第36讲平面向量的数量积（解析版）_2.2025数学总复习_2024年新高考资料_1.2024一轮复习_2024年高考数学一轮复习精品导学案（新高考）

第 36 讲 平面向量的数量积 1、向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量a和b，如图所示，作OA＝a，OB＝b，则 ∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉． (2)范围：夹角θ的范围是[0，π]． 当θ＝0时，两向量a，b共线且同向； 当θ＝时，两向量a，b相互垂直，记作a⊥b； 当θ＝π时，两向量a，b共线但反向． 2、平面向量数量积的定义 已知两个非零向量a与b，我们把数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝| a||b|·cos θ，其中θ是a与b的夹角． 规定：零向量与任一向量的数量积为零． 3、平面向量数量积的几何意义 (1)一个向量在另一个向量方向上的投影 设θ是a，b的夹角，则|b|cos θ叫做向量b在向量a的方向上的投影，|a|cos θ叫做向量a在向量b 的方向上的投影． (2)a·b的几何意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积． 4、向量数量积的运算律 (1)交换律：a·b＝b·a. (2)数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)． (3)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a·b)·c不一定等于 a·(b·c)，这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量，a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定 共线． 5、平面向量数量积的性质 设a，b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量，θ是a与e的夹角，则 (1)e·a＝a·e＝|a|cos θ. (2)a⊥b⇔a·b＝0. (3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|. 特别地，a·a＝|a|2或|a|＝. (4)cos θ＝.(5)|a·b|≤|a||b|. 6、平面向量数量积的坐标表示 已知两个非零向量a＝(x，y)，b＝(x，y)，θ为a与b的夹角，则 1 1 2 2 (1)|a|＝； (2)a·b＝xx＋yy； 1 2 1 2 (3)a⊥b⇔xx＋yy＝0;_ (4)cos θ＝. 1 2 1 2 1、（2023年高考数学真题完全解读（新高考I卷））已知向量 ，若 ， 则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 因为 ，所以 ， ， 由 可得， ， 即 ，整理得： ． 故选：D 2、（2023 年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）） 已知向量 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 因为 ，所以 ， 则 ， ， 所以 .故选：B. 3、（2023年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）） 正方形 的边长是2， 是 的中 点，则 （ ） A. B. 3 C. D. 5 【答案】B 【解析】 方法一：以 为基底向量，可知 ， 则 ， 所以 ； 方法二：如图，以 为坐标原点建立平面直角坐标系， 则 ，可得 ， 所以 ； 方法三：由题意可得： ， 在 中，由余弦定理可得 ， 所以 . 故选：B.4、（2023年全国新高考Ⅱ卷） 已知向量 ， 满足 ， ，则 ______． 【答案】 【解析】 法一：因为 ，即 ， 则 ，整理得 ， 又因为 ，即 ， 则 ，所以 . 法二：设 ，则 ， 由题意可得： ，则 ， 整理得： ，即 . 故答案为： . 5、22年全国乙卷】已知向量⃑a,⃑b满足|⃑a|=1,|⃑b|=√3,|⃑a−2⃑b|=3，则⃑a⋅⃑b=（ ） A．−2 B．−1 C．1 D．2 【答案】C 【解析】 2 解：∵|⃗a−2⃗b|2=|⃗a|2−4⃗a⋅⃗b+4|⃗b|， 又∵|⃗a|=1,|⃗b|=√3,|⃗a−2⃗b|=3, ∴9=1−4⃗a⋅⃗b+4×3=13−4⃗a⋅⃗b， ∴⃗a⋅⃗b=1 故选：C. 6、【2020年新课标2卷文科】已知单位向量 ， 的夹角为60°，则在下列向量中，与 垂直的是 （ ）A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 由已知可得： . A：因为 ，所以本选项不符合题意； B：因为 ，所以本选项不符合题意； C：因为 ，所以本选项不符合题意； D：因为 ，所以本选项符合题意. 故选：D. 7、【2020年新课标3卷理科】已知向量 ， 满足 ， ， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 ， ， ， . ， 因此， . 故选：D. 1、已知a·b＝－12，|a|＝4，a和b的夹角为135°，则|b|的值为( ) A. 12 B. 6 C. 3 D. 3 【答案】 B 【解析】 因为a·b＝|a|·|b|cos 135°＝－12，所以|b|＝＝＝6.2、（多选）（2022·广州三模）已知向量a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，则下列结论中正确的是( ) A. a·b＝5 B. |a－b|＝ C. 〈a，b〉＝ D. a∥b 【答案】 ABC 【解析】 a·b＝3×1＋(－1)×(－2)＝5，故A正确；a－b＝(2，1)，|a－b|＝＝，故B正确；|a|＝＝，|b|＝ ＝，则cos 〈a，b〉＝＝＝，所以〈a，b〉＝，故C正确；3×(－2)≠(－1)×1，故D错误．故选ABC. 3、（2022·广州三模）已知a，b为单位向量，若 |a－2b|＝，则|a＋2b|＝ ． 【答案】 【解析】 由|a－2b|＝，得|a－2b|2＝a2－4a·b＋4b2＝5－4a·b＝5，则a·b＝0.又|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2＝5， 所以|a＋2b|＝. 4、已知a＝(－2,1)，b＝(k，－3)，c＝(1,2)，若(a－2b)⊥c，则与b共线的单位向量为( ) A.或 B.或 C. D. 【答案】 A 【解析】 由题意得a－2b＝(－2－2k,7)， ∵(a－2b)⊥c， ∴(a－2b)·c＝0， 即(－2－2k,7)·(1,2)＝0，－2－2k＋14＝0， 解得k＝6， ∴b＝(6，－3)， ∴e＝±＝± 考向一 平面向量的夹角及模的问题 例1、（1）（届山东省德州市高三上期末）已知向量 ， 满足 ， ， ， 则 与 的夹角为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 ，即 ，得 ，则 ， ， . 故选：C.       a  2, b  4 b  4ab   （2）（2021·山东日照市·高三二模）已知 ，当 时，向量a与b的夹角为（ ）   2 3 A．6 B． 4 C． 3 D． 4 【答案】B       b  4ab a  2, b  4 【解析】 ， ，       2   2 b 4ab  0 4a bb  4a b b  0  ，即   ，   a b  4  ，     a b 4 2  cos  a,b    a  b  24 2 ，    所以向量a与b的夹角为 4 ， 故选：B. （3）（2022·河北深州市中学高三期末）若向量 ， 满足 ，且 ，则 ______． 【答案】 【分析】 由 ，计算即可得出答案. 【详解】 ∵ ，∴ ． 故答案为： .变式1、已知|a|＝1，|b|＝2，a＋b＝（1，），则向量a，b的夹角为 ． 【答案】 【解析】 因为a＋b＝（1，），所以|a＋b|＝，两边平方，得a2＋2a·b＋b2＝3.将|a|＝1，|b|＝2代入，得1 ＋2a·b＋4＝3，所以a·b＝－1.设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝－.又θ∈[0，π]，所以θ＝，即向量a，b 的夹角为. 变式2、 若非零向量a，b满足|a|＝|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为 . 【答案】 【解析】 设向量a，b的夹角为θ.由题意，得(a－b)·(3a＋2b)＝3|a|2－a·b－2|b|2＝3|a|2－|a||b|cos θ－2|b|2＝0. 将|a|＝|b|代入上式，解得cos θ＝.因为θ∈[0，π]，所以θ＝. 变式3、已知向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，若2a－3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是 ． 【答案】 ∪ 【解析】 因为2a－3b与c的夹角为钝角，所以(2a－3b)·c＜0，即(2k－3，－6)·(2，1)＜0，所以4k－6－6 ＜0，解得k＜3.又若(2a－3b)∥c，则2k－3＝－12，即k＝－.当k＝－时，2a－3b＝(－12，－6)＝－6c，即 2a－3b与c反向，此时不满足题意，所以k≠－.综上所述，k的取值范围为（－∞，－）∪（－，3）. 变式4、（2019春•泉州期末）（多选题） 中， ， ， ，在下列命题中，是真命 题的有 A．若 ，则 为锐角三角形 B．若 ．则 为直角三角形 C．若 ，则 为等腰三角形 D．若 ，则 为直角三角形 【答案】 ． 【解析】如图所示， 中， ， ， ， ①若 ，则 是钝角， 是钝角三角形， 错误； ②若 ，则 ， 为直角三角形， 正确； ③若 ， ， ，，取 中点 ，则 ，所以 ，即 为等腰三角形， 正确， ④若 ，则 ，即 ，即 ， 由余弦定理可得： ，即 ，即 ，即 为直角三角形，即 正确， 综合①②③④可得： 真命题的有 ， 方法总结：求向量的夹角，有两种方法： (1)定义法：当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角θ，需求出a·b及|a|，|b|或得出它们之间的关 系，由cos θ＝求得． (2)公式法：若已知a＝(x ，y )与b＝(x ，y )，则cos〈a，b〉＝，〈a，b〉∈[0，π]． 1 1 2 2 考向二 平面向量中的垂直 r  a  (2,1) b =(0,m) c  (2,4) (a  b)c  例2、（2021·山东日照市·高三其他模拟）已知向量 ， ， ，且 ， m 则实数 的值为（ ） 4 3 2 1 A． B． C． D． 【答案】C a  b  (2，1m) (a  b  )c  22+1m40 m2 【解析】由已知得 ，又 ，所以 ，解得 ， 故选：C. 变式1、(2021·宜昌二模)已知△ABC中，∠A＝120°，且AB＝3，AC＝4，若AP＝λAB＋AC，且AP⊥BC， 则实数λ的值为( ) A. B. C.6 D. 【答案】 A 【解析】因为AP＝λAB＋AC，且AP⊥BC， 所以有AP·BC＝(λAB＋AC)·(AC－AB)＝λAB·AC－λAB2＋AC2－AB·AC＝(λ－1)AB·AC－λAB2＋AC2＝0，整理可得(λ－1)×3×4×cos 120°－9λ＋16＝0，解得λ＝. 变式2、已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)，x∈R. (1) 若a⊥b，求x的值； (2) 若a∥b，求|a－b|的值． 【解析】 (1) 若a⊥b，则a·b＝2x＋3－x2＝0， 解得x＝－1或x＝3. (2) 若a∥b，则1×(－x)－x(2x＋3)＝0， 解得x＝0或x＝－2. 当x＝0时，a＝(1，0)，b＝(3，0)， 所以a－b＝(－2，0)，|a－b|＝2； 当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1，2)， 所以a－b＝(2，－4)，|a－b|＝＝2. 综上所述，|a－b|的值为2或2. 方法总结：平面向量的垂直问题，有两个类型： (1)利用坐标运算证明两个向量的垂直问题 若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标；然后根据数量积的坐标运 算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可。 (2)已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值。 考向三 平面向量的数量积的运算 例3、（2022·湖北襄阳·高三期末）在 中， ， ，其中 ， ， ， ， ，则（ ） A．当 时， B．当 时， C．当 时， D．当 时， 【答案】AD 【解析】因为 ，所以 与 的夹角为 ， 当 时， ， 故A正确；当 时， ，所以 是边长为4的等边三角形， ，所以B错误； 当 时， ，所以 ， 所以 ，故C错误； 当 时， ， ， 所以 ， ，所以 ， 因为 ，所以 ，故D正确. 故选：AD. 变式1、（2022·湖北·高三期末）在 中， ，点E满足 ，则 （ ） A． B． C．3 D．6 【答案】B 【解析】 中， ，所以 ， ， 故选：B. 变式2、如图，在△ABC中，AD⊥AB， BC＝BD，|AD|＝1，则AC·AD＝ ． 【答案】 【解析】 方法一：因为AC＝AB＋BC＝AB＋BD＝AB＋（AD－AB）＝AD＋（1－）AB，所以AC·AD＝|AD| 2＋（1－）AB·AD＝. 方法二：以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标 系，则D(0，1).设点B(a，0)，C(x，y)，则BC＝(x－a，y)，BD＝(－a，1).因为BC＝BD，所以 所以AC·AD ＝0·x＋1·y＝.方法三：设∠CAD＝θ，过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E，所以AC·AD＝|AD|·|AC|·cos θ＝| AD|·|AE|.又△BAD∽△CED，所以＝＝，所以DE＝－1，AE＝，所以AC·AD＝|AD|·|AE|＝1×＝. 变式3、 在△ABC中，∠BAD＝60°，BC＝BD，|AD|＝1，AC·AD＝1，则|AB|＝ ． 【答案】2 【解析】 AC＝AB＋BC＝AB＋BD＝AB＋（BA＋AD）＝（1－）AB＋AD，所以AC·AD＝[（1－）AB＋ AD]·AD＝（1－）AB·AD＋|AD|2＝|AB|＋＝1，解得|AB|＝2. 方法总结：1.求向量的模的方法：(1)公式法，利用|a|＝及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量的模的运算转 化为数量积运算；(2)几何法，利用向量的几何意义. 2.求向量模的最值(范围)的方法：(1)代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法 求解；(2)几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解. 1、（2022·湖北·黄石市有色第一中学高三期末）已知 ， 为单位向量，且 ，则 ， 的夹角 为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】把 左右两边同时平方得： ， 由于 ， 为单位向量， . 故 ， 的夹角为 . 故选：C. 2、（2022·山东淄博·高三期末）已知向量 、 满足 ，且 在 上的投影的数量为 ，则 （ ）A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设 与 的夹角为 ，则 ， 所以， ，可得 ，因此， ， 因为 ，因此， . 故选：D. 3、（2022·山东青岛·高三期末）已知非零向量 满足： ，则 夹角 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解:因为 ， 所以 ， 所以 ， 因为 ， 所以 ，由于 所以 故选：B 4、（2022·山东日照·高三期末）已知△ 是边长为1的等边三角形，点 分别是边 的中点， 且 ，则 的值为（ ）A． B． C．1 D． 【答案】B 【解析】把△ 如下图放在直角坐标系中， 由于△ 的边长为1，故 ， 点 分别是边 的中点， ，设 ， ， ， ， . 故选：B. 5、（2022·山东济南·高三期末）（多选题）已知平面向量 ， ，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．向量 与 的夹角为30° D．向量 在 上的投影向量为 【答案】BD 【解析】解： ，则 ，故A错误； ，故B正确；，又 ，所以向量 与 的夹角为60°，故C错误； 向量 在 上的投影向量为 ，故D正确. 故选：BD. 6、（2022·湖北江岸·高三期末）（多选题）若 是 所在的平面内的点，且 下面给出的四个命题中，其中正确的是（ ） A． B． C．点 ､ ､ … 一定在一条直线上 D． ､ 在向量 方向上的投影一定相等 【答案】BCD 【解析】 ，则 ，即 ， 故 在 边 的高所在的直线上，故选项B、C、D正确， 不一定为 ，A错误. 故选：BCD