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专题 6.4 立方根（知识梳理与考点分类讲解）
【知识点一】立方根的定义
如果一个数的立方等于 ，那么这个数叫做 的立方根或三次方根.这就是说，如果 ，那么
叫做 的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.
特别提醒：一个数 的立方根，用 表示，其中 是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆
运算.
【知识点二】立方根的特征
立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.
特别提醒：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相
同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数.
【知识点三】立方根的性质
； ；
.
特别提醒：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题.
【知识点四】立方根小数点位数移动规律
被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，
， ， ， .
【考点目录】
【考点1】立方根概念的理解； 【考点2】求一个数的立方根；
【考点3】已知立方根，求原数； 【考点4】算术平方根与立方根综合；
【考点5】立方根的实际应用；
【考点1】立方根概念的理解；
【例1】（2023下·七年级课时练习）求下列各式中x的值．
(1) ； (2) ； (3) ．【答案】(1) ； (2) ； (3)
【分析】（1）直接利用立方根的定义求解即可；
（2）方程先变形为 ，然后利用立方根的定义求解即可；
（3）方程先变形为 ，然后利用立方根的定义求解即可．
（1）解： ，
∴ ，
∴ ；
（2）解： ，
∴ ，
∴ ；
（3）解： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题考查了立方根以及解方程，正确掌握立方根的定义是解题的关键．
【变式1】（2024下·全国·七年级假期作业）已知 ， ，则 的值为（ ）
A．0.528 B．0.0528 C．00528 D．0.000528
【答案】C
【解析】略
【变式2】（2018上·辽宁沈阳·八年级统考期末）若 有意义，则x的取值范围是_________．
【答案】全体实数
【分析】根据使立方根有意义的条件解答即可．
解：立方根的被开方数可以取一切实数，所以 可以取一切实数．故答案为：一切实数．
【点拨】本题考查使立方根有意义的条件，理解掌握该知识点是解题关键．
【考点2】求一个数的立方根；
【例2】（2024上·浙江杭州·七年级统考期末）已知 和 是a的两个不同的平方根， 是a
的立方根.
（1）求x，y，a的值. （2）求 的立方根.
【答案】(1) , , ； (2)
【分析】本题考查了平方根和立方根的综合问题，掌握相关结论即可求解．
（1）由题意得 ，即可求解；
（2）由（1）求出 即可求解．
（1）解：∵ 和 是a的两个不同的平方根，
∴ ，
解得： ，
∴
∴ ，
∵ 是a的立方根，
∴ ，
∴ ；
（2）解： ，
∴ 的立方根为 ．
【变式1】（2024上·湖南湘潭·八年级统考期末）下列命题是假命题的是（ ）
A． B．
C．9的平方根是3 D．若 ，则
【答案】C
【分析】根据算术平方根、立方根、平方根的意义进行判断即可，此题考查了算术平方根、立方根、平方根的意义，熟练掌握相关知识是解题的关键．
解：A． ，是真命题，不符合题意；
B． ，是真命题，不符合题意；
C．9的平方根是 ，是假命题，符合题意；
D．若 ，则 ，是真命题，不符合题意．
故选：C．
【变式2】（2024上·江西吉安·八年级统考期末）若 ，则 ．
【答案】4
【分析】本题考查了算术平方根和立方根的定义，解答关键是熟练掌握相关定义．
先根据算术平方根定义，求出x，再求x的立方根即可．
解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：4
【考点3】已知立方根，求原数；
【例3】（2022上·陕西渭南·八年级统考期末）已知 的一个平方根是3， 的立方根为 ．
（1）求 与 的值； （2）求 的立方根．
【答案】(1) ， ， (2) 的立方根是2
【分析】本题主要考查了平方根，立方根的定义，熟练掌握平方根，立方根的计算方法是解题的关键．根
据题意求出 的值即可得到答案．
（1）解： 的一个平方根是3，
，
解得 ；
的立方根为 ，
，
解得 ；
（2）解： ， ，，
的立方根是2．
【变式1】（2023下·湖北黄冈·七年级校考期末）若一个数的立方根是 ，则这个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】一个数 的立方等于 ，即 ，则这个数 即为 的立方根，据此即可求得答案．
解： 一个数的立方根是 ，
这个数为 ，
故选： ．
【点拨】本题考查立方根的定义，此为基础目重要知识点，熟练掌握立方根的定义是解答本题的关键．
【变式2】（2024上·福建三明·八年级统考期末）若一个数的立方根是2，则这个数为 ．
【答案】8
【分析】本题考查立方根，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，
如果 ，那么x叫做a的立方根．记作： ．找到立方根等于2的数即可．
解： ，
这个数是8，
故答案为：8．
【考点4】算术平方根与立方根综合；
【例4】（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第一一三中学校校考阶段练习）计算：
(1) ； (2) ．
【答案】(1) ； (2)
【分析】本题考查算术平方根和立方根的含义，实数的混合运算；掌握运算法则是解本题的关键.
（1）（2）先根据算术平方根和立方根化简各项，再计算即可；
解：（1）原式 ；（2）原式 ．
【变式1】（2023上·浙江温州·七年级统考期末）下列说法正确的是（ ）
A． 的平方根是 B． 没有立方根
C． 的立方根是 D． 的算术平方根是
【答案】D
【分析】根据平方根，立方根和算术平方根的定义即可求出答案．
解： 、根据平方根的定义可知 的平方根是 ，该选项不符合题意；
B、根据立方根的定义可知 的立方根是 ，该选项不符合题意；
C、根据立方根的定义可知 的立方根是 ，该选项不符合题意；
D、根据算术平方根的定义可知 的算术平方根是 ，该选项符合题意；
故选： ．
【点拨】本题考查平方根，立方根和算术平方根，解题的关键是熟练运用其定义，本题属于基础题型．
【变式2】（2023上·河南洛阳·八年级校考期中）若 ，则x的立方根是
【答案】3
【分析】本题考查了算术平方根和立方根．根据算术平方根的定义可求出x的值，再求它的立方根．
解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴x的立方根是3．
故答案为：3．
【考点5】立方根的实际应用；
【例5】（2024上·河北石家庄·八年级校考期末）请根据如图所示的对话内容解答下列问题．
（1）求大正方体木块的棱长（2）求截得的每个小正方体木块的棱长．
【答案】(1) (2)
【分析】本题考查了立方根的应用，熟练掌握立方根如何开方是解题的关键；
（1）根据正方体体积等于棱长 棱长 棱长，即可解答；
（2）设每个小正方体棱长为 ，根据总体积前去截取得体积等于488，列方程解答即可；
解：（1） ，
大正方体木块的棱长
（2）截得的每个小正方体木块的棱长 ，根据题意得：
解得： ，
截得的每个小正方体木块的棱长 ．
【变式1】（2023上·山西长治·八年级长治市第六中学校校考阶段练习）如图，二阶魔方为 的正
方体结构，本身只有8个方块，没有其他结构的方块，结构与三阶魔方相近，可以利用复原三阶魔方的公
式进行复原．已知二阶魔方的体积约为 （方块之间的缝隙忽略不计），那么每个方块的边长为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设每个方块的边长为 ，可得 ，则 ，再利用立方根的含义解方程即可．
解：设每个方块的边长为 ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
故选C
【点拨】本题考查的是立方根的实际应用，理解题意，建立方程是解本题的关键．
【变式2】（2023下·上海·八年级专题练习）大正方体的体积为 ，小正方体的体积为 ，将其
叠放在一起（如图），则这个物体的最高点 到地面的距离是 ．
【答案】8
【分析】此题主要考查了立方根，直接利用立方根得出大正方体和小正方体的棱长进而得出答案，正确得
出各条棱长是解题的关键．
解：∵大正方体的体积为 ，小正方体的体积为 ，
∴大立方体的棱长为 ，小立方体的棱长为 ，
∴这个物体的最高点 到地面的距离是： ，
故答案为：8．
