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第 02 讲 反比例函数的图象与性质
课程标准 学习目标
1. 掌握反比例函数的图象与性质，并能够对图象和性质进行熟
①反比例函数的图象与性质 练的应用其解决相关题目。
②反比例函数k的几何意义 2. 掌握反比例函数k的几何意义，并能够在题目中熟练应用其
解决相关题目。
知识点01 反比例函数的图象与性质
1. 画反比例函数的图象的一般步骤：
反比例函数的图象画法与一次函数二次函数类似，分三个步骤进行：
① ：自变量的取值应以O为中心，向两边取三队或以上的互为相反数的值，并计算出相
应的函数值，在用表格形式表示出来。
② ：在直角坐标系中描出表格中作为点的坐标的坐标点。
③ ：在各象限内，用平滑的曲线顺次连接各点并向两边延伸。
2. 反比例函数的性质（1）若 k＞0 时，则反比例函数的图象位于第 象限，此时反比例函数在每一支上y随x的
增大而 。
（2）若 k＜0 时，则反比例函数的图象位于第 象限，此时反比例函数在每一支上y随x的
增大而 。
3. 反比例函数的对称性：
反比例函数即是中心对称图形，也是轴对称图形。
①中心对称：反比例函数是中心对称图形。对称中心为 ，反比例函数与正比例函数的两个
交点一定关于 对称。
②轴对称图形：反比例函数是轴对称图形，若反比例函数的
k＞0
，则函数的对称轴是 象限
的角平分线；若反比例函数的
k＜0
，则对称轴是 象限的角平分线。
【即学即练1】
1．在同一坐标平面内，分别画出y＝ 与y＝﹣ 的图象．
【即学即练2】
2．对于反比例函数 ，下列说法错误的是（ ）
A．图象经过点（1，﹣3）
B．图象位于第二、第四象限
C．当x＜0时，y随x的增大而减小
D．当x＞0时，y随x的增大而增大
【即学即练3】
3．正比例函数y＝2x和反比例函数 的一个交点为（1，2），则另一个交点为（ ）
A．（﹣1，﹣2） B．（﹣2，﹣1） C．（1，2） D．（2，1）
【即学即练4】
4．已知三个点（﹣2，y ），（1，y ），（2，y ）在反比例函数 的图象上，下列结论正确
1 2 3
的是（ ）
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
1 2 3 2 1 3 2 3 1 3 2 1【即学即练5】
5．已知关于x的函数y＝k（x+1）和y＝﹣ （k≠0），它们在同一坐标系中的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【即学即练6】
6．如图，一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝ （k＞0）的图象交于点A（1，
2），B（m，﹣1）．则关于x的不等式ax+b＞ 的解集是（ ）
A．x＜﹣2或0＜x＜1 B．x＜﹣1或0＜x＜2
C．﹣2＜x＜0或x＞1 D．﹣1＜x＜0或x＞2
知识点02 反比例函数k的几何意义
1. k的几何意义：
图① 图②
①如图①，在反比例函数图象上任找一点作其中一条坐标轴的垂线，在连接这一点与原点，这样得到
的三角形的面积等于 。
推广：在反比例函数图象上任找一点作其中一条坐标轴的垂线段，另一坐标轴上任找一点连接反比例
函数图象上的点与垂足点得到的三角形的面积都是 。
②如图②，在反比例函数图象上任找一点，分别做坐标轴的垂线，与坐标轴构成矩形，这个矩形的面
积为 。
【即学即练1】
7．若图中的双曲线解析式均为 ，则阴影面积为12的是（ ）A． B．
C． D．
【即学即练2】
8．如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数 （k为常数，k＞0，x＞0）的图象上，过点A作x
轴的垂线，垂足为B，连接OA．若△OAB的面积为 ，则k的值（ ）
A． B． C． D．
题型01 反比例函数性质的熟悉
【典例1】对于反比例函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．图象经过点（2，﹣3）
B．图象位于第一、三象限
C．y随x的增大而增大
D．当0＜x＜1时，y＜﹣5
【变式1】对于反比例函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．当x＞0时，y随x的增大而减小
B．图象分布在第二、四象限C．图象经过点（1，﹣2）
D．若点A（x ，y ），B（x ，y ）都在图象上，且x ＜x ，则y ＜y
1 1 2 2 1 2 1 2
【变式2】关于反比例函数 的说法正确的是（ ）
A．k＝5
B．y随x的增大而减小
C．其图象关于y轴对称
D．若点（a，b）在其图象上，则
【变式3】已知反比例函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A．函数图象分布在第二、四象限
B．y随x的增大而减小
C．如果两点（﹣1，y ），（2，y ）都在图象上，则y ＞y
1 2 1 2
D．图象关于原点中心对称
题型02 根据反比例函数的性质求k
【典例1】已知反比例函数 的图象位于第一、三象限，则k的取值范围是 ．
【变式1】若反比例函数y＝（2m﹣1） 的图象在第二，四象限，则m的值是（ ）
A．﹣1或1 B．小于 的任意实数
C．﹣1 D．不能确定
【变式2】反比例函数 的图象，当x＞0时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是（ ）
A．k＞3 B．k≤3 C．k＜3 D．k≥3
【变式3】已知反比例函数y＝（m﹣1）xm2﹣2，当x＞0时，y随x的增大而增大，则m的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．2
题型03 利用反比例函数的k求面积
【典例1】如图，反比例函数y＝﹣ 的图象与直线y＝kx（k＜0）的交点为A，B，过点A作y轴的平行线
与过点B作x轴的平行线相交于点C，则△ABC的面积为（ ）A．8 B．6 C．4 D．2
【变式1】如图，在平面直角坐标系xOy中，第一象限内的点P（x，y）与点A（2，2）在同一个反比例函
数的图象上，PC⊥y轴于点C，PD⊥x轴于点D，那么矩形ODPC的面积等于 ．
【变式2】如图，两个反比例函数y＝ 和y＝ 在第一象限内的图象分别是C 和C ，设点P在C 上，
1 2 1
PA⊥x轴于点A，交C 于点B，则△POB的面积为（ ）
2
A．1 B．2 C．4 D．无法计算
【变式3】如图，已知双曲线 经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交
于点C．若点A的坐标为（﹣6，4），则△AOC的面积为 ．
【变式4】下列图形中，阴影部分面积最大的是（ ）A． B．
C． D．
题型04 利用面积求反比例函数的k
【典例1】如图，反比例函数在第一象限，△OAB的面积是1.5，则反比例函数 中，k是（ ）
A．1.5 B．﹣1.5 C．3 D．﹣3
【变式1】如图，点A是反比例函数y＝ （x＜0）的图象上的一点，过点A作平行四边形ABCD，使点
B、C在x轴上，点D在y轴上．已知平行四边形ABCD的面积为6，则k的值为（ ）
A．6 B．﹣6 C．3 D．﹣3
【变式2】如图，菱形OABC的一边OA在x轴的负半轴上，O是坐标原点，tan∠AOC＝ ，反比例函数y＝ 的图象经过点C，与AB交于点D，若△COD的面积为30，则k的值等于（ ）
A．﹣48 B．48 C．﹣36 D．﹣18
【变式3】如图，在以O为原点的直角坐标系中，矩形 OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴的正半轴
上，反比例函数y＝ （x＞0）与AB相交于点D，与BC相交于点E，若BD＝3AD，且△ODE的面积
是9，则k＝（ ）
A． B． C． D．12
题型05 比较反比例函数值的大小
【典例1】若点A（﹣4，a），B（1，b），C（2，c）都在反比例 的图象上，则a，b，c大小关系正
确的是（ ）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．c＜b＜a
【变式1】已知点A（﹣2，y ），B（﹣1，y ），C（3，y ）在反比例函数y＝ （k＜0）的图象上，则
1 2 3
y ，y ，y 的大小关系是（ ）
1 2 3
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
1 2 3 2 1 3 3 1 2 3 2 1
【变式2】已知点（x ，y ），（x ，y ）都在反比例函数 的图象上，且x ＜x ＜0，则有（ ）
1 1 2 2 2 1
A．y ＜y ＜0 B．y ＜y ＜0 C．0＜y ＜y D．0＜y ＜y
2 1 1 2 2 1 1 2
【变式3】在反比例函数 的图象上有两点A（x ，y ），B（x ，y ），当x ＜0＜x 时，有y ＞
1 1 2 2 1 2 1
y ，则a的取值范围是（ ）
2
A．a＜2 B．a＞2 C．a＜0 D．a＞0
【变式4】若点A（x ，﹣2）、B（x ，1）、C（x ，4）都在反比例函数 的图象上，则x 、x 、
1 2 3 1 2x 的大小关系是（ ）
3
A．x ＜x ＜x B．x ＜x ＜x C．x ＜x ＜x D．x ＜x ＜x
1 2 3 2 3 1 1 3 2 2 1 3
题型06 函数图象的共存问题
【典例1】在同一平面直角坐标系中，若ab＜0，则函数y＝ax+b与 的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx﹣k与y＝ （k≠0）的图象大致（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b和反比例函数y＝ 在同一平面直
角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．C． D．
【变式3】描点法是画未知函数图象的常用方法．请判断函数 的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
题型07 反比例函数与一次函数的交点问题
【典例1】如图，函数y ＝x﹣1和函数 的图象相交于点M（m，1），N（n，﹣2），若y ＜y ，则x
1 1 2
的取值范围是（ ）
A．﹣1＜x＜2 B．x＜﹣1或0＜x＜2
C．﹣1＜x＜0或0＜x＜2 D．﹣1＜x＜0或x＞2
【典例1】 【变式1】
【变式1】如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）图象与反比例函数 图象交于点A（﹣1，2），B
（2，﹣1），则不等式 的解集是（ ）
A．x≤﹣1或x≥2 B．﹣1≤x＜0或0＜x≤2
C．x≤﹣1或0＜x≤2 D．﹣1≤x＜0或x≥2【变式2】已知正比例函数y ＝﹣2x与反比例函数 ．对于实数m，当x＝m时，y ＞y ；当x＝m+1
1 1 2
时，y ＜y ，则m的取值范围为（ ）
1 2
A．m＜﹣2或0＜m＜2 B．﹣2＜m＜2
C．﹣3＜m＜﹣2或1＜m＜2 D．﹣2＜m＜0或m＞2
【变式3】如图，一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数 的图象交于点A（﹣3，
a），B（1，3），且一次函数与x轴，y轴分别交于点C，D．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）在反比例函数图象上有一点P，使得S△OCP ＝4S△OBD ，求点P的坐标．1．对于反比例函数 ，下列结论不正确的是（ ）
A．图象必经过点（﹣2，5） B．y随x的增大而增大
C．图象在第二、四象限内 D．图象关于坐标原点中心对称
2．已知反比例函数y＝（k﹣1）x|k|﹣5的图象在第一、三象限内，则k的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．±4
3．反比例函数y＝ 的图象经过点A（﹣1，2），则当x＞1时，函数值y的取值范围是（ ）
A．y＞﹣1 B．﹣1＜y＜0 C．y＜﹣2 D．﹣2＜y＜0
4．直线y＝ax（a＞0）与双曲线 交于A（x ，y ）、B（x ，y ）两点，则代数式4x y ﹣3x y 的值是（
1 1 2 2 1 2 2 1
）
A．﹣3a B． C．﹣3 D．
5．如图，A，B是函数y＝ 的图象上关于原点O对称的任意两点，AC平行于y轴，交x轴于点C，BD平
行于y轴，交x轴于点D，设四边形ADBC面积为S，则（ ）
A．S＝1 B．1＜S＜2 C．S＝2 D．S＞2
第5题 第8题
6．若点（﹣2，y ）、（﹣1，y ）、（1，y ）都在反比例函数 （k＜0）的图象上，则有（ ）
1 2 3
A．y ＞y ＞y B．y ＞y ＞y C．y ＞y ＞y D．y ＞y ＞y
1 2 3 3 1 2 2 1 3 1 3 2
7．若函数 与y＝﹣2x﹣4的图象的交点坐标为（a，b），则 的值是（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．1 D．2
8．如图，点P（﹣2a，a）是反比例函数y＝ 的图象与 O的一个交点，图中阴影部分的面积为10 ，则
该反比例函数的表达式为（ ）
⊙ π
A．y＝﹣ B．y＝﹣ C．y＝﹣ D．y＝﹣
9．在平面直角坐标系中直线y＝x+2与反比例函数y＝﹣ 的图象有唯一公共点，若直线y＝x+m与反比例函数y＝﹣ 的图象有2个公共点，则m的取值范围是（ ）
A．m＞2 B．﹣2＜m＜2 C．m＜﹣2 D．m＞2或m＜﹣2
第9题 第10题
10．如图，直线y＝kx（k＞0）与双曲线y＝ 交于A，B两点，BC⊥x轴于C，连接AC交y轴于D，下列
结论：①A、B关于原点对称；②△ABC的面积为定值；③D是AC的中点；④S△AOD ＝ ．其中正
确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．当x＞0时，反比例函数y＝mx2m2+3m﹣6随x的减小而增大，则m的值为 ，图象在第 象
限．
12．设函数y＝x﹣2与 的图象的交点坐标为（m，n），则 的值为 ．
13．如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝ax+b（a≠0）与双曲线y ＝ （k≠0）交于点A（﹣1，m），
1 2
B（2，﹣1）．则满足y ≤y 的x的取值范围 ．
1 2
14．反比例函数 的图象经过点（﹣2，a），（﹣1，b），（3，c），则a，b，c的大小关系
为 ．
15．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例
函数y＝ （x＞0）与AB相交于点D，与BC相交于点E，若BE＝4EC，且△ODE的面积是12，则k的值为 ．
16．如图，一次函数y＝ x﹣2的图象与反比例函数 的图象交于点B，与x轴交于点A，且
点B的横坐标为6．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若点C（m，2）在反比例函数 的图象上，连接AC，BC，
求△ABC的面积．
17．如图是函数y＝ 与函数y＝ 在第一象限内的图象，点p是y＝ 的图象上一动点，PA⊥x轴于点A，
交y＝ 的图象于点C，PB⊥y轴于点B，交y＝ 的图象于点D．
（1）求证：D是BP的中点；
（2）求出四边形ODPC的面积．
18．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B在反比例函数y＝
（x＞0）x的图象上（点B的横坐标大于点A的横坐标），点 A的坐标为（2，4），过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BC⊥x轴于点C，连接OA，AB．
（1）求反比例函数y＝ 的表达式；
（2）若点D是OC的中点，求四边形OABC的面积．
19．如图，一次函数y＝x+m的图象与反比例函数y＝ 的图象交于A，B两点，且与x轴交于点C，点A
的坐标为（2，1）．
（1）求m及k的值；
（2）连接OA，OB，求△AOB的面积；
（3）结合图象直接写出不等式组0＜x+m≤ 的解集．
20．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB：y＝x+m与反比例函数 的图象交于A、B两点，与x
轴相交于点C，已知点A，B的坐标分别为（3，1）和（﹣1，n）．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）请直接写出不等式 的解集；
（3）点P为反比例函数y＝ 图象上的任意一点，若 S△POC ＝
3S△AOC ，求点P的坐标．
