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专题01 二次根式的综合（十大题型）
重难点题型归纳
【题型01：二次根式的概念】
【题型02：二次根式有意义的条件】
【题型03：判断二次根式的性质化简】
【题型04：同类二次根式的概念】
【题型05：二次根式的混合运算】
【题型06：二次根式的化简求值】
【题型07：二次根式的应用】
【题型08：二次根式中新定义问题】
【题型09：利用分母有理化化简求值】
【题型10：以二次根式为背景的材料阅读体二次根式中新定义问题】
【题型01：二次根式的概念】
1．下列各式是二次根式的有（ ）
（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；
❑√21 ❑√−19 ❑√x2+1 √3 9 ❑√−2x−2
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．下列式子一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
❑√a −❑√a √33 ❑√a2
3．下列式子中，是二次根式的是（ ）
A．1 B．−1 C．√32 D．❑√2
【题型02：二次根式有意义的条件】
4．要使二次根式❑√x−4有意义，则x的取值可以是（ ）
A．5 B．3 C．0 D．−2
5．代数式❑√6−x有意义时，x应满足的条件是 ．
❑√2x+3
6．若分式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
x
7．【教材呈现】我们知道，正数a有两个平方根±❑√a，我们把正数a的正的平方根❑√a，叫做a的算术平方根……，0的平方根也叫做0的算术平方根，即❑√0=0．
【发现结论】由上述材料可知，代数式❑√a表示a的算术平方根，a的取值范围是
________．
【运用结论】若x、y都是实数，且 ，求 的值．
y=❑√x−3+❑√3−x+2 (x−y) 2024
【拓展提升】若|2023−a|+❑√a−2024=a，求a−20232的值．
【题型03：判断二次根式的性质化简】
8．实数
a,b
在数轴上的位置如图所示，则
❑√a2+(❑√b) 2 −|b−a|
化简的结果是（ ）
A．−2b B．−2a C．2b−2a D．0
9．实数a在数轴上的位置如图所示，则化简 结果为（ ）
❑√(a−4) 2+❑√(a−11) 2
A．7 B．−7 C．2a−15 D．无法确定
√ 1
10．化简−a❑− 的结果是（ ）
a
A．−❑√−a B．❑√−a C．−❑√a D．❑√a
11．实数 、 在数轴上的位置如图所示，且 ，则化简 的结果
a b |a)>|b) ❑√a2−❑√a2+2ab+b2
为（ ）
A．2a+b B．−2a+b C．b D．2a−b
12．已知 ，化简 的正确结果为（ ）
3<x<5 ❑√(x−5) 2+|x−3)
A．2 B．−2 C．2x−8 D．8−2x
13．已知实数 在数轴上的位置如图所示，则化简： 的结果为
a ❑√(a−2) 2+❑√(a−4) 2．
14．已知实数 ， ， 在数轴上的位置如图所示，化简： ．
a b c |a)−❑√(a+c) 2+❑√(b−c) 2−❑√b2
【题型04：同类二次根式的概念】
15．下列二次根式中，与❑√12是同类二次根式的是（ ）
√1
A．❑√18 B．❑√2 C．❑ D．❑√6
3
16．下列二次根式中，是同类二次根式的是（ ）
A． 与 B． 与
❑√8 ❑√12 ❑√3x3 ❑√27x
√2
C．2b❑√b与b❑ D．❑√a2b与❑√ab3
b
17．若❑√8与最简二次根式❑√2a−4能合并，则a= ．
18．若❑√5m+2能与❑√3合并，则正整数m的最小值是 ．
19．若最简二次根式❑√x+1与❑√7是同类二次根式，则x= ．
【题型05：二次根式的混合运算】
20．计算：
(1)❑√20−❑√3×❑
√5
． (2)(❑√2−1) 2+(❑√3+1)(❑√3−1)．
3
21．计算2 √1
(1)❑√2+❑√8+2❑√8； (2) ❑√27−4❑√12+3❑ ；
3 3
(3)❑√20+❑√5 √1 ； (4) ．
−❑ ⋅❑√18 (❑√6−2❑√3) 2+(❑√2+2❑√5)(2❑√5−❑√2)
❑√5 2
22．计算：
(1) ； (2) ；
❑√50+❑√18+❑√8 (❑√2+❑√3)(❑√2−❑√3)
23．计算
(1)
❑√45−2❑√5
√1
(2)❑√27−❑ +❑√12
3
(3) (4)
(4❑√3−3❑√6)÷2❑√3 (❑√6−2❑√15)×❑√3−3❑√2
24．计算：
(1) ❑√12+❑√32−2❑√2 ； (2) (❑√5+2)(❑√5−2)−(2❑√3−1) 2 ．
25．计算：❑√32 √1 1
(1)❑√27×❑√3− ； (2)2❑√18−6❑ + ❑√8；
❑√2 2 4
（3)
(❑√5−1) 2 −(❑√7+2)(❑√7−2)
； (4)(
❑√75−❑
√1)
÷❑√3+|1−❑√2)
．
6
【题型06：二次根式的化简求值】
26．已知x=5−2❑√6,y=5+2❑√6，求下列代数式的值：
(1)x2+xy+ y2；
(2)x2y+x y2．
27．已知a=❑√6−2，b=❑√6+2
(1)求ab的值；
(2)求a2+ab+b2的值．
3 1
28．先化简，再求值：(❑√2x+❑√y)(❑√2x−❑√y)−(❑√2x−❑√y) 2，其中x= ，y= ．
4 21 1
29．已知，x= ，y= ．求：
❑√3−❑√2 ❑√3+❑√2
(1)x+ y和xy的值；
(2)求x2−xy+ y2的值．
30．已知x=❑√3+1，y=❑√3−1，求下列各式的值：
(1)x2y+x y2
(2)x2−xy+ y2
1 1
31．已知x= ，y= ，求下列各式的值：
❑√3−❑√2 ❑√3+❑√2
(1)x2+xy+ y2；
y x
(2) + ．
x y
【题型07：二次根式的应用】
32．有一块长方形木板，木工采用如图的方式在木板上截出两个面积分别为27dm2和
75dm2的正方形木板．
(1)求原长方形木板的面积；
(2)如果木工想从剩余的木块中(阴影部分)截出长为2dm，宽为1.5dm的长方形木条，
估计最多能裁出 块这样的木条？请你直接写出答案.(参考数据：
❑√2≈1.414，❑√3≈1.732)33．秦九韶（1208年-1268年），字道古，南宋著名数学家．与李冶、杨辉、朱世杰并称
宋元数学四大家．他精研星象、音律、算术、诗词、弓剑、营造之学．他于1247年完
成的著作《数学九章》中关于三角形的面积公式与古希腊几何学家海伦的成果并称
“海伦一秦九韶公式”．它的主要内容是，如果一个三角形的三边长分别是a,b,c，
a+b+c
记p= ,s为三角形的面积，那么s=❑√p(p−a)(p−b)(p−c)．
2
(1)在△ABC中，BC=5,AC=6,AB=7，请用上面的公式计算△ABC的面积；
(2)如图，在△ABC中，AB=9,AC=8,BC=7,BD⊥AC，垂足为D，求CD的长；
(3)一个三角形的三边长分别为a,b,c,s=p=15,a=10，求bc的值．
34．有一块矩形木板，木工采用如图的方式，在木板上截出两个面积分别为18dm2和
32dm2的正方形木板．
(1)截出的两块正方形木料的边长分别为______，______．
(2)求剩余木料的面积．
35．交警通常根据刹车后，车轮划过的距离估计车辆行驶的速度，所依据的经验公式是
v=16❑√df，其中v表示车速（单位：km/h），d表示车轮划过的距离（单位：m），f表示摩擦系数．在某次交通事故调查中测得d=10m，f =1.2．（参考数据：
❑√3≈1.73）
(1)求肇事汽车的速度；
(2)若此路段限速60km/h，请通过计算判断肇事汽车是否超速？
36．阅读下面的材料，解决下面的问题．
古希腊的几何学家海伦在他的《度量》一书中给出了利用三角形的三边求三角形面积
a+b+c
的“海伦公式”：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，设p= ，则三角
2
形的面积S=❑√p(p−a)(p−b)(p−c)．
我国南宋著名的数学家秦九韶提出了利用三角形的三边求面积的“秦九韶公式”（三
√1
斜求积术）：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则三角形的面积S=❑ ¿¿．
4
(1)若一个三角形的三边长分别是5，6，7，则这个三角形的面积等于______；
(2)若一个三角形的三边长分别是5,❑√6,❑√7，求这个三角形的面积．
【题型08：二次根式中新定义问题】
37．对于任意不相等的两个实数 a、b，定义运算 如下：a⊗b=❑√ab(a−b) ，如
3⊗2=❑√3×2×(3−2)=❑√6，那么 8 12 的运算结果为 ．
38．对于任意不相等的两个正实数a，b，定义一种运算“▲”如下：a▲b＝，如3▲2＝ ．根
❑√a−❑√(b−a) 2+❑√2a+b+1 ❑√3−❑√(2−3) 2+❑√2×3+2+1=❑√3+2
据定义，则4▲7＝ ．
【题型09：利用分母有理化化简求值】
39．[材料一]两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么
这两个代数式互为有理化因式．
例如：❑√2×❑√2=2，(❑√3+1)×(❑√3−1)=2，我们称❑√2和❑√2互为有理化因式，
❑√3+1和❑√3−1互为有理化因式．
（1）❑√5的有理化因式是______（写出一个即可），2−❑√3的有理化因式是_______
（写出一个即可）；
[材料二]如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有
理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．
1 1 1 1
（2）利用分母有理化化简： + + +……+ ．
❑√2+1 ❑√3+❑√2 ❑√4+❑√3 ❑√2024+❑√2023
[材料三]与分母有理化类似，将代数式分子、分母同乘分子的有理化因式，从而消去
分子中的根式，
这种变形叫做分子有理化．
比如： (❑√3−❑√2)(❑√3+❑√2) 1
❑√3−❑√2= =
❑√3+❑√2 ❑√3+❑√2
（3）试利用分子有理化比较❑√8−❑√7和❑√7−❑√6的大小．
40．我们将(❑√a+❑√b)、(❑√a−❑√b)称为一对“对偶式”，因为(❑√a+❑√b)(❑√a−❑√b)=
(❑√a) 2 −(❑√b) 2
所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效的将(❑√a+❑√b)和(❑√a−❑√b)中的“-”去掉，
于是二次根式除法可以这样解：如 1 1×❑√3 ❑√3，2+❑√2＝ (2+❑√2) 2
= =
❑√3 ❑√3×❑√3 3 2−❑√2 (2−❑√2)(2+❑√2)＝3+2❑√2．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把母中的根号化去或把根号中的
分母化去的方法叫做分母有理化．根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，
解答以下问题：
（1）通过上述方法，可知❑√2019−❑√2018 ❑√2018−❑√2017 （填“＞”、
“＜”或“＝”）；
1 1 1
（2）计算下列式子的值： + ⋯⋯+ ．
❑√3+1 ❑√5+❑√3 ❑√2019+❑√2017
41．阅读下列材料，然后回答问题：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如
5 √2 2
，❑ ，
❑√3 3 ❑√3+1
一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
5 5×❑√3 5❑√3
= = ；
❑√3 ❑√3×❑√3 3
√2 √2×3 ❑√6
❑ =❑ = ；
3 3×3 3
2 2×(❑√3−1) 2(❑√3−1)
= = =❑√3−1
❑√3+1 (❑√3+1)(❑√3−1) (❑√3) 2 −12
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
2 √2 1
（1）化简： = ；❑ = ； = ；
❑√3 5 ❑√5+❑√3
1 1 1 1
（2）化简： + + +⋯+ ；
❑√3+1 ❑√5+❑√3 ❑√7+❑√5 ❑√2019+❑√2017❑√5−❑√3 ❑√5+❑√3 y x
（3）已知x= ，y= ，求 + 的值.
❑√5+❑√3 ❑√5−❑√3 x y
42．阅读理解
材料一：两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不是二次根式，那么这
两个代数式互为有理化因式．
例1： ， 我们称 的一个有理化因式是 ，
❑√3×❑√3=3 (❑√6+❑√2)(❑√6−❑√2)=6−2=4 ❑√3 ❑√3
❑√6−❑√2的一个有理化因式是❑√6+❑√2．
材料二：如果一个代数式的分母含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理
化因式，使分母中不含根号，这种变形叫分母有理化．
1 1×❑√3 ❑√3
例2： = =
❑√3 ❑√3×❑√3 3
1 1×(❑√3−❑√2)
= =❑√3−❑√2
❑√3+❑√2 (❑√3+❑√2)(❑√3−❑√2)
请仿照材料中的方法探索并解决下列问题：
(1)❑√10的有理化因式是________．❑√2−❑√3的有理化因式是________（均写出一个即
可）．
3
(2)若a是❑√5的小数部分，化简 ．
a
(3)利用你发现的规律计算下面式子的值
( 1 1 1 1 )
+ + +⋯⋯+ (❑√2024+❑√2)
❑√2+❑√4 ❑√4+❑√6 ❑√6+❑√8 ❑√2022+❑√2024
【题型10：以二次根式为背景的材料阅读体二次根式中新定义问题】
43．定义：若两个二次根式a，b满足a⋅b=c，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭
二次根式．
(1)若a与❑√3是关于6的共轭二次根式，求a的值；(2)若2−❑√3与4+❑√3m是关于2的共轭二次根式，求m的值．
1
44．我们规定用(a,b)表示-对数对，给出如下定义：记m= ，n=❑√b（a>0，b>0），
❑√a
将(m,n)与(n,m)称为数对(a,b)的一对“对称数对”，例如：(4,1)的一对“对称数
对”为(1 )与( 1)．
,1 1,
2 2
(1)数对(25,4)的一对“对称数对”是________和________；
(2)若数对 的一对“对称数对”的一个数对是 ，求x的值；
(x,2) (❑√2,1)
(3)若数对 的一对“对称数对”的一个数对是 ，求 的值．
(a,b) (❑√3,3❑√3) ab
45．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平
方．如 ，善于思考的小明进行了以下探索，若设
3+2❑√2=(1+❑√2) 2
a+b❑√2=(m+n❑√2) 2=m2+2mn❑√2+2n2
（其中，a，b，m，n均为整数），则有
a=m2+2n2，b=2mn，这样小明就找到一种把类似a+b❑√2的式子化为平方式的方法．
请你依照小明的方法探索并解决下列问题：(1)若
a+b❑√3=(m+n❑√3) 2
，当a，b，m，n均为整数时，用含m，n的式子分别表示
a，b，得：a= ，b= ．
(2)若
a+4❑√7=(m+n❑√7) 2
，当a，m，n均为正整数时，求a的值．
(3)化简：❑√9−4❑√5．
46．阅读下列材料，然后回答问题．
【思维启迪】
2
【材料1】在进行二次根式运算时，我们有时会碰上 这样的式子，其实我们还
❑√3+1
可以将其进一步化简： 2 = 2(❑√3−1) = 2(❑√3−1) =❑√3−1 ．
❑√3+1 (❑√3+1)(❑√3−1) (❑√3−1) 2
以上这种化简的步骤叫作分母有理化．
【材料2】∵❑√4<❑√5<❑√9，即2<❑√5<3，
∴1<❑√5−1<2．
∴❑√5−1的整数部分为1．
∴❑√5−1的小数部分为❑√5−2．
【学以致用】
2
(1)化简 ；
❑√5+❑√3
1
(2)已知 的整数部分为a，小数部分为b，
2−❑√3
①求a、b的值．
②求a2+b2的值．
47．阅读材料：
材料一：观察下列等式，能通过完全平方式及二次根式的性质化去一层根号，如：
．
❑√ (❑√1) 2+(❑√2) 2 −2×❑√1×❑√2=❑√ (❑√1−❑√2) 2=|❑√1−❑√2)=❑√2−1
材料二：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，它的应用非常广泛，在解方程、化简根式、因式分解等方面都经常用到．
如： ．
x2+2❑√2x+3=x2+2❑√2x+(❑√2) 2+1=(x+❑√2) 2+1
，
∵(x+❑√2) 2 ≥0
，即 ．
∴(x+❑√2) 2+1≥1 x2+2❑√2x+3≥1
∴x2+2❑√2x+3的最小值为1．
解决下列问题：
(1) ， ；
❑√4−2❑√3= ❑√5+2❑√6=
(2)求x2+4❑√3x+11的最小值；
(3)比较大小：❑√6−2 ❑√7−❑√3．
48．阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：
当 ， 时，∵ ，∴ ，当且仅当
a>0 b>0 (❑√a−❑√b) 2=a−2❑√ab+b≥0 a+b≥2❑√ab a=b
时取等号．请利用上述结论解决以下问题：
1 1
(1)当x>0时，x+ 的最小值为 ；当x<0时，x+ 的最大值为 ；
x x
x2+3x+36
(2)当x>0时，求当x取何值，y= 有最小值，最小值是多少？
x
(3)如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△AOB、△COD的面积分别
为4和9，则四边形ABCD的面积的最小值为 ．
