文档内容
专题01 二次根式的综合（十大题型）
重难点题型归纳
【题型01：二次根式的概念】
【题型02：二次根式有意义的条件】
【题型03：判断二次根式的性质化简】
【题型04：同类二次根式的概念】
【题型05：二次根式的混合运算】
【题型06：二次根式的化简求值】
【题型07：二次根式的应用】
【题型08：二次根式中新定义问题】
【题型09：利用分母有理化化简求值】
【题型10：以二次根式为背景的材料阅读体二次根式中新定义问题】
【题型01：二次根式的概念】
1．下列各式是二次根式的有（ ）
（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；
❑√21 ❑√−19 ❑√x2+1 √3 9 ❑√−2x−2
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．下列式子一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
❑√a −❑√a √33 ❑√a2
3．下列式子中，是二次根式的是（ ）
A．1 B．−1 C．√32 D．❑√2
【题型02：二次根式有意义的条件】
4．要使二次根式❑√x−4有意义，则x的取值可以是（ ）
A．5 B．3 C．0 D．−2
5．代数式❑√6−x有意义时，x应满足的条件是 ．
❑√2x+3
6．若分式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
x
7．【教材呈现】我们知道，正数a有两个平方根±❑√a，我们把正数a的正的平方根❑√a，叫做a的算术平方根……，0的平方根也叫做0的算术平方根，即❑√0=0．
【发现结论】由上述材料可知，代数式❑√a表示a的算术平方根，a的取值范围是
________．
【运用结论】若x、y都是实数，且 ，求 的值．
y=❑√x−3+❑√3−x+2 (x−y) 2024
【拓展提升】若|2023−a|+❑√a−2024=a，求a−20232的值．
【题型03：判断二次根式的性质化简】
8．实数
a,b
在数轴上的位置如图所示，则
❑√a2+(❑√b) 2 −|b−a|
化简的结果是（ ）
A．−2b B．−2a C．2b−2a D．0
9．实数a在数轴上的位置如图所示，则化简 结果为（ ）
❑√(a−4) 2+❑√(a−11) 2
A．7 B．−7 C．2a−15 D．无法确定
√ 1
10．化简−a❑− 的结果是（ ）
a
A．−❑√−a B．❑√−a C．−❑√a D．❑√a
11．实数 、 在数轴上的位置如图所示，且 ，则化简 的结果
a b |a)>|b) ❑√a2−❑√a2+2ab+b2
为（ ）
A．2a+b B．−2a+b C．b D．2a−b
12．已知 ，化简 的正确结果为（ ）
30，b>0），
❑√a
将(m,n)与(n,m)称为数对(a,b)的一对“对称数对”，例如：(4,1)的一对“对称数
对”为(1 )与( 1)．
,1 1,
2 2
(1)数对(25,4)的一对“对称数对”是________和________；
(2)若数对 的一对“对称数对”的一个数对是 ，求x的值；
(x,2) (❑√2,1)
(3)若数对 的一对“对称数对”的一个数对是 ，求 的值．
(a,b) (❑√3,3❑√3) ab
45．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平
方．如 ，善于思考的小明进行了以下探索，若设
3+2❑√2=(1+❑√2) 2
a+b❑√2=(m+n❑√2) 2=m2+2mn❑√2+2n2
（其中，a，b，m，n均为整数），则有
a=m2+2n2，b=2mn，这样小明就找到一种把类似a+b❑√2的式子化为平方式的方法．
请你依照小明的方法探索并解决下列问题：(1)若
a+b❑√3=(m+n❑√3) 2
，当a，b，m，n均为整数时，用含m，n的式子分别表示
a，b，得：a= ，b= ．
(2)若
a+4❑√7=(m+n❑√7) 2
，当a，m，n均为正整数时，求a的值．
(3)化简：❑√9−4❑√5．
46．阅读下列材料，然后回答问题．
【思维启迪】
2
【材料1】在进行二次根式运算时，我们有时会碰上 这样的式子，其实我们还
❑√3+1
可以将其进一步化简： 2 = 2(❑√3−1) = 2(❑√3−1) =❑√3−1 ．
❑√3+1 (❑√3+1)(❑√3−1) (❑√3−1) 2
以上这种化简的步骤叫作分母有理化．
【材料2】∵❑√4<❑√5<❑√9，即2<❑√5<3，
∴1<❑√5−1<2．
∴❑√5−1的整数部分为1．
∴❑√5−1的小数部分为❑√5−2．
【学以致用】
2
(1)化简 ；
❑√5+❑√3
1
(2)已知 的整数部分为a，小数部分为b，
2−❑√3
①求a、b的值．
②求a2+b2的值．
47．阅读材料：
材料一：观察下列等式，能通过完全平方式及二次根式的性质化去一层根号，如：
．
❑√ (❑√1) 2+(❑√2) 2 −2×❑√1×❑√2=❑√ (❑√1−❑√2) 2=|❑√1−❑√2)=❑√2−1
材料二：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，它的应用非常广泛，在解方程、化简根式、因式分解等方面都经常用到．
如： ．
x2+2❑√2x+3=x2+2❑√2x+(❑√2) 2+1=(x+❑√2) 2+1
，
∵(x+❑√2) 2 ≥0
，即 ．
∴(x+❑√2) 2+1≥1 x2+2❑√2x+3≥1
∴x2+2❑√2x+3的最小值为1．
解决下列问题：
(1) ， ；
❑√4−2❑√3= ❑√5+2❑√6=
(2)求x2+4❑√3x+11的最小值；
(3)比较大小：❑√6−2 ❑√7−❑√3．
48．阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：
当 ， 时，∵ ，∴ ，当且仅当
a>0 b>0 (❑√a−❑√b) 2=a−2❑√ab+b≥0 a+b≥2❑√ab a=b
时取等号．请利用上述结论解决以下问题：
1 1
(1)当x>0时，x+ 的最小值为 ；当x<0时，x+ 的最大值为 ；
x x
x2+3x+36
(2)当x>0时，求当x取何值，y= 有最小值，最小值是多少？
x
(3)如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△AOB、△COD的面积分别
为4和9，则四边形ABCD的面积的最小值为 ．
