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九年级（上）调研数学试卷（12月份）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．）
1．下列方程为一元二次方程的是（ ）
A．x+ =1 B．ax2+bx+c=0 C．x（x﹣1）=xD．x+
2．一元二次方程x2=x的解为（ ）
A．x=1 B．x=0 C．x =1，x =2 D．x =0，x =1
1 2 1 2
3．抛物线y=ax2+4ax﹣5的对称轴为（ ）
A．x=﹣2a B．x=4 C．x=2a D．x=﹣2
4．下列几何图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．线段B．等边三角形 C．平行四边形 D．正五边形
5．如图，△ABC内接于⊙O，∠OBC=40°，则∠A的度数为（ ）
A．80° B．100° C．110° D．130°
6．如图，ABCD为正方形，O为对角线AC、BD的交点，则△COD绕点O经过下列哪种旋转
可以得到△DOA（ ）
A．顺时针旋转90°B．顺时针旋转45°
C．逆时针旋转90°D．逆时针旋转45°
7．设同一个圆的内接正六边形、正八边形、正十二边形的边心距分别为r ，r ，r ，则r ，r ，r
6 8 12 6 8 12
的大小关系为（ ）
A．r ＞r ＞r B．r ＜r ＜r C．r ＞r ＞r D．不能确定
6 8 12 6 8 12 8 6 128．已知函数y=kx+b的图象如图所示，则一元二次方程x2+x+k﹣1=0根的存在情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
9．已知二次函数y=ax2+bx+c中，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示：
x … 0 1 2 3 …
y … 5 2 1 2 …
点A（x ，y ）、B（x ，y ）在函数的图象上，则当0＜x ＜1，2＜x ＜3时，y 与y 的大小关系正
1 1 2 2 1 2 1 2
确的是（ ）
A．y ≥y B．y ＞y C．y ＜y D．y ≤y
1 2 1 2 1 2 1 2
10．如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点C且与边AB相切的动圆与CB，CA分
别相交于点E，F，则线段EF长度的最小值是（ ）
A． B．4.75 C．5D．4.8
11．如图，点A、B的坐标分别为（1，2），（3， ），现将线段AB绕点B顺时针旋转180°得线段
A B，则A 的坐标为（ ）
1 1
A．（1，﹣5）B．（5，﹣2）C．（5，﹣1）D．（﹣1，5）
12．如图，正方形ABCD和正△AEF都内接于⊙O，EF与BC、CD分别相交于点G、H，则
的值是（ ）A． B． C． D．2
二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分．
13．已知x=﹣1是方程x2+mx﹣5=0的一个根，则m= ，方程的另一根为
．
14．如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，弧AB的长为2π，则扇形AOB的面积为
．
15．抛物线y=﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是 ．
16．已知某产品的成本两年降低了75%，则平均每年降低 ．
17．如图，在Rt ABC中，∠ABC=90°，AB=BC= ，将△ABC绕点C逆时针旋转60°，得到
△MNC，连接BM，则BM的长是 ．
△
18．对于抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），有下列说法：
①当b=a+c时，则抛物线y=ax2+bx+c一定经过一个定点（﹣1，0）；
②若△=b2﹣4ac＞0，则抛物线y=cx2+bx+a与x轴必有两个不同的交点；③若b=2a+3c，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴必有两个不同的交点；
④若a＞0，b＞a+c，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴必有两个不同的交点；
其中正确的有 ．
三、解答题（本大题共7小题，共86分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．计算：
（1）用公式法解方程：x2+3x﹣2=0
（2）已知a2+a=0，请求出代数式（ ） 的值．
20．如图，已知抛物线y=﹣ax2+2ax+3a（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．
（1）请直接写出A、B两点的坐标．
（2）当a= ，设直线AC与抛物线的对称轴交于点P，请求出△ABP的面积．
21．已知关于x的方程（x﹣3）（x﹣2）﹣p2=0．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根．
（2）设方程的两根为x ，x（x ＜x ），则当0≤p 时，请直接写出x 和x 的取值范围．
1 2 1 2 1 2
22．在Rt ABC中，∠ACB=90°，现将Rt ABC绕点C逆时针旋转90°，得到Rt DEC（如图
①）
△ △ △
（1）请判断ED与AB的位置关系，并说明理由．
（2）如图②，将Rt DEC沿CB方向向右平移，且使点D恰好落在AB边上，记平移后的三角
形为Rt DEF，连接AE、DC，求证：∠ACD=∠AED．
△
△23．为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为80m的围
网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设
BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2．
（1）求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
（2）x为何值时，y有最大值？最大值是多少？
24．如图，已知☉O的直径AB=8，过A、B两点作☉O的切线AD、BC．
（1）当AD=2，BC=8时，连接OC、OD、CD．
①求△COD的面积．
②试判断直线CD与☉O的位置关系，并说明理由．
（2）若直线CD与☉O相切于点E，设AD=x（x＞0），试用含x的式子表示四边形ABCD的面
积S，并探索S是否存在最小值，写出探索过程．
25．如图，抛物线y=ax2+bx+3经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，且交y轴于点C，对称轴与抛物
线相交于点P、与直线BC相交于点M．
（1）求该抛物线的解析式．
（2）在抛物线上是否存在一点N，使得|MN﹣ON|的值最大？若存在，请求出点N的坐标；若
不存在，请说明理由．
（3）连接PB，请探究：在抛物线上是否存在一点Q，使得△QMB与△PMB的面积相等？若存
在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．九年级（上）调研数学试卷（12 月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．）
1．下列方程为一元二次方程的是（ ）
A．x+ =1 B．ax2+bx+c=0 C．x（x﹣1）=xD．x+
【考点】一元二次方程的定义．
【分析】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；
含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【解答】解：A、是分式方程的解，故A错误；
B、a=0时，是一元一次方程，故B错误；
C、是一元二次方程，故C正确；
D、是无理方程，故D错误；
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否
是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
2．一元二次方程x2=x的解为（ ）
A．x=1 B．x=0 C．x =1，x =2 D．x =0，x =1
1 2 1 2
【考点】解一元二次方程-因式分解法．
【分析】首先把x移项，再把方程的左面分解因式，即可得到答案．
【解答】解：x2=x，
移项得：x2﹣x=0，
∴x（x﹣1）=0，
x=0或x﹣1=0，
∴x =0，x =1．
1 2
故选D．
【点评】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，关键是把方程的右面变为0．
3．抛物线y=ax2+4ax﹣5的对称轴为（ ）
A．x=﹣2a B．x=4 C．x=2a D．x=﹣2
【考点】二次函数的性质．
【专题】探究型．
【分析】根据抛物线的解析式可以求得对称轴的值，从而可以解答本题．
【解答】解：∵抛物线y=ax2+4ax﹣5，
∴对称轴为：x= ．
故选D．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是知道求对称轴的公式．4．下列几何图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．线段B．等边三角形 C．平行四边形 D．正五边形
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．
故选A．
【点评】本题考查了轴对称图形及中心对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图
形两部分沿对称轴折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重
合．
5．如图，△ABC内接于⊙O，∠OBC=40°，则∠A的度数为（ ）
A．80° B．100° C．110° D．130°
【考点】圆周角定理．
【分析】连接OC，然后根据等边对等角可得：∠OCB=∠OBC=40°，然后根据三角形内角和定
理可得∠BOC=100°，然后根据周角的定义可求：∠1=260°，然后根据圆周角定理即可求出
∠A的度数．
【解答】解：连接OC，如图所示，
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC=40°，
∴∠BOC=100°，
∵∠1+∠BOC=360°，
∴∠1=260°，
∵∠A= ∠1，
∴∠A=130°．
故选：D．
【点评】此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用，解题的关键
是：熟记在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一
半．6．如图，ABCD为正方形，O为对角线AC、BD的交点，则△COD绕点O经过下列哪种旋转
可以得到△DOA（ ）
A．顺时针旋转90°B．顺时针旋转45°
C．逆时针旋转90°D．逆时针旋转45°
【考点】旋转的性质．
【专题】几何图形问题．
【分析】因为四边形ABCD为正方形，所以∠COD=∠DOA=90°，OC=OD=OA，则△COD绕
点O逆时针旋转得到△DOA，旋转角为∠COD或∠DOA，据此可得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠COD=∠DOA=90°，OC=OD=OA，
∴△COD绕点O逆时针旋转得到△DOA，旋转角为∠COD或∠DOA，
故选：C．
【点评】本题考查了旋转的性质，旋转要找出旋转中心、旋转方向、旋转角．
7．设同一个圆的内接正六边形、正八边形、正十二边形的边心距分别为r ，r ，r ，则r ，r ，r
6 8 12 6 8 12
的大小关系为（ ）
A．r ＞r ＞r B．r ＜r ＜r C．r ＞r ＞r D．不能确定
6 8 12 6 8 12 8 6 12
【考点】正多边形和圆．
【分析】圆的内接正多边形，边数越多，多边形就和圆越接近，则边心距就越接近圆的半径．
【解答】解：根据同一个圆的内接正多边形的特点得：r ＜r ＜r ；
6 8 12
故选：B．
【点评】本题考查了正多边形和圆；熟记正多边形的边数越多，就越接近外接圆，边心距越大
是解决问题的关键．
8．已知函数y=kx+b的图象如图所示，则一元二次方程x2+x+k﹣1=0根的存在情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
【考点】根的判别式；一次函数图象与系数的关系．【分析】先根据函数y=kx+b的图象可得；k＜0，再根据一元二次方程x2+x+k﹣1=0中，△=12
﹣4×1×（k﹣1）=5﹣4k＞0，即可得出答案．
【解答】解：根据函数y=kx+b的图象可得；k＜0，b＜0，
则一元二次方程x2+x+k﹣1=0中，△=12﹣4×1×（k﹣1）=5﹣4k＞0，
则一元二次方程x2+x+k﹣1=0根的存在情况是有两个不相等的实数根，
故选：C．
【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式，用到的知识点是一次函数图象的性质，关键是
根据函数图象判断出△的符号．
9．已知二次函数y=ax2+bx+c中，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示：
x … 0 1 2 3 …
y … 5 2 1 2 …
点A（x ，y ）、B（x ，y ）在函数的图象上，则当0＜x ＜1，2＜x ＜3时，y 与y 的大小关系正
1 1 2 2 1 2 1 2
确的是（ ）
A．y ≥y B．y ＞y C．y ＜y D．y ≤y
1 2 1 2 1 2 1 2
【考点】二次函数图象上点的坐标特征；解二元一次方程组；待定系数法求二次函数解析式．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】根据题意知图象过（0，5）（1，2）（2，1），代入得到方程组，求出方程组的解即可得到抛
物线的解析式，化成顶点式得到抛物线的对称轴，根据对称性得到A的对称点，利用增减性
即可得出答案．
【解答】解：根据题意知图象过（0，5）（1，2）（2，1），
代入得： 且 ，
解得：a=1，b=﹣4，c=5，
∴抛物线的解析式是y=x2﹣4x+5=（x﹣2）2+1，
∴抛物线的对称轴是直线x=2，
∵0＜x ＜1，2＜x ＜3，
1 2
0＜x ＜1关于对称轴的对称点在3和4之间，
1
当x＞2时，y随x的增大而增大，
∴y ＞y ，
1 2
故选B．
【点评】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，解二元一次方程组，用待定系数法求
二次函数的解析式等知识点的理解和掌握，能根据二次函数的对称性判断两点的纵坐标的
大小是解此题的关键．
10．如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点C且与边AB相切的动圆与CB，CA分
别相交于点E，F，则线段EF长度的最小值是（ ）
A． B．4.75 C．5D．4.8
【考点】切线的性质；勾股定理的逆定理；圆周角定理．
【专题】压轴题．【分析】设EF的中点为O，圆O与AB的切点为D，连接OD，连接CO，CD，则有OD⊥AB；
由勾股定理的逆定理知，△ABC是直角三角形OC+OD=EF，由三角形的三边关系知，
CO+OD＞CD；只有当点O在CD上时，OC+OD=EF有最小值为CD的长，即当点O在直角
三角形ABC的斜边AB的高上CD时，EF=CD有最小值，由直角三角形的面积公式知，此时
CD=BC•AC÷AB=4.8．
【解答】解：如图，∵∠ACB=90°，
∴EF是直径，
设EF的中点为O，圆O与AB的切点为D，连接OD，CO，CD，则OD⊥AB．
∵AB=10，AC=8，BC=6，
∴∠ACB=90°，
∴EF为直径，OC+OD=EF，
∴CO+OD＞CD，
∵当点O在直角三角形ABC的斜边AB的高上CD时，EF=CD有最小值
∴由三角形面积公式得：CD=BC•AC÷AB=4.8．
故选D．
【点评】本题利用了切线的性质，勾股定理的逆定理，三角形的三边关系，直角三角形的面积
公式求解．
11．如图，点A、B的坐标分别为（1，2），（3， ），现将线段AB绕点B顺时针旋转180°得线段
A B，则A 的坐标为（ ）
1 1
A．（1，﹣5）B．（5，﹣2）C．（5，﹣1）D．（﹣1，5）
【考点】坐标与图形变化-旋转．
【专题】数形结合．
【分析】设A 的坐标为（m，n），根据旋转的性质得BA=BA ，∠ABA =180°，则可判断点B为
1 1 1
AA 的中点，根据线段中点坐标公式得到3= ， = ，解得a=5，b=﹣1，然后解方程求
1
出a、b即可得到A 的坐标．
1
【解答】解：设A 的坐标为（m，n），
1
∵线段AB绕点B顺时针旋转180°得线段A B，
1
∴BA=BA ，∠ABA =180°，
1 1∴点B为AA 的中点，
1
∴3= ， = ，解得a=5，b=﹣1，
∴A 的坐标为（5，﹣1）．
1
故选C．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的
特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．利用
线段中点坐标公式是解决本题的关键．
12．如图，正方形ABCD和正△AEF都内接于⊙O，EF与BC、CD分别相交于点G、H，则
的值是（ ）
A． B． C． D．2
【考点】正多边形和圆．
【专题】压轴题．
【分析】首先设⊙O的半径是r，则OF=r，根据AO是∠EAF的平分线，求出∠COF=60°，在
Rt OIF中，求出FI的值是多少；然后判断出OI、CI的关系，再根据GH∥BD，求出GH的值
是△多少，再用EF的值比上GH的值，求出 的值是多少即可．
【解答】解：如图，连接AC、BD、OF， ，
设⊙O的半径是r，
则OF=r，
∵AO是∠EAF的平分线，
∴∠OAF=60°÷2=30°，∵OA=OF，
∴∠OFA=∠OAF=30°，
∴∠COF=30°+30°=60°，
∴FI=r•sin60°= ，
∴EF= ，
∵AO=2OI，
∴OI= ，CI=r﹣ = ，
∴ ，
∴ ，
∴ = ，
即则 的值是 ．
故选：C．
【点评】此题主要考查了正多边形与圆的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确正多边
形的有关概念：①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．②正多边形的半径：
外接圆的半径叫做正多边形的半径．③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形
的中心角．④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分．
13．已知x=﹣1是方程x2+mx﹣5=0的一个根，则m= ﹣ 4 ，方程的另一根为 x= 5 ．
【考点】一元二次方程的解．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】把x=﹣1代入原方程，即可求m，再把m的值代入，可得关于x的一元二次方程，利用
因式分解法求解方程，可得x =5，x =﹣1，从而可求答案．
1 2
【解答】解：把x=﹣1代入方程，得（﹣1）2﹣m﹣5=0，
∴m=1﹣5=﹣4，
∴原方程为x2﹣4x﹣5=0，
∴（x﹣5）（x+1）=0，
解得x =5，x =﹣1，
1 2
即另一根为x=5．
故答案是﹣4；x=5．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是理解方程的根的概念以及使用因式分
解法解方程．
14．如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，弧AB的长为2π，则扇形AOB的面积为 4 π ．【考点】扇形面积的计算；弧长的计算．
【分析】首先运用弧长公式求出扇形的半径，运用扇形的面积公式直接计算，即可解决问题．
【解答】解：∵∠AOB=90°，弧AB的长为2π，
∴ =2π，
解得：r=4，
∴扇形的面积为 =4π．
故答案为：4π．
【点评】此题主要考查了扇形的面积公式、弧长公式等知识点及其应用问题；应牢固掌握扇形
的面积公式、弧长公式，这是灵活运用、解题的基础和关键．
15．抛物线y=﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是 ﹣ 3 ＜ x ＜ 1 ．
【考点】二次函数的图象．
【专题】压轴题．
【分析】根据抛物线的对称轴为x=﹣1，一个交点为（1，0），可推出另一交点为（﹣3，0），结合
图象求出y＞0时，x的范围．
【解答】解：根据抛物线的图象可知：
抛物线的对称轴为x=﹣1，已知一个交点为（1，0），
根据对称性，则另一交点为（﹣3，0），
所以y＞0时，x的取值范围是﹣3＜x＜1．
故答案为：﹣3＜x＜1．
【点评】此题的关键是根据二次函数的对称轴与对称性，找出抛物线y=﹣x2+bx+c的完整图
象．
16．已知某产品的成本两年降低了75%，则平均每年降低 50% ．
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】增长率问题．
【分析】设平均每年降低x，根据经过两年使成本降低75%，可列方程求解．
【解答】解：设平均每年降低x，
（1﹣x）2=1﹣75%
解得x=0.5=50%或x=1.5（舍去）．
故平均每年降低50%．
故答案是：50%．【点评】本题考查一元二次方程的一共有．需要学生具备理解题意的能力，关键设出降低的百
分率，然后根据现在的成本，可列方程求解．
17．如图，在Rt ABC中，∠ABC=90°，AB=BC= ，将△ABC绕点C逆时针旋转60°，得到
△MNC，连接BM，则BM的长是 +1 ．
△
【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；等边三角形的判定与性质；
等腰直角三角形．
【专题】压轴题．
【分析】如图，连接AM，由题意得：CA=CM，∠ACM=60°，得到△ACM为等边三角形根据
AB=BC，CM=AM，得出BM垂直平分AC，于是求出BO= AC=1，OM=CM•sin60°= ，最终
得到答案BM=BO+OM=1+ ．
【解答】解：如图，连接AM，
由题意得：CA=CM，∠ACM=60°，
∴△ACM为等边三角形，
∴AM=CM，∠MAC=∠MCA=∠AMC=60°；
∵∠ABC=90°，AB=BC= ，
∴AC=2=CM=2，
∵AB=BC，CM=AM，
∴BM垂直平分AC，
∴BO= AC=1，OM=CM•sin60°= ，
∴BM=BO+OM=1+ ，
故答案为：1+ ．
【点评】本题考查了图形的变换﹣旋转，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，
线段的垂直平分线的性质，准确把握旋转的性质是解题的关键．
18．对于抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），有下列说法：
①当b=a+c时，则抛物线y=ax2+bx+c一定经过一个定点（﹣1，0）；
②若△=b2﹣4ac＞0，则抛物线y=cx2+bx+a与x轴必有两个不同的交点；③若b=2a+3c，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴必有两个不同的交点；
④若a＞0，b＞a+c，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴必有两个不同的交点；
其中正确的有 ①③④ ．
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质．
【分析】利用二次函数的性质以及抛物线与x轴的交点坐标逐一分析得出答案即可．
【解答】解：①抛物线y=ax2+bx+c一定经过一个定点（﹣1，0），则0=a﹣b+c，即b=a+c，此选项
成立成立；
②方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根，则△=b2﹣4ac＞0，当c=0时，cx2+bx+a=0不成立，
即抛物线y=cx2+bx+a与x轴必有两个不同的交点不成立；
③当b=2a+3c，则b2﹣4ac=（2a+3b）2﹣4ac=4a2+8ac+9b2=4（a+c）2+5c2，而a≠0，于是b2﹣4ac＞
0，则方程必有两个不相等的实数根；
④当a＞0，b＞a+c，则b2﹣4ac＜（a+c）2﹣4ac=（a﹣c）2＞0，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴必有
两个不同的交点，结论成立．
正确的结论是①③④．
故答案为：①③④．
【点评】此题考查抛物线与x轴的交点坐标，二次函数的性质，掌握二次函数与一元二次方程
的关系，一元二次方程根与系数的关系及二次函数的性质是解决问题的关键．
三、解答题（本大题共7小题，共86分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．计算：
（1）用公式法解方程：x2+3x﹣2=0
（2）已知a2+a=0，请求出代数式（ ） 的值．
【考点】分式的化简求值；解一元二次方程-因式分解法．
【分析】（1）首先找出公式中的a，b，c的值，再代入求根公式求解即可．
（2）首先把括号内的分式进行通分，进行加法运算，然后把除法转化成乘法，进行乘法运算，
然后把已知的式子求出a的值，代入化简以后的式子即可求解．
【解答】解：（1）a=1，b=3，c=﹣2，
=b2﹣4ac=9+8=17，
△
∴x= = = ，
则：x = ，x =
1 2
（2）．解：原式=[ + ÷
]
= •
= ；
由a2+a=0，解得：a=0或﹣1，当a=0时，原分式无意义，
当a=﹣1时，原式= =﹣ ．
【点评】本题考查了分式的化简求值：先把分式的分子或分母因式分解，再进行通分或约分，
得到最简分式或整式，然后把满足条件的字母的值代入计算得到对应的分式的值．由考查了
公式法解一元二次方程．
20．如图，已知抛物线y=﹣ax2+2ax+3a（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．
（1）请直接写出A、B两点的坐标．
（2）当a= ，设直线AC与抛物线的对称轴交于点P，请求出△ABP的面积．
【考点】抛物线与x轴的交点．
【专题】计算题．
【分析】（1）利用抛物线与x轴的交点问题，通过解方程﹣ax2+2ax+3a=0即可得到A（3，0），
B（﹣1，0）；
（2）当a= 时，y=﹣ x2+2 x+3 ，先确定C点坐标，再利用待定系数法求出直线AC
的解析式为y=﹣ x+3 ，接着确定P点坐标，然后根据三角形面积公式求解．
【解答】解：（1）令y=0，﹣ax2+2ax+3a=0，
整理得x2﹣2x﹣3=0，
解得x =3，x =﹣1，
1 2
所以A（3，0），B（﹣1，0）；
（2）当a= 时，y=﹣ x2+2 x+3 ，
当x=0时，y=3 ，则C（0，3 ），
设直线AC的解析式为y=kx+b，
把A（3，0），C（0，3 ）代入得 ，解得 ，
所以直线AC的解析式为y=﹣ x+3 ，
而抛物线的对称轴为直线x=1，
当x=1时，y=﹣ x+3 =2 ，则P（1，2 ），
所以△APB的面积= ×（3+1）×2 =4 ．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点问题：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，
a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．
21．已知关于x的方程（x﹣3）（x﹣2）﹣p2=0．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根．
（2）设方程的两根为x ，x（x ＜x ），则当0≤p 时，请直接写出x 和x 的取值范围．
1 2 1 2 1 2
【考点】根的判别式；根与系数的关系．
【专题】计算题；一次方程（组）及应用．
【分析】（1）方程整理为一般形式，表示出根的判别式，根据根的判别式的值为正数，即可得
证；
（2）根据p的范围，表示出两根的取值范围即可．
【解答】（1）证明：方程可变形为x2﹣5x+6﹣p2=0，
∵△=25﹣4（6﹣p2）=4p2+1＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：设方程的两根为x ，x （x ＜x ），
1 2 1 2
则当0≤p 时，x 和x 的取值范围分别为0＜x ≤2，3≤x2＜5．
1 2 1
【点评】此题考查了根的判别式，以及根与系数的关系，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
22．在Rt ABC中，∠ACB=90°，现将Rt ABC绕点C逆时针旋转90°，得到Rt DEC（如图
①）
△ △ △
（1）请判断ED与AB的位置关系，并说明理由．
（2）如图②，将Rt DEC沿CB方向向右平移，且使点D恰好落在AB边上，记平移后的三角
形为Rt DEF，连接AE、DC，求证：∠ACD=∠AED．
△
【考点】旋转的性质；平移的性质．
△
【专题】证明题．【分析】（1）延长ED交AB于F，如图①，根据旋转的性质得∠A=∠E，再利用∠A+∠B=90°
得到∠E+∠B=90°，则根据三角形内角和定理易得∠EFB=90°，于是利用垂直的定义可判断
ED⊥AB；
（2）如图②，先利用平移的性质和（1）中的结论得到DE⊥AB，即∠ADE=90°，则利用圆周角
定理的推论得到点C和点D在以AE为直径的圆上，然后根据圆周角定理即可得到结论．
【解答】（1）解：ED⊥AB．理由如下：
延长ED交AB于F，如图①，
∵Rt ABC绕点C逆时针旋转90°，得到Rt DEC，
∴∠A=∠E，
△ △
∵∠A+∠B=90°
∴∠E+∠B=90°
∴∠EFB=90°
∴ED⊥AB；
（2）证明：如图②，
∵将Rt DEC沿CB方向向右平移，且使点D恰好落在AB边上，
∴DE⊥AB，
△
∴∠ADE=90°，
∵∠ACE=90°，
∴点C和点D在以AE为直径的圆上，
∴∠ACD=∠AED．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段
的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．解决（2）的关键是确定点C和点D在以AE为直
径的圆上，从而利用圆周角定理求解．
23．为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为80m的围
网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设
BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2．
（1）求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；（2）x为何值时，y有最大值？最大值是多少？
【考点】二次函数的应用．
【专题】应用题．
【分析】（1）根据三个矩形面积相等，得到矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍，可得出
AE=2BE，设BE=a，则有AE=2a，表示出a与2a，进而表示出y与x的关系式，并求出x的范
围即可；
（2）利用二次函数的性质求出y的最大值，以及此时x的值即可．
【解答】解：（1）∵三块矩形区域的面积相等，
∴矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍，
∴AE=2BE，
设BE=a，则AE=2a，
∴8a+2x=80，
∴a=﹣ x+10，3a=﹣ x+30，
∴y=（﹣ x+30）x=﹣ x2+30x，
∵a=﹣ x+10＞0，
∴x＜40，
则y=﹣ x2+30x（0＜x＜40）；
（2）∵y=﹣ x2+30x=﹣ （x﹣20）2+300（0＜x＜40），且二次项系数为﹣ ＜0，
∴当x=20时，y有最大值，最大值为300平方米．
【点评】此题考查了二次函数的应用，以及列代数式，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关
键．
24．如图，已知☉O的直径AB=8，过A、B两点作☉O的切线AD、BC．
（1）当AD=2，BC=8时，连接OC、OD、CD．
①求△COD的面积．
②试判断直线CD与☉O的位置关系，并说明理由．
（2）若直线CD与☉O相切于点E，设AD=x（x＞0），试用含x的式子表示四边形ABCD的面
积S，并探索S是否存在最小值，写出探索过程．【考点】圆的综合题．
【分析】（1）①利用已知结合梯形面积以及三角形面积求法得出答案；
②过点O作OF⊥CD于F，得出OF的长，再利用切线的判定方法得出答案；
（2）利用勾股定理得出y与x之间的关系，再利用一元二次方程根的判别式得出S的最值．
【解答】解：（1）①由题意可得：
∵S梯形ABCD = （AD+BC）•AB=40，S
AOD
= AD•AO=4，
△
S = BC•BO=16，
BOC
△
∴S =40﹣4﹣16=20；
COD
△
②直线CD与☉O相切，
理由如下：过点D作DE⊥BC于E，则四边形ABED是矩形
∴DE=AB=8，BE=AD=2
∴CE=6
在Rt CDE中，CD= =10，
△
过点O作OF⊥CD于F，则S = CD•OF=20，
COD
解得：OF=4， △
即OF= AB，
故直线CD与☉O相切；
（2）设BC=y，则CD=x+y，CE=|y﹣x|，
在Rt DCE中，DC2﹣CE2=DE2，
即（x+y）2﹣（y﹣x）2=64，
△
则y= （x＞0），
∴S= （AD+BC）•AB
= （x+ ）×8
=4x+ （x＞0），
故4x2﹣Sx+64=0（x＞0），
∵该方程是关于x的一元二次方程，且此方程一定有解，∴△=S2﹣1024≥0，
根据二次函数解得：S≥32或S≤﹣32（负值舍去），
∴S≥32，
∴S有最小值，最小值为32．
【点评】此题主要考查了圆的综合以及一元二次方程根的判别式和切线的判定、勾股定理等
知识，正确掌握切线的判定方法作出辅助线是解题关键．
25．如图，抛物线y=ax2+bx+3经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，且交y轴于点C，对称轴与抛物
线相交于点P、与直线BC相交于点M．
（1）求该抛物线的解析式．
（2）在抛物线上是否存在一点N，使得|MN﹣ON|的值最大？若存在，请求出点N的坐标；若
不存在，请说明理由．
（3）连接PB，请探究：在抛物线上是否存在一点Q，使得△QMB与△PMB的面积相等？若存
在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据三角形两边之和大于第三边，可得N在直线OM上，根据解方程组，可得答案；
（3）根据平行线间的距离相等，可得过P点平行BC的直线，根据解方程组，可得Q点坐标，
再根据BC向下平移BC与l 相距的单位，可得l ，根据解方程组，可得答案．
1 2
【解答】解：（1）将A、B两点代入解析式，得
，
解得 ．
故抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3
（2）存在点N使得|MN﹣ON|的值最大．过程如下：
如图1：作直线OM交抛物线于两点，则两交点即为N点，
y=﹣x2+2x+3的对称轴为x=1．
设BC的解析式为y=kx+b，将B（3，0），C（0，3）代入函数解析式，得
，解得 ，
BC的解析式为y=﹣x+3，
当x=1时，y=2，即M（1，2）．
设直线OM的解析式为y=kx，将M（1，2）代入函数解析式，得
k=2．
直线OM的解析式为y=2x．
联立抛物线与直线OM的解析式，可得
解得： ，
∴存在点N，其坐标为N （ ，2 ），N （﹣ ，﹣2 ）
1 2
（3）如图2：
，由题意可得：P（1，4），直线BC的解析式为y=﹣x+3
∵S =S ，
QMB PMB
∴点Q在过点P且平行于BC的直线l 上，设其交点为Q ；或在BC的下方且平行于BC的
△ △ 1 1
直线l 上，设其交点为Q ，Q ，
2 2 3
∴设l 的解析式为y=﹣x+b
1
把点P的坐标代入可得：b=5
∴设l 的解析式为y=﹣x+5
1
联立得
解得： （不符合题意，舍）， ，
∴Q （2，3）．
1
根据对称性可求得直线l 的解析式为y=﹣x+1
2
联立得
解得 ，
∴Q （ ， ），Q （ ， ），
2 3
综上所述，满足条件的点Q共有3个，其坐标分别为Q（2，3），Q（ ， ），Q
1 2 3
（ ， ）．
【点评】本题考查了二次函数综合题，利用待定系数求函数解析式；利用同一条直线上两线段
的差最大得出N在直线OM上是解题关键；利用平行线间的距离相等得出Q在过P点平行
于BC的直线上是解题关键，注意BC下方距的距离是BC与l 相距的单位l 上存在符合条
1 2
件的点，以防遗漏．
