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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第 36 练 空间向量及其应用（精练）
刷真题 明导向
一、解答题
1．（2023·北京·统考高考真题）如图，在三棱锥 中， 平面 ，
．
(1)求证： 平面PAB；
(2)求二面角 的大小．
2．（2023·全国·统考高考真题）如图，在正四棱柱 中， ．点
分别在棱 , 上， ．(1)证明： ；
(2)点 在棱 上，当二面角 为 时，求 ．
3．（2023·全国·统考高考真题）如图，三棱锥 中， ， ，
，E为BC的中点．
(1)证明： ；
(2)点F满足 ，求二面角 的正弦值．
4．（2022·天津·统考高考真题）直三棱柱 中， ，D为
的中点，E为 的中点，F为 的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值；
(3)求平面 与平面 夹角的余弦值．5．（2022·浙江·统考高考真题）如图，已知 和 都是直角梯形， ， ，
， ， ， ，二面角 的平面角为 ．设M，N分别为
的中点．
(1)证明： ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值．
6．（2022·全国·统考高考真题）如图， 是三棱锥 的高， ， ，E是 的中点．
(1)证明： 平面 ；
(2)若 ， ， ，求二面角 的正弦值．
7．（2022·全国·统考高考真题）在四棱锥 中， 底面
．(1)证明： ；
(2)求PD与平面 所成的角的正弦值．
8．（2022·全国·统考高考真题）如图，四面体 中， ，E为 的
中点．
(1)证明：平面 平面 ；
(2)设 ，点F在 上，当 的面积最小时，求 与平面 所成的角的正
弦值．
9．（2022·北京·统考高考真题）如图，在三棱柱 中，侧面 为正方形，平面 平
面 ， ，M，N分别为 ，AC的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值．
条件①： ；
条件②： ．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．10．（2022·全国·统考高考真题）如图，直三棱柱 的体积为4， 的面积为 ．
(1)求A到平面 的距离；
(2)设D为 的中点， ，平面 平面 ，求二面角 的正弦值．
【A组 在基础中考查功底】
一、解答题
1．（2023·新疆和田·校考一模）如图，在三棱柱 中， 平面
为线段 的中点．
(1)求证： ；
(2)求直线 与平面 所成角大小．2．（2023秋·江苏南京·高三校联考阶段练习）已知四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD， ，
，AB⊥DA，AB∥CD．
(1)求证：平面PAD⊥平面PCD；
(2)设M是棱PC上的点，若二面角M-BD-A的余弦值为 ，试求直线BC与平面BDM所成角的正弦值．
3．（2023·全国·高三专题练习）如图，在棱长为1的正方体 中，E为线段 的中点，F
为线段 的中点．
（1）求点 到直线 的距离；
（2）求点 到平面 的距离；
4．（2023春·北京海淀·高三北京交通大学附属中学校考阶段练习）如图，在三棱柱 中，侧面
为正方形，平面 平面 ， ，M，N分别为 ，AC的中点．(1)求证： 平面 ；
(2)若 ，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值．
5．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知长方体 ＝ ＝1，直线BD与平面
所成的角为30°，AE垂直BD于E，F为 的中点．
(1)求异面直线AE与BF所成的角的余弦；
(2)求点A到平面BDF的距离．
6．（2023·全国·模拟预测）在图1中，四边形 为梯形， ， ， ，
，过点A作 ，交 于 ．现沿 将 折起，使得 ，得到如图2所示
的四棱锥 ，在图2中解答下列两问：(1)求四棱锥 的体积；
(2)若F在侧棱 上， ，求证：二面角 为直二面角．
7．（2023·全国·高三专题练习）在斜三棱柱 中， 是等腰直角三角形，
，平面 底面 ， .
(1)证明： ；
(2)求二面角 的正弦值.
8．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图所示，四棱锥 的底面 是矩形， 底面 ，
， ， ， ．(1)证明： 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值．
9．（2023秋·山东·高三沂源县第一中学校联考开学考试）如图，在四棱锥 中，底面四边形
为菱形，点 为棱 的中点， 为边 的中点.
(1)求证： 平面 ；
(2)若侧面 底面 ，且 ， ，求平面 与平面 的夹角的余
弦值.
10．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）如图，在三棱柱 中， ，
，平面 平面 ．(1)求证： 平面 ；
(2)若 ，Q是 的重心，直线 与 所成角的余弦值为 ，求直线 和平面
所成角的正弦值．
11．（2023·全国·高三专题练习）在三棱锥 中， ， ， ， 分别为 ，
的中点， ， ， 分别为 ， ， 的中点， 平面 ， 与平面 所成的角为 ．
(1)求证： 平面 ；
(2)求平面 与平面 的夹角的余弦值．
12．（2023·全国·高二专题练习）如图，在四棱锥 中， ，底面ABCD为菱形，边长
为2， ， ，且 ，异面直线PB与CD所成的角为 .(1)求证: 平面ABCD;
(2)若E是线段OC的中点，求点E到直线BP的距离.
13．（2023·北京·高三专题练习）如图，在直三棱柱 中， ， 分别是 ， 的中点，已
知 ， ．
(1)证明： 平面 ；
(2)求 与平面 所成角的正弦值；
(3)求 到平面 的距离．
14．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面 是直角梯
形，其中 ， ， ， ，E为棱 上的点，且 .(1)求证： 平面 ；
(2)求二面角 的余弦值；
(3)求点E到平面 的距离.
15．（2023·全国·高三专题练习）图1是由矩形 ， 和菱形 组成的一个平面图形，其
中 ， ， ．将该图形沿 ， 折起使得 与 重合，连接 ，如图
2．
(1)证明：图2中C，D，E，G四点共面；
(2)求图2中二面角 的平面角的余弦值．
16．（2023·全国·高三专题练习）某校积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发
现《九章算术》中提到了“刍甍”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1，E、
F、G分别是正方形的三边AB、CD、AD的中点，先沿着虚线段FG将等腰直角三角形FDG裁掉，再将剩
下的五边形ABCFG沿着线段EF折起，连接AB、CG就得到了一个“刍甍”（如图2）．(1)若 是四边形 对角线的交点，求证： 平面 ；
(2)若正方形的变成为2，且二面角 是直二面角，求点 到平面 的距离．
17．（2023·四川·校联考模拟预测）如图，在四棱锥 中，平面 平面
，点 在棱 上，设 .
(1)证明： .
(2)设二面角 的平面角为 ，且 ，求 的值.
18．（2023·全国·高三专题练习）在如图所示的圆柱 中, 为圆 的直径, 是 上的两个三等分
点, , , 都是圆柱 的母线.(1)求证： 平面 ;
(2)若 已知直线 与平面 所成角为 求二面角 的余弦值.
19．（2023·河北·统考模拟预测）如图，三棱柱 ，底面 是边长为2的正三角形，
，平面 平面 .
(1)证明： 平面 ；
(2)若 与平面 所成角的正弦值为 ，求平面 与平面 夹角的余弦值.
20．（2023·全国·高三专题练习）如图,在四棱锥 中, 平面 , ,正方形 的
对角线交于点O．(1)求证: 平面PAC;
(2)求二面角 的余弦值．
21．（2023·全国·高三专题练习）如图，四边形 为正方形，E，F分别为 的中点，以 为折
痕把 折起，使点C到达点P的位置，且平面 平面 ．
(1)证明： 平面 ；
(2)求二面角 的正弦值．
22．（2023·全国·高三专题练习）在 中， ， ， 分别 上的点
且 ， ，将 沿 折起到 的位置，使 ．
(1)求证： ；(2)是否在射线 上存在点 ，使平面 与平面 所成角的余弦值为 ？若存在，求出 的长
度；若不存在，请说明理由．
【B组 在综合中考查能力】
一、解答题
1．（2023·全国·高三专题练习）如图，四棱锥 的底面为正方形， ， 平面
， 分别是线段 的中点， 是线段 上的一点.
(1)求证：平面 平面 ；
(2)若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，且 点不是线段 的中点，求三棱锥 体积.
2．（2023秋·湖南长沙·高三长郡中学校考假期作业）如图所示，直三棱柱 中， ，
， .(1)求证： ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值.
3．（2023秋·湖北·高三校联考阶段练习）在四棱锥 中，底面ABCD为正方形，平面 平面
， ， .
(1)证明：平面 平面 ；
(2)若E为PC的中点，异面直线BE与PA所成角为 ，求四棱锥 的体积.
4．（2023秋·江西南昌·高三南昌二中校考开学考试）如图， 在四棱锥 中， 平面ABCD，
， ， ， . E为棱 PC上一点，平面ABE与棱PD交于点F. 且
.
(1)求证: F为PD的中点；
(2)求二面角 的余弦值.
5．（2023·天津·校联考模拟预测）如图，在三棱锥 中， 底面 ， ．点 ， ，
分别为棱 ， ， 的中点， 是线段 的中点， ， ．(1)求证： 平面 ；
(2)求点 到直线 的距离；
(3)在线段 上是否存在一点 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值为 ，若存在，求出线段
的值，若不存在，说明理由．
6．（2023秋·江苏·高三江苏省梁丰高级中学校联考阶段练习）如图所示，在三棱锥 中，已知
平面 ，平面 平面 ．
(1)证明： 平面 ；
(2)若 ， ，在线段 上（不含端点），是否存在点 ，使得二面角 的余弦值
为 ，若存在，确定点 的位置；若不存在，说明理由．
7．（2023秋·四川内江·高三期末）如图，扇形 的半径为 ，圆心角 ，点 为 上一点，
平面 且 ，点 且 ， 面 ．(1)求证： 平面 ；
(2)求平面 与平面 所成二面角的正弦值的大小．
8．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）如图，在底面为正方形的四棱台
中，已知 ， ， ，A到平面 的距离为 .
(1)求 到平面 的距离；
(2)若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
9．（2023春·河南·高三校联考阶段练习）已知四棱锥 ，底面为菱形 平面 ，
为 上一点.(1)平面 平面 ，证明： ；
(2)当二面角 的余弦值为 时，试确定点 的位置.
10．（2023秋·云南保山·高三统考期末）如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面 是
矩形， 是 上一点， 平面 .
(1)求证： 平面 ；
(2)从下面三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并作答：①异面直线 与 所成角的正切值为 ；
②直线 与平面 所成角的正弦值为 ；③点 到平面 的距离为 ；
若___________，求平面 与平面 夹角的余弦值.
11．（2023秋·广东河源·高三校联考开学考试）如图，在四棱锥 中， 分别为 的中点，
连接 .(1)当 为 上不与点 重合的一点时，证明： 平面 ；
(2)已知 分别为 的中点， 是边长为 的正三角形，四边形 是面积为 的矩形，当
时，求 与平面 所成角的正弦值.
12．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）如图，在五棱锥 中， ，
， .
(1)证明： ；
(2)若平面 平面 ，平面 平面 ，探索： 是否为定值？若为定值，请求出 的
值；若不是定值，请说明理由.
13．（2023·江苏扬州·仪征中学校考模拟预测）如图，在四棱锥 中， 为直角梯形，
，平面 平面 ． 是以 为斜边的等腰直角三角形，
为 上一点，且 ．(1)证明：直线 ∥平面 ;
(2)求二面角 的余弦值．
14．（2023·江苏盐城·盐城中学校考三模）如图，该几何体是由等高的半个圆柱和 个圆柱拼接而成，点
为弧 的中点，且 ， ， ， 四点共面.
(1)证明：平面 平面 ；
(2)若平面 与平面 所成二面角的余弦值为 ，且线段 长度为2，求点 到直线 的距离.
15．（2023·江苏扬州·统考模拟预测）如图，平行六面体 的体积为6，截面 的面积
为6．(1)求点 到平面 的距离；
(2)若 ， ，求直线 与平面 所成角的正弦值．
16．（2023·云南昭通·校联考模拟预测）如图，在三棱锥 中， 平面ABD，E为AB的中点，
， .
(1)证明： 平面CED；
(2)当二面角 的大小为30°，求 与平面ACD所成角的正弦值.
17．（2023·全国·高三专题练习）如图，在 中， ， ， ，E为AB中点，
过点E作ED垂直AC于D，将 沿ED翻折，使得面 面 ，点M是棱AC上一点，且
面 ．
(1)求 的值；
(2)求二面角 的余弦值．
18．（2023·吉林·统考模拟预测）如图1，在等腰梯形 中， ，
沿 将 折成 ，如图2所示，连接 ，得到四棱锥 .(1)若平面 平面 ，求证： ；
(2)若点 是 的中点，求点 到直线 的距离的取值范围.
【C组 在创新中考查思维】
一、解答题
1．（2023·上海·高三专题练习）如图，在四棱锥 中，底面 为直角梯形，其中 ，
， ， 平面 ，且 ，点 在棱 上，点 为 中点.
(1)证明：若 ，直线 平面 ；
(2)求二面角 的正弦值；
(3)是否存在点 ，使 与平面 所成角的正弦值为 ？若存在求出 值；若不存在，说明理由.
2．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥 中，底面 为直角梯形， ，
， ， ，E为 的中点，且 ．(1)求证： 平面 ；
(2)记 的中点为N，若M在线段 上，且直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求线段 的长．
3．（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥D—ABC中，G是△ABC的重心，E，F分别在BC，CD
上，且 ， ．
(1)证明：平面 平面ABD；
(2)若 平面ABC， ， ， ，P是线段EF上一点，当线段GP长度取最小值
时，求二面角 的余弦值．
4．（2023·全国·高三专题练习）如图甲，等腰梯形ABCD中， ， 于点E，且
，将梯形沿着DE翻折，如图乙，使得A到Р点，且 .(1)求直线PD与平面EBCD所成角的正弦值；
(2)若 ，求三棱锥 的表面积.
5．（2023·全国·高三专题练习）如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，
，∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中点.
(1)证明：直线CE∥平面PAB；
(2)点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M-AB-D的余弦值.
6．（2023·全国·高三专题练习）如图1，已知等边 的边长为 ，点 分别是边 上的点，且
满足 ，如图2，将 沿 折起到 的位置．(1)求证：平面 平面 ；
(2)给出三个条件：① ；②平面 平面 ；③四棱锥 的体积为 ，从中
任选一个，求平面 和平面 的夹角的余弦值．
7．（2023·江苏镇江·扬中市第二高级中学校考模拟预测）如图，在以P，A，B，C，D为顶点的五面体中，
四边形ABCD为等腰梯形， ， ，平面 平面 ， ．
(1)求证：平面 平面 ；
(2)若二面角 的余弦值为 ，求直线PD与平面PBC所成角的大小．
8．（2023·福建厦门·厦门一中校考模拟预测）如图，圆台下底面圆 的直径为 ， 是圆 上异于
的点，且 ， 为上底面圆 的一条直径， 是边长为 的等边三角形， .(1)证明： 平面 ；
(2)求平面 和平面 夹角的余弦值.
9．（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱台ABC－ABC 中，底面△ABC是等腰三角形，且BC＝8，
1 1 1
AB＝AC＝5，O为BC的中点．侧面BCC B 为等腰梯形，且BC ＝CC ＝4，M为BC 中点．
1 1 1 1 1 1 1
(1)证明：平面ABC⊥平面AOM；
(2)记二面角A－BC－B 的大小为θ，当θ∈[ ， ]时，求直线BB 平面AAC C所成角的正弦的最大值．
1 1 1 1
10．（2023·四川成都·川大附中校考二模）如图，C是以 为直径的圆O上异于A，B的点，平面
平面 为正三角形，E，F分别是 上的动点.
(1)求证： ；(2)若E，F分别是 的中点且异面直线 与 所成角的正切值为 ，记平面 与平面 的
交线为直线l，点Q为直线l上动点，求直线 与平面 所成角的取值范围.
