文档内容
1.2.1 有理数
学习目标：
1.掌握有理数的概念.（重点）
2.会对有理数按一定的标准进行分类,培养分类能力.(难点）
知识点一 有理数的有关概念
1.整数
正整数、0、负整数统称为整数，如-3，-2，0，1，2，3等.
2.分数
1 4
正分数、负分数统称为分数，如+1 ，0.18，-1.35，- 等.
3 5
分数都可以化为有限小数或无限循环小数的形式，也就是说，有限小数和无限循环小数可
以用分数表示.
【注意】无限不循环小数不能用分数的形式表示。
学生：为什么说有限小数和无限循环小数都属于分数？
1 1 1
老师：如0.25＝ ，0.3˙＝ ，0.1˙ 42857˙ = ，无限循环小数可以用方程进行转换，所以
4 3 7
有限小数和无限循环小数都属于分数。
小数与分数
1. 小数可分为有限小数和无限小数.无限小数又分为无限循环小数和无限不循环小数.2. 分数把单位“1”平均分成若干份，表示这样一份或几份的数叫做分数.分数都可以写成
p
（p，q为整数，q≠0）的形式.
q
3. 有理数
整数和分数统称为有理数.
4. 几个常用数学名词的含义
（1）正整数:既是正数，又是整数的数.
（2）负整数:既是负数，又是整数的数.
（3）正分数:既是正数，又是分数的数.
（4）负分数:既是负数，又是分数的数.
（5）非负数:正数和0.
（6）非正数:负数和0.
（7）非负整数（也叫自然数）:在整数范围内的非负的数，即正整数和0.
（8）非正整数:在整数范围内的非正的数，即负整数和0.
（9）正有理数:正整数和正分数.
（10）负有理数:负整数和负分数.
（11）非正有理数:0、负整数和负分数.
（12）非负有理数:0、正整数和正分数.
（13）奇数、偶数:引入负数后，小学学的奇数、偶数的范围也相应扩大了，奇数和偶数也
可以有负数，如-1，-3，-5，…都是奇数，-2，-4，-6，…都是偶数.
2
即学即练（2022秋·江西上饶·七年级校考阶段练习）在 ，-4.3，0.25，0，1.23，
3
π
1.01001000100001…， 中，非负有理数的数有 ．
2
【分析】根据有理数的定义及分类：整数与分数统称为有理数，逐个判定即可得到结论．
2
【详解】解根据有理数的定义及分类可知， 符合题意；-4.3是负数，不合题意；0.25符
3
π
合题意；0符合题意；1.23符合题意；1.01001000100001…是无理数，不合题意； 是无
2
2
理数，不合题意；故答案为： ，0.25，0，1.23．
3
π π
【反思】(1) 虽然有分数线有分数线，但分子“π”是无限不循环小数，所以 不是分
2 2数,也不是有理数，更不可能是非负有理数.(2)1.01001000100001...(每两个1之间0的个
数逐次增加 1)虽然是无限小数,但它不循环,所以它不是有理数.
知识点二 有理数的分类
1. 按有理数的定义分类
2. 按有理数的性质符号分类
3. 集合
把满足一定条件的所有数放在一起，就组成了一个集合，简称数集.如所有的整数组成整数
集.
1. 要做到标准一致,不重不漏.你在分类时,请不要忽略0,0是整数，不是分数,0既不是正
数,也不是负数.
2. 不要把非负整数理解成正整数,非负整数包括正整数和0;也不要把非正整数理解成负整
数,非正整数包括负整数和 0.
即学即练（2022秋·陕西安康·七年级校考期中）把下列各数填入相应的大括号里：
11
-3，3.14，-0.1，80，-25%，0，
17
正数集合：{ }；
整数集合：{ }；
负数集合：{ }；正分数集合：{ }．
11 11
【答案】 3.14，80， -3，80，0 -3，-0.1，-25% 3.14，
17 17
【分析】根据正数、负数、整数、正分数的意义逐个进行判断.
11
【详解】正数有：3.14，80， ，……
17
整数有：-3，80，0，……
负数有：-3，-0.1，-25%，……
11
正分数有：3.14， ，……
17
【点睛】本题考查有理数的分类，理解有理数的分类方法是正确判断的前提.
题型一 有理数的概念
例1 （2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考阶段练习）在-3.5，
22
，0.3070809，0，π中，有理数有（ ）个．
7
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】根据有理数的定义，即可求解，分数与整数统称为有理数．
22 22
【详解】解：在-3.5， ，0.3070809，0，π中，有理数有-3.5， ，0.3070809，
7 7
0，共4个，故选：C．
【点睛】本题考查了有理数的定义，理解有理数的定义是解题的关键。
22
举一反三1（2023秋·江苏淮安·七年级统考期末）下列各数中：-1.2，3π，0， ，
7
20%
， · ·，有理数有 个．
0.35
【答案】5
【分析】根据有理数的概念进行判断即可．
【详解】解：有理数包括整数和分数，22
∴是有理数的有-1.2,0， ，20%，0.3˙5˙，共5个故答案为：5
7
【点睛】本题主要考查有理数的概念，熟练掌握有理数的概念是解决本题的关键．
22
举一反三2（2023秋·湖北襄阳·七年级统考期末）在数-1，-9，-2.23，0，+3，
7
1
，-π，- ，-0.01001中， 是负分数．
2
1
【答案】-2.23，- ，-0.01001
2
【分析】根据有理数的分类逐一判断即可得到答案．
【详解】解：负整数：-1，-9；
正整数：+3；
22
正分数： ；
7
1
负分数：-2.23，- ，-0.01001；
2
无理数：-π，
1
故答案为：-2.23，- ，-0.01001．
2
【点睛】本题考查了有理数的分类，熟练掌握负分数的概念是解题关键，注意所有的有限
小数和无限循环小数都可以化成分数的形式，而无限不循环小数，不能化成分数的形式．
题型二 0的意义
例2 （2023秋·云南昭通·七年级校考阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．整数就是自然数 B．0不是自然数
C．正数和负数统称有理数 D．0是整数而不是负数
【答案】D
【分析】根据有理数的分类即可作出判断．
【详解】A、整数为正整数，0及负整数，自然数为正整数与0，说法错误，不符合题意，
此选项错误；
B、0是自然数，说法错误，不符合题意，此选项错误；
C、正数，0和负数统称为有理数，说法错误，不符合题意，此选项错误；D、0是整数而不是负数，说法正确，符合题意，此选项正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了有理数，掌握有理数与自然数和整数的区别，以及0的意义是本题关
键．
举一反三1 （2023秋·安徽阜阳·七年级校考期末）下列说法正确的有（ ）
A．整数包括正整数和负整数
B．零是整数，既不是正数，也不是自然数
C．分数包括正分数、负分数
D．有理数不是正数就是负数
【答案】C
【分析】根据有理数的分类进行判断即可．
【详解】解：A、整数包括正整数、零和负整数，原说法错误，故本选项不合题意；
B、零是整数，是自然数，零既不是正数，也不是负数，原说法错误，故本选项不合题意；
C、分数包括正分数、负分数，说法正确，故本选项符合题意；
D、有理数包括正有理数、零和负有理数，原说法错误，故本选项不合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查有理数的分类，注意0既不是正数也不是负数，0和正整数统称为自然
数，熟练掌握有理数的分类方法是解答本题的关键．
举一反三2 （2023秋·天津河东·七年级校考期末）下列说法中正确的是（ ）
A．整数一定是正数
B．有这样的有理数，它既不是正数，也不是负数
C．零是最小的整数
D．有这样的有理数，它既是正数，也是负数
【答案】B
【分析】根据正数、负数、整数的定义和特点，“0”的特点选择即可．
【详解】A．整数不一定是正数，如-1，故该选项错误，不符合题意；
B．0既不是正数也不是负数，故该选项正确，符合题意；
C．-1也是整数比0小，故该选项错误，不符合题意；
D．没有即是正数又是负数的数，故该选项错误，不符合题意．
故选：B
【点睛】本题考查有理数的意义，掌握正数、负数、整数的定义和特点，熟记0是整数，
但不是正数，也不是负数是解答本题的关键．题型三 有理数的分类
2 13
例3 把下列将数填入相应的集合中：-23，0.5，- ，28，0，4， ，-5.2．
3 5
【答案】见解析
【分析】根据有理数的分类解答即可．
【详解】解：如图所示：
【点睛】本题考查了有理数，掌握有理数的分类是解答本题的关键．
举一反三1 请把下列各数填入相应的集合中：
1 22 5
，5.2，0， ，-22，2005，-0.3030030003…，- ．
2 7 3
正数集合：{ …}；
分数集合：{ …}；
整数集合：{ …}；
有理数集合：{ …}．
1 22 1 22 5 1 22
【答案】 ，5.2， ，2005； ，5.2， ，- ；0，-22，2005； ，5.2，0， ，
2 7 2 7 3 2 7
5
-22，2005，- ．
3
【分析】根据有理数的分类，可得答案．1 22 5
【详解】解： ，5.2，0， ，-22，2005，-0.3030030003…，- ．
2 7 3
1 22
正数集合：{ ，5.2， ，2005，…}；
2 7
1 22 5
分数集合：{ ，5.2， ，- ，…}；
2 7 3
整数集合：{0，-22，2005，…}；
1 22 5
有理数集合：{ ，5.2，0， ，-22，2005，- ，…}．
2 7 3
1 22 1 22 5 1 22
故答案为： ，5.2， ，2005； ，5.2， ，- ；0，-22，2005； ，5.2，0，
2 7 2 7 3 2 7
5
，-22，2005，- ．
3
【点睛】本题考查了有理数的分类，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
1 1
举一反三2 （2023春·上海徐汇·上海市西南位育中学校考阶段练习）在①- ；② ；
2 72
③ 0；④|-3|；⑤-0.3中，是非负数的是 （填序号）
【答案】②③④
【分析】根据非负数包含正数和零，逐一进行判断即可得到答案．
【详解】解：因为|-3|=3，
1 1 1
所以，在①- ；② ；③ 0；④|-3|；⑤-0.3中，是非负数的是：② ；③ 0；④|-3|，
2 72 72
故答案为：②③④．
【点睛】本题考查了有理数的分类，熟练掌握非负数包含正数和零是解题关键．
题型四 带“非”字的有理数
51 3
例4 在15，-0.23，0， ，2，- ，316%这几个数中，是非负数的有（ ）
3 5
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【答案】B
【分析】直接利用非负数定义判断即可得出答案．
【详解】解：根据非负数的定义，非负数包含正数和零，51 3
所以在15，-0.23，0， ，2，- ，316%这七个数中，是非负数的有
3 5
51
15，0， ，2，316%共5个．
3
故选：B．
【点睛】本题考查了有理数的分类，解题的关键是正确掌握有理数的分类，非负数的定义．
举一反三1 将下列各数填入相应的大括号内：
1 22
-13，0.1，-2.23，+27，0，-15%，-3 ， ．
2 7
(1)非正数：{ …}；
(2)非负数：{ …}
(3)非正整数：{ …}；
(4)非负整数：{ …}
1
【答案】(1)-13，-2.23，0，-15%，-3
2
22
(2)0.1，+27，0，
7
(3)-13，0
(4)+27，0
【分析】（1）根据“负数和0统称为非正数”即可进行解答；
（2）根据“正数和0统称为非负数”即可进行解答；
（3）根据“0和负整数统称为非正整数”即可进行解答；
（4）根据“0和正整数统称为非负整数”即可进行解答．
1
【详解】（1）解：非正数：{-13，-2.23，0，-15%，-3 ，…}；
2
1
故答案为：-13，-2.23，0，-15%，-3 ；
2
22
（2）解：非负数：{0.1，+27，0， ，…}；
7
22
故答案为：0.1，+27，0， ；
7
（3）解：非正整数：{-13，0，…}；故答案为：-13，0；
（4）解：非负整数：{+27，0，…}．
故答案为：+27，0．
【点睛】本题主要考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的各个分类依据是解题的关键．
1
举一反三2 （2023秋·新疆乌鲁木齐·七年级乌鲁木齐市第70中校考期末）在-15， ，
3
3
-0.23，0.51，0，7.6，2，- ，314%中，非负数有 个．
5
【答案】6/六
【分析】根据利用符号对有理数分类求解即可．
1
【详解】解：非负数有 ，0.51，0，7.6，2，314%共有6个，
3
故答案为：6．
【点睛】此题考查了利用符号对有理数进行分类的能力，关键是能准确理解以上知识，并
能对有理数的符号进行正确判断．
一、选择题.
1．（2023·深圳福永中学校考）下列说法中，正确的是（ ）
A．整数和分数统称为有理数 B．正分数、0、负分数统称为分数
C．正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数D．0不是有理数
【答案】A
【详解】A、整数和分数统称有理数，故选项正确；
B、正分数和负分数统称分数，故选项错误；
C、正整数、负整数、正分数、负分数，0称为有理数，故选项错误；
D、0是有理数，故选项错误．
故选A．
1 3
2．（2023·西安远东一中校考）在15，﹣0.23，0，5 ，﹣0.65，2，﹣ ，316%这几个
3 5
数中，非负数的个数是（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个【答案】B
【分析】根据非负数的定义（通常把正数和0统称为非负数）进行判断即可．
1 3
【详解】解：在15，﹣0.23，0，5 ，﹣0.65，2，- ，316%这几个数中，非负数有
3 5
1
15，0，5 ，2，316%，共5个．
3
故选：B．
【点睛】题目主要考查非负数的定义，理解非负数的定义是解题关键．
3．（2023·山西晋城期末）下列说法正确的是（ ）
A．0既是正数又是负数 B．0是最小的正数
C．0既不是正数也不是负数 D．0是最大的负数
【答案】C
【分析】根据有理数的分类判断即可．
【详解】∵0既不是正数也不是负数，
故选C．
【点睛】本题考查了零的属性，熟练掌握0既不是正数也不是负数是解题的关键．
4．（2023·安徽阜阳校考期末）下列说法正确的有（ ）
A．整数包括正整数和负整数
B．零是整数，既不是正数，也不是自然数
C．分数包括正分数、负分数
D．有理数不是正数就是负数
【答案】C
【分析】根据有理数的分类进行判断即可．
【详解】解：A、整数包括正整数、零和负整数，原说法错误，故本选项不合题意；
B、零是整数，是自然数，零既不是正数，也不是负数，原说法错误，故本选项不合题
意；
C、分数包括正分数、负分数，说法正确，故本选项符合题意；
D、有理数包括正有理数、零和负有理数，原说法错误，故本选项不合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查有理数的分类，注意0既不是正数也不是负数，0和正整数统称为自
然数，熟练掌握有理数的分类方法是解答本题的关键．
5．（2023·湖南永州校考期中）下列说法正确的是（ ）A．一个数前面加上“－”号，这个数就是负数
B．零既是正数也是负数
C．若a是正数，则-a不一定是负数
D．零既不是正数也不是负数
【答案】D
【分析】根据相反数的意义和零的性质逐一进行判断即可.
【详解】如-2前加负号为-（-2）=2，为正数故A选项错误，
如a=2,则-a= -2，故C选项错误，
零既不是正数也不是负数，说法正确，故B错误、D正确，
故选：D.
【点睛】此题考查了相反数的意义及零的性质，熟练掌握是解题关键.
二、填空题
9 1 9 3
6．（2022秋·上海静安区教育学院附属学校校考期中）在分数 ， ， ， 中，不能
15 3 25 7
化成有限小数的是 ．
1 3
【答案】 ，
3 7
【分析】分数化成有限小数指的是分子能整除分母，由此即可求解．
9 3 1 9 3 • •
【详解】解： = =0.6， =0.333⋯是无限循环小数， =0.36， =0.428571
15 5 3 25 7
是无限循环小数，
1 3
∴不能化成有限小数的是 ， ，
3 7
1 3
故答案为： ， ．
3 7
【点睛】本题主要考查分数与小数的转化，理解有限小数，无限小数的概念是解题的关
键．
1 22
7．在- ， ，0，-1，0.4，π，2，-3，-6这些数中，有理数有m个，自然数有n个，
3 7
分数有k个，则m-n-k的值为 ．
【答案】3
【分析】根据有理数的分类计算求和即可．
1 22
【详解】∵- ， ，0，-1，0.4，π，2，-3，-6，
3 7∴有理数有m=8个，自然数有n=2个，分数有k=3个，
∴m-n-k=8-2-3=3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键．
22
· ·
8．（2023·江苏淮安统考期末）下列各数中：-1.2，3π，0， ，20%， ，有理数
0.35
7
有 个．
【答案】5
【分析】根据有理数的概念进行判断即可．
【详解】解：有理数包括整数和分数，
22
∴是有理数的有-1.2,0， ，20%，0.3˙5˙，共5个
7
故答案为：5
【点睛】本题主要考查有理数的概念，熟练掌握有理数的概念是解决本题的关键．
9．把下列各数填入相应的集合中：
24 1
+6，0.75，﹣3，0，﹣1.2，+8， ，- ，9%，
5 3
正分数集合：{ …}；
正整数集合：{ …}；
整数集合：{ …}；
有理数集合：{ …}．
24
【答案】 0.75， ，9% +6，+8 +6，﹣3，0，+8 +6，0.75，﹣3，
5
24 1
0，﹣1.2，+8， ，- ，9%
5 3
【分析】直接根据有理数的分类进行解答即可．
24
【详解】解：正分数集合：{0.75， ，9%…}；
5
正整数集合：{+6，+8…}；
整数集合：{+6，﹣3，0，+8…}；
24 1
有理数集合：{+6，0.75，﹣3，0，﹣1.2，+8， ，- ，9%…}．
5 3
24
故答案为：0.75， ，9%；+6，+8；+6，﹣3，0，+8；+6，0.75，﹣3，0，﹣
524 1
1.2，+8， ，- ，9%．
5 3
【点睛】本题考查的是有理数和绝对值，掌握正分数、正整数、整数、有理数的概念是
解决此题关键．
10．（1）有一列数：1，-2，-3，4，-5，-6，7，-8，…．那么接下来的3个数分别
是 ， ， ；
1 2 3 4
（2）有一列数： ， ， ， ，…．那么接下来的第7个数是 ．
2 5 10 17
7
【答案】 -9, 10, -11;
50
【详解】(1) 这一列数可以看作是先将正整数从小到大逐个排列起来再从第二个数开始
每隔一个数在原数前面添加负号而得到的. 根据这一规律，接下来的3个数分别
为：-9，10，-11.
(2) 对这一列数的分子与分母的规律分别进行讨论.
①这一列数的分子可以看作是将正整数从小到大逐个排列起来而得到的.
②观察这列数的分母可以看出，2=1×1+1，5=2×2+1，10=3×3+1，
17=4×4+1，…
因此，这列数的分母可以看作是该分数的分子与其自身之积再加上1而得到的.
根据上述规律，第7个数的分子应为7，第7个数的分母应为7×7+1=50，即第7个数
7
应为 .
50
7
故本题应依次填写：-9，10，-11； .
50
点睛：
本题的难点在于第(2)小题，而第(2)小题的难点在于确定分数分母的变化规律. 在寻找
这一规律时要特别注意这些分数的分母与相应的分数在整列数中的位置序数(在本题中
相当于相应的分子的数值)的关系. 另外，在探索规律时，一般需要对各个数字进行一
定的运算，要特别注意根据已知数的位置序数构造算式的形式，这常常是解决问题的突
破口.
三、解答题
11．把下列各数分别填入相应的集合：22 5
+26，0，-8，π，-4.8，-17， ，0.6，- ．
7 8
正有理数集{_______________}；
非负数集{_______________}；
非负整数集{_______________}；
分数集{_______________}．
22 22 22 5
【答案】+26， ，0.6；+26，0，π， ，0.6；+26，0；-4.8， ，0.6，-
7 7 7 8
【分析】根据有理数的分类进行判断即可．
22
【详解】解：正有理数集{+26， ，0.6}；
7
22
非负数集{+26，0，π， ，0.6}；
7
非负整数集{+26，0}；
22 5
分数集{-4.8， ，0.6，- }．
7 8
22 22 22 5
故答案为：+26， ，0.6；+26，0，π， ，0.6；+26，0；-4.8， ，0.6，-
7 7 7 8
．
【点睛】本题考查了有理数的分类，掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理
数、非负数的定义与特点，解题的关键是注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不
是正数．
12．（2023·河南周口期末）把下列各数填入它所属的集合内：
1 2
15,- ,-5, ,0,-5.32,2.3,π,80%,5．
9 15
(1)分数集合{_______…}；
(2)自然数集合{______…}；
(3)非正整数集合{_______…}；
(4)非负有理数集合{______…}．
1 2
【答案】(1)- , ,-5.32,2.3,80%
9 15
(2)15,0,5
(3)-5，02
(4)15， ，0，2.3，80%，5
15
【分析】（1）根据有理数的分类进行作答即可；
（2）根据有理数的分类进行作答即可；
（3）根据有理数的分类进行作答即可；
（4）根据有理数的分类进行作答即可．
【详解】（1）解：分数集合：{ 1 2 }；
- , ,-5.32,2.3,80%⋯
9 15
1 2
故答案为：- , ,-5.32,2.3,80%；
9 15
（2）自然数集合：{15,0,5⋯}；
故答案为：15,0,5；
（3）非正整数集合：{-5,0⋯}；
故答案为：-5，0；
（4）非负有理数集合：{ 2 }
15, ,0,2.3,80%,5⋯
15
2
故答案为：15， ，0，2.3，80%，5．
15
【点睛】本题考查有理数的分类．熟练掌握有理数的分类方法，是解题的关键．
1
13．（2022·河南新乡期中）把下列各数填在相应的集合内：﹣3，4，﹣2，- ，﹣
5
13
0.58，0，-3.4˙，0.618， ，3.14．
9
整数集合：{ …}；
分数集合：{ …}；
负有理数集合：{ …}；
非正整数集合：{ …}．
1 13 1
【答案】﹣3，4，﹣2，0；- ，﹣0.58，-3.4˙ ，0.618， ，3.14；﹣3，﹣2，-
5 9 5
，﹣0.58，-3.4˙；﹣3，﹣2，0
【分析】按照有理数的分类填写：有理数分为整数和分数，整数分为正整数，0和负整
数，分数分为正分数和负分数即可．【详解】解： 整数集合：{﹣3，4，﹣2，0…}；
1 13
分数集合：{- ，﹣0.58，-3.4˙ ，0.618， ，3.14…}；
5 9
1
负有理数集合：{﹣3，﹣2，- ，﹣0.58，-3.4˙…}；
5
非正整数集合：{﹣3，﹣2，0…}．
1 13 1
故答案为：﹣3，4，﹣2，0；- ﹣0.58，-3.4˙ ，0.618， ，3.14；﹣3，﹣2，-
5 9 5
，﹣0.58，-3.4˙；﹣3，﹣2，0．
【点睛】此题考查了有理数的分类，掌握有理数的分类是解答本题的关键，注意0是整
数，但不是正数．
