专题12整式的乘法重难点题型专训（11大题型）（教师版）_初中数学_八年级数学上册（人教版）_重难点专题提升-V7_2024版

专题12 整式的乘法重难点题型专训（11大题型） 【题型目录】 题型一 同底数幂的乘法 题型二 幂的乘方 题型三 积的乘方 题型四 同底数幂的除法 题型五 计算单项式乘单项式 题型六 计算单项式乘多项式 题型七 计算多项式乘多项式 题型八 已知多项式乘积不含某项字母求字母的值 题型九 多项式乘多项式的化简求值 题型十 多项式乘法中的规律性问题 题型十一 整式乘法混合运算 【知识梳理】 知识点一 同底数幂的乘法 aman amn m, n (其中 都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 法则： 特别说明： （1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式. amanap amnp m, n, p （2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 即 （ 都是正整 数）. （3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的 amn aman m, n 指数之和等于原来的幂的指数。即 （ 都是正整数）. 知识点二、幂的乘方、积的乘方法则 幂的乘方法则 (am)n amn m, n (其中 都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘. ((am)n)p amnp a0 m,n, p 特别说明：（1）公式的推广： ( ， 均为正整数) amn   amn   anm （2）逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些 幂变形，从而解决问题. 积的乘方法则 (ab)n anbn n (其中 是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. (abc)n anbncn n 特别说明：（1）公式的推广： ( 为正整数). anbn abn （2）逆用公式： 逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，10 10 1 1  210  2 1.     2 2  计算更简便.如： 注意事项 （1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式. （2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要遗漏. （3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加. （4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方. （5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁. （6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯. 知识点三、同底数幂的除法法则 同底数幂的除法 am an amn a m、n mn 同底数幂相除，底数不变，指数相减，即 （ ≠0， 都是正整数，并且 ） 特别说明：（1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算. （2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式. （3）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质. （4）底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式. 零指数幂 a0 1 a 任何不等于0的数的0次幂都等于1.即 （ ≠0） a 00 特别说明：底数 不能为0， 无意义.任何一个常数都可以看作与字母0次方的积.因此常数项也叫 0次单项式. 知识点四、单项式的乘法法则 单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含 有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式. 特别说明： （1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用. （2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行 有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不 变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因 式. （3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成. （4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则. 知识点五、单项式与多项式相乘的运算法则 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. m(abc)mambmc 即 . 特别说明：（1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项 式的问题. （2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同. （3）计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项 式的符号. （4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果. 知识点六、多项式与多项式相乘的运算法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即 abmnamanbmbn . 特别说明：多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的 项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘： xaxb x2 abxab . 【经典例题一 同底数幂的乘法】 1．（2023·河北沧州·模拟预测）算式 的运算结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将原式转换为乘法后，再根据同底数幂的乘法法则进行计算即可． 【详解】解： 故选：B． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，解答本题的关键是将原式转换为同底数幂的乘法． 2．（2023下·江苏淮安·七年级统考期末）如果 ，那么我们规定 ．例如：因为 ，所以 ．记 ， ， ．则a、b和c的关系是（ ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】根据题意分别表示出关于 的等式，即可判断它们的关系。【详解】解：∵ ， ， ∴ ， ， 又∵ ∴ ，即 故选：C 【点睛】本题考查同底数幂的乘法，掌握同底数幂的乘法法则逆用是解题的关键． 3．（2023上·辽宁大连·八年级统考期中）若 ， ， ， 为正整数，则 ． 【答案】 / 【分析】本题考查的是同底数幂的乘法，根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加进行计算即可． 【详解】解： ， ， ． 故答案为： ． 4．（2022上·浙江台州·八年级校考期中）计算： 【答案】 【分析】根据同底数幂乘法的逆运算，求解即可． 【详解】解： 故答案为：【点睛】此题考查了同底数幂乘法的逆运算，解题的关键是掌握同底数幂乘法的运算法则． 5．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨德强学校校考阶段练习）阅读探究，理解应用．根据乘方的意义 填空，并思考： ① ； ② ； ③ (m，n是正整数)； ④一般地，对于任意底数 a 与任意正整数m，n，则有： ，根据你发现的规律，完成下列问题： 计算： （1） ； ； ； （2）已知 ， ，求 的值． 【答案】① ；② ；③ ；④ ；（1） ； ； ；（2） 的值为625． 【分析】①利用乘方的意义，即可解答； ②利用乘方的意义，即可解答； ③利用乘方的意义，即可解答； ④从数字找规律，即可解答； （1）利用发现的规律，进行计算即可解答； （2）利用发现的规律，进行计算即可解答． 【详解】解：① ； ② ； ③ （m，n是正整数）；④一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，则有： ； 故答案为：① ；② ；③ ；④ ； （1） ； ； ； 故答案为： ； ； ； （2） ， ， ， ， 的值为625． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法法则，同底数幂的乘法法则逆用，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【经典例题二 幂的乘方】 1．（2023上·吉林长春·八年级校考阶段练习）已知 ，则 的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂的乘方的逆用可得 ，由此即可得． 【详解】解： ， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了幂的乘方的逆用，熟练掌握幂的乘方的逆用法则是解题关键． 2．（2022上·湖北武汉·八年级统考期末）已知 ， ， 均为正整数，且满足 ，则 的取值不可能是（ ）A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将原方程化为 ，得到 ， ，再根据 ， ， 均为正整数，求出 ， 的值，进而求出答案． 【详解】解： ， ， ， ， ， ， 均为正整数， 当 时， ，此时 ， 当 时， ，此时 ， 当 时， ，此时 ， 不可能为 ． 故选：D． 【点睛】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，根据 ， ， 均为正整数求出 ， 的值是解题的关键． 3．（2023下·浙江温州·七年级校联考期中）已知 ， ，则 ． 【答案】 【分析】先根据同底数幂的乘法进行计算，再根据幂的乘方进行计算，最后代入求出答案即可． 【详解】解： ， ， ． 故答案为： ． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法和幂的乘方，能正确根据同底数幂的乘法和幂的乘方进行变形是解此 题的关键． 4．（2023上·山西临汾·八年级校考阶段练习）已知 ， ，m，n为正整数，则 ． 【答案】【分析】由题意可得 ，然后再对 进行即可解答． 【详解】解：∵ ， ， ∴ ， ∴ ． 故答案为 ． 【点睛】本题主要考查了幂的乘方、积的乘方及其逆用，灵活逆用幂的乘方、积的乘方运算法则是解答本 题的关键． 5．（2023上·北京海淀·八年级北京市十一学校校考期中）如果 ，那么称 为 的劳格数，记为 ，由定义可知： 与 所表示的是 两个量之间的同一关系． (1)根据劳格数的定义，填空： _______； (2)劳格数有如下运算性质： 若 为正数，则 ， ． 根据运算性质， 填空： ______（ 为正数）． 若 ，则 ______， ______；（答案精确到小数点后一位） (3)已知 ， ， ，则 之间的等量关系式为______． 【答案】(1) (2)3，1.3，0.15 (3) 【分析】（1）根据劳格数的定义进行计算即可得到答案；（2）根据 可得 ，代入进行计算即可 得到 的值，利用 ，求出 ，代入计算即可，根据 得到 ，求出 ，代入计算即可得到答案； （3）分别表示出 ， ，由此即可得到答案． 【详解】（1）解： ， ， ， 故答案为： ； （2）解： ， 为正数， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：3，1.3，0.15； （3）解： ， ， ， ， ， ， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了新定义下有理数的运算、幂的乘方，理解题意，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【经典例题三 积的乘方】 1．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨风华中学校考期中）计算： 的值为（ ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据积的乘方逆运算即可求解． 【详解】 ， ， ，， ， 故选： ． 【点睛】此题考查幂了的有关运算，解题的关键是熟练掌握积的乘方逆运算的应用． 2．（2023上·广东广州·八年级广州市黄埔军校纪念中学校考阶段练习）已知 ， ，则 的值 为（ ） A．24 B．18 C．11 D．9 【答案】A 【分析】根据积的乘方、幂的乘方、同底数幂的乘法运算即可； 【详解】解： ． 故选：A． 【点睛】本题主要考查积的乘方、幂的乘方运算、同底数幂的乘法，正确将式子变形是解题的关键． 3．（2023上·四川乐山·八年级校考阶段练习）已知 ， ，则 的值是 ． 【答案】1 【分析】根据幂的乘方和积的乘方逆用运算法则分别求出m、n的值，然后代入求解即可． 【详解】解： ， ， ，即 ， 解得： ， ， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了幂的乘方和积的乘方逆用法则，解答本题的关键是掌握幂的乘方和积的乘方运算法则．4．（2023上·八年级课时练习）已知a，b为任意非零实数，且 ，则 ． 【答案】36 【分析】利用同底数幂的乘法、积的乘方计算得到 ，推出 ，据此计算即可求解． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵a，b为非零实数， ∴ ， ，解得 ， ， 故 ． 故答案为：36． 【点睛】本题考查同底数幂的乘法、积的乘方，熟练掌握运算法则并正确求解是解答的关键． 5．（2023上·山西晋城·八年级统考期中）在数学中，我们经常会运用逆向思考的方法来解决一些问题，例 如：“若 ， ，求 的值．”这道题我们可以这样思考：逆向运用同底数幂的乘法公式，即 ，所以 ，所以 ． (1)若 ， ，请你也利用逆向思考的方法求出 的值． (2)下面是小宇用逆向思考的方法完成的一道作业题，请你参考小宇的方法解答下面的问题： 小宇的作业 计算： ． 解： ． ①小宇的求解方法逆用了哪一条幂的运算性质，直接写出该逆向运用的公式：________． ②计算：【答案】(1)4 (2)① ；②0.25 【分析】此题考查了积的乘方、同底数幂的乘法、幂的乘方等运算法则，熟练掌握公式的逆用是解题的关 键． （1）运用逆用同底数幂的乘法公式和幂的乘方公式进行计算即可； （2）①根据题意得到是逆用积的乘方，写出公式即可；②逆用积的乘方进行计算即可． 【详解】（1）∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴ ． （2）① ． ② ． 【经典例题四 同底数幂的除法】 1．（2022·湖北武汉·校考模拟预测）下列运算正确的是（ ）A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂的运算法则和合并同类项法则，逐个进行判断即可． 【详解】解：A、 ，故A不正确，不符合题意； B、 ，故B不正确，不符合题意； C、 ，故C正确，符合题意； D、 ，故D不正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的运算法则，合并同类项，解题的关键是掌握同底数幂相乘（除），底 数不变，指数相加（减）；幂的乘方，底数不变，指数相乘；积的乘方，把每个因式分别乘方；合并同类 项，字母和相同字母指数不变，只把系数相加减． 2．（2023下·河北衡水·九年级校考阶段练习）化简 的结果为（ ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据乘方的性质，同底数幂乘除法的运算，求解分子和分母，然后化简求解即可． 【详解】解： 故选：D 【点睛】此题考查了同底数幂乘除法的运算，解题的关键是熟练掌握相关运算法则． 3．（2023上·湖南岳阳·八年级校考阶段练习）若 ， ，则 ． 【答案】1 【分析】根据幂的运算法则把 化简为 ，然后把代入计算即可． 【详解】解：∵ ， ，∴ ， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了同底数幂的除法、幂的乘方运算的的逆运算，熟练掌握幂的运算法则是解答本题的关 键，特别注意运算过程中指数的变化规律，灵活运用法则的逆运算进行计算，培养学生的逆向思维意识． 4．（2023上·八年级课时练习）（1）若 ， ，则 的值为 ． （2）已知 ， ，则 的值为 ． 【答案】 【分析】（1）由题意知， ，代值求解即可． （2）解：由题意知， ，根据 ，代值求解即可． 【详解】（1）解：由题意知， ． （2）解：由题意知，∵ ， ∴ ， ∴ ． 【点睛】本题考查了同底数幂的除法运算，幂的乘方的逆运算，代数式求值．解题的关键在于对知识的熟 练掌握与正确运算． 5．（2023上·福建泉州·八年级校联考期中）规定两个非零数a，b之间的一种运算，记作 ：如果 ，那么 ． 例如：因为 ，所以 ；因为 ，所以 ． 根据上述规定，解答下列问题： (1)填空： ， ； (2)求证：对任意不等于零的实数p，m，n，总有 ． 【答案】(1)2，3 (2)证明见解析【分析】本题考查新定义，整数指数幂，同底数幂的除法，理角新定义和掌握同底数幂的除法法则与整数 指数幂运算法则是解题的关键． （1）根据新定义的规定求解即可； （2）设 ， ，分别求出 ， ，即可证明； 【详解】（1）解： ， ， ， ， 故答案为：2，3． （2）证明：设 ， ， 则 ， 依题意有： ， ， ， 根据规定即有： ， ． 【经典例题五 计算单项式乘单项式】 1．（2023上·福建福州·八年级校考期中）计算 (1) (2)(3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）（2）按单项式乘以单项式法则计算； （3）先乘方，再算乘法； （4）先算乘方，再算乘法． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ． 【点睛】本题考查了积的乘方、单项式乘以单项式法则等知识点．掌握单项式乘以单项式法则及整式的运 算顺序是解决本题的关键． 2．（2023上·全国·八年级课堂例题）计算： (1) ；(2) ； (3) ； (4) ． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据单项式乘以单项式的法则进行计算即可； （2）根据单项式乘以单项式的法则进行计算即可； （3）先根据积的乘方和幂的乘方法则进行计算，再根据单项式乘以单项式的法则进行计算即可； （4）先根据积的乘方和幂的乘方法则进行计算，再根据单项式乘以单项式的法则进行计算即可； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【点睛】本题考查了整式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 3．（2023下·江苏苏州·七年级校考阶段练习）计算：(1) (2) ． (3) (4) 【答案】(1) (2) (3)3 (4) 【分析】（1）先计算幂的乘方，在计算同底数幂乘法即可； （2）先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式，最后合并同类项即可； （3）先计算零指数幂和负整数指数幂，再根据有理数的计算法则求解即可； （4）先把 变形为 ，然后进行计算求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ；（4）解：原式 ． 【点睛】本题主要考查了积的乘方，单项式乘以单项式，同底数幂乘法，幂的乘方，积的乘方的逆运算， 幂的乘方的逆运算等等，熟知相关计算法则是解题的关键． 4．（2023上·八年级课时练习）计算下列各式： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ； (6) ； (7) ； (8) ． 【答案】(1) ；(2) ； (3) ； (4)0； (5) ； (6) ； (7) ； (8) ． 【分析】（1）根据幂的乘方，单项式乘以单项式进行计算，然后合并同类项即可求解； （2）根据积的乘方，同底数幂的乘法进行计算，然后合并同类项即可求解； （3）根据幂的乘方，单项式乘以单项式进行计算，然后合并同类项即可求解； （4）根据单项式乘以单项式进行计算，然后合并同类项即可求解； （5）根据积的乘方，单项式乘以单项式进行计算，然后合并同类项即可求解； （6）根据积的乘方，单项式乘以单项式进行计算，然后合并同类项即可求解； （7）根据积的乘方，单项式乘以单项式进行计算，然后合并同类项即可求解； （8）根据积的乘方，单项式乘以单项式进行计算，然后合并同类项即可求解． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． （5）解：原式 ． （6）解：原式 ．（7）解：原式 ． （8）解：原式 ． 【点睛】本题考查了单项式乘以单项式，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键． 5．（2022上·全国·八年级专题练习）计算： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘； （2）单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘； （3）先进行积的乘方，再利用单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘； （4）先进行积的乘方，再利用单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【点睛】本题考查的是单项式乘单项式，掌握单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式是解题的关键． 【经典例题六 计算单项式乘多项式】 1．（2023上·广东江门·八年级校考期中）先化简，再求值： ，其中 ， ． 【答案】 ， 【分析】本题考查了整式化简求值，掌握按单项式乘以多项式进行运算，再合并同类项，掌握代值计算的 步骤是解题的关键． 【详解】解：原式 ； 当 ， 时， 原式 ． 2．（2023上·天津滨海新·八年级校考期中）计算； (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2)(3) (4) 【分析】此题考查整式的计算： （1）根据单项式乘以单项式法则计算； （2）根据单项式乘以多项式法则计算即可； （3）先计算单项式乘以多项式，再合并同类项； （4）先计算单项式乘以单项式，积的乘方，再合并同类项； 熟练掌握单项式乘以单项式法则，单项式乘以多项式法则，积的乘方计算法则及合并同类项法则是解题的 关键． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 3．（2023上·山西运城·七年级统考期中）（1）下面是乐乐同学进行整式化简的过程，请认真阅读并完成 相应任务． 解： 第一步 第二步 第三步任务一： ①以上化简步骤中，第一步依据的运算律是________． ②以上化简中第________步出现错误，出现错误的原因是________． 任务二：直接写出正确的化简结果________． （2）先化简，后求值． ，其中 ． 【答案】（1）①乘法分配律；②二；括号前面是减号时，去掉括号，未进行变号；任务二： ； （2） ； 【分析】本题考查了整式的化简求值， （1）根据整式的混合运算法则，先算乘法，再去括号，最后合并同类项，即可解答； （2）根据整式的混合运算法则，先算乘法，再去括号，再合并同类项，最后代入求值即可解答，熟练掌 握整式的混合运算法则，单项式乘多项式时，不要忘记漏乘，去括号时，注意变号，是解题的关键． 【详解】解：（1）正确的计算过程为： 第一步 第二步 第三步 ①以上化简步骤中，第一步依据的运算律是乘法分配律； ②以上化简中第二步出现错误，出现错误的原因是括号前面是减号时，去掉括号，未进行变号； 故答案为：①乘法分配律；②二；括号前面是减号时，去掉括号，未进行变号；任务二： ； （2） ， ， ， ， 当 时，原式 ．4．（2023下·山东烟台·六年级统考期末）已知 ． (1)求A和B； (2)若y满足 ，请用含x的代数式表示y； (3)在（2）的条件下，当 时，求 的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用多项式除以单项式法则得到A，利用单项式乘以多项式法则即可得到B； （2）把（1）中求得的A和B代入 即可得到答案； （3）把 代入（2）中关系式得 求得 ，再整体代入即可得到答案． 【详解】（1）解： ， ； （2）由 ，得到 ； （3）把 代入（2）中关系式得 ， 解得 ． 原式 ． 【点睛】此题考查了整式的乘法和除法，代数式的求值，熟练掌握多项式除以单项式法则、单项式乘以多 项式法则、整体代入是解题的关键． 5．（2023上·八年级课时练习）计算下列各式： (1) ；(2) ； (3) ； (4) ； (5) ； (6) ． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（1）根据单项式乘以多项式进行计算即可求解； （2）根据单项式乘以多项式进行计算即可求解； （3）根据单项式乘以多项式进行计算即可求解； （4）根据单项式乘以多项式进行计算，然后合并同类项即可求解； （5）根据单项式乘以多项式进行计算即可求解； （6）根据单项式乘以多项式进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ；（2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 【点睛】本题考查了单项式乘以单项式，熟练掌握单项式乘以单项式的运算法则是解题的关键． 【经典例题七 计算多项式乘多项式】 1．（2023上·四川遂宁·八年级射洪中学校考阶段练习）计算 (1) (2) (3) (4)【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用多项式除以多项式的法则，进行计算； （2）逆用积的乘方，进行计算即可； （3）先进行乘方运算，再进行同底数幂的乘法运算，再进行合并即可； （4）先进行单项式乘以多项式和多项式乘多项式，再进行合并即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ． 【点睛】本题考查整式的运算．熟练掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键． 2．（2023上·全国·八年级专题练习）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1)(2) (3) 【分析】（1）先利用积的乘方和幂的乘方法则计算，再算单项式乘以单项式以及单项式除以单项式； （2）先算单项式乘以单项式，再合并同类项即可； （3）先计算多项式乘以多项式，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 3．（2023上·上海松江·七年级校考阶段练习）计算： ． 【答案】 ． 【分析】先利用单项式乘以单项式，多项式乘法法则计算，再合并同类项即可． 【详解】解：原式 ， ， ． 【点睛】此题考查了整式的乘法运算，解题的关键是熟练掌握单项式乘以单项式，单项式乘以多项式法则 和合并同类项法则及其应用． 4．（2023上·重庆璧山·八年级重庆市璧山中学校校考期中）我们已经学习过多项式除以单项式，多项式除 以多项式一般可用竖式计算，步骤如下：①把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐； ②用被除式的第一项除以除式第一项，得到商式的第一项； ③用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），消去相等项； ④把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数 时为止，被除式＝除式×商式＋余式．若余式为零，说明这个多项式能被另一个多项式整除． 例如：计算 ，可用竖式除法如图： 所以 除以 ，商式为 ，余式为0． 根据阅读材料，请回答下列问题： (1) ______； (2)计算： ； (3) 能被 整除，求a、b的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）模仿例题，可用竖式计算； （3）设商式为 ，则有 ，根据对 应项系数相等即可解决问题．【详解】（1） ． （2） ． （3）设商式为 ， 则有 ． 【点睛】本题考查整式的乘法，解题的关键是掌握整式的乘除法运算法则，学会模仿解题，属于中考常考 题型．5．（2022上·上海闵行·七年级校考周测）阅读材料，回答下列问题．阅读材料，回答下列问题． 多项式相乘的计算法则为用多项式中的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把结果加起来，例如 （乘法分配律） （合并同类项） 则 叫做 的展开式， 叫做 的展开式． (1)计算 的展开式； (2)请指出 是几次几项式，并计算 的展开式（按照x进行降幂排列），指出这个展开式是几 次几项式，并推测 是几次几项式（用n表示，其中n为正整数）； (3)推测 的展开式中各项系数之和，并证明你的结论（用n表示，其中n为正整数）． 【答案】(1) (2) 的展开式是二次三项式； 的展开式是三次四项式； 是n次 项式 (3) 的系数之和为 ，证明见解析 【分析】（1）按照完全平方公式，将 展开即可； （2）将 展开，然后得出 是几次几项式即可，按照多项式乘法运算法则将 展开，得 出这个展开式是几次几项式即可；找出规律推测 是几次几项式即可； （3）根据 展开式的各项系数之和为 ， 展开式的各项系数之和为 ，展开式的各项系数之和为 ， 展开式的各项系数之和为 ，……得出 的展开式中各项系数之和即可，设 ，令 ， ，则 ，得出 ，从而证明结论． 【详解】（1）解： ， ∴ 的展开式为 ． （2）解：∵ ， ∴ 的展开式是二次三项式； ∵ ， ∴ 的展开式是三次四项式； 由 的展开式是二次三项式， 的展开式是三次四项式，推测 是n次 项式． （3）解： 的系数之和为 ，理由如下：∵ 展开式的各项系数之和为 ， 展开式的各项系数之和为 ， 展开式的各项系数之和为 ， 展开式的各项系数之和为 ， …… ∴ 展开式的各项系数之和为 ； 设 ， 令 ， ， 则 ， ∴ ， 即 展开式的各项系数之和为 ． 【点睛】本题主要考查了多项式乘法，解题的关键是熟练掌握多项式乘多项式运算法则，准确计算． 【经典例题八 已知多项式乘积不含某项字母求字母的值】 1．（2023上·山西临汾·八年级校考阶段练习）若 的乘积中不含 项，则常数a的值为 （ ） A．3 B． C． D．－3 【答案】C 【分析】利用多项式乘多项式的法则运算并合并同类项，再令 项的系数为0得到关于a的方程求解即可． 【详解】解：, ∵多项式 的乘积中不含 项， ∴ ，解得： ． 故选C． 【点睛】本题主要考查了整式有关性质、多项式乘多项式等知识点，令 项的系数为0得到关于a的方程 是解题的关键． 2．（2022下·江苏泰州·七年级校考期中）若 的结果中不含 项，则a、b满足的数量关系 为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】原式利用多项式乘多项式法则计算，合并后根据结果不含 项，即可求出a与b的值． 【详解】解： ∵不含 项， ∴ ， ∴ , 故选：C． 【点睛】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 3．（2023下·四川达州·七年级四川省大竹中学校考期末）若 的积中不含 项与 项．则 代数式 的值为 ． 【答案】 /0.5【分析】利用多项式乘多项式的法则进行计算，然后根据题意可得 ， ，从而可得m，n 的值，最后代入式子中进行计算，即可解答． 【详解】解： ， 的积中不含 项与 项， ， ， ， ， ， 代数式 的值为 ， 故答案为： ． 【点睛】此题考查的是多项式乘多项式，掌握其运算法则是解决此题的关键． 4．（2023下·浙江宁波·七年级统考期中）已知a，b是常数，若化简 的结果不含x的 二次项，则 ． 【答案】0 【分析】利用多项式乘多项式的法则进行运算，再根据结果不含x的二次项可得，x的二次项系数为0，进 行求解即可．【详解】解： ， ∵结果不含x的二次项， ∴ ， ∴ ． 故答案为：0． 【点睛】本题主要考查多项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握，以及明白结果不含某项 可得，则该项系数为0，． 5．（2023下·广东深圳·七年级校联考期末）已知关于 的三次三项式 及关于 的二次三项 式 （ ， 均为非零常数）． (1)当 为关于 的三次三项式时， _______． (2)当多项式 与 的乘积中不含 项时， ________． (3)若 写成 （其中a，b，c，d均为常数），求 的值． (4)若 能被 整除，求 的值． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）由题意知， ，由 为关于 的三次三 项式， ， 均为非零常数，可得 ，计算求解即可； （2）由题意知， ，由多项式 与 的乘积中不含 项，可得 ，计算求解即可； （3）由 ， ，可知当 时， ；当 时， ，则 ； （4）由 能被 整除，令 ，则 ，即 ， ， 然后计算 即可． 【详解】（1）解：由题意知， ， ∵ 为关于 的三次三项式， ， 均为非零常数， ∴ ， 解得， ， 故答案为： ； （2）解：由题意知， ， ∵多项式 与 的乘积中不含 项， ∴ ， 解得， ， 故答案为：2； （3）解：∵ ， ， ∴当 时， ； 当 时， ， ∴ ， ∴ ； （4）解：∵ 能被 整除， 令 ， ∴ ， ∴ ， ，∴ ． 【点睛】本题考查了整式的加法运算，多项式乘多项式，多项式的项，代数式求值．解题的关键在于对知 识的熟练掌握与灵活运用． 【经典例题九 多项式乘多项式的化简求值】 1．（2022上·山西临汾·八年级统考期中）已知 ， ，则 的值为（ ） A．3 B．7 C．-7 D．-17 【答案】A 【分析】由多项式乘以多项式进行化简和变形，然后整体代入计算即可解答． 【详解】解： ， ， ， ． 故选A． 【点睛】本题主要考查了多项式乘以多项式，掌握运算法则正确的进行化简是解题的关键． 2．（2023下·陕西西安·七年级西北大学附中校考期末）若多项式 是由整式 与另一个整式 相乘得到的，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知得到 ，将等式左侧展开，比较系数可得关于 ， 的方程 组，解方程组即可． 【详解】解： 是由整式 与另一个整式 相乘得到的， ，， ， 解得： ， ， 故选： ． 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式的运用，熟练掌握相关概念是解题的关键． 3．（2023下·浙江·七年级期中）已知 ， ，则 ． 【答案】 【分析】利用多项式乘多项式法则先计算 ，再整体代入求值． 【详解】解： ． 当 ， 时， 原式 ． 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式法则，掌握多项式乘多项式法则是解决本题的关键． 4．（2021下·浙江·七年级期中）若 能被 整除，则 ； ． 【答案】 6 25 【分析】将 写成 ，再根据多项式的乘法法则展开，两边的系数进行比 较即可得． 【详解】解：由题意得： ，其中 为常数， ， ，， 即 ， 则 ，且 ， 解得 ， ， 故答案为：6，25． 【点睛】本题考查了整式的乘除法、二元一次方程组，熟练掌握整式的运算法则是解题关键． 5．（2020上·福建龙岩·八年级龙岩初级中学校考阶段练习）化简求值 (1) ，其中 ． (2) ，其中 ， ． 【答案】(1) ；当 时，原式为20 (2) ；当 ， 时，原式为4 【分析】（1）先利用单项式乘多项式计算乘法，再利用合并同类项，最后代入求值即可； （2）利用完全平方公式和平方差公式化简小括号，再合并同类项计算中括号中的式子，最后利用多项式 除以单项式，再代入求值即可． 【详解】（1）解： ， ， ， 当 时，原式 ； （2）解： ， ，， ， 当 ， 时， 原式 ． 【点睛】本题考查了整式的化简求值，熟知单项式乘以多项式，完全平方公式，平方差公式计算法则是解 题的关键． 【经典例题十 多项式乘法中的规律性问题】 1．（2022上·安徽阜阳·八年级阜阳实验中学校考期中）观察下列等式： ， ， ，……，利用你发现的规律回答：若 ，则 的值是( ) A． B．0 C．1 D． 【答案】A 【分析】可得 ，从而可求 ，由 即可求解． 【详解】解：由题意得 ， ， ， ； 故选：A． 【点睛】本题考查了规律探究，幂的乘方逆用，掌握幂的乘方公式是解题的关键．2．（2023下·陕西西安·七年级陕西师大附中校考阶段练习）我国宋代数学家杨辉所著《详解九章算法》中 记载了用如图所示的三角形解释了二项和的乘方展开式中的系数规律，我们把这种数字三角形叫做“杨辉 三角”，请你利用杨辉三角，计算 的展开式中含 项的系数是（ ） 1 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 A．160 B．80 C．60 D．48 【答案】C 【分析】根据表格中的系数找出规律确定出所求即可． 【详解】解：依据此规律， ∴ ． ∴ 的展开式中含 项的系数是60． 故选：C． 【点睛】此题考查了整式乘法中的规律型：数字的变化类，找出系数的规律是解本题的关键． 3．（2023下·湖南张家界·七年级统考期末）根据 ， ， ， …的规律，则可以得出 的末位数字是 ． 【答案】5【分析】根据前几个等式的变化规律得到第n个等式为 ，进而求 解即可． 【详解】解：第1个等式为 ， 第2个等式为 ， 第3个等式为 ， 第4个等式为 ， …… 第n个等式为 ， ∴ ， ∵ ， ， ， ， ， ， ， ……， ∴ 的末位数是以2、4、8、6每四个一个循环， 又 ， ∴ 即 的末位数为5， 故答案为：5． 【点睛】本题考查整式的规律探究、数字类规律探究，理解题意，找到变化规律是解答的关键． 4．（2023下·山东青岛·七年级校考阶段练习）数学兴趣小组发现： 利用你发现的规律：求： ． 【答案】【分析】观察题目所给的式子可以得到规律 ，然后把 代 入式子中进行求解即可． 【详解】解： ； ； ； ∴可以得到规律 ， 当 时： ， ． 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查了多项式乘法中的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键． 5．（2023上·四川宜宾·八年级校考阶段练习）探索题： ……(1)当 时， ＝ ． (2)试求： 的值． (3)判断 的值个位数字是 ． 【答案】(1) ； (2)63 (3)5 【分析】（1）根据阅读部分的提示利用规律求解即可； （2）根据题意可得： ，即可求解； （3）先根据题意求得 ，找出个位数字的循环规律，即可求解． 【详解】（1）解：当 时， ， （2）根据题意可得： 则 ； （3）根据题意可得： ∵ ， ， ， ， ， ， ， 则个位数字是按照 、 、 、 四个数依次循环， ， ∴ 的个位数字为6 则 的个位数字为5． 【点睛】此题考查了多项式乘多项式与规律的综合，找出个位数字的循环规律是解题的关键． 【经典例题十一 整式乘法混合运算】 1．（2023下·湖南郴州·七年级校考阶段练习）先化简，再求值： ，其中， ． 【答案】 ， 【分析】首先去括号、合并同类项，得到最简式，把x、y的值代入最简式，求出即可． 【详解】 当 ， 时，原式 ． 【点睛】本题考查了整式的混合运算和求值的应用，熟练掌握整式的混合运算和求值是解题的关键． 2．（2021上·上海·七年级统考期末）计算： ． 【答案】 【分析】单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加；积的乘方法则： 把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘， 对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 【详解】解：原式 ， ． 【点睛】本题考查单项式与多项式相乘，积的乘方，单项式与单项式相乘，解题的关键是掌握以上运算法 则． 3．（2023上·山东滨州·八年级统考期末）（1）某学校准备在一块长为 米，宽为 米的长方形 空地上修建一块长为 米，宽为 米的长方形草地，四周铺设地砖（阴影部分），求铺设地砖的 面积（用含a，b的式子表示，结果化为最简）． （2）已知 ， ．求 的值．【答案】（1） ；（2） 【分析】(1)首先根据题意和图形即可列出代数式，再进行整式的混合运算，即可求解； (2)首先由 ， 可得 ，再把 变形，代入数值，即可求得结果． 【详解】解：(1)根据题意得： = 所以，铺设地砖的面积为： ； （2） ， ， ， ， ； ． 【点睛】本题考查了列代数式，整式的混合运算，代数式求值问题，熟练掌握和运用各运算法则是解决本 题的关键． 4．（2022上·河北衡水·七年级校考期中）七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式 的值与x的取值无关，求a的值”，通常的解题方法是：把x、y看作字母，a看作系 数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0， 即原式 ，所以 ，则 ．(1)若关于x的多项式 的值与x的取值无关，求m值； (2)已知 ， ；且 的值与x无关，求y的值； (3)7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形 内，大长方形中未 被覆盖的两个部分(图中阴影部分)，设右上角的面积为 ，左下角的面积为 ，当 的长变化时， 的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先展开，再将含x的项合并，根据题意可知x项的系数为0，据此即可作答； （2）先计算 可得到 ，根据题意可知x项的系数为0，据此即可作答； （3）设 ，由图可知 ， ，则 ， 根据当 的长变化时， 的值始终保持不变，可知 的值与 的值无关，即有 ，则问 题得解． 【详解】（1） ， ∵关于 的多项式 的值与 的取值无关， ∴ ，解得 ； （2）∵ ， ， ∴ ， ∵ 的值与 无关， ∴ ， 解得 ； （3）解：设 ， 由图可知 ， ，则 ∵当 的长变化时， 的值始终保持不变， ∴ 的值与 的值无关， ∴ ， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，涉及整式的乘法、整式的加减知识，熟练掌握整式加 减乘法的运算法则是解题关键． 5．（2022下·甘肃天水·七年级统考期中）阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 如果两个两位数ab，cd，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后得到两个完全不同的新数ba，dc， 这两个两位数的乘积与交换后的两个两位数的乘积相等，则称这样的两个两位数为一对“有缘数对”． 例如： ，所以，46和96是一对“有缘数对”．任务： (1)下列各组数中，是“有缘数对”的有______．（填序号） ①13与62 ②28与84 ③43与68 ④54与45 (2)在“有缘数对”中，a，b，c，d之间满足怎样的等量关系？请说明理由． (3)若两位数A的十位与个位上的数字分别为 ， ，两位数B的十位与个位上的数字分别为 ， ，则A与B是一对“有缘数对”吗？请说明理由． 【答案】(1)①③④ (2) ，理由见解析 (3)A与B是一对“有缘数对”，理由见解析 【分析】（1）根据题中“有缘数对”的计算方法进行验证即可得出结果； （2）根据数字列出相应代数式，然后得出等式化简即可得； （3）根据（2）中结论进行整式的化简即可得出结果． 【详解】（1）解：① ，“有缘数对”， ② ，不是“有缘数对”， ③ ，“有缘数对”， ④ ，“有缘数对”， 故答案为：①③④； （2）解： ， 即 ， 化简得 ， ∴ ． （3）A与B是一对“有缘数对”， 理由如下： ， ， ∴ ， 根据（2）可知A与B是一对“有缘数对”．【点睛】题目主要考查整式的乘法及应用，理解题中新定义的“有缘数对”是解题关键． 【重难点训练】 1．（2023上·上海·七年级校考期中）在下列运算中，计算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查同底数幂，合并同类项，积的乘方，幂的乘方，利用法则对各项进行运算即可． 【详解】解：A、 ，故A不符合题意； B、 ，故B不符合题意； C、 与 不属于同类项，不能合并，故C不符合题意； D、 ，故D符合题意； 故选：D． 2．（2023上·福建福州·八年级统考期中）已知 ，若 ， 均为整数，则 的值不 可能为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了多项式乘多项式，根据多项式乘多项式的乘法法则，得到 ， ，再根据 和 为整数，进行分类讨论是解题的关键． 【详解】∵ ， ∴ ， 则 ， ， ∵ 和 均为整数， ∴当 时， ，此时 ； 当 时， ，此时 ； 当 时， ，此时 ；当 时， ，此时 ； 综上： 或 ， 故选： ． 3．（2023上·福建泉州·七年级统考期中）已知 ，则 的值为 （ ） A．32 B．31 C．16 D．15 【答案】D 【分析】本题考察整式的化简求值，令 求得 的值，再分别令 和 得到对应的等式，然后两 式做合后计算并整理即可． 【详解】当 时， ； 当 时， ①， 当 时， ②， 得： ， 则 ， ， 故选：D． 4．（2023上·湖北襄阳·九年级校联考阶段练习）若 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】已知等式右边利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出 与 的值，即可 求出 的值． 【详解】解：已知等式整理得： ， 可得 ， ， 解得： ， ， 则 ，故选：B． 【点睛】此题考查了多项式乘多项式，以及多项式相等的条件，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 5．（2023上·山西长治·八年级长治市第六中学校校考阶段练习）如图，在一块长 ，宽 的长方形空 地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与长方形的一条边垂直），剩余部分栽种花草美化 环境，设道路的管度为 ，则栽种花草的面积表示不正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据栽种花草的面积的不同求法求解即可． 【详解】解：A、把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的部分是一个长方形，根 据长方形的面积公式列方程．剩下长方形的长是 ，宽是 ，所以栽种花草的面积是 ，故该选项正确； B、栽种花草的面积＝大长方形的面积-两条路的面积+两条路重合正方形的面积，即 ， 故该选项正确； C、把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，栽种花草的面积＝大长方形的面积-两条路的面 积-正方形的面积，即 ，故该选项正确； D、该选项栽种花草的面积表示不正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，利用平移的性质求得花草面积是解题关键．6．（2023上·湖北十堰·七年级校联考期中）如图，长为 ，宽为 的大长方形被分割为7小块， 除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为 ，下列说法中正确的 是（ ） ①小长方形的较长边为 ； ②阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为 ； ③若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值； ④当 时，阴影A和阴影B的面积和为定值． A．①③ B．②④ C．①③④ D．①④ 【答案】C 【分析】由题意知，小长方形的较长边为 ，阴影A的较短边为 ， 较长边为 ，阴影B的较短边为 ，较长边为12 ，根据各说法列代数式求解， 进而可判断各说法的正误． 【详解】解：由题意知，小长方形的较长边为 ，①正确，故符合要求； 阴影A的较短边为 ，阴影B的较短边为 ， ∴阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为 ；②错误，故不符合要求； 阴影A的较长边为 ，阴影B的较长边为12 ， ∴阴影A和阴影B的周长和为 ， ∴若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值，③正确，故符合要求； 当 时，阴影A和阴影B的面积和为 ，④正确，符合 要求；∴正确的有①③④， 故选：C． 【点睛】本题考查了列代数式以及整式的混合运算．正确的列代数式表示阴影 的边长是解题的关键． 7．（2023上·云南昆明·八年级昆明市第三中学校考期中）如果 ， ，那么 ． 【答案】100 【分析】根据幂的乘方与积的乘方法则、同底数幂的乘法法则进行计算即可． 【详解】∵ ， ， ∴ ． 故答案为：100 【点睛】本题考查的是幂的乘方与同底数幂的乘法法则，熟知以上知识是解题的关键． 8．（2023上·辽宁大连·八年级统考期中）若 ， ， ， 为正整数，则 ． 【答案】 / 【分析】本题考查的是同底数幂的乘法，根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加进行计算即可． 【详解】解： ， ， ． 故答案为： ． 9．（2023上·上海·七年级校考期中）计算： .（结果用幂的形 式表示） 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，根据同底数幂的乘法法则计算即可得． 【详解】解：原式 ． 故答案为： ． 10．（2023上·北京东城·八年级汇文中学校考期中）已知 ， ，，根据前面各式的规律，可得： 的值 是 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘多项式的规律探究，根据给定的等式，得到 ， 将 乘以 ，即可得出结果． 【详解】解：∵ ， ， ， ∴ ， ∴ ； 故答案为： ． 11．（2023上·四川成都·八年级成都市树德实验中学校考期中）定义一种新运算 ，若 ，则 ，例 ， ．若 ，则 ；若 ，则 的值为 ． 【答案】 64 77 【分析】设 ，根据题意和同底数幂乘法的逆用即可求解． 【详解】解：由题意得： ， ∴ ； 设 ， 由题意得： ， ∵ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故答案为：64，77【点睛】本题考查新定义下的运算，同底数幂乘法的逆用,理解题意，掌握新定义下的运算法则是解题关键． 12．（2023上·重庆沙坪坝·七年级重庆八中校考期中）小杨为一个长方形娱乐场所提供了如图所示的设计 方案，其中半圆形休息区和长方形游泳区外的地方都是绿地．这个娱乐场所的长与宽之间满足 ，而 小杨设计的长方形游泳区的长和宽分别为 和 ，其中 ， ，请用 的代数式表示绿地的面积 为 ． 【答案】 【分析】首先结合题意得出 ， ，然后根据矩形面积公式、半圆面积公式表示出绿地的面积， 并将 、 、 代入计算即可． 【详解】解：根据题意， ， ， ， ∴ ， ， ∴绿地的面积为 ． 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查了整式运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 13．（2023上·北京海淀·八年级北京市八一中学校考期中）计算：(1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）本题主要考查积的乘方运算及幂的乘方运算，根据 、 直接求解即可 得到答案； （2）本题主要考查同底数幂的乘法运算及合并同类项，先根据 计算，再合并同类项即可得到 答案； （3）本题考查多项式除以单项式，用多项式的每项去除以单项式即可得到答案； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 14．（2023上·河南驻马店·八年级校考阶段练习）若 的展开式中不含 和 项， 求 的值． 【答案】23 【分析】直接利用多项式乘以多项式进而得出 和 项的系数为零进而得出答案；【详解】原式 ， 由题意知：展开式中不含 和 项，则有 解得： ． 【点睛】此题主要考查了多项式乘以多项式运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 15．（2023上·山西晋城·八年级统考期中）在数学中，我们经常会运用逆向思考的方法来解决一些问题， 例如：“若 ， ，求 的值．”这道题我们可以这样思考：逆向运用同底数幂的乘法公式， 即 ，所以 ，所以 ． (1)若 ， ，请你也利用逆向思考的方法求出 的值． (2)下面是小宇用逆向思考的方法完成的一道作业题，请你参考小宇的方法解答下面的问题： 小宇的作业 计算： ． 解： ． ①小宇的求解方法逆用了哪一条幂的运算性质，直接写出该逆向运用的公式：________． ②计算： 【答案】(1)4 (2)① ；②0.25 【分析】此题考查了积的乘方、同底数幂的乘法、幂的乘方等运算法则，熟练掌握公式的逆用是解题的关 键． （1）运用逆用同底数幂的乘法公式和幂的乘方公式进行计算即可； （2）①根据题意得到是逆用积的乘方，写出公式即可；②逆用积的乘方进行计算即可． 【详解】（1）∵ ，∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴ ． （2）① ． ② ． 16．（2023上·山西运城·七年级统考期中）（1）下面是乐乐同学进行整式化简的过程，请认真阅读并完成 相应任务． 解： 第一步 第二步 第三步 任务一： ①以上化简步骤中，第一步依据的运算律是________． ②以上化简中第________步出现错误，出现错误的原因是________． 任务二：直接写出正确的化简结果________． （2）先化简，后求值．，其中 ． 【答案】（1）①乘法分配律；②二；括号前面是减号时，去掉括号，未进行变号；任务二： ； （2） ； 【分析】本题考查了整式的化简求值， （1）根据整式的混合运算法则，先算乘法，再去括号，最后合并同类项，即可解答； （2）根据整式的混合运算法则，先算乘法，再去括号，再合并同类项，最后代入求值即可解答，熟练掌 握整式的混合运算法则，单项式乘多项式时，不要忘记漏乘，去括号时，注意变号，是解题的关键． 【详解】解：（1）正确的计算过程为： 第一步 第二步 第三步 ①以上化简步骤中，第一步依据的运算律是乘法分配律； ②以上化简中第二步出现错误，出现错误的原因是括号前面是减号时，去掉括号，未进行变号； 故答案为：①乘法分配律；②二；括号前面是减号时，去掉括号，未进行变号；任务二： ； （2） ， ， ， ， 当 时，原式 ． 17．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）如图，哈市某小区有一块长为 米，宽为 米 的长方形地块，角上有四个边长为 米的小正方形空地，开发商计划将阴影部分进行绿化．(1)用含有a、b的式子表示绿化的总面积；（结果写成最简形式）； (2)当 ， 时，开发商找来甲、乙两个绿化队完成此项绿化任务，已知甲队每小时可以绿化5平方 米，乙队每小时绿化3平方米，若要求甲队的工作时间不超过乙队的工作时间，则甲队至多工作多少小时？ 【答案】(1) (2)100小时 【分析】此题考查了整式的乘法的应用，熟练掌握运算法则列出代数式是解本题的关键； （1）根据矩形和正方形的面积公式即可得到结论； （2）把 ， 代入（1）的代数式；设甲队工作x小时，根据题意列方程即可得到结论； 【详解】（1） ； （2）当 ， 时， 原式 ， 设甲队工作x个小时， ， ， 答：最多100小时． 18．（2023上·福建泉州·八年级校联考期中）规定两个非零数a，b之间的一种运算，记作 ：如果 ，那么 ． 例如：因为 ，所以 ；因为 ，所以 ． 根据上述规定，解答下列问题： (1)填空： ， ；(2)求证：对任意不等于零的实数p，m，n，总有 ． 【答案】(1)2，3 (2)证明见解析 【分析】本题考查新定义，整数指数幂，同底数幂的除法，理角新定义和掌握同底数幂的除法法则与整数 指数幂运算法则是解题的关键． （1）根据新定义的规定求解即可； （2）设 ， ，分别求出 ， ，即可证明； 【详解】（1）解： ， ， ， ， 故答案为：2，3． （2）证明：设 ， ， 则 ， 依题意有： ， ， ， 根据规定即有： ， ． 19．（2023上·四川德阳·七年级统考阶段练习）学校课外学习小组想靠着一面足够长的旧墙 ，开垦一 块长方形的实验田 ，如图所示，实验田的一边靠墙，另外三边用竹篱笆围起来，并在平行于墙的一 边 上留1米宽装门，已知现有竹篱笆长共27米．(1)设垂直于墙面的一边 长为 米，则 边的长用含 的代数式可表示为 ______米； (2)用含 的代数式来表示实验田 的面积； (3)当 时，实验田面积为多少平方米？ 【答案】(1) (2) 平方米 (3) 【分析】（1）根据 ，可得 ，整理可得答案； （2）根据长方形的面积 长 宽可得答案； （3）把 代入可得实验田的面积． 【详解】（1）解： 米， 故答案为： ； （2） ， ， 平方米； （3）当 时， （平方米）． 【点睛】本题考查列代数式和代数式的值，根据题意列出代数式是解题关键． 20．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第六十九中学校校考期中）问题提出： 如图，将全体正整数排成一个三角形数阵，按照图中排列的规律，第n行( )从左向右的第3个数字为 m，请用含n的代数式表示m． 问题解决：小明同学认真观察数阵，经过思考后解决了问题，小明同学分两步解决这个问题 第1步先计算出数阵第 行的末尾数字． 第2步再计算出m．请认真分析小明的解题过程并填空． 小明的解题过程： 因为第1行有1个数字是1，第2行有2个数字是2，3，第n行有n个数字， 所以第 行应该有 个数字，因此前 行共有数字 个， 所以三角形数阵的第 行末尾数字用含n的代数式表示为______(直接填写) 因为第n行( )从左向右的第3个数字为m，由此可得： ______．(直接填写) 【答案】 ； 【分析】本题是通过观察数阵找规律的题目，关键是找到规律：第n行有n个数字，从而得到前 的 数字总数，即第 行的最后一个数字，从而得到第n行( )从左向右的第3个数字，即m的值． 【详解】解：观察数阵，从第1行开始各行分别有整数的个数为：1，2，3，4，5，…，由此发现第n行有 n个数； 第 行应该有 个数字，因此前 行共有数字 ，所以三角形数阵的第 行末尾数字用含n的代数式表示为： ． 因为第n行( )从左向右的第3个数字为m， 由此可得： ． 故答案为： ； ．