文档内容
第 02 讲 等差数列及其前 n 项和
目录
01 模拟基础练......................................................................................................................................2
题型一：等差数列的基本量运算........................................................................................................2
题型二：等差数列的判定与证明........................................................................................................2
题型三：等差数列的性质....................................................................................................................3
题型四：等差数列前n项和的性质....................................................................................................3
题型五：等差数列前n项和的最值....................................................................................................4
题型六：等差数列的实际应用............................................................................................................4
题型七：关于等差数列奇偶项问题的讨论........................................................................................5
题型八：对于含绝对值的等差数列求和问题....................................................................................6
题型九：利用等差数列的单调性求解................................................................................................7
题型十：等差数列中的范围与恒成立问题........................................................................................7
02 重难创新练......................................................................................................................................8
03 真题实战练....................................................................................................................................12题型一：等差数列的基本量运算
1．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知首项 的等差数列 中， ，若该数列的前 项和
，则 等于（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
2．等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
3．（2024·河北·模拟预测）已知 是等差数列 的前 项和，若 ， ，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知等差数列 满足 ，且 ，则首项 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
题型二：等差数列的判定与证明
5．已知数列 满足： ， ， .
(1)证明： 是等差数列，并求 的通项公式；
(2)设 ，若数列 是递增数列，求实数 的取值范围.
6．数列 的前 项和为 ，且 ，当 时， .
(1)计算： ， ；(2)证明 为等差数列，并求数列 的通项公式；
7．（2024·高三·山东济宁·开学考试）已知各项均为正数的数列 中， 为 的前 项和，
．证明：数列 是等差数列；
8．（2024·高三·山东·开学考试）记数列 的前 项和为 ，已知 ．证明：
；
题型三：等差数列的性质
9．（2024·辽宁抚顺·三模）已知数列 的前n项和为 ，若 ，则 ，
.
10．（2024·陕西·模拟预测）已知等差数列 中， ，则 .
题型四：等差数列前n项和的性质
11．（2024·陕西西安·模拟预测）已知等差数列 和 的前n项和分别为 和 ，且 ，则
．
12．已知等差数列 的前 项和分别为 ，且 ，则 ．
13．设 是等差数列 的前 项和， ， ，则 .题型五：等差数列前n项和的最值
14．（2024·四川南充·三模）设为 等差数列 的前n项和，已知 、 、 成等比数列，
，当 取得最大值时， （ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
15．若 是等差数列， 表示 的前n项和， ，则 中最小的项是（ ）
A． B． C． D．
16．（2024·四川自贡·三模）已知数列 的前项和为 ，且 ．
(1)证明：数列 为等差数列；
(2)若 ， ， 成等比数列，求 的最大值．
17．在等差数列 中，已知： ， .
(1)求数列 的公差及通项公式；
(2)求数列 的前 项和 的最小值，并指出此时正整数 的值.
18．记 为等差数列 的前 项和，已知 ， .
(1)求 的通项公式；
(2)求 的最小值.题型六：等差数列的实际应用
19．（2024·山西·模拟预测）干支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支，十天干即：甲、乙、
丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．
干支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地
支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，排列到“癸酉”后，
天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”、“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，依
此类推．已知2024年是甲辰年，则2124年为（ ）
A．丁辰年 B．癸未年 C．甲午年 D．甲申年
20．（2024·湖南·二模）张扬的父亲经营着一家童鞋店，该店提供从25码到36.5码的童鞋，尺寸之间按
0.5码为公差排列成等差数列．有一天，张扬帮助他的父亲整理某一型号的童鞋，以便确定哪些尺寸需要
进货，张扬在进货单上标记了两个缺货尺寸．几天后，张扬的父亲询问那些缺货尺寸是哪些，但张扬无法
找到标记缺货尺寸的进货单，他只记得其中一个尺寸是28.5码，并且在当时将所有有货尺寸加起来的总和
是677码．现在问题是，另外一个缺货尺寸是（ ）
A．28码 B．29.5码 C．32.5码 D．34码
21．（2024·四川达州·一模）《孙子算经》是我国南北朝时著名的数学著作，其中有物不知数问题：今有
物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？意思是：有一些物品，不知道有
多少个，只知道将它们三个三个地数，会剩下2个；五个五个地数，会剩下3个；七个七个地数，也会剩
下2个.这些物品的数量是多少个？若一个正整数除以三余二，除以五余三，将这样的正整数由小到大排列，
则前5个数的和为（ ）
A．189 B．190 C．191 D．192
22．（2024·高三·上海·开学考试）天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支，十天干即
甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌，
亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由
“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”…，以此
类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”重新
开始，即“丙子”…，以此类推．2024年是甲辰年，高斯出生于1777年，该年是（ ）
A．丁酉年 B．丁戌年 C．戊酉年 D．戊戌年
题型七：关于等差数列奇偶项问题的讨论
23．（2024·山东威海·一模）已知数列 的各项均为正数，记 为 的前n项和，且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)记 ，求数列 的前n项和 .24．（2024·黑龙江·三模）已知等差数列 的公差 ， 与 的等差中项为5，且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 求数列 的前20项和 .
25．（2024·山东·模拟预测）已知等差数列 的前 项和为 ， 且 ，数列 满足
，设 ．
(1)求 的通项公式，并证明： ；
(2)设 ，求数列 的前 项和 ．
题型八：对于含绝对值的等差数列求和问题
26．（2024·全国·模拟预测）已知等差数列 ，记 为 的前 项和，从下面①②③中再选取
一个作为条件，解决下面问题．① ；② ；③ ．
(1)求 的最小值；
(2)设 的前 项和为 ，求 ．
27．（2024·湖南·二模）记 为等差数列 的前 项和， ， ．(1)求数列 的通项公式；
(2)求 的值．
28．（2024·辽宁大连·模拟预测）已知等差数列 的前n项和为 ，其中 ， ．
(1)求数列 的通项；
(2)求数列 的前n项和为 ．
题型九：利用等差数列的单调性求解
29．（2024·高三·山东淄博·期末）设 为等差数列 的前n项和，则“对 ， ”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
30．（2024·吉林白山·模拟预测）若等差数列 的前 项和为 ，且满足 ，对任意正整
数 ，都有 ，则 的值为（ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
31．已知 是等差数列 的前 项和，且 ， 则（ ）
A．数列 为递增数列 B．
C． 的最大值为 D．
题型十：等差数列中的范围与恒成立问题
32．（多选题）（2024·高三·黑龙江哈尔滨·期中）已知 是等差数列 的前 n 项和，且 ，
，则下列选项正确的是（ ）A．数列 为递减数列 B．
C． 的最大值为 D．
33．（多选题）公差为 的等差数列 的前 项和为 ，若 ，则下列选项正确的是
（ ）
A． B． 时， 的最小值为2022
C． 有最大值 D． 时， 的最大值为4043
34．（多选题）已知数列 的前 项和 ， ，数列 的前 项和 满足
对任意 恒成立，则下列命题正确的是（ ）
A． B．当 为奇数时，
C． D． 的取值范围为
1．（2024·陕西西安·三模）如图，用相同的球堆成若干堆“正三棱锥”形的装饰品，其中第1堆只有1层，
且只有1个球；第2堆有2层4个球，其中第1层有1个球，第2层有3个球；…；第n堆有n层共 个球，
第1层有1个球，第2层有3个球，第3层有6个球，…．已知 ，则 （ ）
A．2290 B．2540 C．2650 D．2870
2．（2024·广东东莞·模拟预测）等差数列 和等比数列 都是各项为正实数的无穷数列，且 ，
， 的前n项和为 ， 的前n项和为 ，下列判断正确的是（ ）
A． 是递增数列 B． 是递增数列
C． D．3．（2024·山西阳泉·三模）已知等差数列 中， 是函数 的一个极大值点，则
的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·浙江·模拟预测）已知实数 构成公差为d的等差数列，若 ， ，则d的取值范
围为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024·浙江·三模）已知等差数列 的前n项和为 ，“ ”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（2024·青海海西·模拟预测）前 项和为 的等差数列 中，若 ，则 （ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
7．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）已知函数 ，公差不为0的等差数列 的前 项和为 ，
若 ，则 （ ）
A．1012 B．2024 C．3036 D．4048
8．（2024·四川攀枝花·三模）数列 的前 项和为 ， ， ，设 ，
则数列 的前51项之和为（ ）
A． B． C．49 D．149
9．（多选题）（2024·山西吕梁·三模）已知等差数列 的首项为 ，公差为 ，前 项和为 ，若
，则下列说法正确的是（ ）
A．当 最大
B．使得 成立的最小自然数
C．
D． 中最小项为
10．（多选题）（2024·湖南益阳·三模）已知 是等比数列， 是其前n项和，满足 ，则下
列说法正确的有（ ）A．若 是正项数列，则 是单调递增数列
B． 一定是等比数列
C．若存在 ，使 对 都成立，则 是等差数列
D．若 ，且 ， ，则 时 取最小值
11．（多选题）（2024·重庆·模拟预测）已知数列 ， ，记 ， ，
若 且 则下列说法正确的是（ ）
A． B．数列 中的最大项为
C． D．
12．（2024·浙江绍兴·三模）记 为正项数列 的前 项积，已知 ，则 ；
．
13．（2024·湖北襄阳·模拟预测）蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关，如图
为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”.画法如下：在水平直线上收长度为1的线段 ，作一个等边
三角形 ，然后以点 为圆心， 为半径逆时针画圆弧交线段 的延长线于点 （第一段圆弧），
再以点 为圆心， 为半径逆时针画圆弧交线段 的延长线于点 ，再以点 为圆心， 为半径逆时
针画圆弧……以此类推，当得到的“蚊香”恰好有15段圆弧时，“蚊香”的长度为 .
14．（2024·上海·三模）已知两个等差数列2，6，10，…，202和2，8，14，…，200，将这两个等差数列
的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和为 ．
15．（2024·陕西安康·模拟预测）已知等差数列 的前 项和为 ，且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前10项和.16．（2024·重庆九龙坡·三模）已知 是等差数列 的前 项和， ，数列 是公比大于1
的等比数列，且 ， .
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)设 ，求使 取得最大值时 的值.
17．（2024·贵州六盘水·三模）已知 为等差数列，且 ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)若 恒成立，求实数λ的取值范围．
18．（2024·山东青岛·二模）已知数列 满足 ，且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前 项和为 ，若 ，求 的最小值.
19．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知数列 的前n项积为 ，数列 满足 ，
（ ， ）．
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)将数列 ， 中的公共项从小到大排列构成新数列 ，求数列 的通项公式．20．（2024·浙江绍兴·三模）已知函数 的所有正零点构成递增数列
．
(1)求函数 的周期和最大值；
(2)求数列 的通项公式 及前 项和 ．
1．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）记 为数列 的前 项和，设甲： 为等差数列；乙：
为等差数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
2．（2022年新高考全国II卷数学真题）图1是中国古代建筑中的举架结构， 是桁，相
邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中
是举， 是相等的步，相邻桁的举步之比分别为 ．已
知 成公差为0.1的等差数列，且直线 的斜率为0.725，则 （ ）A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9
3．（2022年新高考北京数学高考真题）设 是公差不为0的无穷等差数列，则“ 为递增数列”是
“存在正整数 ，当 时， ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2024年北京高考数学真题）设 与 是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合
，给出下列4个结论：
①若 与 均为等差数列，则M中最多有1个元素；
②若 与 均为等比数列，则M中最多有2个元素；
③若 为等差数列， 为等比数列，则M中最多有3个元素；
④若 为递增数列， 为递减数列，则M中最多有1个元素.
其中正确结论的序号是 .
5．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）记 为等差数列 的前n项和，若 ， ，则
.
6．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（江西卷））在等差数列 中， ，公差为 ，
前 项和为 ，当且仅当 时 取最大值，则 的取值范围 ．
7．（2023年北京高考数学真题）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码
的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列 ，
该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且 ，则 ；数列
所有项的和为 ．
8．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）记 为等差数列 的前n项和．若 ，则公差
．9．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）记 为等差数列 的前 项和，已知 ．
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 ．
10．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设等差数列 的公差为 ，且 ．令 ，记
分别为数列 的前 项和．
(1)若 ，求 的通项公式；
(2)若 为等差数列，且 ，求 ．
11．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知 为等差数列， ，记 ， 分别为数
列 ， 的前n项和， ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)证明：当 时， ．
12．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）记 为数列 的前n项和．已知 ．
(1)证明： 是等差数列；
(2)若 成等比数列，求 的最小值．
