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专题 8.15 三元一次方程组（分层练习）
一、单选题
1．下列不是三元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
2．解方程组 ，最简便的消元方法是（ ）
A．先消去x B．先消去y C．先消去z D．先消去常数项
3．已知方程组 ，则 的值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．有甲、乙、丙三种商品，若购甲 件、乙 件、丙 件，共需 元；若购甲 件、乙 件、丙
件，共需 元，则购甲、乙、丙三种商品各 件共需 （ ）
A． 元 B． 元 C． 元 D． 元
5．如下表，从左到右在每个小格子中填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和
都相等，若前 个格子中所填整数之和是2020，则 的值为（ ）
A．202 B．303 C．606 D．909
6．方程组 的解是（ ）
A． B． C． D．
7．我们约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数，如图1，有 ，在图2中，若 的值为 ，则 的值为（ ）
A． B． C．1 D．任意实数
8．设“●，▲，■”分别表示三种不同的物体，如图所示，前面两架天平保持平衡，如果要使第
三架也平衡，那么“？”处可以放的物体为（ ）
A．●●●● B．●●● C．■■■■■ D．■■■
9．已知 ， ， 都不为零，且 ，则式子 的值为（ ）
A． B． C．- D．-
10．现有A，B，C三种型号的纸片若干张，大小如图所示．从中取出一些纸片进行无空隙、无重
叠拼接，拼成一个长宽分别为11和5的新矩形，在各种拼法中，B型纸片最多用了（ ）张．
A．5 B．6 C．7 D．前三个答案都不对
二、填空题
11．已知三元一次方程组 ，则 ．
12．甲、乙、丙三种商品，若购买甲5件、乙6件、丙3件，共需315元钱，购甲3件、乙4件、丙1件共需205元钱，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需钱 元．
13．已知 从方程组 中求出 .
14．已知x、y、z满足 ，则 ．
15．某商场出售甲，乙，丙三种型号的商品，若购买甲2件，乙3件，丙2件，共需116元；购买
甲1件，乙5件，丙1件，共需100元．若购买甲，乙，丙各1件，则需 元．
16．已知x、y、z满足 ，则 的值为 .
17．（教材P106习题T5变式）已知y＝ax2＋bx＋c，当x＝1时，y＝3；当x＝－1时，y＝1；当x
＝0时，y＝1，则a，b，c的值分别为 ．
18．实验室需要购买A，B，C三种型号的盒子存放材料，盒子容量和单价如下表所示：
盒子型号 A B C
盒子容量（单位：升） 2 3 4
盒子单价（单位：元） 5 6 9
其中A型号盒子做促销活动：购买3个及以上可一次性优惠4元，现有28升材料需要存放，要求
每个盒子都要装满且三种盒子都至少买一个．
（1）若购买A，B，C三种型号的盒子的个数分别为1，6，2，则购买总费用为 元；
（2）若一次性购买所需盒子且购买总费用不超过58元，则购买A，B，C三种型号的盒子的个数
分别为 个（写出一种即可）．
19．五羊公园门票规定为：每人 元； 人以上的团体购票，每人 元，每 人优惠 人免票
（不足 人的余数不优惠）．今有花城旅行社、穗城旅行社、羊城旅行社的三支旅游团前来参观：
如果花城团、穗城团合起来作为一个团体购票，应购门票 元；如果穗城团、羊城团合起来购
票，应购门票 元；如果羊城团、花城团合起来购票，应购门票 元，那么三个团共有人
．
20．近日，九龙坡区为积极应对复杂严峻的发展环境和疫情考验，在全区范围内开展“接二
（2022）连三（2023）·向新而行”九龙坡区迎新消费促进季活动，某糖果销售商在该活动期间，
向市场推出甲、乙、丙三种糖果进行销售，其中每包甲糖果的成本是每包丙糖果的2倍，每包乙糖
果与每包丙糖果的成本之比为1：3，每包甲、乙、丙糖果的售价分别比成本高20%，20%，30%．该销售商12月份销售甲糖果与丙糖果的数量之比为1：4，为使三种糖果的总利润是总成本的
25%，则该销售商12月份销售乙糖果与丙糖果的数量之比为 ．
三、解答题
21．解方程组： ．
22．在等式 中，当 ，1，3时 的值分别是 ，0， ，根据上述条件解答下
列问题．
(1) =_______；
(2)求 的值．
23．（1）已知二元一次方程组 则 ______， ______．
（2）某班级组织活动购买小奖品，买13支铅笔、5块橡皮、2本日记本共需31元，买25支铅笔、
9块橡皮、3本日记本共需55元，则购买3支铅笔、3块橡皮、3本日记本共需多少元？
（3）对于实数 、 ，定义新运算∶ ，其中 、 、 是常数，等式右边是通常的
加法和乘法运算．已知 ， ，那么 ______．
24．（1）解方程组： ； （2）解方程组：25．聪聪是数学爱好者，多次参加“希望之星竞赛”活动．有一天聪聪和妈妈去商场购物，购A，
B，C三样商品各3件、2件、1件，共付款315元，而另一位阿姨购A，B，C三样商品各5件、3
件、1件，共付款480元，聪聪想了想，说：“我能算出购A，B，C三样商品各1件共多少钱．”
请你用所学的知识算一算，相信你一定能算出来
26．在甲、乙两盒坚果中，每盒均有核桃仁、腰果和杏仁三种坚果，其中甲盒坚果重 千克，甲盒
里核桃仁的重量占甲盒坚果重量 ．
(1)甲盒里核桃仁重多少千克？
(2)若乙盒坚果重量比甲盒坚果重量多 ，且乙盒坚果中腰果是乙盒坚果重量的 ，求乙盒坚果
中腰果重多少千克？
(3)在(1)、(2)的条件下，当甲乙两盒坚果混合在一起时，杏仁的重量占 ，并且在混合之前甲盒
中的杏仁所占百分比是乙盒中杏仁所占百分比的 倍，求甲盒坚果中腰果重多少千克？参考答案：
1．B
【分析】本题主要考查了三元一次方程组的定义，根据三元一次方程组必须满足“三元”和“一次”两个
要素来求解．
【详解】解：A、方程组中含有三个未知数，且含未知数的项的次数都是一次，是三元一次方程组，不符
合题意；
B、方程组中含有三个未知数，但含未知数的项的最高次数是2，不是三元一次方程组，符合题意．
C、方程组中含有三个未知数，且含未知数的项的次数都是一次，是三元一次方程组，不符合题意；
D、方程组中含有三个未知数，且含未知数的项的次数都是一次，是三元一次方程组，不符合题意；
故选：B．
2．B
【解析】略
3．A
【分析】利用解方程中的整体思想，进行计算即可解答．．
【详解】解： ，
得：
，
∴ ．
故选：A．
【点睛】本题考查解三元一次方程组．理解和掌握解方程过程中的整体思想是解题的关键．
4．A
【分析】设甲 件 元、乙 件 元、丙 件 元，根据数量关系，列方程，解方程即可求解．
【详解】解：设甲 件 元、乙 件 元、丙 件 元，根据题意得，
，两个式子相加得， ，
∴ ，即甲、乙、丙三种商品各 件共需 元，
故选： ．
【点睛】本题主要考查三元一次方程与实际问题的综合应用，理解题目数量关系，列方程是解题的关键．5．C
【分析】根据相邻三个数的和都相等列方程组即可求解．
【详解】设第2，3，4个格子的数是a,b,c
根据题意，得
解得
∵相邻三个格子的数是1，12和-3，三个数的和是10，前m个格子的和是2020，
2020÷10＝202．说明有202个相邻三个格子，
∴m=202×3=606．
故选C．
【点睛】本题考查了列三元一次方程组解决实际问题，解决本题的关键是列出相邻三个数的和都相等的三
个方程．
6．D
【分析】根据加减消元法求解即可．
【详解】解： ，
由 得： ，
解得： ．
由 得： ，
解得： ．
由 得： ，
解得： ．
故原方程组的解为 ．
故选D．【点睛】本题考查解三元一次方程组，掌握解三元一次方程组的方法和步骤是解题关键．
7．C
【分析】根据新定义可得 ，即可求解．
【详解】解：由题意得
，
整理得：
② ③得： ，
将①代入上式得： ，
解得： ，
故选：C．
【点睛】本题考查了新定义，解三元一次方程组．理解新定义是解题的关键．
8．C
【分析】设“●，▲，■”分别为 ，根据前两个天平求出三个量之间的关系，进而得出结论．
【详解】解：设“●，▲，■”分别为 ，由图可知：
，解得： ，
∴ ，
即“？”处可以放的物体为5个■；
故选C．
【点睛】本题考查三元一次方程组的应用．正确的识图，列出方程组，是解题的关键．
9．A
【分析】把z看作是常数，再解二元一次方程组可得 ， ，再代入代数式求值即可．【详解】解： ，
得： ，
∴ ，
把 代入②得： ，
∴ ，
∴ ；
故选A
【点睛】本题考查的是三元一次方程组的解法，求解代数式的值，把其中一个未知数看作是常数，解方程
组是解本题的关键．
10．C
【分析】设需要的A卡片x张，B卡片y张，C卡片z张，x、y、z均为正整数，从面积入手，A的面积为
4，B的面积为6，C的面积为9，再结合总面积为55，来讨论求解．
【详解】由图可知，A的面积为4，B的面积为6，C的面积为9，则有方程 ，x、y、z均为
正整数，则未知数的取值范围为：x取0至11的正整数，y取0至9的正整数，z取0至6的正整数；
当 时，此时表明只选择了B、C两张纸片，则有： ，即 ，55无法被3整除，
显然此时y、z无法取正整数，不合题意，则必选了A纸片；
当 时，此时表明只选择了A、B两种纸片，则有： ，即 ，55无法被2整除，
显然此时x、y无法取正整数，不合题意，则必选了C纸片；
从题目所求可知，不必讨论当 时的情况，
综上可以发现除B纸张外，A、C至少都取了一张，
则有 ，即 ，
即B型纸张最多用了7张，
故选：C．
【点睛】本题考了三元一次方程的正整数解的知识，解题关键是通过题中条件找到未知数的范围．
11．6【分析】方程组中三个方程左右两边相加，变形即可得到x+y+z的值．
【详解】解： ，
①+②+③，得
2x+2y+2z＝12，
∴x+y+z＝6，
故答案为:6．
【点睛】此题考查了解三元一次方程组，本题的技巧为将三个方程相加．
12．55
【分析】设一件甲商品x元，乙y元，丙z元，根据“购买甲5件、乙6件、丙3件，共需315元钱，购甲
3件、乙4件、丙1件共需205元钱”列出方程组，用含y的代数式分别表示出x、z，再将x、y、z三者相
加即可得出结论.
【详解】解：设一件甲商品x元，乙y元，丙z元．
根据题意得：
，
解的 ，
∴2x+2y+2z=150-3y+2y+y-40=110，
∴x+y+z=55，
故答案为55.
【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，解题时认真审题，弄清题意，再列方程解答，含y的代数式
分别表示出x、z是解题的关键.
13．2:5
【分析】根据方程组系数的特点，消去未知数y，得出x与z的关系，便可求出比值．
【详解】解： ，
①+②得：5x-2z=0，∴5x=2z，即x:z=2:5，
故答案为2:5.【点睛】本题考查了解三元一次方程组．可利用加减消元或代入消元把解三元一次方程组的问题转化为解
二元一次方程组.
14．
【分析】本题考查了解三元一次方程组，掌握加减消元法是解答本题的关键．
把两个方程相加，可得 ，据此可得 ；① 3 ② 4，可得 ，据此可得 ，
进而得出答案．
【详解】解： ，
① ②，得 ，
即 ，
∴ ；
① 3 ② 4，得 ，
即 ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
15．52
【分析】本题考查了三元一次方程组的应用．设一件甲商品 元，一件乙商品 元，一件丙商品 元．根
据题意列方程组，再解方程组即可得出结论．
【详解】解：设一件甲商品 元，一件乙商品 元，一件丙商品 元．根据题意得：
得： ，
解得 ，
把 ，代入 得 ，
解得 ，
∴ ，
即购买甲，乙，丙各1件，则需52元．故答案为：52．
16．
【分析】根据非负数的性质可得 ，再解三元一次方程组求得x、y、z的值，再代入求值即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
故答案为： ．
17．1，1，1
【解析】略
18． 59 4，4，2（答案不唯一）
【分析】（1）根据盒子的个数乘以盒子的单价即可得购买费用；
（2）设购买A种型号盒子x个，购买B种型号盒子y个，购买C种盒子型号z个，根据题意列出方程和不
等式，然后求整数解即可．
【详解】（1）购买A，B，C三种型号的盒子的个数分别为1，6，2，
则购买费用为： （元），
故答案为： ；
（2）设购买A种型号盒子x个，购买B种型号盒子y个，购买C种盒子型号z个，
根据题意得： ，
①当 时， ，
∵x，y，z都为正整数，
∴ 时， ， （不符合题意舍去），②当 时， ，
∵x，y，z都为正整数，
∴ 时， ，
综合所述，购买A，B，C三种型号的盒子的个数分别为4，4，2．
故答案为：4，4，2．
【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，分别 和 两种情况列出方程求出整数解是解题的
关键．
19．397
【分析】可设花城团有 人，穗城团有 人，羊城团有 人，每人18元，每30人优惠1人免票（不足30
人的余数不优惠），实际上就是：540元，可进31人．可得方程组： ①或 ②，解
方程组求解即可．
【详解】解：设花城团有 人，穗城团有 人，羊城团有 人，
， ， ，
又 ， ， ．
根据公园门票优惠方法得方程组： ，即 ；
，即 ；
，即 ．
三式相加得： ，故 ，即三个团共有396人．
由 可知，穗城团与羊城团合起来有273人，而273应写成 ，即273人只需有
人买票，与题目中的265不符．因此，穗城团、羊城团的人数加起来不可能是273人而应是 人，
而 ，因为只有274人才需要购买 人的票，同样，由 人，若再增加一人，
变为300人，则 ，省10人的票，同样也是290人买票．所以羊城团、花城团合起来可能是299
人，也可能是300人．即可能是 ，也可能是 ．综上所述，可得方程组：
①或 ②
由方程组①可得： ，故 ，
由方程组②可得： ，故 ，由于人数不可能为小数，所以方程组①不符合实际，应舍去，故三个团共有397人．
故答案为：397．
【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，解题的关键是得出羊城团、花城团合起来可能是299人，也
可能是300人，从而根据情况舍去不符合实际的．
20．3：2
【分析】设乙、丙两种糖果的成本分别为x， ，表示出三种糖果的售价，设12月份销售甲糖果与丙糖果
的数量分别为 和 ，乙糖果的数量为z，根据三种糖果的总利润是总成本的25%，列出方程，化简得到
，从而求出 即可．
【详解】解：设乙、丙两种糖果的成本分别为x， ，则甲糖果的成本为： ，
则甲、乙、丙糖果的售价分别 ， ， ，
设12月份销售甲糖果与丙糖果的数量分别为 和 ，乙糖果的数量为z，
∴ ，
化简得： ，即 ，
∴12月份销售乙糖果与丙糖果的数量之比为 ，
故答案为：3：2．
【点睛】本题考查三元高次方程的应用，解本题要理解题意，通过找出等量关系即可求解．
21． ．
【分析】本题考查了解三元一次方程组，熟练掌握解三元一次方程组的方法，即消元法，是解答本题的关
键．
① ②得 ④，② ③得 ⑤，④ ⑤得 ，把 代入④得 ，把 、
代入③得 ，由此得到答案．
【详解】解：根据题意：
由① ②得 ④，
由② ③得 ⑤，④ ⑤得 ，
得 ，
把 代入④得 ，
得 ，
把 、 代入③得 ，
得 ，
原方程组的解为 ．
22．(1)
(2)
【分析】（1）将 ，1，3， ，0， 分别代入等式，得到 ，解三元一次方程组
即可；
（2）根据（1）中求出的 的值，代入计算即可．
【详解】（1）∵当 ，1，3时 的值分别是 ，0， ，
∴ ，
解得 ，
故答案为： ；
（2）∵ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了解三元一次方程组和求代数式的值，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键．
23．（1）4，2；（2）21元；（3）24．
【分析】本题主要考查解方程组及整体代入法，掌握解方程组的方法是关键．
（1）让两个式子相加即可求出 ，然后让两个式子相减即可求出 ；（2）设购买1支铅笔 元、1块橡皮 元、1本日记本 元，根据题意列出方程组求解即可；
（3）首先根据已知建立一个关于 的方程组，通过对方程变形即可得出答案．
【详解】（1）
得 ，
得 ，
；
（2）设购买1支铅笔 元、1块橡皮 元、1本日记本 元，
根据题意得
得： ，
，
答：购买3支铅笔、3块橡皮、3本日记本共需21元．
（3） ， ， ，
，
得 ，
代入 得： ，
．
24．（1） ；（2）
【分析】
本题考查解三元一次方程组．
（1）先将①②写成 ，设 ，再代入③，继而得到 ，即可得到本题
答案；
（2）先 ，得 ④，再 得 ⑤式，④与⑤组成方程组，解出，再代入②得 即可．
【详解】
解：（1） ，
由①②，得 ．
设 ，k为常数且 ．
代入③，得 ，解得 ．
∴ ．
∴原方程组的解为 ；
（2） ，
解： ，得 ，④
，得 ．⑤
④与⑤组成方程组 ，解得 ，
把 代入②，得 ，
∴原方程组的解为 ．
25．购A，B，C三样商品各一件共150元．
【分析】本题考查了三元一次方程组的实际应用，找出等量关系，设出未知数，根据题意准确列出方程组，
是解此题的关键；
设A，B，C三样商品的单价分别是x，y，z元，则根据“购A，B，C三样商品各3件、2件、1件，共付款315元”和“购A，B，C三样商品各5件、3件、1件，共付款480元”，列出方程组，然后求出
即可．
【详解】解：设A，B，C三样商品的单价分别是x，y，z元，则
，
得 ，
购A，B，C三样商品各一件共150元．
26．(1) 千克
(2) 千克
(3) 千克
【分析】本题考查的是百分数的与分数的应用，方程组的应用；
（1）甲盒里核桃仁重量为： （千克）；
（2）先计算乙盒坚果的重量，再计算乙盒坚果中腰果的重量即可；
（3）先计算杏仁的总重量为 千克．设甲盒坚果中腰果重 千克，甲盒坚果中杏仁重 千克，乙盒坚果
中杏仁重 千克，根据题意列方程求解即可．
【详解】（1）解：甲盒里核桃仁重量为： 千克 ；
答：甲盒里核桃仁重 千克；
（2）乙盒坚果重量为： 千克 ，
乙盒坚果中腰果重量为： 千克 ；
答：乙盒坚果中腰果重 千克；
（3）混合后，杏仁的总重量为： 千克 ；
设甲盒坚果中腰果重 千克，甲盒坚果中杏仁重 千克，乙盒坚果中杏仁重 千克，
根据题意列方程组，得：
解得： ， ， ；答：甲盒坚果中腰果重 千克．
