为 ，篱笆的总长为 ，得到y关于x的表达式，再进行变形，即可得
到答案．
【详解】解：①∵ ，
∴ ，
∴ ，
故①正确；
②∵ ；
∴ ；
故②正确；
设花圃的宽为 ，篱笆的总长为 ，
则 ，
故③正确；
故选：D．
1．（2024八年级下·全国·专题练习）我们知道，整式，分式，二次根式等都是代数式，代数式是用基本运
算符号连接起来的式子，而当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似 这样的形式，我们称形如这种形式的式子称为根分式，例如 都是根分式，已知两个根分式
与 ，则下列说法：
①根分式 中 的取值范围为： 且 ；
②存在实数 ，使得 ；
③存在无理数 ，使得 是一个整数；
其中正确的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查定义新概念，二次根式的性质，解分式方程等，对于①，根据二次根式和分式的性质判
断即可；对于②，将 ， 代入 ，再求出分式方程的解，判断即可；对于③，将 ， 代入再
整理，讨论得出答案．理解新定义是解题的关键，并注意分类讨论．
【详解】解：根据题意可知 且 ，
解得： ，
故结论①不正确；
∵ ， ， ，
∴ ，
解得： （不符合题意，舍去），
∴不存在实数 ，使得 ，
故结论②错误；
∵ ， ，
∴ ．
∵ 是一个整数，
∴ ，
解得： 或 ，∵ 为无理数，
故结论③不正确．
∴正确的个数为 ．
故选：A．
2．（24-25八年级上·北京昌平·期中）我们知道，整式，分式，二次根式等都是代数式，代数式是用基本
运算符号连接起来的式子，而当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似
这样的形式，我们称形如这种形式的式子称为根分式，例如 都是根分式，已知两个根分式
与 ，则下列说法：
①根分式 中 的取值范围为： ；
②存在实数 ，使得 ；
③存在实数 ，使得 是一个整数；
上述说法中正确的是 ．
【答案】 /
【分析】①本题③考③查①定义新概念，二次根式的性质，二次根式和分式有意义的条件，分式的加法运算等，对
于①，根据二次根式和分式的性质判断即可；对于②，将 ， 代入 ，再求出分式方程的解，
判断即可；对于③，将 ， 代入再整理，讨论得出答案．理解新定义是解题的关键．
【详解】解：①根据题意可知 且 ，
解得： ，故结论①正确；
②∵ ， ， ，
∴ ，
解得： （不符合题意，舍去），
∴不存在实数 ，使得 ，故结论②错误；
③∵ ， ，∴ ．
∵ 是一个整数，
∴ ，
解得： 或 ，故结论③正确．
故答案为：①③．
3．（24-25八年级上·福建福州·阶段练习）【发现问题】小明在计算时发现：对于任意两个连续的正整数，
它们的乘积与较大数的和一定为较大数的平方．
推理证明：
解：设 、 是连续的正整数，
， ，
对于任意两个连续的正整数，它们的乘积与较大数的和一定为较大数的平方．
(1)【类比猜想】小红同学提出：任意两个连续正整数的乘积与较小数的差是较小数的平方．请你推理证明；
(2)【深入思考】若 （ ， 为两个连续奇数， ， ），求证： 一定
是偶数．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查完全平方公式的应用，二次根式化简，理解题意，熟练掌握运算法则是解题关键．
（1）设 、 是连续的正整数，根据题意列式计算即可证明；
（2）由m， n为两个连续奇数， ，可得 ， ，然后代入计算即可．
【详解】（1）解：设 、 是连续的正整数，
，
；
（2）∵m， n为两个连续奇数， ，
∴ ，
，
∴∴
，
∴p一定是偶数．
1．（24-25八年级上·上海·假期作业）下列代数式 ， ， ， ， 中，二次
根式有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】C
【分析】本题主要考查二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键；
形如 的式子叫做二次根式．据此判断给出的式子有多少个二次根式．
【详解】解：形如 的式子叫做二次根式．
在 ， ， ， ， 中，
不含根号， 被开方数小于 ，不符合要求，不是二次根式，其余 个是二次根式，
所以，二次根式有 个．故选：C
2．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次根式的化简与性质，正确理解二次根式有意义的条件、算术平方根的计算等知识
点是解答问题的关键．根据算术平方根、立方根、二次根式的化简等概念分别判断．
【详解】解：A、 ，故符合题意；
B、 ，故不符合题意；
C、 ，故不符合题意；
D、 ，故不符合题意；
故选：A．
3．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）已知 ，化简二次根式 的正确结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，利用二次根式的性质进行化简．根据题意确定的取值范围是
解题的关键．
利用二次根式的性质进行化简，即可求解；
【详解】解： ，
，
；
故答案为：B
4．（24-25八年级上·山东枣庄·期中）已知 ，化简 的结果为（ ）
A．1 B． C． D．【答案】A
【分析】本题考查了二次根式的性质、绝对值的性质，由题意可得 ， ，再由二次根式的性
质和绝对值的性质化简即可得解．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
故选：A．
5．（24-25九年级上·四川内江·阶段练习）已知 ，化简 的结果为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查二次根式的化简和不等式的性质，解题关键是熟练掌握二次根式的性质．
根据题意得到 ， ，根据完全平方公式把被开方数变形，根据二次根式的性质计算即可；
【详解】解：
，
，
， ，
， ，
原式 ；
故选：A6．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）若 在实数范围内有意义，则 的取值范围是 ．
【答案】 且
【分析】本题考查二次根式和分式有意义的条件，解题的关键是正确理解二次根式和分式有意义的条件．
根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，分式有意义的条件：分母不为零，即可求出 的取值范
围．
【详解】解：∵ 在实数范围内有意义，
，
解得： 且 ．
故答案为： 且 ．
7．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）若x，y为实数，且 ，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，实数的运算，熟练掌握二次根式 是解题的关键．
根据二次根式 可得 且 ，从而可得 ， ，然后把 ， 的值代入式子中进行
计算即可得出答案．
【详解】解：由题意得：
且 ，
解得： 且 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
8．（24-25八年级上·四川达州·阶段练习）已知 ，则 值等于 ．【答案】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，绝对值性质的应用以及实数混合运算，由二次根式定义可知，
，所以 ，故方程为 ，可得 ，代入
即可求解．
【详解】解：∵ 有意义，
∴ ，
∴ ，
∴
∴ ，即
∴
∴
∴
故答案为： ．
9．（24-25八年级上·浙江温州·期末）设
，则与 最接近的整数是 ．
【答案】2025
【分析】此题是数字规律题，主要考查了二次根式的加减法，解答此类题目要探寻数列规律：认真观察、
仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法．
由 可化为 ，即可求解．
【详解】解：∵n为任意正整数，
∴．
．
∴与S最接近的数是2025．
故答案为：2025．
10．（24-25九年级上·四川内江·期中）形如 的根式叫做复合二次根式，有些复合二次根式可以
进一步化简，例如 ，复合二次根式 化简的
结果是 ．
【答案】 /
【分析】本题考查了二次根式的性质．根据题目给出的方法结合完全平方公式将 转化为 ，
进一步计算即可求解．
【详解】解：．
故答案为： ．
11．（24-25八年级上·陕西西安·期中）实数 在数轴上的位置如图所示，化简：
．
【答案】
【分析】本题考查了实数与数轴，平方根与立方根，二次根式的性质与化简等知识，由图可知 ，
，得到 ， ，然后化简求解即可，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：由图可知， ， ，
∴ ， ，
∴
．
12．（24-25八年级上·河南郑州·期中）已知 的平方根为 ， 的立方根为 ．
(1)求 ， 的值；
(2)若 ，请计算 的算术平方根．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）根据平方根及立方根得出 ， ，然后求解即可；（2）将（1）中结果代入，由二次根式有意义的条件求出 ， ，然后求算术平方根即可．
【详解】（1）解：∵ 的平方根是 ， 的立方根为 ，
∴ ， ，
∴ ， ．
（2）由（1）知 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵48的算术平方根为 ，
∴ 的算术平方根是 ．
【点睛】本题考查立方根、平方根及算术平方根的计算，二次根式有意义的条件，熟练掌握相关计算方法
是解题关键．
13．（24-25九年级上·河南驻马店·阶段练习）通过学习算术平方根，我们知道所有的非负数都可以看作一
个正数的平方，如： ， ， ， ， ，那么我们可以利用这种思想方法
和完全平方公式来计算下面的题：
例：求 的算术平方根．
解： ，
的算术平方根是 ．
请根据上面的方法化简下列式子：
(1) ；(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算以及完全平方公式，读懂题意，将整数分成两个合适的整数相加
是解题的关键．
（1）将7分成 ，利用完全平方公式即可求出结论；
（2）由（1）可得 ，整理得 ，再将12分成 ，利用完全平方公式即
可求出结论．
【详解】（1）解：
；
（2）解：．
14．（24-25八年级上·湖南怀化·期末）阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题
化简： ．
解：隐含条件 ，
解得 ，
∴ ，
∴原式
【启发应用】
（1）按照上面的解法，试化简 （结果保留 ）
【类比迁移】
（2）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：
（3）已知a，b，c为 的三边长．化简：
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【分析】本题考查了二次根式的化简、三角形的三边关系、数轴等知识，熟练掌握二次根式的性质是解题
关键．
（1）先根据二次根式的被开方数的非负性可得 ，从而可得 ，再利用二次根式的性质进行化
简即可得；
（2）先根据数轴的性质可得 ，从而可得 ，再利用二次根式的性质进行化简
即可得；
（3）先根据三角形的三边关系可得 ， ， ， ，从而可得 ，
， ， ，再利用二次根式的性质进行化简即可得．
【详解】解：（1）隐含条件 ，解得 ，
∴ ，
∴
；
（2）由数轴可知， ，
∴ ，
∴
；
（3）∵ 为 的三边长，
∴ ， ， ， ，
∴ ， ， ， ，
∴
．
15．（24-25八年级上·四川眉山·阶段练习）实数 ， ， 在数轴上的对应点如图所示，
(1)判断正负，用“ ”或“ ”填空： ________0， _______0， ________0；(2)化简 ．
【答案】(1) ， ， ；
(2)b．
【分析】本题考查了利用数轴判断式子的正负、二次根式的性质、绝对值的性质．
（1）由数轴可得： ， ，从而即可得解；
（2）由（1）可得 ， ， ， ，再根据绝对值的性质、二次根式的性质、立
方根化简即可得解．
【详解】（1）解：由数轴可得： ， ，
∴ ， ， ；
（2）解：由（1）可得 ， ， ， ，
∴ ．
