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专题06 整式求值经典题型（九大题型）
重难点题型归纳
【题型1 直接代入】
【题型2 整体代入-配系数】
【题型3整体代入-奇次项为相反数】
【题型4 整体构造代入】
【题型5不含无关】
【题型6 化简求值】
【题型7 绝对值化简求值】
【题型8 非负性求值】
【题型9 定义求值】
【题型1 直接代入】
4b
【典例1】根据下列a，b的值，分别求代数式a2−
的值．
a
(1)a=5，b=25
(2)a=−3，b=2
【答案】(1)5
35
(2)
3
【分析】本题考查了求代数式的值，正确进行计算是解此题的关键．
（1）将a=5，b=25代入式子计算即可得解；
（2）将a=−3，b=2代入式子计算即可得解．
4b 4×25
【详解】（1）解：当a=5，b=25时，a2− =52− =25−20=5；
a 5
4b 4×2 8 35
（2）解：当a=−3，b=2时，a2− =(−3) 2− =9+ = ．
a −3 3 3
【变式1-1】设a的相反数是2,b是绝对值最小的数，c是倒数等于自身的有理数，则a−b+c的值为
（ ）3 3 1
A． B．−1 C．−1或−3 D． 或−
2 2 2
【答案】C
【分析】本题考查了代数式的求值：先通过合并把代数式化简，然后把满足条件的字母的值代入（或
整体代入）计算．也考查了倒数、相反数以及绝对值的含义．
【详解】解：由题可得：a=−2,b=0,c=±1，
当a=−2,b=0,c=1时，原式=−2−0+1=−1；
当a=−2,b=0,c=−1时，原式=−2−0+(−1)=−3；
综上，a−b+c的值为−1或−3，
故选：C．
【变式1-2】若|x)=4，|y)=3，且x+ y>0，则x−y的值是（ ）
A．1或7 B．1或−7 C．−1或7 D．−1或−7
【答案】A
【分析】本题主要考查了绝对值的意义，有理数加法法则，代数式求值，解题关键是熟练掌握绝对值
的性质和有理数的加法法则．先根据已知条件和绝对值的性质，求出x,y的值，再代入x−y进行计算
即可．
【详解】解：∵ |x)=4，|y)=3，
∴x=±4,y=±3，
∵ x+ y>0，
∴x=4时，y=±3，即x=4,y=3或x=4,y=−3，
∴ x−y=4−3=1或x−y=4−(−3)=7，
故选：A．
1
【变式1-3】已知|x|=4，|y|= ，且x+ y<0，则xy的值为 ．
2
【答案】±2
【分析】本题考查了代数式求值，绝对值的意义，由绝对值的代数意义及x+ y<0这一条件，先求出
x、y的值，再分情况代入xy计算即可.
1
【详解】解：∵|x|=4，|y)= ，
2
1
∴x=±4，y=±
.
2
∵x+ y<0，1
∴x=−4，y=± ．
2
1 ( 1)
∴xy=−4× =−2或xy=−4× − =2.
2 2
故答案为：±2．
【题型2 整体代入-配系数】
【典例2】当代数式x3+3x+1的值为2022时，代数式2x3+6x−3的值为（ ）
A．2022 B．4037 C．4039 D．2019
【答案】C
【分析】本题考查求代数式的值，由代数式x3+3x+1的值为2022，求出x3+3x=2021，再把
2x3+6x−3变形为2(x3+3x)−3，然后利用整体代入求值即可，熟练掌握运算法则及整体代入是解题
的关键．
【详解】解：∵代数式x3+3x+1的值为2022，
∴x3+3x+1=2022，
∴x3+3x=2021，
∴2x3+6x−3=2(x3+3x)−3=2×2021−3=4039，
故选：C．
【变式2-1】若代数式2x2+3x的值是5，则代数式4x2+6x−9的值是（ ）
A．10 B．1 C．−4 D．−8
【答案】B
【分析】本题考查了求代数式的值，掌握整体思想的应用是解题的关键．
对所求代数式变形，然后整体代入计算．
【详解】解：∵2x2+3x=5，
∴4x2+6x−9=2(2x2+3x)−9=2×5−9=1，
故选：B．
【变式2-2】已知2y2+ y−2的值为3，则4 y2+2y+1值为（ ）
A．10 B．11 C．10或11 D．3或1
【答案】B【分析】本题考查代数式求值，解题的关键是掌握整体代入求值的方法．根据题意得2y2+ y=5，整体
代入4 y2+2y+1求值．
【详解】解：∵2y2+ y−2=3，
∴2y2+ y=5，
∴4 y2+2y+1=2(2y2+ y)+1=2×5+1=11．
故选：B．
【变式2-3】若a2+3a−4=0，则2a2+6a−3= ．
【答案】5
【分析】本题考查了代数式的值．正确变形，整体代入计算即可．
【详解】解：∵a2+3a=4，
∴2a2+6a=8，
∴2a2+6a−3=8−3=5，
故答案为：5．
【变式2-4】已知x2+5x−3的值是4，则多项式2x2+10x−4的值是 ．
【答案】10
【分析】本题考查已知式子的值求代数式的值，先求出x2+5x的值，再作为整体代入2x2+10x−4即
可求解．
【详解】解：∵ x2+5x−3=4，
∴ x2+5x=7，
∴ 2x2+10x−4=2(x2+5x)−4=2×7−4=10，
故答案为：10．
【题型3整体代入-奇次项为相反数】
【典例3】当x=1时，代数式ax5+bx3+cx−7的值为12，则当x=−1时，求代数式ax5+bx3+cx−7
的值．
【答案】−26
【分析】此题考查了代数式求值，掌握整体代入的方法是解决问题的关键．
将x=1代入代数式值为12，列出关系式，将x=−1代入所求式子，把得出的代数式代入计算即可求出
值．
【详解】解：将x=1代入ax5+bx3+cx−7得：a+b+c−7=12，即a+b+c=19，
当x=−1时，ax5+bx3+cx−7
=−a−b−c−7
=−(a+b+c)−7
=−19−7
=−26．
【变式3-1】当x=3时，代数式ax2025+bx2013−1的值是8，则当x=−3时，这个代数式的值是（ ）
A．−10 B．8 C．9 D．−8
【答案】A
【分析】本题主要考查了代数式的求值．熟练掌握整体代入方法是解题关键．
将x=3代数式ax2025+bx2013−1中得：32025a+32013b=9，再将x=−3代入ax2025+bx2013−1中得：
−(32025a+32013b)−1，之后整体代入计算即可．
【详解】∵当x=3时，代数式ax2025+bx2013−1的值是8，
∴32025a+32013b−1=8，
∴32025a+32013b=9．
当x=−3时，
ax2025+bx2013−1
=a×(−3) 2025+b×(−3) 2013−1
=−(32025a+32013b)−1
=−9−1
=−10．
故选：A．
【变式3-2】当x=−2时，代数式ax3+bx−4的值是−2026，当x=2时，代数式ax3+bx−4的值为
．
【答案】 ．
【分析】2由0已18知得出−8a−2b−4=−2026，即8a+2b=2022，代入到x=2时所得的代数式计算可得．
【详解】当x=−2时，代数式为−8a−2b−4=−2026，即8a+2b=2022，
则x=2时，代数式为8a+2b−4=2022−4=2018．故答案为2018．
【点睛】此题考查了代数式求值，利用了整体代入的思想，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【题型4 整体构造代入】
【典例4】若a−5=3b，则(a+2b)−(2a−b)的值为 ．
【答案】−5
【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先把所求式子去括号，然后合并同类项，再求出
−a+3b=−5，最后利用整体代入法求解即可．
【详解】解：(a+2b)−(2a−b)
=a+2b−2a+b
=−a+3b，
∵a−5=3b，
∴−a+3b=−5，
∴原式=−5，
故答案为：−5．
【变式4-1】已知m−n=3，p+q=2，则(m+p)−(n−q)的值为 ．
【答案】5
【分析】本题考查了代数式求值，去括号，将代数式化简为(m−n)+(p+q)，将已知等式代入，即可
求解．
【详解】解：∵m−n=3，p+q=2，
∴(m+p)−(n−q)
=m+p−n+q
=(m−n)+(p+q)
=3+2
=5，
故答案为：5．
【题型5不含无关】
【典例5】已知多项式M=(2x2−3xy+2y)−2(x2+x−xy+1)．
(1)先化简，再求M的值，其中x=1，y=2；
(2)若多项式M与字母y的取值无关，求x的值．【答案】(1)−2
(2)2
【分析】本题考查了整式的化简求值以及无关型题型：
（1）先去括号，合并同类项，再将x=1，y=2代入求值；
（2）将多项式变形为M=(−x+2)y−2x−2，若多项式M与字母y的取值无关，则−x+2=0，由此
可解．
【详解】（1）解：M=(2x2−3xy+2y)−2(x2+x−xy+1)
=2x2−3xy+2y−2x2−2x+2xy−2
=−xy+2y−2x−2，
将x=1，y=2代入，得：
M=−1×2+2×2−2×1−2=−2+4−2−2=−2；
（2）解：由（1）得M=−xy+2y−2x−2=(−x+2)y−2x−2，
若多项式M与字母y的取值无关，则−x+2=0，
解得x=2．
【变式5-1】综合与实践
杨老师在黑板上布置了一道题，求代数式：x2−4 y2−(x2+6xy+9 y2)+6xy的值．
（1）请思考该代数式与哪个字母无关? 知道哪个字母的值就能求出此代数式的值?
【变式应用】
（2）若多项式3(mx−1)+m2−3x的值与x 的取值无关，求m的值．
【能力提升】
（3）如图1，小长方形的长为a，宽为b．用7张小长方形按照图2所示的方式不重叠地放在大长方形
ABCD内，将大长方形中未被覆盖的两个部分涂上阴影，设右上角阴影部分的面积为S ，左下角阴影
1部分的面积为S ．当AB的长变化时，a与b 满足什么关系，S −S 的值能始终保持不变?
2 1 2
【答案】（1）该代数式与字母x无关，知道字母y的值就能求出此代数式的值（2）m=1（3）a=2b
【分析】本题主要考查了整式加减中的无关型问题：
（1）先化简多项式，再根据计算后的结果即可求解；
（2）先化简多项式，再根据多项式的值与x的取值无关，可得3m−3=0，即可求解；
（3）设AB=x，观察图形得：S =a(x−3b)=ax−3ab,S =2b(x−2a)=2bx−4ab，可得
1 2
S −S =(a−2b)x+ab，再由当AB的长变化时，S −S 的值始终保持不变，即可求解．
1 2 1 2
【详解】解：（1）x2−4 y2−(x2+6xy+9 y2)+6xy
=x2−4 y2−x2−6xy−9 y2+6xy
=−13 y2，
∴该代数式与字母x无关，知道字母y的值就能求出此代数式的值；
（2）3(mx−1)+m2−3x
=3mx−3+m2−3x
=(3m−3)x−3+m2，
∵关于x的多项式3(mx−1)+m2−3x的值与x的取值无关，
∴3m−3=0，
∴m=1；
（3）设AB=x，
观察图形得：S =a(x−3b)=ax−3ab,S =2b(x−2a)=2bx−4ab，
1 2
∴S −S =ax−3ab−(2bx−4ab)
1 2
=ax−3ab−2bx+4ab
=(a−2b)x+ab，
∵当AB的长变化时，S −S 的值始终保持不变，
1 2
∴a−2b=0，
∴a=2b．【变式5-1】（1）若关于x的多项式m(2x−3)+2m2−4x的值与x的取值无关，求m值；
（2）已知A=−2x2−2(2x+1)−x(1−3m)+x，B=−x2−mx+1，且A−2B的值与x的取值无关，
求m的值；
（3）7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方
形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为S ，左下角的面积为S ，当AB的长变化时，
1 2
S −S 的值始终保持不变，求a与b的等量关系．
1 2
4
【答案】（1）2；（2） ；（3）a=2b
5
【分析】本题主要考查了整式加减中的无关型问题：
（1）先化简多项式，再根据多项式的值与x的取值无关，可得2m−4=0，即可求解；
（2）先化简求出A−2B，再由A−2B的值与x的取值无关，得到−4+5m=0，即可求解；
（3）设AB=x，观察图形得：S =a(x−3b)=ax−3ab,S =2b(x−2a)=2bx−4ab，可得
1 2
S −S =(a−2b)x+ab，再由当AB的长变化时，S −S 的值始终保持不变，即可求解．
1 2 1 2
【详解】解：（1）m(2x−3)+2m2−4x
=2mx−3m+2m2−4x
=(2m−4)x−3m+2m2，
∵关于x的多项式m(2x−3)+2m2−4x的值与x的取值无关，
∴2m−4=0，
∴m=2；
（2）∵A=−2x2−2(2x+1)−x(1−3m)+x，B=−x2−mx+1，∴A−2B=−2x2−2(2x+1)−x(1−3m)+x−2(−x2−mx+1)
=−2x2−4x−2−x+3mx+x+2x2+2mx−2
=(−4+5m)x−4
∵A−2B的值与x的取值无关，
∴−4+5m=0，
4
∴m= ；
5
（3）设AB=x，
观察图形得：S =a(x−3b)=ax−3ab,S =2b(x−2a)=2bx−4ab，
1 2
∴S −S =ax−3ab−(2bx−4ab)
1 2
=ax−3ab−2bx+4ab
=(a−2b)x+ab，
∵当AB的长变化时，S −S 的值始终保持不变，
1 2
∴a−2b=0，
∴a=2b．
【题型6 化简求值】
【典例6】已知代数式A=6x2+3xy+2y，B=3x2−2xy+5x．
(1)求A−2B；
(2)当x=1，y=2时，求A−2B的值．
【答案】(1)A−2B=7xy+2y−10x；
(2)8
【分析】本题考查了整式的加减－化简求值，一般先把所给整式去括号合并同类项，再把所给字母的
值或代数式的值代入计算．
（1）把A=6x2+3xy+2y，B=3x2−2xy+5x代入A−2B，然后去括号合并同类项即可；
（2）把x=1，y=2代入（1）化简的结果计算即可．
【详解】（1）解：把A=6x2+3xy+2y，B=3x2−2xy+5x直接代入A−2B得：
6x2+3xy+2y−2(3x2−2xy+5x)
=6x2+3xy+2y−6x2+4xy−10x=7xy+2y−10x；
即A−2B=7xy+2y−10x；
（2）解：由（1）知A−2B=7xy+2y−10x，
把x=1，y=2代入7xy+2y−10x得
7xy+2y−10x
=7×1×2+2×2−10×1
=14+4−10
=8．
【变式6-1】先化简再求值
(1)−mn2+(3m2n−mn2 )−2(2m2n−mn2 )，其中m=−2，n=−1．
3 4 2 2
(2)2(x2y+x y2 )− ( x y2+ x2y− )−2，其中(4 y+x) 2+|x+2|=0．
2 3 3 3
【答案】(1)−m2n，4
(2)x2y−1，1
【分析】本题考查整式的化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
（1）将原式化简后代入已知数值计算即可；
1 1
（2）根据非负数的性质求得x=−2，y= ，将原式化简后将x=−2，y= 代入计算即可．
2 2
【详解】（1）解：原式=−mn2+3m2n−mn2−4m2n+2mn2
=(−1−1+2)mn2+(3−4)m2n
=−m2n
当m=−2，n=−1时，
原式=−(−2) 2×(−1)=4
（2）解：原式=2x2y+2x y2−2x y2−x2y+1−2
=(2−1)x2y+(2−2)x y2−1
=x2y−1
∵(4 y+x) 2+|x+2|=0
∴4 y+x=0，x+2=01
∴x=−2，y= ，
2
1
当x=−2，y= 时，
2
1
原式=(−2) 2× −1=2−1=1
2
【变式6-2】化简求值：2a2b−[ab2−2(2a2b−ab2))−ab2，其中|a−1)+|b+3)=0．
(1)求a，b的值
(2)化简并求出代数式的值．
【答案】(1)a=1，b=−3
(2)6a2b−4ab2，−54
【分析】本题考查整式加减中的化简求值，熟练运用整式运算法则是解题关键．
（1）根据绝对值的非负性即可求解；
（2）先去括号，然后和合并同类项，得出最简式后，把a、b的值代入计算即可．
【详解】（1）解：∵|a−1)+|b+3)=0，
∴a−1=0，b+3=0，
∴a=1，b=−3；
（2）解：2a2b−[ab2−2(2a2b−ab2))−ab2
=2a2b−(ab2−4a2b+2ab2)−ab2
=2a2b−ab2+4a2b−2ab2−ab2
=6a2b−4ab2，
当a=1，b=−3时，
原式=6×12×(−3)−4×1×(−3) 2=−18−36=−54．
【变式6-3】先化简，再求值：4xy−2 (3 x2−2y2) +3(x2−2xy)，（其中x=2，y=1）
2
【答案】4 y2−2xy，0
【分析】此题考查了整式的加减－化简求值．原式去括号合并同类项得到最简结果，把x与y的值代入
计算即可求出值．【详解】解：4xy−2 (3 x2−2y2) +3(x2−2xy)
2
=4xy−3x2+4 y2+3x2−6xy
=4 y2−2xy，
当x=2，y=1时，
原式=4×12−2×2×1=4−4=0．
【变式6-4】已知A=3x2−4x，B=x2+x−2y2
(1)当x=−2时，试求出A的值；
1 1
(2)当x= ，y= 时，请求出A−3B的值．
2 3
【答案】(1)20
17
(2)−
6
【分析】此题考查了整式的加减-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
（1）将x的值代入A计算即可得到结果；
（2）将A与B代入A−3B中，去括号合并得到结果，将x与y的值代入计算即可求出值．
【详解】（1）解：当x=−2时，
A=3×(−2) 2−4×(−2)=12+8=20；
（2）解：A−3B=(3x2−4x)−3(x2+x−2y2)
=3x2−4x−3x2−3x+6 y2
=−7x+6 y2，
1 1
当x= ，y= 时，
2 3
1 (1) 2
原式=−7× +6×
2 3
7 2
=− +
2 3
17
=− ．
6
【题型7 绝对值化简求值】【典例7】有理数a、b、c在数轴上表示如图所示：
(1)填空：|a|=_______，|b|=_______，|c)=_______
(2)化简|a+b|−|b−c|+|b+c|；
【答案】(1)−a，−b，c
(2)−a+b
【分析】本题考查了绝对值和数轴，整式的加减运算；注意数轴上a、b、c的位置，以及他们与原点
的距离远近．
（1）判断题干绝对值符号里面a、b、c的符号；
（2）根据有理数的加减运算，判断a+b,b−c,b+c的符号，再去绝对值化简，合并同类项即可．
【详解】（1）解：根据数轴可得a<0，b<0，c>0，
∴|a|= −a，|b|= −b，|c)= c，
故答案为：−a，−b，c．
（2）解：根据数轴可得a0，
∴|a+b|−|b−c|+|b+c|
=−a−b−(c−b)+b+c
=−a−b−c+b+b+c
=−a+b．
【变式7-1】有理数a，b，c，在数轴上位置如图：
(1)c−a______0；a+b______0；b−c______0．
(2)化简：|c−a|−|a+b|+|b−c|．
【答案】(1)<,<,<
(2)2a
【分析】本题考查用数轴表示有理数，化简绝对值：
（1）根据点在数轴上的位置，判断式子的符号即可；
（2）根据（1）中式子的符号，化简绝对值即可．
【详解】（1）解：由数轴可知：ba，
∴c−a<0,a+b<0,b−c<0，故答案为：<,<,<；
（2）∵c−a<0,a+b<0,b−c<0，
∴|c−a|−|a+b|+|b−c|=a−c+a+b+c−b=2a．
【变式7-2】如图，数轴上的点A，B，C分别表示有理数a，b，c．
(1)比较大小：a 0，b −2（填“>”、“ <”或“=” )；
(2)化简：|a)−|b+2)−|a+c)．
【答案】(1)<；>
(2)c−b−2
【分析】此题主要考查了有理数大小的比较，数轴和绝对值的性质，整式的加减运算，解题的关键是
掌握以上知识点．
（1）根据数轴求解即可；
（2）首先由数轴得到a<−20，a+c<0，然后化简绝对值合并即可．
【详解】（1）解：由题意可知，a<0，b>−2；
故答案为：<；>；
（2）解：∵a<−20，a+c<0，
∴|a)−|b+2)−|a+c)
=−a−(b+2)−(−a−c)
=−a−b−2+a+c
=c−b−2．
【题型8 非负性求值】
【典例8】如果，|a−2|+(b+1) 2=0，则(a+b) 2015的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．−1
【答案】A
【分析】本题考查了非负数的性质，以及求代数式的值．根据非负数的性质求出a和b的值是解答本题
的关键．先根据非负数的性质求出a和b的值，然后代入所给代数式计算即可．
【详解】解：∵|a−2|+(b+1) 2=0，∴a−2=0，b+1=0，
∴a=2，b=−1，
∴(a+b) 2015=(2−1) 2015=1．
故选：A．
【变式8-1】已知|x−3)+(y+2) 2=0则xy的值为（ ）
A．6 B．−6 C．5 D．−5
【答案】B
【分析】本题考查了非负数的性质，代数式求值，掌握相关知识点是解题关键．根据绝对值和平方的
非负性，求出x、y的值，再代入计算求值即可．
【详解】解：∵|x−3)+(y+2) 2=0，
∴x−3=0，y+2=0，
∴x=3，y=−2，
∴xy=3×(−2)=−6，
故选：B．
【变式8-2】若|y−2024)+|x+2023)=0，则x+ y的值是（ ）
A．−1 B．1 C．0 D．2
【答案】B
【分析】本题主要考查了绝对值的非负性质，代数值求值等知识，根据绝对值的非负性质得出
y−2024=0，x+2023=0，进而求出x，y的值，然后代入x+ y计算即可．
【详解】解：∵|y−2024)+|x+2023)=0，|y−2024)≥0，|x+2023)≥0，
∴y−2024=0，x+2023=0，
∴y=2024，x=−2023，
∴x+ y=−2023+2024=1，
故选：B．
【题型9 定义求值】
【典例9】对于有理数a、b，定义一种新运算：a⊗b=ab+|a)−b
(1)计算5⊗4的值
(2)若m是最大的负整数，n的绝对值是3，计算m⊗n
【答案】(1)21(2)−5或7．
【分析】本题主要考查了绝对值，有理数的混合运算，以及代数式求值，理解新定义运算法则是解题
关键．
（1）根据已知新定义运算法则计算即可；
（2）根据有理数的分类和绝对值的意义，得到m=−1，n=±3，再根据新定义运算法则分别计算求值
即可．
【详解】（1）解：5⊗4=5×4+|5)−4=20+5−4=21；
（2）解：∵m是最大的负整数，n的绝对值是3，
∴m=−1，|n)=3，
∴n=±3，
当m=−1，n=3时，m⊗n=(−1)⊗3=(−1)×3+|−1)−3=−3+1−3=−5；
当m=−1，n=−3时，m⊗n=(−1)⊗(−3)=(−1)×(−3)+|−1)−(−3)=3+1+3=7；
∴ m⊗n的值为−5或7．
【变式9-1】用“⊙”定义一种新运算：规定a⊙b=ab2−a，例如：1⊙2=1×22−1=3．
(1)求(−8)⊙(−2)的值；
(2)化简：(2m−5n)⊙(−3)．
【答案】(1)−24
(2)16m−40n
【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，整式加减运算，新定义下的运算，解题的关键是掌握新
定义的运算法则．
（1）根据新定义列式计算即可；
（2）根据新定义的运算法则列出算式求解即可．
【详解】（1）解：(−8)⊙(−2)
=(−8)×(−2) 2−(−8)
=−8×4+8
=−32+8
=−24；
（2）解：(2m−5n)⊙(−3)
=(2m−5n)×(−3) 2−(2m−5n)
=9(2m−5n)−(2m−5n)=18m−45n−2m+5n
=16m−40n．
1
【变式9-2】定义：对于任意相邻负整数a，b，规定：a△b= ．
ab
(1)理解定义：
1 1
例：(−1)△(−2)= = ；练习：(−2)△(−3)=；
(−1)×(−2) 2
(2)探究规律：
某数学兴趣小组发现：可将a△b转换为减法．你发现了吗？是什么？（温馨提示：你可再举几个例子
试试，然后用含a与b的代数式将a△b转换为减法．）
(3)应用规律：运用发现的规律求(−1)△(−2)+(−2)△(−3)+(−3)△(−4)+⋯+(−2023)△(−2024)的
值．
1
【答案】(1)
6
1 1
(2)(−n)△(−n−1)= − （n为正整数）
n n+1
2023
(3)
2024
【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算，数字类的规律探索：
（1）根据新定义求解即可；
1 1 1 1
（2）根据题意可得，(−n)△(−n−1)= = = − （n为正整数）；
(−n)×(−n−1) n(n+1) n n+1
（3）根据（2）的规律把所求式子裂项求解即可．
1 1
【详解】（1）解：由题意得，(−2)△(−3)= = ；
(−2)×(−3) 6
1 1
（2）解：(−1)△(−2)= =1− ，
2 2
1 1 1
(−2)△(−3)= = − ，
6 2 3
1 1 1 1
(−3)△(−4)= = = − ，
(−3)×(−4) 12 3 4
1 1 1 1
(−4)△(−5)= = = − ，
(−4)×(−5) 20 4 5
……，1 1 1 1
以此类推可知，(−n)△(−n−1)= = = − （n为正整数）；
(−n)×(−n−1) n(n+1) n n+1
1 1
（3）解：∵(−n)△(−n−1)= − （n为正整数），
n n+1
∴(−1)△(−2)+(−2)△(−3)+(−3)△(−4)+⋯+(−2023)△(−2024)
1 1 1 1 1 1 1
=1− + − + − +⋯+ −
2 2 3 3 4 2023 2024
1
=1−
2024
2023
= ．
2024
【变式9-3】给出定义如下：我们称使等式a−b=ab+1的成立的一对有理数a，b为“共生有理数对”，
1 1 2 2 ( 1) ( 2)
记为(a,b)，如：2− =2× +1,5− =5× +1，那么数对 2, ， 5, 都是“共生有理数
3 3 3 3 3 3
对” ．
(1)判断，正确的打“√”，错误的打“×”．
①数对(−2,1)是“共生有理数对”；（ ）
( 1)
②数对 3, 不是“共生有理数对” ．（ ）
2
(2)请再写出一对符合条件的“共生有理数对”： ；（注意：不能与题目中已有的“共生有理数对”重
复）
(3)若(m,n)是“共生有理数对”，则(−n,−m)是不是“共生有理数对”？ 并说明理由．
(4)若(a,3)是“共生有理数对”，求a的值．
【答案】(1)×，×
( 3)
(2) 4, （答案不唯一）
5
(3)是，理由见解析
(4)−2
【分析】此题考查有理数的混合运算，整式的加减——化简求值，等式的性质，解题关键在于理解题
意掌握运算法则．
（1）根据“共生有理数对”的定义即可判断；（2）根据“共生有理数对”的定义，构建方程即可解决问题；
（3）根据“共生有理数对”的定义即可判断；
（4）根据“共生有理数对”的定义即可解决问题；
【详解】（1）解：∵ −2−1=−3，−2×1+1=1，
∴−2−1≠−2×1+1，
∴(−2,1)不是“共生有理数对”，
1 5 1 5
∵3− = ，3× +1= ，
2 2 2 2
1 1
∴3− =3× +1，
2 2
( 1)
∴ 3, 是“共生有理数对”；
2
故答案为：①×，②×
3 17 3 17
（2）∵4− = ，4× +1= ，
5 5 5 5
3 3
∴4− =4× +1，
5 5
( 3)
∴ 4, 是“共生有理数对”；
5
( 3)
故答案为 4, （答案不唯一）；
5
（3）是，理由如下：
−n−(−m)=−n+m，−n·(−m)+1=mn+1，
∵(m,n)是“共生有理数对”
∴m−n=mn+1，
∴−n+m=mn+1，
∴(−n,−m)是“共生有理数对”；
（4）∵ (a,3)是“共生有理数对”，
∴ a−3=a×3+1，
解得：a=−2．
