专题12整式的乘法重难点题型专训（11大题型）（学生版）_初中数学_八年级数学上册（人教版）_重难点专题提升-V7_2024版

专题12 整式的乘法重难点题型专训（11大题型） 【题型目录】 题型一 同底数幂的乘法 题型二 幂的乘方 题型三 积的乘方 题型四 同底数幂的除法 题型五 计算单项式乘单项式 题型六 计算单项式乘多项式 题型七 计算多项式乘多项式 题型八 已知多项式乘积不含某项字母求字母的值 题型九 多项式乘多项式的化简求值 题型十 多项式乘法中的规律性问题 题型十一 整式乘法混合运算 【知识梳理】 知识点一 同底数幂的乘法 aman amn m, n (其中 都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 法则： 特别说明： （1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式. amanap amnp m, n, p （2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 即 （ 都是正整 数）. （3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的 amn aman m, n 指数之和等于原来的幂的指数。即 （ 都是正整数）. 知识点二、幂的乘方、积的乘方法则 幂的乘方法则 (am)n amn m, n (其中 都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘. ((am)n)p amnp a0 m,n, p 特别说明：（1）公式的推广： ( ， 均为正整数) amn   amn   anm （2）逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些 幂变形，从而解决问题. 积的乘方法则 (ab)n anbn n (其中 是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. (abc)n anbncn n 特别说明：（1）公式的推广： ( 为正整数). anbn abn （2）逆用公式： 逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，10 10 1 1  210  2 1.     2 2  计算更简便.如： 注意事项 （1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式. （2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要遗漏. （3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加. （4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方. （5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁. （6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯. 知识点三、同底数幂的除法法则 同底数幂的除法 am an amn a m、n mn 同底数幂相除，底数不变，指数相减，即 （ ≠0， 都是正整数，并且 ） 特别说明：（1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算. （2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式. （3）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质. （4）底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式. 零指数幂 a0 1 a 任何不等于0的数的0次幂都等于1.即 （ ≠0） a 00 特别说明：底数 不能为0， 无意义.任何一个常数都可以看作与字母0次方的积.因此常数项也叫 0次单项式. 知识点四、单项式的乘法法则 单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含 有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式. 特别说明： （1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用. （2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行 有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不 变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因 式. （3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成. （4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则. 知识点五、单项式与多项式相乘的运算法则 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. m(abc)mambmc 即 . 特别说明：（1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项 式的问题. （2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同. （3）计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项 式的符号. （4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果. 知识点六、多项式与多项式相乘的运算法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即 abmnamanbmbn . 特别说明：多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的 项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘： xaxb x2 abxab . 【经典例题一 同底数幂的乘法】 1．（2023·河北沧州·模拟预测）算式 的运算结果是（ ） A． B． C． D． 2．（2023下·江苏淮安·七年级统考期末）如果 ，那么我们规定 ．例如：因为 ，所以 ．记 ， ， ．则a、b和c的关系是（ ） A． B． C． D．无法确定 3．（2023上·辽宁大连·八年级统考期中）若 ， ， ， 为正整数，则 ． 4．（2022上·浙江台州·八年级校考期中）计算： 5．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨德强学校校考阶段练习）阅读探究，理解应用．根据乘方的意义 填空，并思考： ① ； ② ；③ (m，n是正整数)； ④一般地，对于任意底数 a 与任意正整数m，n，则有： ，根据你发现的规律，完成下列问题： 计算： （1） ； ； ； （2）已知 ， ，求 的值． 【经典例题二 幂的乘方】 1．（2023上·吉林长春·八年级校考阶段练习）已知 ，则 的大小关系是（ ） A． B． C． D． 2．（2022上·湖北武汉·八年级统考期末）已知 ， ， 均为正整数，且满足 ，则 的取值不可能是（ ） A． B． C． D． 3．（2023下·浙江温州·七年级校联考期中）已知 ， ，则 ． 4．（2023上·山西临汾·八年级校考阶段练习）已知 ， ，m，n为正整数，则 ． 5．（2023上·北京海淀·八年级北京市十一学校校考期中）如果 ，那么称 为 的劳格数，记为 ，由定义可知： 与 所表示的是 两个量之间的同一关系． (1)根据劳格数的定义，填空： _______；(2)劳格数有如下运算性质： 若 为正数，则 ， ． 根据运算性质， 填空： ______（ 为正数）． 若 ，则 ______， ______；（答案精确到小数点后一位） (3)已知 ， ， ，则 之间的等量关系式为______． 【经典例题三 积的乘方】 1．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨风华中学校考期中）计算： 的值为（ ）． A． B． C． D． 2．（2023上·广东广州·八年级广州市黄埔军校纪念中学校考阶段练习）已知 ， ，则 的值 为（ ） A．24 B．18 C．11 D．9 3．（2023上·四川乐山·八年级校考阶段练习）已知 ， ，则 的值是 ． 4．（2023上·八年级课时练习）已知a，b为任意非零实数，且 ，则 ． 5．（2023上·山西晋城·八年级统考期中）在数学中，我们经常会运用逆向思考的方法来解决一些问题，例 如：“若 ， ，求 的值．”这道题我们可以这样思考：逆向运用同底数幂的乘法公式，即 ，所以 ，所以 ． (1)若 ， ，请你也利用逆向思考的方法求出 的值． (2)下面是小宇用逆向思考的方法完成的一道作业题，请你参考小宇的方法解答下面的问题：小宇的作业 计算： ． 解： ． ①小宇的求解方法逆用了哪一条幂的运算性质，直接写出该逆向运用的公式：________． ②计算： 【经典例题四 同底数幂的除法】 1．（2022·湖北武汉·校考模拟预测）下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 2．（2023下·河北衡水·九年级校考阶段练习）化简 的结果为（ ） A．1 B． C． D． 3．（2023上·湖南岳阳·八年级校考阶段练习）若 ， ，则 ． 4．（2023上·八年级课时练习）（1）若 ， ，则 的值为 ． （2）已知 ， ，则 的值为 ． 5．（2023上·福建泉州·八年级校联考期中）规定两个非零数a，b之间的一种运算，记作 ：如果 ，那么 ． 例如：因为 ，所以 ；因为 ，所以 ． 根据上述规定，解答下列问题： (1)填空： ， ；(2)求证：对任意不等于零的实数p，m，n，总有 ． 【经典例题五 计算单项式乘单项式】 1．（2023上·福建福州·八年级校考期中）计算 (1) (2) (3) (4) 2．（2023上·全国·八年级课堂例题）计算： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 3．（2023下·江苏苏州·七年级校考阶段练习）计算： (1) (2) ． (3)(4) 4．（2023上·八年级课时练习）计算下列各式： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ； (6) ； (7) ； (8) ． 5．（2022上·全国·八年级专题练习）计算： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ．【经典例题六 计算单项式乘多项式】 1．（2023上·广东江门·八年级校考期中）先化简，再求值： ，其中 ， ． 2．（2023上·天津滨海新·八年级校考期中）计算； (1) (2) (3) (4) 3．（2023上·山西运城·七年级统考期中）（1）下面是乐乐同学进行整式化简的过程，请认真阅读并完成 相应任务． 解： 第一步 第二步 第三步 任务一： ①以上化简步骤中，第一步依据的运算律是________． ②以上化简中第________步出现错误，出现错误的原因是________． 任务二：直接写出正确的化简结果________． （2）先化简，后求值．，其中 ． 4．（2023下·山东烟台·六年级统考期末）已知 ． (1)求A和B； (2)若y满足 ，请用含x的代数式表示y； (3)在（2）的条件下，当 时，求 的值． 5．（2023上·八年级课时练习）计算下列各式： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ； (6) ． 【经典例题七 计算多项式乘多项式】 1．（2023上·四川遂宁·八年级射洪中学校考阶段练习）计算 (1) (2)(3) (4) 2．（2023上·全国·八年级专题练习）计算： (1) (2) (3) 3．（2023上·上海松江·七年级校考阶段练习）计算： ． 4．（2023上·重庆璧山·八年级重庆市璧山中学校校考期中）我们已经学习过多项式除以单项式，多项式除 以多项式一般可用竖式计算，步骤如下： ①把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐； ②用被除式的第一项除以除式第一项，得到商式的第一项； ③用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），消去相等项； ④把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数 时为止，被除式＝除式×商式＋余式．若余式为零，说明这个多项式能被另一个多项式整除． 例如：计算 ，可用竖式除法如图： 所以 除以 ，商式为 ，余式为0． 根据阅读材料，请回答下列问题：(1) ______； (2)计算： ； (3) 能被 整除，求a、b的值． 5．（2022上·上海闵行·七年级校考周测）阅读材料，回答下列问题．阅读材料，回答下列问题． 多项式相乘的计算法则为用多项式中的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把结果加起来，例如 （乘法分配律） （合并同类项） 则 叫做 的展开式， 叫做 的展开式． (1)计算 的展开式； (2)请指出 是几次几项式，并计算 的展开式（按照x进行降幂排列），指出这个展开式是几 次几项式，并推测 是几次几项式（用n表示，其中n为正整数）； (3)推测 的展开式中各项系数之和，并证明你的结论（用n表示，其中n为正整数）．【经典例题八 已知多项式乘积不含某项字母求字母的值】 1．（2023上·山西临汾·八年级校考阶段练习）若 的乘积中不含 项，则常数a的值为 （ ） A．3 B． C． D．－3 2．（2022下·江苏泰州·七年级校考期中）若 的结果中不含 项，则a、b满足的数量关系 为（ ） A． B． C． D． 3．（2023下·四川达州·七年级四川省大竹中学校考期末）若 的积中不含 项与 项．则 代数式 的值为 ． 4．（2023下·浙江宁波·七年级统考期中）已知a，b是常数，若化简 的结果不含x的 二次项，则 ． 5．（2023下·广东深圳·七年级校联考期末）已知关于 的三次三项式 及关于 的二次三项 式 （ ， 均为非零常数）． (1)当 为关于 的三次三项式时， _______． (2)当多项式 与 的乘积中不含 项时， ________． (3)若 写成 （其中a，b，c，d均为常数），求 的值． (4)若 能被 整除，求 的值． 【经典例题九 多项式乘多项式的化简求值】1．（2022上·山西临汾·八年级统考期中）已知 ， ，则 的值为（ ） A．3 B．7 C．-7 D．-17 2．（2023下·陕西西安·七年级西北大学附中校考期末）若多项式 是由整式 与另一个整式 相乘得到的，则 的值为（ ） A． B． C． D． 3．（2023下·浙江·七年级期中）已知 ， ，则 ． 4．（2021下·浙江·七年级期中）若 能被 整除，则 ； ． 5．（2020上·福建龙岩·八年级龙岩初级中学校考阶段练习）化简求值 (1) ，其中 ． (2) ，其中 ， ． 【经典例题十 多项式乘法中的规律性问题】 1．（2022上·安徽阜阳·八年级阜阳实验中学校考期中）观察下列等式： ， ， ，……，利用你发现的规律回答：若 ，则 的值是( ) A． B．0 C．1 D． 2．（2023下·陕西西安·七年级陕西师大附中校考阶段练习）我国宋代数学家杨辉所著《详解九章算法》中 记载了用如图所示的三角形解释了二项和的乘方展开式中的系数规律，我们把这种数字三角形叫做“杨辉 三角”，请你利用杨辉三角，计算 的展开式中含 项的系数是（ ） 1 11 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 A．160 B．80 C．60 D．48 3．（2023下·湖南张家界·七年级统考期末）根据 ， ， ， …的规律，则可以得出 的末位数字是 ． 4．（2023下·山东青岛·七年级校考阶段练习）数学兴趣小组发现： 利用你发现的规律：求： ． 5．（2023上·四川宜宾·八年级校考阶段练习）探索题： …… (1)当 时， ＝ ． (2)试求： 的值．(3)判断 的值个位数字是 ． 【经典例题十一 整式乘法混合运算】 1．（2023下·湖南郴州·七年级校考阶段练习）先化简，再求值： ，其中 ， ． 2．（2021上·上海·七年级统考期末）计算： ． 3．（2023上·山东滨州·八年级统考期末）（1）某学校准备在一块长为 米，宽为 米的长方形 空地上修建一块长为 米，宽为 米的长方形草地，四周铺设地砖（阴影部分），求铺设地砖的 面积（用含a，b的式子表示，结果化为最简）． （2）已知 ， ．求 的值． 4．（2022上·河北衡水·七年级校考期中）七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式 的值与x的取值无关，求a的值”，通常的解题方法是：把x、y看作字母，a看作系 数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0， 即原式 ，所以 ，则 ．(1)若关于x的多项式 的值与x的取值无关，求m值； (2)已知 ， ；且 的值与x无关，求y的值； (3)7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形 内，大长方形中未 被覆盖的两个部分(图中阴影部分)，设右上角的面积为 ，左下角的面积为 ，当 的长变化时， 的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 5．（2022下·甘肃天水·七年级统考期中）阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 如果两个两位数ab，cd，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后得到两个完全不同的新数ba，dc， 这两个两位数的乘积与交换后的两个两位数的乘积相等，则称这样的两个两位数为一对“有缘数对”． 例如： ，所以，46和96是一对“有缘数对”． 任务： (1)下列各组数中，是“有缘数对”的有______．（填序号） ①13与62 ②28与84 ③43与68 ④54与45 (2)在“有缘数对”中，a，b，c，d之间满足怎样的等量关系？请说明理由． (3)若两位数A的十位与个位上的数字分别为 ， ，两位数B的十位与个位上的数字分别为 ， ，则A与B是一对“有缘数对”吗？请说明理由． 【重难点训练】 1．（2023上·上海·七年级校考期中）在下列运算中，计算正确的是（ ）A． B． C． D． 2．（2023上·福建福州·八年级统考期中）已知 ，若 ， 均为整数，则 的值不 可能为（ ） A． B． C． D． 3．（2023上·福建泉州·七年级统考期中）已知 ，则 的值为 （ ） A．32 B．31 C．16 D．15 4．（2023上·湖北襄阳·九年级校联考阶段练习）若 ，则 （ ） A． B． C． D． 5．（2023上·山西长治·八年级长治市第六中学校校考阶段练习）如图，在一块长 ，宽 的长方形空 地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与长方形的一条边垂直），剩余部分栽种花草美化 环境，设道路的管度为 ，则栽种花草的面积表示不正确的是（ ） A． B． C． D． 6．（2023上·湖北十堰·七年级校联考期中）如图，长为 ，宽为 的大长方形被分割为7小块， 除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为 ，下列说法中正确的 是（ ） ①小长方形的较长边为 ；②阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为 ； ③若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值； ④当 时，阴影A和阴影B的面积和为定值． A．①③ B．②④ C．①③④ D．①④ 7．（2023上·云南昆明·八年级昆明市第三中学校考期中）如果 ， ，那么 ． 8．（2023上·辽宁大连·八年级统考期中）若 ， ， ， 为正整数，则 ． 9．（2023上·上海·七年级校考期中）计算： .（结果用幂的形 式表示） 10．（2023上·北京东城·八年级汇文中学校考期中）已知 ， ， ，根据前面各式的规律，可得： 的值 是 ． 11．（2023上·四川成都·八年级成都市树德实验中学校考期中）定义一种新运算 ，若 ，则 ，例 ， ．若 ，则 ；若 ，则 的值为 ． 12．（2023上·重庆沙坪坝·七年级重庆八中校考期中）小杨为一个长方形娱乐场所提供了如图所示的设计 方案，其中半圆形休息区和长方形游泳区外的地方都是绿地．这个娱乐场所的长与宽之间满足 ，而 小杨设计的长方形游泳区的长和宽分别为 和 ，其中 ， ，请用 的代数式表示绿地的面积 为 ．13．（2023上·北京海淀·八年级北京市八一中学校考期中）计算： (1) (2) (3) 14．（2023上·河南驻马店·八年级校考阶段练习）若 的展开式中不含 和 项， 求 的值． 15．（2023上·山西晋城·八年级统考期中）在数学中，我们经常会运用逆向思考的方法来解决一些问题， 例如：“若 ， ，求 的值．”这道题我们可以这样思考：逆向运用同底数幂的乘法公式， 即 ，所以 ，所以 ． (1)若 ， ，请你也利用逆向思考的方法求出 的值． (2)下面是小宇用逆向思考的方法完成的一道作业题，请你参考小宇的方法解答下面的问题： 小宇的作业 计算： ． 解： ． ①小宇的求解方法逆用了哪一条幂的运算性质，直接写出该逆向运用的公式：________．②计算： 16．（2023上·山西运城·七年级统考期中）（1）下面是乐乐同学进行整式化简的过程，请认真阅读并完成 相应任务． 解： 第一步 第二步 第三步 任务一： ①以上化简步骤中，第一步依据的运算律是________． ②以上化简中第________步出现错误，出现错误的原因是________． 任务二：直接写出正确的化简结果________． （2）先化简，后求值． ，其中 ． 17．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）如图，哈市某小区有一块长为 米，宽为 米 的长方形地块，角上有四个边长为 米的小正方形空地，开发商计划将阴影部分进行绿化． (1)用含有a、b的式子表示绿化的总面积；（结果写成最简形式）； (2)当 ， 时，开发商找来甲、乙两个绿化队完成此项绿化任务，已知甲队每小时可以绿化5平方米，乙队每小时绿化3平方米，若要求甲队的工作时间不超过乙队的工作时间，则甲队至多工作多少小时？ 18．（2023上·福建泉州·八年级校联考期中）规定两个非零数a，b之间的一种运算，记作 ：如果 ，那么 ． 例如：因为 ，所以 ；因为 ，所以 ． 根据上述规定，解答下列问题： (1)填空： ， ； (2)求证：对任意不等于零的实数p，m，n，总有 ． 19．（2023上·四川德阳·七年级统考阶段练习）学校课外学习小组想靠着一面足够长的旧墙 ，开垦一 块长方形的实验田 ，如图所示，实验田的一边靠墙，另外三边用竹篱笆围起来，并在平行于墙的一 边 上留1米宽装门，已知现有竹篱笆长共27米． (1)设垂直于墙面的一边 长为 米，则 边的长用含 的代数式可表示为 ______米； (2)用含 的代数式来表示实验田 的面积； (3)当 时，实验田面积为多少平方米？ 20．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第六十九中学校校考期中）问题提出： 如图，将全体正整数排成一个三角形数阵，按照图中排列的规律，第n行( )从左向右的第3个数字为 m，请用含n的代数式表示m．问题解决： 小明同学认真观察数阵，经过思考后解决了问题，小明同学分两步解决这个问题 第1步先计算出数阵第 行的末尾数字． 第2步再计算出m．请认真分析小明的解题过程并填空． 小明的解题过程： 因为第1行有1个数字是1，第2行有2个数字是2，3，第n行有n个数字， 所以第 行应该有 个数字，因此前 行共有数字 个， 所以三角形数阵的第 行末尾数字用含n的代数式表示为______(直接填写) 因为第n行()从左向右的第3个数字为m，由此可得：______．(直接填写)