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专题 12 分式与分式方程重难点题型分类-高分必刷题（解析版）
专题简介：本份资料包含《分式与分式方程》这一章在各次月考、期末中除应用题和压轴题之外的全部
主流题型，所选题目源自各名校月考、期末试题中的典型考题，具体包含十一类题型：分式的定义、分
式有意义、分式值为0、分式的性质、整体代入法求分式值、最简分式、分式的先化简后求值、整数指数
幂计算、解分式方程、含参分式方程中参数的取值范围、分式方程的增根与无解问题。本专题资料适合
于培训机构的老师给学生作复习培训时使用或者学生月考、期末考前刷题时使用。
题型一 分式的定义
1．（2022·永州）在 ， ， ， ， 中分式的个数有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【详解】解： ， ， 的分母中含有字母，都是分式，共有3个．
故选：B．
2．（2022·岳阳）下列代数式① ，② ，③ ，④ 中，分式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【详解】解：①和④分母中含有字母，是分式；②③分母中不含有字母，不是分式，
故选：B．
3．（2022·永州）有如下式子① ；② ；③ ；④ ，其中是分式的有（ ）
A．①③ B．②③ C．③④ D．②④
【详解】解：① ，是整式，不是分式，不符合题意；② ，是分式，符合题意；
③ ，是整式，不符合题意；④ ，是分式，符合题意．所以②④是分式
故选：D．
题型二 分式有意义（分母不为0）
4．（2021·衡阳）要使分式 有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：要使分式 有意义，必须x-1≠0，解得：x≠1，故选：C．5．（2019·长沙）分式 有意义，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【详解】∵ 有意义，∴ ，解得： ，故选：D．
6．（2018·望城）如果代数式 有意义，那么 的取值范围是__________
【详解】解：由题意得，x≥0且x-1≠0，解得 且 ，
故填： 且 ．
7.（2022··衡阳）如果式子 有意义，那么 的取值范围是______．
【详解】解：根据题意得： 解得 且 ，故答案为： 且 ．
题型三 分式值为0（分子=0且分母≠0）
8．（2022·洪江）若分式 的值为零，则x的值是（ ）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．4
【详解】解：∵分式 的值为零，∴ ，且 ，解得 ．故选：A．
9.（博才）如果分式 的值为0，那么 的值为
A． B．
C． 或 D．以上答案都不对
【解答】解：由题意，知x(x-2)＝0且x-2≠0．解得x＝0．
故选：B．
10．（2022·长沙）若分式 的值为 ，则 ______．
【详解】由题意得 ， ， ， ， ，即当 时，分式的值是 ．
故答案为： ．11.（青竹湖）若分式 的值为 ， 则 的值为____________。
【解答】解：∵分式 的值是0，∴ 且x+3≠0，解得：x＝3．
题型四 分式的性质
12．（2021·株洲）下列分式的变形正确的是（ ）
A． ＝﹣ B． ＝x+y
C． D．
【详解】解：A、 ，故此选项不符合题意；
B、 是最简分式，不能再约分，故此选项不符合题；
C、 是最简分式，不能再约分，故此选项不符合题意；
D、 ，正确，故此选项符合题意；
故选：D．
13．（2021·湖南）根据分式的基本性质，分式 可变形为（ ）
A． B． C． D．
【详解】 = = ，故选：C．
14．（2020·邵阳）如果把分式 中的 和 都扩大了3倍，那么分式的值（ ）
A．扩大3倍 B．不变 C．缩小3倍 D．缩小6倍
【详解】 ，故分式的值缩小3倍．故选C．
题型五 整体代入法求分式值15.（长郡郡维）若 ，则 __________.
【解答】解： ．
16.（青竹湖）已知 ，则 __________.
【解答】解：∵ ，∴ ．
17.（长郡芙蓉）已知 ，则分式 的值等于 ．
【解答】解：∵ ﹣ ＝2，∴x﹣y＝﹣2xy，∴原式＝ ＝ ＝
＝1．故答案为：1．
18.(中雅)已知 ， ，求：
(2)
(1)
【解答】解：（1）∵a+b＝2，ab＝﹣3，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝4+6＝10，∴（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
＝10+6＝16；
（2） ＝ ＝ ＝﹣ ．
19.(一中)阅读下面的解题过程：已知： ，求 的值.
解：由 ，知 ，所以 ，即 .
所以 ，故 .
该题的解法叫做“倒数法”，请类似利用“倒数法”解决下面的题目：
(1)已知 ，求 的值.
(2)已知 ， ， ，求 的值.【解答】解：（1）由 ＝ ，得到 ＝x+ ﹣1＝7，即x+ ＝8，
则原式＝ ＝ ＝ ＝ ；
（2）根据题意得： ＝ + ＝ ， ＝ + ＝ ， ＝ + ＝ ，可得 + + ＝1，
则原式＝ ＝1．
题型六 最简分式
20．（2022·衡阳）下列分式中，属于最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：A. ，故不符合题意；B. ，故不符合题意；
C. 是最简分式，故符合题意；D. ，故不符合题意；故选：C．
21．（2022·湘潭）下列分式为最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
【详解】A. ，不是最简分式，故不符合题意；
B. 不能再化简，是最简分式，符合题意；
C. ，不是最简分式，故不符合题意；
D. ，不是最简分式，故不符合题意；
故选：B．
22．（2018·怀化）下列式子中，是最简分式的是（ ）A． B． C． D．
【详解】A、分子、分母不含有公因式，所以不能够约分，是最简分式；
B、分子、分母含有公因式a，能够约分，不是最简分式；
C、分子、分母含有公因式a+b，能够约分，不是最简分式；
D、分子、分母含有公因式a，能够约分，不是最简分式；
故选：A．
题型七 分式的先化简后求值（不能把让原方程分母为0的值代进去！）
23．（2022·湖南永州）先化简再求值：若 ，求 的值．
【详解】解：原式＝ ＝2a－2b；
∵ ，∴ ， ，∴a＝2 ，b＝3
∴原式＝2a－2b＝4－6＝－2．
24．（2022·湖南湘西）先化简，再求值： ，其中a＝3．
【详解】解：
，当a＝3时，原式＝3+4＝7．
25．（2022·永州）先化简，再求值： ，其中x是 这四个数中合适的数．
【详解】解：
，∵分母不能为0，∴ 且 ，∴ ．将 代入，原式 ．
∴原式= ，当 时，原式 ．
26．（2022·湖南永州）先化简，再求值： ，其中 的正整数选一个合适的x的值代入求值．
【详解】解：原式 ，
因为 的正整数，满足条件的 ，代入，原式 ．
27．（2022·涟源）先化简，再求值： ，然后从 ， ， 中选一个合适的代入求
值．
【详解】解：原式= = = ．
∵x≠±1， ．当 时，
原式 ．
28.(一中)先化简 ，然后将 、 、 、 、 中，所有你认为合适的数作为 的
值，代入求值.
【解答】解：（1） ＝ ＝
＝ ＝ ，∵a2﹣1≠0，a≠0，∴a≠±1，0，当a＝2时，原式＝ ；
当a＝ 时，原式＝ ＝﹣1．
29.(中雅)化简： ，然后在不等式 的非负整数解中选择一个适当的数代入求值.
【解答】解：原式＝（ ﹣ ） ＝ • ＝ ，
∵x≠±1且x≠0，∴在不等式x≤2的非负整数解中取x＝2，
则原式＝ ＝ ．题型八 整数指数幂计算
30．（2022·永州）计算 ．
【详解】解：原式＝－1－1＋3＋4－3 ＝3＋4－1－1－3＝2．
31．（2022·衡阳）计算： ．
【详解】解：原式 ．
32．（2022·长沙）计算：
【详解】解：（﹣1）2021+（π﹣3.14）0﹣（ ）﹣1﹣|1﹣ |＝-1+1﹣3﹣ +1＝﹣2﹣ ．
题型九 解分式方程
33．（2022·长沙）解方程： ．
【详解】解： ，方程两边都乘 ，得 ，解得： ，
检验：当 时， ，所以 是增根，即原分式方程无解．
34．（2018·邵阳）解方程： =1．
【详解】解：方程两边同乘 得: ，整理，得 ，
解这个方程得 ， ，经检验， 是增根，舍去，所以，原方程的根是 ．
35．（2022·永州）解分式方程： ．
【详解】解： 即 去分母得：
解得：
检验：把 代入 中得 所以 是原方程的根.
36．（2018·澧县）解分式方程：（1） ； （2） ．
【详解】解：(1)方程两边同乘(x＋3)(x－3)，得(x－2)(x－3)－3(x＋3)＝(x＋3)(x－3)，整理得－8x＝－6，解
得x＝ ．经检验，x＝ 是原方程的根．
(2)原方程可化为 － ＝ ，方程两边同时乘x(x－2)，得2(x＋1)(x－2)－x(x＋2)＝x2－
2，
整理得－4x＝2，解得x＝－ ．经检验，x＝－ 是原方程的解．
题型十 含参分式方程中参数的取值范围
37（2018·武冈）已知关于x的方式方程 的解是非负数，那么a的取值范围是（ ）
A．a＞1 B．a≥1且a≠3 C．a≥1且a≠9 D．a≤1
【详解】解：3（3x﹣a）=x﹣3，9x﹣3a=x﹣3，8x=3a﹣3，
∴x= ．由于该分式方程有解，令x= 代入x﹣3≠0，∴a≠9．
∵该方程的解是非负数解，
∴ ≥0，∴a≥1，∴a的范围为：a≥1且a≠9．故选：C．
38.（中雅）已知关于x的分式方程 的解是非负数，则m的取值范围是( )
A．m≤﹣2 B．m≥2 C．m≥2且m≠3 D．m≤﹣2且m≠﹣3
【解答】解：分式方程去分母得：m+3＝1﹣x，解得：x＝﹣m﹣2，
由方程的解为非负数，得到﹣m﹣2≥0，且﹣m﹣2≠1，解得：m≤﹣2且m≠﹣3．
故选：D．
39.（雅礼）若分式方程 的解是负数，则a的取值范围是____________.
【解答】解：去分母得：a﹣x﹣2＝x，解得：x＝ ，∵分式方程 ﹣1＝ 的解是负数，
∴a﹣2＜0，解得：a＜2，当x＝ ＝﹣2时，a＝﹣2，此时分式方程无解，故a＜2且a≠﹣2．
40.（一中）若关于 的方程 的解为非负数，则 的取值范围是__________.
【解答】解：方程 ﹣1＝ ，（x+k）（x﹣1）﹣（x+1）（x﹣1）＝k（x+1）
x2﹣x+kx﹣k﹣x2+1＝kx+k，x＝﹣2k+1，∵x≥0且x≠1，∴﹣2k+1≥0且﹣2k+1≠1
解得k≤ 且k≠0．
故答案为k≤ 且k≠0．
题型十一 分式方程的增根与无解问题
41．（2022·邵阳）若关于 的分式方程 有增根，那么 的值是______．
【详解】解： ， ，
， ，∵分式方程有增根，
∴ ，∴ 或 ，
当 时， ，
当 时， ，
综上，m的值为2或 ．
42.（雅礼）若关于 的分式方程 有增根，则 的值为 。
【解答】解：方程两边同时乘以x﹣2，得x+m﹣3m＝2（x﹣2），解得：x＝4﹣2m，
∵分式方程有增根，∴x＝2，∴4﹣2m＝2，∴m＝1，
故答案为1．
43.（青竹湖）若关于 的方程 无解，则 __________。
【解答】解：分式方程化简，得3（x﹣1）+6x＝m（x+1）整理，得（9﹣m）x＝3+m
当x＝0时，m＝﹣3；当x＝1时，m＝3；当9﹣m＝0时，m＝9．
故答案为：3或﹣3或9．44．（2021·师大附中）已知关于x的方程
（1）已知 ，求方程的解；
（2）若该方程无解，试求m的值；
【详解】解：（1）把m=4代入原方程得 ，
方程两边同时乘以 ，去分母并整理得 ，解得
经检验， 是原方程的解；
（2）解：方程两边同时乘以 ，去分母并整理得 ，
∵原分式方程有无解，∴ 或 ，当 时，得 ；
当 时，解得： 或 ， 当 时，得 ；
当 时，得 ； 所以m的值可能为1、 或6．
45. （长郡）若关于 的方程 无解，求 的值；
【解答】解：去分母，得：x+3+k（x﹣3）＝3+k，即（1+k）x＝4k，∴k＝﹣1时，方程无解，
∵分式方程无解，即x2﹣9＝0，解得：x＝3或x＝﹣3，当x＝3时，3+3+0＝3+k，解得：k＝3；
当x＝﹣3时，﹣3+3﹣6k＝3+k，解得：k＝﹣ ．
故答案为：3或﹣ 或﹣1．
