文档内容
专题 16.7 分式十六大必考点
【人教版】
【考点1 分式有意义的条件】...............................................................................................................................1
【考点2 分式的基本性质的运用（扩大或缩小倍数）】....................................................................................2
【考点3 分式的值为整数】...................................................................................................................................2
【考点4 分式的值为正数或负数】.......................................................................................................................3
【考点5 分式的化简求值综合运算（非负性与二元一次方程组）】................................................................3
【考点6 分式的化简求值综合运算（不等式组）】............................................................................................3
【考点7 分式的混合运算（作差法比较大小）】................................................................................................4
【考点8 分式的化简求值（裂项相消）】...........................................................................................................5
【考点9 分式的化简求值综合运算（通分代入）】............................................................................................6
【考点10 分式的化简求值（倒数法）】...............................................................................................................6
【考点11 解分式方程的运用（增根问题）】........................................................................................................8
【考点12 解分式方程的运用（无解问题）】.......................................................................................................8
【考点13 分式的混合运算（规律问题）】...........................................................................................................9
【考点14 解分式方程与不等式组】.....................................................................................................................10
【考点15 解分式方程的运用（新定义问题）】.................................................................................................10
【考点16 分式方程的应用】.................................................................................................................................11
【考点1 分式有意义的条件】
【例1】（2022·湖南邵阳·八年级期末）下列各式中，无论x为何实数，分式都有意义的是：（ ）
1 x+1 3x+1 x2-1
A． B． C． D．
2x+1 x2+1 x2 x-1
x-2
【变式1-1】（2022·山东临沂·八年级期末）已知对任意实数x，式子 都有意义，则实数m的取
x2-4x+m
值范围是（ ）
A．m>4 B．m<4 C．m⩾4 D．m⩽4
x-b
【变式1-2】（2022·浙江温州·七年级期末）当x=3时，分式 没有意义，则b的值为（ ）
x+2b
3 3
A．-3 B．- C． D．3
2 22x+n
【变式1-3】（2022·安徽合肥·七年级期末）已知分式 （m，n为常数）满足表格中的信息，则下列
x-m
结论中错误的是（ ）
x的取值 －2 2 p q
分式的值 无意义 0 1 2
A．n=2 B．m=-2 C．p=6 D．q的值不存在
【考点2 分式的基本性质的运用（扩大或缩小倍数）】
x+ y
【例2】（2022·浙江宁波·七年级期末）将分式 中x与y的值同时扩大为原来的3倍，分式的值
x2+ y2
（ ）
A．扩大3倍 B．缩小3倍 C．不变 D．无法确定
3ab 1
【变式2-1】（2022·四川凉山·八年级期末）若把分式 中的a、b都缩小为原来的 ，则分式的值
2a+b 3
（ ）
1
A．缩小为原来的 B．扩大为原来的6倍
3
1
C．缩小为原来的 D．不变
9
10x
【变式2-2】（2022·贵州毕节·八年级期末）若把分式 中的x和y同时扩大为原来的10倍，则分式的
x+ y
值（ ）
A．扩大到原来的10倍 B．扩大到原来的100倍
1
C．缩小为原来的 D．不变
10
2m-6n
【变式2-3】（2022·山东滨州·八年级期末）关于分式 ，下列说法正确的是（ ）
3m-4n
A．分子、分母中的m、n均扩大2倍，分式的值也扩大2倍
B．分子、分母的中m扩大2倍，n不变，分式的值扩大2倍
C．分子、分母的中n扩大2倍，m不变，分式的值不变
D．分子、分母中的m、n均扩大2倍，分式的值不变
【考点3 分式的值为整数】
4x+1
【例3】（2022·山东省日照第二中学八年级期末）使分式 的值为整数的所有整数x的和是（ ）
2x-1A．3 B．2 C．0 D．-2
x(x-1)(x+2)
【变式3-1】（2022·上海市民办新北郊初级中学七年级阶段练习）若 的值为0，则x的值一
x+1
定不是（ ）
A．-1 B．-2 C．0 D．1
3
【变式3-2】（2022·江苏无锡·七年级期末）若 表示一个整数，则整数a可取的值共有（ ）
a-1
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
x2+3
【变式3-3】（2022·河南漯河·八年级期末）对于非负整数x，使得 是一个正整数，则符合条件x的个
x+3
数有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【考点4 分式的值为正数或负数】
x+2
【例4】（2022·辽宁·丹东市第五中学八年级期末）若分式 的值为正数，则x的取值范围是
x2-2x+1
（ ）
A．x>-2 B．x<1 C．x>-2且x≠1 D．x>1
2
【变式4-1】（2022·新疆·克拉玛依市白碱滩区教育局八年级期末）分式 的值为负数，则实数x的取值
3-4x
范围是______
a
【变式4-2】（2022·上海·七年级期末）若分式 的值总是正数，则a的取值范围是（ ）
2a-1
1 1 1
A．a>0 B．a> C．0
2 2 2
x2+1
【变式4-3】（2022·广东·金道中学八年级期末）如果 的值为负数，则 x 的取值范围是
6-x
_____________．
【考点5 分式的化简求值综合运算（非负性与二元一次方程组）】
【例5】（2022·广西·柳州二十五中八年级期末）已知x2-10x+25与|y-3|互为相反数，求
(
y2
)
2 x2+ y2-2xy x2- y2的值．
⋅ ÷
x- y y3 x+ y
【变式5-1】（2022·山东·东平县实验中学八年级阶段练习）已知实数x、y满足|x-3|+ y2-4 y+4=0，求代数式x2- y2 1 x 的值．
· ÷
xy x2-2xy+ y2 x2y-x y2
【变式5-2】（2022·四川·九年级专题练习）已知实数x、y满足√x-3+ y2-4 y+4=0，求代数式
x2- y2 1 x 的值．
⋅ ÷
xy x2-2xy+ y2 x2y-x y2
【变式5-3】（2022·江西赣州·八年级期末）先化简，再求值：x2-2xy+ y2 x2-xy 2 ，其中实数
÷ -
x2- y2 x x+ y
x、y满足y=√x-2-√2-x-1．
【考点6 分式的化简求值综合运算（不等式组）】
( x x ) 2x
【例6】（2022·山东菏泽·八年级期末）先化简 - ÷ ，然后再从不等组¿的解集中取x的
x-5 5-x x2-25
最小值代入求值．
【变式6-1】（2022·四川达州·八年级期末）先化简再求值： a3-2a2 ( 9 )，其中 ，
÷ a+3+ 1 ．
n n-1
【变式7-1】（2022·浙江杭州·模拟预测）已知m＝a2b，n＝3a2﹣2ab（a≠0，a≠b）．
（1）当a＝3，b＝﹣2时，分别求m，n的值．mb
（2）比较n+ 与2a2的大小．
a2
1 2
（3）当m＝12，n＝18时，求 ﹣ 的值．
b 3a
1 1 1 1 1 1
【变式7-2】（2022·安徽合肥·二模）观察下列不等式：① < ；② < ；③ < ···；
22 1×2 32 2×3 42 3×4
根据上述规律，解决下列问题：
（1）完成第5个不等式：___________；
（2）写出你猜想的第n个不等式：_____________(用含n的不等式表示)；
n+2 1
（3）利用上面的猜想，比较 和 的大小．
(n+1) 2 n
【变式7-3】（2022·江西景德镇·八年级期末）阅读理解：已知x≠ y,p=x2- y2,q=2xy-2y2．试比较p
与q的大小．
想法：求p-q．当p-q>0，则p>q；当p-q<0，则p0 p>q
用你学到的方法解决下列问题：
x x
(1)已知-1b
a-b
【变式15-1】（2022·河南南阳·八年级期末）定义运算“※”：a※b={ 若3※x=1，则x的值为
2
,a0）盒后，再将余下口罩按标价七折全部售出，结果利润与甲店相同.
①若a+b=30，求a、b的值．
②8月份，乙店计划将分到的口罩按标价出售n盒后，剩余口罩全部捐献给医院．若至少捐赠50盒口罩，
且预计乙店7、8月份能从这两批口罩销售中获得的总利润为100元，求n的值．
