文档内容
专题21 分式化简求值与分式方程增根无解问题（8大题型）
【题型目录】
题型一 简单的分式化简求值问题
题型二 复杂的分式化简求值问题
题型三 分式化简求值的新定义问题
题型四 分式化简求值的最值问题
题型五 分式化简求值的整数解问题
题型六 分式方程的增根问题
题型七 分式方程的无解问题
题型八 根据分式方程解的情况求值
【经典例题一 简单的分式化简求值问题】
1．（2023上·山东威海·八年级统考期中）先化简： ，再从 中任选一个数，
求式子的值．
2．（2023上·福建泉州·九年级校联考期中）先化简，再求值： 其中
3．（2023上·山东泰安·八年级统考期中）先化简，再求值： ，其中 ， ．4．（2023上·重庆沙坪坝·九年级统考期中）先化简，再求值 ，其中m满足方程
．
5．（2023上·湖南岳阳·八年级岳阳市弘毅新华中学校考期中）先化简，再求值： ，
然后从1，2，3，中选择一个合适的数代入求值．
6．（2023上·北京房山·八年级统考期中）先化简，再求值： ，其中a的
值从不等式组 的解集中选取一个合适的整数．
【经典例题二 复杂的分式化简求值问题】
7．（2023上·山东泰安·八年级统考期中）阅读下面的解题过程：
已知： ，求 的值．
解：由 知 ，所以 ，即 ．
所以 ．
故 的值为 ．(1)上题得解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的题目： ，求 的
值．
(2)已知 ， ， ，求 的值．
8．（2023上·湖南邵阳·八年级统考期中）诊断与纠错：先化简分式 ，再代入一个合适
的数求值．
请观察以下解答过程，指出其中的错误．并写出正确的解答过程．
解：原式 ①
②
③
④
⑤
取 ，原式 ⑥
错误的是 步．请更正：9．（2022·湖北省直辖县级单位·统考模拟预测）已知 ， ， ，将它们组合成
或 的形式，请你从中任选一种进行计算，先化简，再求值其中 ．
10．（2023上·河北邢台·八年级统考阶段练习）设
(1)化简A；
(2)如图，若m为正整数．则A对应的点落在数轴上的______段上（填写序号即可）；
(3)若A是整数，求整数m的值．
11．（2022下·广东珠海·八年级珠海市紫荆中学桃园校区校考期中）已知：
(1)求代数式 的值
(2)求代数式 的值
12．（2022上·全国·八年级专题练习）阅读理解：
例题：已知实数 满足 ，求分式 的值．
解： ．
的倒数
(1)已知实数 满足 ，求分式 的值．(2)已知实数 满足 ，求分式 的值．
【经典例题三 分式化简求值的新定义问题】
13．（2023上·湖南岳阳·八年级校考阶段练习）定义：若一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分
式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．例如： ，则 是
“和谐分式”．
(1)将“和谐分式” 化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式；
(2)应用：化简 ，并求x取什么整数时，该分式的值为整数．
14．（2023上·山西大同·八年级大同一中校考期末）【阅读材料】
定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．
如： ， ，则 和
都是“和谐分式”．
(1)下列式子中，属于“和谐分式”的是______（填序号）；
① ；② ；③ ；④
(2)将“和谐分式” 化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式．15．（2023下·江苏泰州·八年级校考阶段练习）对 ， 定义一种新运算 ，规定： （其
中 、 均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如： ．
(1)已知 ， ．
①求 ， 的值；
②若 ，求 的值；
(2)若 对任意有理数 ， 都成立（这里 和 均有意义），则 ， 应满足
怎样的关系式？
16．（2023上·江苏南通·八年级统考期末）定义：若分式 与分式 的和等于它们的积，即 ，
则称分式 与分式 互为“关联分式”．如 与 ，因为 所
以 与 互为“关联分式”，其中一个分式是另外一个分式的“关联分式”．
(1)分式 ___________分式 的“关联分式”（填“是”或“不是”）；
(2)求分式 的“关联分式”；
(3)若分式 是分式 的“关联分式”， ，求分式 的值．
17．（2022上·北京·八年级北京四中校考阶段练习）定义：若两个分式的差为2，则称这两个分式属于
“友好分式组”．(1)下列三组分式：① 与 ；② 与 ；③ 与 ；其中属于“友好分式组”的有
___________（只填序号）；
(2)若 均为非零实数，且分式 与 属于“友好分式组”求分式 的值．
18．（2022下·江苏宿迁·八年级统考期末）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分
数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如： ．我们定义：在分式中，对于只
含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小
于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如 ， 这样的分式就是假分式；再如： ， 这
样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．如：
；
解决下列问题：
(1)分式 是________分式（填“真”或“假”）；
(2) 将假分式化为带分式；
(3)如果 为整数，分式 的值为整数，求所有符合条件的 的值．
【经典例题四 分式化简求值的最值问题】
19．（2022下·江苏泰州·八年级统考期中）【探究思考】
（1）探究一：观察分式 的变形过程和结果， ．填空：若x为小于10的正整数，则当 _______时，分式 的值最大．
（2）探究二：观察分式 的变形过程和结果，
．
模仿以上分式的变形过程和结果求出分式 的变形结果．
【问题解决】（3）当 时，求分式 的最小值．
20．（2023上·山东烟台·八年级统考期中）请阅读下面材料，然后解决问题：在分式中，对于只含有一个
字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如： ， ；当分
子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如： ， ．我们知道，假分数可以化为
带分数，例如： ．类似的，假分式也可以化为“带分式”（整式与真分式和的形式），
例如： ．
(1)将分式 化为带分式；
(2)在（ ）问中，当 取哪些数值时，分式 的值也是整数；
(3)当 的值变化时，分式 的最大值为 ．21．（2023上·湖南永州·八年级统考阶段练习）阅读下面材料并解答问题
材料：定义：如果将一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式和的形式，则称这个分式为“和谐
分式”．如：将分式 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
解：由分母为 ，可设 ，
则
∵对任意 上述等式均成立， ∴ 且 ，∴ ，
∴
这样，分式 被拆分成了一个整式 与一个分式 的和．
求：
(1)如果分式 的值为整数，求 的整数值．
(2)当 时，求出 的最小值．
22．（2023上·福建福州·八年级福建省福州屏东中学校考期中）阅读下面材料
一个含有多个字母的式子中，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，这样的式子就叫做对称式，
例如： ；含有两个字母a，b的对称式的基本对称式是 和 ，像
等对称式都可以用 ， 表示，例如 ，请根据以上材料解决
下列问题：
(1)式子① ，② ，③ ，④ 中，属于对称式的是 （填序号）；
(2)已知①若 ，求对称式 的值；
②若 ，求对称式 的最小值，写出求解过程；
③若 ，直接写出对称式 的最大值 ．
23．（2022上·湖南株洲·八年级校考阶段练习）阅读下面材料并解答问题
材料：将分式 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
解：由分母为 ，可设 ，
则
∵对任意 上述等式均成立，
∴ 且 ，∴ ，
∴
这样，分式 被拆分成了一个整式 与一个分式 的和
解答：（1）将分式 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式
（2）求出 的最小值．
24．（2022上·山东烟台·八年级统考期中）（1）先化简，再求值： 的值，其中 ．
（2）先化简，再求值： ，从 中选出合适的最小整数值代入求值．
【经典例题五 分式化简求值的整数解问题】25．（2023上·八年级课时练习）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形
式，则称这个分式为“和谐分式”．如： ，则 是“和谐分式”．
(1)下列式子中，属于“和谐分式”的是__________（填序号）；
① ；② ；③ ；④ ．
(2)将“和谐分式” 化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：
__________（不用写出变形过程）；
(3)应用：先化简 ，并求x取什么整数时，该式的值为整数．
26．（2023下·江苏徐州·八年级统考期中）【阅读】在处理分式问题时，由于分子的次数不低于分母的次
数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将分式拆分成一个整式与一个分式的和（差）的形式，
通过对简单式子的分析来解决问题，我们称之为分离整式法．
例：将分式 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
解：设 ，则 ．
原式
∴ ．
这样，分式 就拆分成一个整式 与一个分式 的和的形式．
【应用】
(1)使用分离整式法将分式 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式，则结果为______；
(2)将分式 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式，则结果为______；
【拓展】
(3)已知分式 的值为整数，求正整数x的值．27．（2023下·江苏扬州·八年级校联考期中）我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子
的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为
“真分式”．如 这样的分式就是假分式；再如： 这样的分式就是真分式类似的，假
分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．如： ；再如：
．
解决下列问题：
(1)下列分式中属于“真分式”的有________；（填序号）
① ；② ；③ ；④
(2)将假分式 化为带分式的形式；
(3)如果 的值为整数，求x的整数值．
28．（2022上·湖南长沙·八年级校考期末）定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，如果分子的次
数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式 ， 是真分式．如果分子的次数高于
或等于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式 ， 是假分式．一个假分式可以化为一个
整式与一个真分式的和．例如 ．
(1)判断：分式 是________，分式 是________；（填“真分式”或“假分式”）(2)将假分式 化为一个整式与一个真分式的和；
(3)若x是整数，且分式 的值为整数，求x的值．
29．（2022下·四川内江·八年级校考阶段练习）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的
分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如 ，
= ，则 和 都是“和谐分式”．
(1)下列分式中，属于“和谐分式”的是 ___________．（填序号）
① ；② ；③ ；④
(2)将“和谐分式” 化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：
=___________+ ．
(3)应用：先化简 ，并求x取什么整数时，该式的值为整数．
30．（2022上·贵州铜仁·八年级统考期中）定义：如果一个分式能化成一个非零整式与一个分子为非零常
数的分式的和的形式，那么称这个分式为“和谐分式”．例如： ，
，则 和 都是“和谐分式”．(1)下列分式：① ，② ，③ ，其中属于“和谐分式”的是__________（填序号）；
(2)分式 是否为“和谐分式”，请说明理由；
(3)当整数 取多少时， 的值为整数？
【经典例题六 分式方程的增根问题】
31．（2023下·河南驻马店·八年级校考阶段练习）若关于x的分式方程 有增根，求m
的值．
32．（2023上·陕西西安·九年级西安市曲江第一中学校考开学考试）关于 的分式方程 ．
(1)若此方程有增根，求 的值
(2)若此方程解为正数，求 的取值范围．
33．（2023下·江西吉安·八年级统考期末）关于x的方程 有增根，则增根是多少？并
求方程产生增根时m的值．
34．（2022上·八年级单元测试）若关于x的方程 有增根，求k的值．35．（2022上·山东聊城·八年级校考期末）关于x的分式方程 ．
(1)若方程的增根为 ，求m的值；
(2)若方程有增根，求m的值．
36．（2022上·山东菏泽·八年级统考期中）若关于 的方程 有增根，求增根和 的值．
【经典例题七 分式方程的无解问题】
37．（2023上·湖南永州·八年级统考阶段练习）已知关于x的方程 ，若该方程无
解，试求m的值．
38．（2023下·江苏连云港·八年级统考期末）已知关于x的分式方程 ．
(1)若分式方程有增根，求a的值；
(2)若分式方程无解，求a的值．
39．（2023上·山东泰安·八年级校考阶段练习）解方程：(1)解方程： ；
(2)解方程： ；
(3)关于x的分式方程 ．
①若方程的增根为 ，求m的值；
②若方程有增根，求m的值；
③若方程无解，求m的值．
40．（2023下·安徽滁州·七年级校考期中）已知，关于 的分式方程 ．
(1)当 ， 时，求分式方程的解；
(2)当 时，求 为何值时，分式方程 无解；
(3)若 ， 为正整数，分式方程 的解为整数时，求 的值．
41．（2021上·江苏南通·八年级南通市新桥中学校考阶段练习）对于平面直角坐标系 中的点 ，
若点P′的坐标为(a+ ，ka+b)(其中 为常数，且 )，则称点P′为点 的“ 之雅礼点”．例如：
的“ 之雅礼点”为P′（ ， ），即P′（3，6）．
(1)①点 的“ 之雅礼点”P′的坐标为_______．
②若点 的“ 之雅礼点”P′的坐标为 ，请写出一个符合条件的点 的坐标______．
(2)若点 在 轴的正半轴上，点 的“ 之雅礼点”为P′点，且△OPP′为等腰直角三角形，则 的值为_______；
(3)在（2）的条件下，若关于 的分式方程 无解，求 的值．
42．（2022上·北京·八年级北师大实验中学校考期中）阅读下列材料：
在学习“分式方程及其解法”的过程中，老师提出一个问题：若关于 的分式方程 的解为正数，
求 的取值范围．经过独立思考与分析后，小明和小聪开始交流解题思路，小明说：解这个关于 的方程，
得到方程的解为 ，由题目可得 ，所以 ，问题解决．小聪说：你考虑的不全面，还
必须保证 才行．
(1)请回答： 的说法是正确的，正确的理由是 ．
完成下列问题：
(2)已知关于 的方程 的解为非负数，求 的取值范围；
(3)若关于 的方程 无解，求 的值．
【经典例题八 根据分式方程解的情况求值】
43．（2023上·北京延庆·八年级统考期中）给出如下的定义：如果两个实数a，b使得关于 的分式方程
的解是 成立，那么我们就把实数a，b称为关于 的分式方程 的一个“方程数对”，
记为[a，b]．例如： ， 就是关于x的分式方程 的一个“方程数对”，记为[2， ]．
(1)判断数对①[3， ]，②[ ，4]中是关于 的分式方程 的“方程数对”的是 ；（只填序号）
(2)若数对[ ， ]是关于 的分式方程 的“方程数对”，求 的值；
(3)若数对[ ]（ 且 ， ）是关于 的分式方程 的“方程数对”，用含m的代数式表示k．
44．（2022下·福建泉州·八年级校考阶段练习）阅读：对于两个不等的非零实数a、b，若分式
的值为零，则 或 ．又因为 ，所以
关于x的方程 有两个解分别为 ， ．
应用上面的结论解答下列问题：
(1)方程 的两个解中较小的一个为______；
(2)解关于x的方程 首先我们两边同加1成 ，设 两个解分别为 ，
（ ），则 ______， ______；
(3)关于x的方程 的两个解分别为 ， （ ），求 的值．
45．（2023上·浙江宁波·八年级统考期末）先阅读下面的材料，然后回答问题：
方程 的解为 ， ；
方程 的解为 ， ；
方程 的解为 ， ；
…
(1)根据上面的规律，猜想关于x的方程 的解是 ；(2)利用（1）的结论解关于x的方程： ；
(3)利用（1）的结论解关于x的方程： ．
46．（2023下·江苏常州·八年级校考期中）阅读：
对于两个不等的非零实数a、b，若分式 的值为零，则 或 ．又因为
，所以关于x的方程 有两个解．分别为
， ．
应用上面的结论解答下列问题：
(1)方程 的两个解分别为 、 ，则 ______， ______；
(2)方程 的两个解中较大的一个为______；
(3)关于x的方程 的两个解分别为 （ ），求 的值．
47．（2023下·福建泉州·八年级福建省泉州第一中学校考期中）阅读理解：如果a，b是两个不等的非零实数，则有以下两个正确结论：①若 ，则 或 ．
② ．应用上面的结论解答下列问题：
(1)方程 的两个解中较大的一个为 ；
(2)解关于x的方程 ．首先两边同时加上3，将原方程化为 ．设 的
两个解分别为 ，则 ， ；
(3)若关于x的方程 的两个解为 ，求 的值．
48．（2023上·重庆忠县·八年级统考期末）对于形如 的分式方程，若 ， ，容易检
验 ， 是分式方程 的解，所以称该分式方程为“易解方程”．例如： 可化
为 ，容易检验 ， 是方程的解，∴ 是“易解方程”：又如 可化
为 ，容易检验 ， 是方程的解，∴ 也是“易解方程”．根据上面
的学习解答下列问题：
(1)判断 是不是“易解方程”，若是“易解方程”，求该方程的解 ， ；若不是，说
明理由．
(2)若 ， 是“易解方程” 的两个解，求 的值；
(3)设n为自然数，若关于x的“易解方程” 的两个解分别为 ， ，求的值．
